图乘法
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结构力学课件 第6章 图乘法
三、注意事项： 注意事项：
1.若 Aω与 1.若 取负值
yc
在杆件的同侧，取正值；反之， 在杆件的同侧，取正值；反之，
2.当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： 当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： 当图乘法的适用条件不满足时的处理方法 a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移； ）曲杆或 只能用积分法求位移； （ ） b）当EI分段为常数或单位弯矩图、荷载弯矩图均非 ） 分段为常数或单位弯矩图、 分段为常数或单位弯矩图 直线时， 直线时，应分段图乘再叠加 3.yc应取自直线图中。若两图均为直线图形，也可 应取自直线图中。若两图均为直线图形， 图的面积乘其形心所对应的M 用 M 图的面积乘其形心所对应的 P 图的竖标来计 算。
2
yc = h
1 2 ql 2 = × × ×l×h ∆ CD = ∑ EI EI 3 8 qhl 3 = (→ ← ) 12 EI
ω yc
为常数，求刚架A点的竖向位 例 3. 已知 EI 为常数，求刚架 点的竖向位 并绘出刚架的变形曲线。 移 ∆ Ay ，并绘出刚架的变形曲线。
F
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
M=1
M P图
∆ CV
300 × 6 2 = × ×6× 2 2 3 1 2 − × 6 × 45 × 3 = 6660 3
6
M A图
Fp=1
M C图
为常数， 例 5. 已知 EI 为常数，求 ∆Cy 。 q
A
l 2
C
B
l 2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
ql 2 2
A
ql 2 8
C
l 2
1
B A
二、图乘法原理
MM P 图乘法求位移的一般 ds 表达式为 ∫ EI 1 ∆=∑ Aω yC 1 = ∫ MM P ds EI EI
结构力学图乘法
W12 W21
二、 位移互等定理
在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的 与荷载FP2相应的位移影响系数δ21等于由荷载 FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数δ12。
即
δ12= δ21
FP1
12
FP 2
12
11
21
状态I
12
22
状态II
由功的互等定理可得： FP112 FP221
1 81 2
4
21
20
y2
( 4 3
12) 3
3
y3
1 2
(1 1 /
2)
3 4
B
1 EI
(1 y1
2 y2
3 y3 )
1 EI
(64 1 2
4
20 3
32 3 ) 34
1 (32 80 8) 13.33 ( )
Ma2 16EI
21
21
/
F
a2 16EI
12
12
/M
a2 16EI
12 21
例2 验证位移互等定理。
FP1=5kN.m 1
EI 4m
2
1
Δ21
1m
FP2=3kN
Δ12
2
EI
4m
1m
3 5
11
1
解：
11
1 10
21
EI
2
5
4
1 3
3EI
12
1 EI
和量纲 (W FP1FP2 ) 上仍然保持相等。
二、 位移互等定理
在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的 与荷载FP2相应的位移影响系数δ21等于由荷载 FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数δ12。
即
δ12= δ21
FP1
12
FP 2
12
11
21
状态I
12
22
状态II
由功的互等定理可得： FP112 FP221
1 81 2
4
21
20
y2
( 4 3
12) 3
3
y3
1 2
(1 1 /
2)
3 4
B
1 EI
(1 y1
2 y2
3 y3 )
1 EI
(64 1 2
4
20 3
32 3 ) 34
1 (32 80 8) 13.33 ( )
Ma2 16EI
21
21
/
F
a2 16EI
12
12
/M
a2 16EI
12 21
例2 验证位移互等定理。
FP1=5kN.m 1
EI 4m
2
1
Δ21
1m
FP2=3kN
Δ12
2
EI
4m
1m
3 5
11
1
解：
11
1 10
21
EI
2
5
4
1 3
3EI
12
1 EI
和量纲 (W FP1FP2 ) 上仍然保持相等。
