第一章 三角形的初步认识总复习 讲义

龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名：辅导课目：数学年级：七年级学科教师：汪老师授课日期及时段课题第一章三角形的初步认识总复习重点、难点、考点1、三角形的基本概念的应用2、三角形全等的证明学习目标1、理解三角形的相关概念2、会证明三角形的全等教学内容第一章三角形的初步认识总复习：1.1认识三角形①“△ABC”读作“三角形ABC”。

三角形任何两边的和大于第三边。

②三角形三个内角的和等于180°。

三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。

1.2三角形的平分线和中线在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角形的平分线。

在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

1.3三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。

直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。

而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。

1.4全等三角形能够重合的两个三角形称为全等三角形。

两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。

“全等”可用符号“≌”来表示。

全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。

1.5三角形全等的条件①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS ”）。

当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。

②有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）。

垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

③有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA ”）。

有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS ”）。

角平分线上的一点到角两边的距离相等。

1.6作三角形:在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。

【例1】 如下左图，BD 、AC 交于O ，若OA=OD ，用“SAS ”证△AOB ≌△DOC 还需（ ）A ．AB=DCB ．OB=OC C ．∠A=∠D D ．∠AOB=∠DOC【分析】 用“SAS ”证全等有三个独立条件，已知OA=OD ，显然还差两个，•由AC 、BD 相交可得∠AOB 与∠DOC 是一对对顶角，第三个条件应该围绕夹角∠AOB 、•∠DOC 找，显然OB 与OC 应是另一组夹边． 【解】 选B ．【例2】 如上右图，已知AB 、CD 相交于O ，△ACO ≌△BDO ，AE=•BF ，•试说明CE=FD ．【分析】 本题考查SAS 公理的应用，要证CE=FD ，只要证△OCE ≌△ODF ．•显然∠EOC=∠FOD ．需证OE=OF ，OC=OD ．因AE=BF ，故需证OA=OB ，由已知△ACO ≌△BDO ，可得OC=OD ，OA=OB ．【解】 ∵△ACO ≌△BDO ∴CO=DO ，AO=BO ∵AE=BF ，∴EO=FO 在△EOC 与△FOD 中CO DOCOE DOF EC FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOC ≌△FOD ，∴EC=FD【例3】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上中线．试说明AD<（AB+AC ）．【分析】 证明边之间的关系一般是在一个三角形中利用“三角形边的关系推论”，所以考虑把线段AB 、AD 、AC 的等价线段放在一个三角形中．因此需添加辅助线，而涉及到一边的中线问题需要引辅助线，常用方法：延长中线使之延长后的线段与中线相等并连结，构造成两个三角形全等． 【解】 延长AD 到E ，使DE=AD 在△ACD 与△EDB 中AD EDADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB∴BE=CA 在△EBA 中，AE<AB+BE ∴2AD<AB+AC 即AD<12（AB+AC ）学生练习1：1、两边和一角对应相等的两个三角形（ ）A ．全等B ．不全等C ．不一定全等D ．以上判断都不对 2、如图，AE=CF ，∠A=∠C ，AD=CB ，试说明△ADF ≌△CBE ．3、如图，已知CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，CE=DF ，AB=EF ．试说明：•AC ∥BD ．4、如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，则BC 上的中线AD 的取值范围是多少？5、如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，延长ED 至P ，使ED=DP ，•连接FP 与CP ，试判断BE+CF 与EF 的大小关系．【例4】如图，△ABC ≌△A 1B 1C 1，AD 、A 1D 1分别是△ABC 和△A 1B 1C 1的高．•试说明：AD=A 1D 1．【分析】 要证AD=A 1D 1，只需证AD 与A 1D 1所在的两个三角形全等，比如放在△ABD 与△A 1B 1D 1中，已知△ABC ≌△A 1B 1C 1，相当于已知它们的对应边相等、对应角相等，在证明过程中，可根据需要，选取其中一部分相等关系．【解】 ∵△ABC ≌△A 1B 1C 1 ∴AB=A 1B 1，∠B=∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC 、△A 1B 1C 1的高． ∴∠ADB=∠A 1D 1B 1=90°在△ABD 与△A 1B 1D 1中111111B B ADB A D B AB A B∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△A 1B 1D 1，∴AD=A 1D 1．【例5】 如图，已知AB=AC ，D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且AD=AE ，试说明：△BDF ≌△CEF ．【分析】 在△BFD 与△CFE 中，有一组对角相等，由已知条件得，BD=CE ，•只要证明它们的另一组对角∠C 与∠B 相等，就可证出结论，为了证∠C=∠B ，可以由△ACD•与△ABE 全等得到．