5.5图乘法及其应用
合集下载
图乘法及其应用
1 1 3ql 2 l 3 l l ql 2 l ∆C = ∑ = ⋅ × ⋅ + ⋅ ⋅ ) ( ⋅ EI EI 3 8 2 4 2 2 8 4 5 ql 3 = ( ↓) 128 EI
ωyc
三、应用举例
为常数， 例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。 点竖向位移
ql 2 / 2
MP
三、应用举例
为常数，求铰C两侧截面相对转角 例 2. 已知 EI 为常数，求铰 两侧截面相对转角 ϕ C 。 l q
A C =1 =1
B
Mi
1
l
ql / 4
2
l
ql 2 / 4
1/ l 0 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
ql / 4
1 2 ql 2 1 ∆ CD = ∑ =− × × × 8 2 EI EI 3 ql 3 ql / 4 =− ( ) 24 EI
ωyc
注意:各杆刚度 注意 各杆刚度 可能不同
1 1 2 1 ∆B = ∑ = ⋅ ⋅ Pl ⋅ l ⋅ ⋅ l × 2 + ⋅ Pl ⋅ l ⋅ l 3 4 EI EI EI 2 5 Pl 3 = (→ ) 8 EI
为常数， 并画出变形图。 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 ∆CD,并画出变形图。 、 两点相对水平位移 并画出变形图
=1
1 1 2 × ( ×10 × 60 × − 3 EI 2 1 100 20 ×10 × ) = ( ) 2 EI
40
Mi
1 1 2 ϕB = ⋅ ×10 ×1× (60 × − 20) EI 2 3 100 = ( ) EI
20
ϕB =
1 1 2 × ( ×10 × 60 × − EI 2 3 1 100 20 ×10 × ) = ( ) 2 EI
图乘法及其应用
38
4 128EI
温 度
4. 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
已有基础： 1. 静定结构的内力计算； 2. 利用位移计算公式求静定结构的位移； 3. 杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即:
P
MM Pds EI
FN FNds EA
1 EI
( l ql 2 28
l 1 22
1 l 3ql 2 32 8
3 l) 42
1 (ql 4 3ql 4 ) 5ql 4 ( )
EI 64 128 128EI
?
解法一、
q
ql 2
2
ql 2
A
l2
C l2
B
8
B
A
C
MP 图
Cy
1 EI
[( l ql 2 28
38
2
1 ql 3 24 EI
（
）
例 2. 已知 EI 为常数，求刚架C、D两点
距离的改变 CD 。
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
p117
2
yc h
CD
yc
EI
1 EI
2 ql 2 l h 38
qhl 3 ( ) 12 EI
例 3. 已知 EI 为常数，求刚架A点的竖向位
4k
由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为
MMP ds Fk FPk
EI
k
例 5. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
q
A
l2
54图乘法及其应用
10 20
三、图形分解
求
20 A
B
40
B
B
20
1 EI 2 3
1 2
10 1 ( 20 ( )
MP
20 kN m
EI
10 m
40 kN m
1
)
500 3 EI
Mi
1/ 2 2 /3
B
1 EI
(
1 2
10 20 500 3 EI (
对称结构的对称弯矩图与 EI
yc
l
l
l
1 1
1
1
EI 2 3 反对称弯矩图 3 10 Pl ( ) 3 EI yc Mi 0 ABX EI 对称弯矩图 1 1
Mi
AB
yc
EI
0
1
Mi
l
l
1
作变形草图
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意 反弯点的利用。如：