图乘法
§4.5 图乘法
(Graphic Multiplication Method)
刚架与梁的位移计算公式为： 刚架与梁的位移计算公式为：
∆ iP = ∑ ∫ MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便 下面介绍 在杆件数量多的情况下 不方便. 不方便 计算位移的图乘法. 计算位移的图乘法
一、图乘法 MM P ds ∫ EI 1 对于等 = ∫ M M P ds (对于等 截面杆) 截面杆 EI
ωyc
五、应用举例
图示梁EI 为常数， 点竖向位移。 例 3(a). 图示梁 为常数，求C点竖向位移。 点竖向位移
ql 2 / 2
MP
q ql 2 / 8
A
∆c = ∑
ωyc
l/2 C
1
C
l/2
B
1 1 ql 2 1 l = ⋅l ⋅ ⋅ ⋅ EI EI 3 2 2 2
l/2
Mi
1 ql 3 = ⋅ (↓) 24 EI
EI
试求图示结构B点竖向位移 点竖向位移. 例. 试求图示结构 点竖向位移
Pl EI l EI
MP
P B
l
Mi
=1
l
解: ∆ By = ∑
=∑
MM P ∫ EI ds
ωy c
EI 1 1 2 ( ⋅ Pl ⋅ l ⋅ l + Pl ⋅ l ⋅ l ) = EI 2 3 4 Pl 3 = ⋅ (↓) 3 EI
=1 1/ 2
1 1 Pl 1 Pl 2 ϕB = − ( ⋅ l ⋅ ⋅ ) = − ( EI 2 4 2 16EI
)
取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 须是直线 不能是曲 线或折线. 线或折线
(Graphic Multiplication Method)
刚架与梁的位移计算公式为： 刚架与梁的位移计算公式为：
∆ iP = ∑ ∫ MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便 下面介绍 在杆件数量多的情况下 不方便. 不方便 计算位移的图乘法. 计算位移的图乘法
一、图乘法 MM P ds ∫ EI 1 对于等 = ∫ M M P ds (对于等 截面杆) 截面杆 EI
ωyc
五、应用举例
图示梁EI 为常数， 点竖向位移。 例 3(a). 图示梁 为常数，求C点竖向位移。 点竖向位移
ql 2 / 2
MP
q ql 2 / 8
A
∆c = ∑
ωyc
l/2 C
1
C
l/2
B
1 1 ql 2 1 l = ⋅l ⋅ ⋅ ⋅ EI EI 3 2 2 2
l/2
Mi
1 ql 3 = ⋅ (↓) 24 EI
EI
试求图示结构B点竖向位移 点竖向位移. 例. 试求图示结构 点竖向位移
Pl EI l EI
MP
P B
l
Mi
=1
l
解: ∆ By = ∑
=∑
MM P ∫ EI ds
ωy c
EI 1 1 2 ( ⋅ Pl ⋅ l ⋅ l + Pl ⋅ l ⋅ l ) = EI 2 3 4 Pl 3 = ⋅ (↓) 3 EI
=1 1/ 2
1 1 Pl 1 Pl 2 ϕB = − ( ⋅ l ⋅ ⋅ ) = − ( EI 2 4 2 16EI
)
取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 须是直线 不能是曲 线或折线. 线或折线
结构力学(第三章)-图乘法
( M x tan ) 1 x tan M P dx EI tan
xM P dx
图乘法求位移公式为:
图乘法的 适用条件是 什么?
EI tan 1 xc yc EI EI
ip
yc
EI
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
MP
A
M 1 B 1
B
c
y c
ql 2 / 2
ql 2 / 8
例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。 q ql 2 / 8 ql 2 / 2
MP
A
l/2 C
1
q q
l/2
B
l/2
Mi
c
y c
C ql / 2 ql 2 / 8
ql 2 / 8 ql 2 / 4 ql 2 / 8
ql / 2
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 图乘法是Vereshagin于 M M P ds (对于等 截面杆) EI 1925年提出的，他当时 1 为莫斯科铁路运输学院 MM P dx (对于直杆) EI 的学生。
1 1
B
Mi
l
ql / 4
2
l
ql 2 / 4
1/ l
0 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
5结构力学图乘法.
