可靠性设计例题和作业：轴的弯曲强度

⋅σd )
=
π (3d 2 32
× 0.00167d )
= 0.000491855d 3
弯曲应力
N ( μσ
,σσ
)
=
N (μM N (μW
,σ M ,σW
) )
=
N (1399.43×103, 23.3238 ×103 )
N
⎛ ⎜⎝
π 32
d
3
,
0.000491855d
3
⎞ ⎟⎠
MPa
计算得：弯曲应力均值
例题 1：下图为一根减速器的输出轴，两个轴承的中间是齿轮，圆周力
Ft = 17400 N ， 径 向 力 Fr = 6410 N ， 轴 向 力 Fa = 2860 N ， 齿 轮 的 分 度 圆 直 径
d = 146 mm，右侧是带轮，带轮的压轴力 F = 4500 N， L = 193 mm， K = 206 mm。
代入可靠度联结方程式（3-27）
3.719 =
667
−
162.296315 d3
×
105
25.32
+
⎛ ⎜ ⎝
2.272544829 d3
×105
⎞2 ⎟ ⎠
整理化简得方程：
d 6 − 49652.62362d 3 + 6.0244264 ×108 = 0
解方程，舍弃不合理的根，得 d = 30.56521041mm ，取 d = 32mm
μσ
=
1399.43 × π d3
103
=
14254.47693 d3
MPa
32
弯曲应力标准差
σσ
=
1
⎛ ⎜⎝
π 32
d
3
⎞2 ⎟⎠
(1399.43 × 103
)2
⋅
(0.000491855d
3 )2
+
⎛ ⎜⎝
π 32
d
3
⎞2 ⎟⎠
⋅
(23.3238 ×103
)2
= 248075.8277 d3
所以，弯曲应力分布为
性设计在高可靠性要求、变载荷作用的机械设计中的地位日益突出，它将强
度、载荷、尺寸、应力、寿命等都做随机变量处理，但设计过程比较烦琐，
请参考零部件有关的抗疲劳可靠性设计专业书籍。
作业: 下图所示为一受拉圆型截面杆，已知力和截面直径服从正态分布,
分别为 N(uP、σP)、N(ud、σd)，屈服强度亦服从正态分布 N (us ,σ s ) 。设可
则
轴径均值为 d ，标准差
σd
=
2 × 0.005d 6
= 0.00167d
同理，弯矩 M 的均值为 1399.43N.m，标准差
σM
=
2 × 69.9715 6
= 23.3238N ⋅ m
扭矩 T 的均值为 1270.2N.m，标准差
σT
=
2 × 63.51 6
=
21.17N ⋅ m
将作用于危险剖面 a-a 处的载荷写成正态分布形式为
轴径可减少 46.62 − 32 ×100% = 31.4% ，若折算成重量，这是一个不小的数字，
46.62
如果是批量生产，其经济效益就很可观，而且有 99.99%的把握，不可靠度仅 0.01%，按照工程上极小概率不可能发生的概念，几乎不可能出现失效。
事实上，轴在变应力下工作时，往往是疲劳损坏，因此疲劳强度的可靠
靠度为 R，试分别按照 S=3 进行安全系数法计算杆的直径，和按照 R=0.999
时进行强度可靠性设计(求直径均值和离差)。
结果：R=0.999 时， N (ud ,σ d ) = N (6.38,0.032)mm
此时： Sn
= us uσ
= 1.15
若按安全系数=3 设计，则
圆杆受拉力 N(up,σp)=N(30000,450)N
弯矩 N (M ,σ M ) = N (1399.43, 23.3238)N ⋅ m 扭矩 N (T ,σT ) = N (1270.2, 21.17)N ⋅ m 抗弯剖面系数的均值W = π d 3 ，根据服从正态分布的随即变量的代数运
32
算法则（详见概率统计等书籍），其标准差为
σW
=
π (3d 2 32
N
(μσ
,σ
σ
)
=
N
⎛ ⎜ ⎝
14254.47693 d3
×103
,
248075.8277 d3
⎞ ⎟ ⎠
MPa
抗扭截面模量 Wt=2W，扭转切应力τ 的分布为：
( ) N
( μτ
,στ
)
=
N N
( μT
μWt
,σT )
,σ Wt
= N (1270.2 ×103, 21.17 ×103 )
N
⎛ ⎜⎝
齿轮和带轮之间的轴段承受转矩为 T = 1270.2 N.m，通过计算得到了左右轴承
的 支 反 力 分 别 是 ： 水 平 方 向 R1H = 8700 N, R2H = 9301.11 N ， 垂 直 方 向
R1V = 2123.24 N, R2V = 4286.76 N 。 该 轴 采 用 45 钢 调 质 处 理 ， 最 大 强 度
不利的情况考虑，把 a-a 截面上支反力产生的合成弯矩
M
2 aV
+
M
2 aH
与带的压
轴力产生的弯矩 MaF 直接相加，即 M ca =
M
2 aV
+
M
2 aH
+ M aF
，代入上述公式计
算得 a-a 截面得轴段直径 d ≥ 46.63 mm.