2 3
MP
20
20 kN m 10 m
40 kN m
1
20 10
)
Mi
1 EI ( 1 2 ) 2 3
20
40
B
100 EI
10 1 ( 60
20 )
B
1 EI
( 1 2
1 2
10 60 100 EI ( )
2 3
20 10
6.7 线弹性结构的互等定理
（Reciprocal Theory in Linear Structures)
线弹性结构的互等定理
第五章 结构位移计算
MP
1 2
qx12
MP
1 2
ql 2
求刚架A点的竖向位移。
AB： FN 0 FQ 1 M x1
BC： FN 1 FQ 0 M l
Ay
FN FNPds EA
kFQFQPds GA
MM Pds EI
5ql 4 8EI
8I ( 5 Al 2
求解的关键是找出虚力状态的静力平衡关系。
【例2】 已知支座A的位移为，求C点位移和杆CD的转角。
【解】
虚设单位力状态。
1
C
1 3
0
C
1 3
1 1 0
2l
1
2l
A
l 位移状态
A
1
l
3
虚单位力状态
所得正号表明位移方向 A
与假设的单位力方向一致。 1
MP
1 2
ql 2
AB：
FN 0 FQ 1 M x1
BC：
FN 1 FQ 0 M l
x2
x2
q
B
A
x1 A'
l
（实际位移状态）
C
l
F 1
B
x1
A
虚设单位力状态
C
实际位移状态
虚单位力状态
AB： FNP 0
BC：FNP ql
FQP qx1
FQP 0
P
FN FNP EA
kFQ FQP GA
MM P EI
ds
《图乘法力学》课件
与数值法的比较
数值法通过计算机模拟得出结果，适用于复杂问题但需要专业软件；图乘法简单易行，但计算能力有限。
05
CHAPTER
图乘法的发展趋势与展望
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展，图乘法在分析飞行器结构、优化设计等方面将有更广泛的应用。
1
2
3
图乘法在多物理场耦合分析方面具有优势，未来研究将进一步深化其在流固耦合、热固耦合等领域的应用。
直观易懂
图乘法在处理某些复杂问题时，可以简化计算过程，提高解题效率。
计算简便
图乘法适用于多种类型的力学问题，尤其在解决平面问题和旋转问题时表现出色。
适实际实验获取数据，真实度高但受实验条件限制；图乘法不受实验条件限制，但结果依赖于绘图精度。
与解析法的比较
解析法通过数学公式解析问题，精确度高但计算复杂；图乘法在保持一定精确度的同时，简化了计算过程。
详细描述
02
CHAPTER
图乘法的基本原理
图乘法涉及到代数运算，包括线性代数和矩阵运算等。
代数基础
几何基础
微积分基础
图乘法涉及到几何图形，如平面图形和立体图形等。
图乘法涉及到微积分的知识，如微分和积分等。
03
02
01
图乘法可以用于结构分析，通过计算结构的位移和应力等参数，评估结构的性能。
结构分析
在机械结构分析中，图乘法常用于计算机械零件的应力和变形。通过将机械零件各部分离散化，并利用图乘法计算各部分产生的内力和变形，可以得出整个机械零件的受力状态和变形情况。这对于确保机械零件的安全性和稳定性至关重要。
总结词
详细描述
04
CHAPTER
图乘法的优缺点分析
图乘法通过图形直观地展示力学问题，使得学生更容易理解。
图乘法
2、求ΔCV ① MP图如图(b)所示。 ② 单位弯矩图M如图(d)所示。 ③ 计算A、yC。 2×l/2=ql3/24 A=2/3×1/8ql yC=5/8×l/4=5l/32 ④ 计算ΔCV ΔCV=2(1/EI*A*yC)= 5ql4/384EI (↓)
【课后作业】习题8-6（用图乘法）
【预习】：静定结构的位计算习题课
三、几个规则图形的面积和形心位置
顶点：指曲线上切线平行于底边的点 标准抛物线：指顶点在中点或端点的抛物线
四、图乘法技巧
1、图形分解图乘 当图形的面积和形心不 便确定时，可以将其分 解成几个简单的图形， 分别与另一图形相应的 纵坐标相乘。
（1）梯-梯同侧组合（三角形为特殊情况）
（2）、梯-梯同侧组合：
剪力与轴力项能用图乘法？
3、图乘法求位移的一般表达式
注意：
y [1]. c