【解】 在△ABE 与△ACD 中AB AC A A AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ACD ， ∴∠B=∠C ∵AB=AC ，AD=AE ，∴BD=CE在△BDF 与△CEF 中B C DFB EFC BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△CEF ． 【例6】 如图，BD 、CE 交于O ，OA 平分∠BOC ，△ABD 的面积和△ACE 的面积相等，试说明BD=CE ．【分析】 有了角平分线性质定理，使证明线段相等又多了一种方法．同时利用图形的面积关系转化成线段之间的长度关系，也是几何证明题中常用的方法．【解】 过A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ．∵OA 平分∠BOC ∴AF=AG （角平分线上的点到这个角的两边距离相等） ∵S △ABD =S △ACE ∴12AF ·BD=12AG ·CE ∴BD=CE ．学生练习2：1、如图1，AD 平分∠BAC ，AB=AC ，连接BD 、CD ，并延长交AC 、AB 于F 、E ，•则图形中全等三角形有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对(1) (2) (3) 2、如图2，BC ⊥AC ，BD ⊥AD ，垂足分别是C 和D ，若要根据AAS 定理，使△ABC•≌△ABD （AAS ），应补上条件________或___________．3、如图3，已知∠1=∠2，∠3=∠4，说明AD=BC的理由．解：∵_________，__________（已知）∴∠1+∠3=_________．即_______=_______．在_________和________中∴△_______≌△_______（）∴AD=BC（）4、如果点P是三角形三条角平分线的交点，则点P到三角形_______的距离相等．9．如图，已知M是AB的中点，∠1=∠2，∠C=∠D．说出下列判断正确的理由：（1）△AMC≌△BMD；（2）AC=BD．5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作AE•的垂线CF，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．（1）试说明：AE=CD；（2）AC=12cm，求BD的长．6、如图，在△ABD和△ACE中，有下列4个诊断：①AB=AC，②∠B=∠C，•③∠BAC=∠EAD，④AD=AE．请以其中三×○× ○×的形式）写出一个由三个条件能推出结论成立的式子，个诊断作条件，余下一个诊断作为结论（用序号○×○并说明原因．学生练习3：一、选择题：1、下列各组长度的线段能构成三角形的是( )A 、1.5cm 3.9cm 2.3cmB 、3.5cm 7.1cm 3.6cmC 、6cm 1cm 6cmD 、4cm 10cm 4cm2、在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=2∶3∶4，③∠A=90°－∠B ，④∠A=∠B=21∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有( )A 、1个；B 、2个；C 、3个；D 、4个 3、锐角三角形中任意两个锐角的和必大于( ) A 、120° B 、110° C 、100° D 、90°4、如图1，△ABC 中，CD ⊥BC 于C ，D 点在AB 的延长线上，则CD 是△ABC( ) A 、BC 边上的高； B 、AB 边上的高； C 、AC 边上的高； D 、以上都不对；5、下列说法错误的是( )A 、有两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等；B 、一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；C 、有一条边和两个角对应相等的两个三角形全等；D 、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；6、如图2，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，则图中互余的角有( )A 、2对；B 、3对；C 、4对；D 、5对； 7、如图3，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，且PA 平分∠BAC ，则△APD 与△APE 全等的理由不是( )A 、SASB 、AASC 、SSSD 、ASA8、如图4，能用AAS 来判断△ACD ≌△ABE 需要添加 的条件是( ) A 、∠AED=∠ABC ，∠C=∠BB 、∠AEB=∠ADC ，CD=BEC 、AC=AB ，AD=AED 、AC=AB ，∠C=∠B 9、如图5为两个相同的矩形，若阴影区域的面积 为10，则图6的阴影面积等于( ) A 、40 B 、30 C 、20 D 、1010、如图7，用火柴摆上系列图案，按这种方式摆下去，当每边摆10根时(即n=10)时，需要的火柴棒总数为( )根 A 、165 B 、65C 、110D 、55A CB DA BD C A BC D PEA C DB E 图5图6 图4 图3图2 图1 图7二、填空题：11、在△ABC 中，AB=3cm ，BC=7cm ，则AC 边的取值范围是_____________；12、在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是___________三角形；13、把一副常用的三角形如图所示拼在一起，那么如图8中 ∠ADE 是_______度； 14、如图9，∠ACD 是△ABC 的外角，若∠ACD=125°， ∠A=75°，则∠B=_________度；15、如图10，如果AD=BC ，∠1=∠2， 那么△ABC ≌△CDA ，根据是________________； 16、如图11，已知∠ABC=∠DCB ，现要说明△ABC ≌△DCB ，则还要补加一个条件是_____________或________________或_______________；17、在△ABC 中，如果∠A ∶∠B ∶∠C=2∶2∶4，则这个三角形中最大的角是_______度，按角分，这是一个_________三角形；18、如图12，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠ABC 的角平分线，则∠ABD_____∠ACD (填“>”、“<”或“=”) 19、一个三角形的两边长分别为2和9，若第三边的 长为奇数，则第三边的长为_________；三、解答题：20、如图14，按下列要求作图： (1)作出△ABC 的角平分线CD ； (2)作出△ABC 的中线BE ； (3)作出△ABC 的高AF 和BG (要求有明显的作图痕迹，不写作法)A D E BC 图8 A B C DA B C D 1 2 A B C D O图9 图10 图11A B C D 图12 ABC图1421、已知：如图15在△ABC ，∠BAC=80°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠DAC ，∠B=60°，(1)求∠AEC 的度数；(2)想一想，还有其它的求法吗？写出你的思考。