（1）常见图形面积和形心：
矩 形
a
l
A al
xc 1 l 2 xc 1 3l
xc 1 4l
3 xc 8 l
三角形
a
l
A 1 2 al A 1 3 al A 2 3 al
l
a
l
标准二次 抛物线
a
l
a
A 2 3 al
xc 1 l 2
（2） 梯形相乘
A1
A2
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2
1 M M P dx EI
(M x tanα)
yc
xc x
M
x
图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生。
4、 注意事项
KP AP yc EI
还记得 吗？
（1）必须符合图乘法的适用条件； （2） 必须取自直线图形； （3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负； （4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解； （5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
如果将AC段的 M P图如下图那样分块，就比 16 较麻烦。 4kN 4 2kN/m 8 M P图 4 A C C A 2m 4kN.m 例2 求 B, EI等于常数。 12kN.m 4kN C 4m
2kN/m
4kN.m 4m B 7kN
A
5kN
解： 作 M 图 M P 图，如下页图所示。
12
c
y2
d
M图
（3）一般形式的二次抛物线图形相乘 （4）曲线图形与折线图形相乘
M M
i
K
矩 形
a
l
A al
xc 1 l 2 xc 1 3l
xc 1 4l
3 xc 8 l
三角形
a
l
A 1 2 al A 1 3 al A 2 3 al
l
a
l
标准二次 抛物线
a
l
a
A 2 3 al
xc 1 l 2
（2） 梯形相乘
A1
A2
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2
1 M M P dx EI
(M x tanα)
yc
xc x
M
x
图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生。
4、 注意事项
KP AP yc EI
还记得 吗？
（1）必须符合图乘法的适用条件； （2） 必须取自直线图形； （3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负； （4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解； （5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
如果将AC段的 M P图如下图那样分块，就比 16 较麻烦。 4kN 4 2kN/m 8 M P图 4 A C C A 2m 4kN.m 例2 求 B, EI等于常数。 12kN.m 4kN C 4m
2kN/m
4kN.m 4m B 7kN
A
5kN
解： 作 M 图 M P 图，如下页图所示。
12
c
y2
d
M图
（3）一般形式的二次抛物线图形相乘 （4）曲线图形与折线图形相乘
M M
i
K
第五节图乘法
4m C 4m
MP图(kN·m)
须注意两点：一是对于斜杆CD， 解：求解本题∆DV时，须注意两点：一是对于斜杆 ，应以杆 轴为基线计算；二是对于阶形住AC，应按EI不同分段图乘 不同分段图乘。 轴为基线计算；二是对于阶形住 ，应按 不同分段图乘。 (1)作MP图 作
A1 = 2 × 12.65 × 45 = 379.5 3
§6-5 图乘法
求简支梁在均布荷载作用下A端转角 引例 求简支梁在均布荷载作用下 端转角
1 ∆=∑ ∫ M P Mdx EI
q
A
ql 2 8
ql M p = x(l − x) 2
Mp
x M 1 = 1− l
1 ∆=∑ ∫ M P Mdx = ? EI
利用积分的方式求解，计算繁复！ 利用积分的方式求解，计算繁复！ 简化计算的方法？ 简化计算的方法？ 1
2.5kN/m D 2EI (12.65m) 3EI B 8m 4EI A 12m
20kN 100 A2 C A3 20 B A4 A A5
(45)
A1
D
4m C 4m
140
MP图(kN·m)
1 A2 = × 12.65 × 100 = 632.5 2
A4 =
A5 =
1 × 8 × 20 = 80 2
A q B l/2 l
ql 2 ( ) 32
ql
C l/2
并按A 作MP图，并按 1、A2、A3、A4四部 分划分，如图6-22b所示 分划分，如图 所示
∆CV 1 = ( A1 y01 + A2 y02 + A3 y03 − A4 y04 ) EI 1 = EI 1 l ql 2 l l ql 2 3 )× + ( × )× l ( × × 3 2 2 4 2 2 2
图乘法
均布荷载作用区段的弯矩图与直线 段图乘。
几种常见图形的面积和形心的位置：