应取自直线图中。 [2].若 A 与 yc 在杆件的同侧, 取正值;反之,取负值（不是MP与M 图位于杆件同侧或异侧）。 [3]. 如图形较复杂，可分解为几个简 单图形。
二、图乘法步骤 (1) 画出结构在实际荷载作用下的弯 矩图（荷载弯矩图）MP； (2) 根据所求位移选定相应的虚拟力 状态，画出单位弯矩图M(注：M图不标 单位）； (3) 分段计算一个弯矩图形的面积A 及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖 标yC； (4) 将A、yC代入图乘法公式计算所 求位移。
解：1、求φA ① 实际荷载作用 下的弯矩图MP如图(b) 所示。 ② 在A端加单位力 偶m=1，其单位弯矩图M 如图(c)所示。
③ MP图面积及其形心 对应M图竖标分别为：
A=2/3*l*1/8*ql2=ql3/12 yC=1/2 ④ 计算φA φA=1/EI*A*yC =1/EI*ql3/12*1/2=ql3/24 EI
朱明zhubob结构力学5-5图乘法
直角三角形
三角形
二次抛物线
A1
2 3
hl
A2
1 3
hl
二次抛物线
A1
3 4
hl
A2
1 4
hl
三次抛物线
⒊ 应用图乘法时的几个具体问题 ⑴ 如果两个图形都是直线, 则标距y0可取自其中任一个图形。 ⑵ 如果一个图形是曲线, 另一个图形是由几段直线组成的折
线, 则应分段考虑。
Mi Mkdx A1 y1 A2 y2 A3 y3
1
y0
A
1 ql 2 8
⑶ 求位移（用图乘法）。
MMP dx
EI
1 EI
Ay0
1 EI
2 3
ql 2 8
l
1 2
ql 3 24EI
例2 求中点C的挠度ΔC
FP l
y0
1
解：⑴ 虚设单位荷载。 ⑶ 求位移（用图乘法）。
A 1 l l l2 2 22 8
⑵ 用图乘法求位移。
方法一：
ql 2 MP图
ql 2 8
8
ql 2 4
1 M图
ql 2 8
例5-4 求图示悬臂梁C点的竖向位移, 设EI=常数。
ql 2
2
ql 2
8
A3
ql 2 4
A2
ql 2 8
ql 2
A1
8
l 2
y3 y2 y1
1
yC
17ql 4 384EI
解：⑴ 作荷载作用下的弯矩图和单位 荷载作用下的弯矩图。
结构力学5-5图乘法
ql 2 ql 2 l a , b , c , d 0 2 8 2
整理后, 得： yC
17ql 4 384 EI
2
yC
2 1 2 l ql 1 l ql 2 l l ql l 2 2 2 0 0 8 2 EI 3 2 32 2 2 12 EI
§5-5 图乘法
MM P 求积分： ds EI
MM P 1 ds MM P dx EI EI
xdA A x ,
0
1 tan xM P dx EI 1 tan xdA EI
x0 tan y0
⑴ 只适用于等截面直杆； ⑵ 至少有一个弯矩图是直线图形； ⑶ y0只能取自直线图形； ⑷ 可采用分段图乘的方法解决不满足 上述适用条件的杆件和弯矩图。
5 2 3 y1 10m, y2 y4 10, y3 10, 6 3 4 4 5 y5 10kN , y6 10m, y7 0 3 3
⑵求B点水平位移。
M P图
M图
xB
3188kN m 3 EI
1 1 A1 5m 50kN m , A2 A4 5m 25kN m , 2 2 1 1 A3 5m 25kN m , A5 10m 10kN m , 3 2 1 1 A6 10m 20kN m , A7 5m 35kN m 2 2
1 1 120 103 2m EA 2 160 103 N m 2.1 105 MPa 1.6 104 m 4 120 103 N m 2.1 105 MPa 5.0 104 m 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
B
AB
。
h
q l
2
q
ql / 8
MP
1
1
h
Mi
2
h
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
AB
y c
1 2 ql l h EI EI 3 8
qhl3 ( ) 12EI
五、应用举例
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。 l q
A
C
1 1
若把二力杆换成弹簧,该如何计算?