2．按静强度的可靠性设计方法设计：
轴的危险截面 a-a 处虽然同时受有弯矩 M 和扭矩 T 的联合作用，但两者
( μσ e
,σ σ e
)
=
⎛ ⎜ ⎝
162.296315 ×105 d3
,
2.272544829 d3
×105
⎞ ⎟ ⎠
MPa
根据公式（3-28a）和（3-28b）对 45 钢调质处理后的强度基本数据 σb 进
行处理，得 μσb ≈ 667MPa ，其标准差 σσb ≈ 25.3MPa 。
按照设计要求，可靠度 R=0.9999，由可靠度正态分布表查得 uR = 3.719 ，
σ b = 590 ~ 740 MPa ， 对 称 循 环 疲 劳 极 限 σ −1= 350 MPa, 安 全 系 数 取 S=1.7 ，
（ [σ
]−1b
=
σ −1 s
=
205.88
MPa）
（1）请按第三强度理论设计计算危险轴段直径 d；
（2）假设载荷偏差为 ±5% ，轴的直径公差为 ±0.005u d （ u d 是直径 d 的均值），
ud=10.319 mm
圆杆截面尺寸 N(ud,σd)=d±0.015d
材料屈服强度 N(us,σs)=N(1076,42.2)MPa
图10 圆杆受拉的强度可靠性模型
直径 d 的标准差
σ d = 0.00167d = 0.05344mm
直径公差为
±3σ d = ±0.160mm
所以，轴的直径 d = 32 ± 0.160mm
比较上述两种计算方法的结果可以看出，尽管安全系数 S 取为 1.7，不大，
但安全系数设计法的设计结果远大于可靠性设计结果。如果按可靠性设计，
请按可靠度 R=99.99%设计计ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ轴段直径 u d 。
解：
1． 按常规的安全系数法设计 假设危险截面为 a-a 截面。
第三强度理论公式：σ e=
σ
2 b
+ 4(ατ )2
=
M
2 ca
+
(αT
)2
W
≤ [σ −1b ]
式中：W 抗弯截面模量，其他参数与第十一章有关内容相同。
外力 F 作用方向与带传动的布置有关，在具体布置尚未确定前，可按最
是互相独立的随机变量。
因 ΔM = ±5%M = ±5% ×1399.43 = ±69.9715 N ⋅ m
ΔT = ±5%T = ±5% ×1270.2 = ±63.51 N ⋅ m
即 弯矩 M=1399.43 ± 69.9715 N ⋅ m
假设它们服从正态分布，按照公式（3-28a）和（3-28b），
π 16
d
3
,
0.00098371d
3
⎞ ⎟⎠
=
N
⎛ ⎜⎝
6469075.507 d3
,
112583.8125 d3
⎞ ⎟⎠
MPa
为了求当量应力 σe 的均值和标准差，根据第三强度理论当量应力
σ e=
σ
2 b
+ 4(ατ )2
，考虑到剪切应力τ
是脉动应力，要乘以应力校正系数
α = 0.6 ，按照正态分布的计算法则计算得 σe 的分布为