a
b
h
h l/2 顶点 l/2
(a+l)/3 (b+l)/3
l
A=hl/2
二次抛物线A=2hl/3 顶点
h
h
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线A=hl/3
5l/8
3l/8
二次抛物线A=2hl/3
h
h
顶点
4l/5
l/5
三次抛物线A=hl/4
DCH
=
2 EI
1 4m 4m 2
(1 80KN • m 2 160KN • m)
3
3
1067KN • m3
=
()
EI
例4-8：试求图示伸臂梁A端 的角位移φA及C端的竖向位移 ΔCV。 EI = 5104 KN • m2 解：做出MP图和 M 图分别如 图b、c、d所示。
将图b与图c相乘则得
Mi yC yC=x0tgα x
②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图
至少有一个是直线。
③竖标yC取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积AP与竖标yC在杆的同侧， AP yC 取正号，否则取负号。
⑤几种常见图形的情况：
单位荷载弯矩图由若干直线段组成 时，就应该分段图乘。
至少有一个是直线。
③竖标yC 取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积AP与竖标yC在杆的同侧， AP yC 取正号，否则取负号。
⑤几种常见图形的面积和形心的位置：
h
顶点
3l/4
l/4
h l/2 顶点 l/2
二次抛物线ω=hl/3
结构力学-图乘法
1
NP
N
1
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第23页
DP
M M P ds EI
F N FNP l EA
1 1 4 1 2 2 ( 2 2 8 ) 3 ( 2 2 2 ) 3 ( 3 2 0 . 5 ) 1 EI 4 1 2 2 1 ( 4 8 ) ( 4 8 ) ( 4 2 ) 1 2 EI 2 3 2 3 3 1 1 EA
Δ Cy
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第17页
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
72
2 16 8 4 2 16 8
20
4
MP图
y5 y 4 y 3
y1 y2
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第18页
Cy
yc
EI
[( 4 20 )( 4 ) ( 4 4 )( 4 )] EI 2 3 3 2
B
xd
A
xc
B
A
M M P ds EI
tg EI
xc
yc
EI
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第4页
B
A
M M P ds EI
tg EI
xc
yc
EI
由此可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积 乘以其形 心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距 y c ，再除以EI。 这就是图形相乘法的计算公式，简称为图乘法。
NP
N
1
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第23页
DP
M M P ds EI
F N FNP l EA
1 1 4 1 2 2 ( 2 2 8 ) 3 ( 2 2 2 ) 3 ( 3 2 0 . 5 ) 1 EI 4 1 2 2 1 ( 4 8 ) ( 4 8 ) ( 4 2 ) 1 2 EI 2 3 2 3 3 1 1 EA
Δ Cy
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第17页
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
72
2 16 8 4 2 16 8
20
4
MP图
y5 y 4 y 3
y1 y2
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第18页
Cy
yc
EI
[( 4 20 )( 4 ) ( 4 4 )( 4 )] EI 2 3 3 2
B
xd
A
xc
B
A
M M P ds EI
tg EI
xc
yc
EI
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第4页
B
A
M M P ds EI
tg EI
xc
yc
EI
由此可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积 乘以其形 心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距 y c ，再除以EI。 这就是图形相乘法的计算公式，简称为图乘法。