2.中间C点的竖向位移
(1)虚设单位荷载 (2)画弯矩图 M P , M
(3)求位移Cy
Δ
1 EI
( ) A y
k
k
ΔCy
1 EI
( ) Ak yk
2
M
+2 ql l 5 l 1 ) 2 ( 3 8 2 8 4 EI 5ql4 ( ) 384EI
§5.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 M M P ds EI
1 EI
(对于等 截面杆)
MM
P
dx (对于直杆)
( M x tan ) 图乘法的 1 适用条件是 x tan M P dx EI 什么? tan 图乘法求位移公式为: xM P dx EI yc tan 1 ip xc yc EI
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A B
1 2 ql 8 1 2
1
MP 图
M
图
解:
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 3 1 ql （ ） 24 EI
三、图形分解
求 B
MP
20
A
B
20 A 20 kN m
EI
l 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
yc
注意:各杆刚度 可能不同
1 1 2 1 B Pl l l 2 Pl l l EI EI 2 3 4 EI 5 Pl 3 () 8 EI
图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
1 Δ EI
B
MM P d x
1 Δ EI
( ) A y
k
k
结构位移计算与虚功原理 6.5 图乘法
2016-11-15-22:09
3. 杆段的抗弯刚度EI分段不同；
1 B Δ MM P d x EI A 1 1 MM P d x MM P d x EI1 1 EI2 2
4. 两个梯形图形图乘； 1 1 B ( ) Ay0 Δ MM P d x A EI EI 要注意MP图是由叠加原理得到。 M P M P1 M P2 1 B M ( M P1 M P2 ) d x Δ A EI B 1 B ( MM P1 d x A MM P2 d x ) EI A 1 ( A1 y1 A2 y2 ) EI A2 1 bl A1 1 al 2 2
四、图乘法小结
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
yc 应取自直线图中。 yc取正值； 2. 若 与 yc 在杆件的同侧，
（ 3） 反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
五、应用举例
例 1. 已知 EI 为常数，求A、B两点相对水平位移
1 1 Pl 1 l EI 2 4 2 1 Pl 2 ( ) 16 EI
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正?
例. 试求图示结构B点竖向位移.
Pl
EI
P
B
l
Mi
1
l
EI
MP
l
解: By
MM P EI ds yc EI
1 1 2 ( Pl l l Pl l l ) EI 2 3 4 Pl 3 () 3 EI
1
1/ 2
1 1 Pl 1 Pl 2 B ( l ) ( EI 2 4 2 16EI
)
取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.
三、图形分解
求 B
A
MP
60
20
40 B 20 kN m
EI
B
20
40 kN m 10 m
1
1 1 2 ( 10 60 EI 2 3 1 100 20 10 ) ( ) 2 EI
EI EI
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
hl n 1
C
h
l n2
( n 1)l n2
复杂图形的图乘法
Δ
1 1 Ay0 MM P d x EI EI l
1 ( ) Ay0 EI
1. 注意：
(1) 正负号：当面积A与竖向标距y0位于杆件的同侧时，
40
B
20 kN m
A
40 B 40 kN m
40 kN m 10 m
1
Mi
1/ 3
2/3
1 1 2 B ( 10 40 EI 2 3 1 1 500 10 20 ) ( ) 2 3 3EI
三、图形分解
求 B
MP
20 A 20 kN m
EI
40
B
40 kN m 10 m
40
Mi
20
B
1 1 2 ( 10 40 EI 2 3 1 1 100 20 10 ) ( ) 2 3 EI
三、图形分解
求 B
MP
q
B
2
A
q
ql / 8
EI
ql2 / 4
l
1
Mi
ql2 / 8
ql 2 4
1 2 ql 1 1 ql 2 B ( l l 1) EI 3 8 2 2 4 3 3 ql ( ) 24EI
k
k
1 ΔCy EI
( ) A y
k
M (m)
k
1 +1 2 ( 300 6) 6 EI 2 3 1 ( – 2 45 6) 1 6 2 3 2 EI 6660 0.0444 m ( ) EI
MP图(kNm)
ΔCy 0.0444m( )
2
2
练习 求B端截面的转角及中间C点的竖向位移。
解：1.求B端截面的转角
(1)虚设单位荷载
(2)画弯矩图 M P , M (3)求位移B 1 Δ ( ) Ak yk EI M 1 B ( ) Ak yk EI 1 2 ql2 y0 1 A l 2 3 8 MP图 ql3 1 1 3 B 2 ( ) ql 1 1 －2 ql 12 2 EI ( l) 1 B 3 24EI 2 ql () 3 8 EI ( ) 24EI
取“+”，当面积A与竖向标距y0位于杆件的异侧时，取
“ - ”。 (2) 竖向标距y0必须取自直线图；当两个弯矩图均为直 线图时，可从任一图中取竖向标距，另一图求面积。
2. 单位荷载产生的弯矩图为几段直线组成的折线图， 而MP图为曲线图；
1 1 ( ) ( A1 y1 A2 y 2 A3 y3 ) 2 3 A EI 1 EI 1 1 A y ( ) Ak yk k k EI EI 方法：分杆段后分别图乘，然后相加。
B
Mi
1
l
ql / 4
2
l
ql2 / 4
MP
1/ l
0 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
ql / 4
1 2 ql 2 1 CD EI EI 3 8 2 ql3 ql / 4 ( ) 24EI
yc
练习
求B点水平位移。
4 EI
Pl
EI
B P
Mi
l
1
l
EI A
MP
+1 1 1 ( 300 6) 1 EI 2 3
300 0.002rad () EI
A 0.002rad
()
提示：采用荷载分段画图进行计算
2.求C点的竖向位移
(1)虚设单位荷载 (2)画弯矩图 M P , M
(3)求位移Cy
Δ
1 EI
( ) A y
B
c
y c
ql2 / 2
ql2 / 8
已知 EI 为常数，求B截面转角。
B
2kN/m
4
MP
6kN
12
M 1
3m
Mi
A
4m
2m
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
B
y c
EI
1 1 1 2 1 ( 4 12 1 4 4 ) EI 2 3 3 2 )
8 ( 3EI
已知 EI 为常数，求C、D两点来自对水平位移 CD。
1
ql
C
D
l
A
q
B
ql
q
1
l
ql 2
l
MP
l
Mi
B
AB
。
h
q l
2
q
ql / 8
MP
1
1
h
Mi
2
h
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
AB
y c
1 2 ql l h EI EI 3 8
qhl3 ( ) 12EI
五、应用举例
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。 l q
A
C
1 1
若把二力杆换成弹簧,该如何计算?
2.中间C点的竖向位移
(1)虚设单位荷载 (2)画弯矩图 M P , M
(3)求位移Cy
Δ
1 EI
( ) A y
k
k
ΔCy
1 EI
( ) Ak yk
2
M
+2 ql l 5 l 1 ) 2 ( 3 8 2 8 4 EI 5ql4 ( ) 384EI
§5.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 M M P ds EI
1 EI
(对于等 截面杆)
MM
P
dx (对于直杆)
( M x tan ) 图乘法的 1 适用条件是 x tan M P dx EI 什么? tan 图乘法求位移公式为: xM P dx EI yc tan 1 ip xc yc EI
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A B
1 2 ql 8 1 2
1
MP 图
M
图
解:
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 3 1 ql （ ） 24 EI
三、图形分解
求 B
MP
20
A
B
20 A 20 kN m
EI
l 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
yc
注意:各杆刚度 可能不同
1 1 2 1 B Pl l l 2 Pl l l EI EI 2 3 4 EI 5 Pl 3 () 8 EI
图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
1 Δ EI
B
MM P d x
1 Δ EI
( ) A y
k
k
结构位移计算与虚功原理 6.5 图乘法
2016-11-15-22:09
3. 杆段的抗弯刚度EI分段不同；
1 B Δ MM P d x EI A 1 1 MM P d x MM P d x EI1 1 EI2 2
4. 两个梯形图形图乘； 1 1 B ( ) Ay0 Δ MM P d x A EI EI 要注意MP图是由叠加原理得到。 M P M P1 M P2 1 B M ( M P1 M P2 ) d x Δ A EI B 1 B ( MM P1 d x A MM P2 d x ) EI A 1 ( A1 y1 A2 y2 ) EI A2 1 bl A1 1 al 2 2
四、图乘法小结
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
yc 应取自直线图中。 yc取正值； 2. 若 与 yc 在杆件的同侧，
（ 3） 反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
五、应用举例
例 1. 已知 EI 为常数，求A、B两点相对水平位移
1 1 Pl 1 l EI 2 4 2 1 Pl 2 ( ) 16 EI
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正?