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= 3.5325103 m
3.5103 m = 3.5mm()
=
=
+
+
均布荷载按简支梁进行叠加 ， 按第22页图3-2方法。
集中荷载、均布荷载分别做 弯矩图，然后进行叠加 。
作业： 第77页 4-3（a）、（b）、4-4 （b）
休息一下
作业情况
一、桁架的内力标注在图上。 二、取隔离体：如3-20（a) 图
由Ⅰ-Ⅰ左边隔离体算出FNB后，取下 面四个结点A、B、C、D分别计算？
三、抄作业。 CD是二力杆，有
这样画隔离体的？
这是什么 隔离体？
返回
§4—4 图乘法
MiMk
ds
直杆
MiMk
dx
EI =C
1
EI
EI
EI
MiMk dx
D
=
1 EI
P
aa 2
2 3
a 2
2
a
2
3a 2
4
a 2
2
Pa
23Pa3 =
24EI 例：求图示梁C点的挠度。
？ D = 1 Pl 2 l = Pl 3 C EI 2 6 12 EI
DC
=
wy0
EI
=
1l l
××
222
×5 Pl 6
= 5 Pl 3 48 EI
P
P
MP
Pa
Pa
a
a
a
P=1
a/2
a/2 M 3a/4
P
l/2
Pl
5Pl/6
C
l/2
MP
P=1
l/2
C l/6
M
图乘法 位移计算举例
D
=
MM EI
P
dx
=
AP yC
EI
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。
②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图
至少有一个是直线。
③竖标yC 取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积AP与竖标yC在杆的同侧， AP yC 取正号，否则取负号。
（1）M 图的BC段没有弯矩，只需 在AB段进行图乘。
（2）两图均为直线， M 图上取面 积，MP图上取相应竖标，较为简便。
DCH
=
2 EI
1 4m 4m 2
(1 80KN • m 2 160KN • m)
3
3
1067KN • m3
=
()
EI
例4-8：试求图示伸臂梁A端 的角位移φA及C端的竖向位移 ΔCV。 EI = 5104 KN • m2 解：做出MP图和 M 图分别如 图b、c、d所示。
至少有一个是直线。
③竖标yC取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积AP与竖标yC在杆的同侧， AP yC 取正号，否则取负号。
⑤几种常见图形的情况：
单位荷载弯矩图由若干直线段组成 时，就应该分段图乘。
MMP
EI
dx
=
1 EI
( AP1 y1
AP2 y2
AP3 y3 )
两个梯形相乘时，不必找出梯形的
⑤几种常见图形的面积和形心的位置：
h
顶点
3l/4
l/4
h l/2 顶点 l/2
二次抛物线ω=hl/3
二次抛物线ω=2hl/3
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理 方法：
a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移；
b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
⑦非标准图形乘直线形
（1）
S = 9/6×（2×6×2 +2 ×4×3
6
4
+6 ×3+4×2） =111
2
3
9
S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15
（2）
2
（3）
3
4
4
6
6
3 2
9
9
S = 9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）= 33
（4）
2
6
3 S = 9/6×（－2×6×2+2×0×3 +6×3－0×2） = －9
将图b与图c相乘则得
A
=
1 5104
1 2
48
6
1 3
1
= 9.6104 rad ( )
结果中的负号表示φA 的 实际方向与Ｍ＝１的方向 相反，即逆时针方向。
将图b与图d相乘则得
BC 段 在 均 布 荷 载 和 集 中荷载作用下，其弯矩图 不是标准的抛物线图形。
= 2.88103 0.6525103
l
A=hl/2
二次抛物线A=2hl/3 顶点
h
h
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线A=hl/3
5l/8
3l/8
二次抛物线A=2hl/3
h
h
顶点
4l/5
l/5
三次抛物线A=hl/4
顶点
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
n次抛物线A=hl/(n+1)
例：求图示梁中点的挠度。
？ D= 1 1 3a 3aPa EI 2 4
Mi是直线
1
EI
B
A Mk xtgadx
=
1 tga
EI
B
A xMk dx
Mk
AP
x
dx
=
1 EI
tga×AP
xC =
1 EI
APyC
y
xC
D = MM P dx = AP yC
注：
EI
EI
α Mi=xtgα
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。
Mi yC yC=x0tgα x
②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图
MMP dx = 1 (
EI
EI
M M P'dx
M M P"dx)
MMP
EI
dx
=
1 EI
( al 2
ya
bl 2
yb )
ya
=
2c1d 33
yb
= 1c 3
2d 3
均布荷载作用区段的弯矩图与直线 段图乘。
几种常见图形的面积和形心的位置：
a
b
h
h l/2 顶点 l/2
(a+l)/3 (b+l)/3
形心，而将一个梯形分解为两个三角 形，然后分别与另一梯形图乘。
MMP dx = 1 (
EI
EI
M M P'dx
M M P"dx)
MMP
EI
dx
=
1 EI
( al 2
ya
bl 2
yb )
ya
=
2c1d 33
yb
=
1c 3
2d 3
两个图形都呈直线变化，但均含有
不同符号的两部分，图乘时也将其中 一图形分解为三角形。
(2 3
l
ql 2 8
)
1 2
=
ql 3 24EI
(
)
将图b与图d相乘则得
DCV
=
1 EI
( AP1 y1 AP2 y2 )
2 2 l ql 2 5
5ql 4
= ( ) l =
()
EI 3 2 8 32 384EI
例4-7：试求图示刚架C点的水平位 移 NhomakorabeaCH。EI为常数。
解：做出MP图和 M 图分别如图b、c 所示。
a）直线形乘直线形
M M dx =AP1 y AP2 y
ik
1
2
a
AP1
Mi
AP2
b
l/3
l/3
l/3
= al 2c d bl c 2d
2 3 3 23 3
c
y1
Mk
y2
d
= l (2ac2bd ad bc)
6
各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线
同侧乘积取正，否则取负。
9
b)非标准抛物线成直线形
a h
b ＝a
+
举例
b h
c l
d
S
=
l
6 (2ac 2bd
ad
bc ) 2hl
3
cd 2
例4-6：试求图示简支梁A
端的角位移 A 和中点C的竖
向位移 DCV 。EI为常数。
解：荷载作用下的弯矩图和两个单 位弯矩图分别如图b、c、d所示。
将图b与图c相乘则得
A
=
1 EI
3.5103 m = 3.5mm()
=
=
+
+
均布荷载按简支梁进行叠加 ， 按第22页图3-2方法。
集中荷载、均布荷载分别做 弯矩图，然后进行叠加 。
作业： 第77页 4-3（a）、（b）、4-4 （b）
休息一下
作业情况
一、桁架的内力标注在图上。 二、取隔离体：如3-20（a) 图
由Ⅰ-Ⅰ左边隔离体算出FNB后，取下 面四个结点A、B、C、D分别计算？
三、抄作业。 CD是二力杆，有
这样画隔离体的？
这是什么 隔离体？
返回
§4—4 图乘法
MiMk
ds
直杆
MiMk
dx
EI =C
1
EI
EI
EI
MiMk dx
D
=
1 EI
P
aa 2
2 3
a 2
2
a
2
3a 2
4
a 2
2
Pa
23Pa3 =
24EI 例：求图示梁C点的挠度。
？ D = 1 Pl 2 l = Pl 3 C EI 2 6 12 EI
DC
=
wy0
EI
=
1l l
××
222
×5 Pl 6
= 5 Pl 3 48 EI
P
P
MP
Pa
Pa
a
a
a
P=1
a/2
a/2 M 3a/4
P
l/2
Pl
5Pl/6
C
l/2
MP
P=1
l/2
C l/6
M
图乘法 位移计算举例
D
=
MM EI
P
dx
=
AP yC
EI
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。
②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图
至少有一个是直线。
③竖标yC 取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积AP与竖标yC在杆的同侧， AP yC 取正号，否则取负号。
（1）M 图的BC段没有弯矩，只需 在AB段进行图乘。
（2）两图均为直线， M 图上取面 积，MP图上取相应竖标，较为简便。
DCH
=
2 EI
1 4m 4m 2
(1 80KN • m 2 160KN • m)
3
3
1067KN • m3
=
()
EI
例4-8：试求图示伸臂梁A端 的角位移φA及C端的竖向位移 ΔCV。 EI = 5104 KN • m2 解：做出MP图和 M 图分别如 图b、c、d所示。
至少有一个是直线。
③竖标yC取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积AP与竖标yC在杆的同侧， AP yC 取正号，否则取负号。
⑤几种常见图形的情况：
单位荷载弯矩图由若干直线段组成 时，就应该分段图乘。
MMP
EI
dx
=
1 EI
( AP1 y1
AP2 y2
AP3 y3 )
两个梯形相乘时，不必找出梯形的
⑤几种常见图形的面积和形心的位置：
h
顶点
3l/4
l/4
h l/2 顶点 l/2
二次抛物线ω=hl/3
二次抛物线ω=2hl/3
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理 方法：
a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移；
b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
⑦非标准图形乘直线形
（1）
S = 9/6×（2×6×2 +2 ×4×3
6
4
+6 ×3+4×2） =111
2
3
9
S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15
（2）
2
（3）
3
4
4
6
6
3 2
9
9
S = 9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）= 33
（4）
2
6
3 S = 9/6×（－2×6×2+2×0×3 +6×3－0×2） = －9
将图b与图c相乘则得
A
=
1 5104
1 2
48
6
1 3
1
= 9.6104 rad ( )
结果中的负号表示φA 的 实际方向与Ｍ＝１的方向 相反，即逆时针方向。
将图b与图d相乘则得
BC 段 在 均 布 荷 载 和 集 中荷载作用下，其弯矩图 不是标准的抛物线图形。
= 2.88103 0.6525103
l
A=hl/2
二次抛物线A=2hl/3 顶点
h
h
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线A=hl/3
5l/8
3l/8
二次抛物线A=2hl/3
h
h
顶点
4l/5
l/5
三次抛物线A=hl/4
顶点
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
n次抛物线A=hl/(n+1)
例：求图示梁中点的挠度。
？ D= 1 1 3a 3aPa EI 2 4
Mi是直线
1
EI
B
A Mk xtgadx
=
1 tga
EI
B
A xMk dx
Mk
AP
x
dx
=
1 EI
tga×AP
xC =
1 EI
APyC
y
xC
D = MM P dx = AP yC
注：
EI
EI
α Mi=xtgα
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。
Mi yC yC=x0tgα x
②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图
MMP dx = 1 (
EI
EI
M M P'dx
M M P"dx)
MMP
EI
dx
=
1 EI
( al 2
ya
bl 2
yb )
ya
=
2c1d 33
yb
= 1c 3
2d 3
均布荷载作用区段的弯矩图与直线 段图乘。
几种常见图形的面积和形心的位置：
a
b
h
h l/2 顶点 l/2
(a+l)/3 (b+l)/3
形心，而将一个梯形分解为两个三角 形，然后分别与另一梯形图乘。
MMP dx = 1 (
EI
EI
M M P'dx
M M P"dx)
MMP
EI
dx
=
1 EI
( al 2
ya
bl 2
yb )
ya
=
2c1d 33
yb
=
1c 3
2d 3
两个图形都呈直线变化，但均含有
不同符号的两部分，图乘时也将其中 一图形分解为三角形。
(2 3
l
ql 2 8
)
1 2
=
ql 3 24EI
(
)
将图b与图d相乘则得
DCV
=
1 EI
( AP1 y1 AP2 y2 )
2 2 l ql 2 5
5ql 4
= ( ) l =
()
EI 3 2 8 32 384EI
例4-7：试求图示刚架C点的水平位 移 NhomakorabeaCH。EI为常数。
解：做出MP图和 M 图分别如图b、c 所示。
a）直线形乘直线形
M M dx =AP1 y AP2 y
ik
1
2
a
AP1
Mi
AP2
b
l/3
l/3
l/3
= al 2c d bl c 2d
2 3 3 23 3
c
y1
Mk
y2
d
= l (2ac2bd ad bc)
6
各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线
同侧乘积取正，否则取负。
9
b)非标准抛物线成直线形
a h
b ＝a
+
举例
b h
c l
d
S
=
l
6 (2ac 2bd
ad
bc ) 2hl
3
cd 2
例4-6：试求图示简支梁A
端的角位移 A 和中点C的竖
向位移 DCV 。EI为常数。
解：荷载作用下的弯矩图和两个单 位弯矩图分别如图b、c、d所示。
将图b与图c相乘则得
A
=
1 EI