例. 试求图示结构B点竖向位移.
Pl
EI
P
B
l
Mi
1
l
EI
MP
l
解: By
MM P EI ds yc EI
1 1 2 ( Pl l l Pl l l ) EI 2 3 4 Pl 3 () 3 EI
1
1/ 2
1 1 Pl 1 Pl 2 B ( l ) ( EI 2 4 2 16EI
)
取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.
三、图形分解
求 B
A
MP
60
20
40 B 20 kN m
EI
B
20
40 kN m 10 m
1
1 1 2 ( 10 60 EI 2 3 1 100 20 10 ) ( ) 2 EI
EI EI
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
hl n 1
C
h
l n2
( n 1)l n2
复杂图形的图乘法
Δ
1 1 Ay0 MM P d x EI EI l
1 ( ) Ay0 EI
1. 注意：
(1) 正负号：当面积A与竖向标距y0位于杆件的同侧时，
40
B
20 kN m
A
40 B 40 kN m
40 kN m 10 m
1
Mi
1/ 3
2/3
1 1 2 B ( 10 40 EI 2 3 1 1 500 10 20 ) ( ) 2 3 3EI
三、图形分解
求 B
MP
20 A 20 kN m
EI
40
B
40 kN m 10 m
40
Mi
20
B
1 1 2 ( 10 40 EI 2 3 1 1 100 20 10 ) ( ) 2 3 EI
三、图形分解
求 B
MP
q
B
2
A
q
ql / 8
EI
ql2 / 4
l
1
Mi
ql2 / 8
ql 2 4
1 2 ql 1 1 ql 2 B ( l l 1) EI 3 8 2 2 4 3 3 ql ( ) 24EI
k
k
1 ΔCy EI
( ) A y
k
M (m)
k
1 +1 2 ( 300 6) 6 EI 2 3 1 ( – 2 45 6) 1 6 2 3 2 EI 6660 0.0444 m ( ) EI
MP图(kNm)
ΔCy 0.0444m( )
2
2
练习 求B端截面的转角及中间C点的竖向位移。
解：1.求B端截面的转角
(1)虚设单位荷载
(2)画弯矩图 M P , M (3)求位移B 1 Δ ( ) Ak yk EI M 1 B ( ) Ak yk EI 1 2 ql2 y0 1 A l 2 3 8 MP图 ql3 1 1 3 B 2 ( ) ql 1 1 －2 ql 12 2 EI ( l) 1 B 3 24EI 2 ql () 3 8 EI ( ) 24EI
取“+”，当面积A与竖向标距y0位于杆件的异侧时，取
“ - ”。 (2) 竖向标距y0必须取自直线图；当两个弯矩图均为直 线图时，可从任一图中取竖向标距，另一图求面积。
2. 单位荷载产生的弯矩图为几段直线组成的折线图， 而MP图为曲线图；
1 1 ( ) ( A1 y1 A2 y 2 A3 y3 ) 2 3 A EI 1 EI 1 1 A y ( ) Ak yk k k EI EI 方法：分杆段后分别图乘，然后相加。
B
Mi
1
l
ql / 4
2
l
ql2 / 4
MP
1/ l
0 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
ql / 4
1 2 ql 2 1 CD EI EI 3 8 2 ql3 ql / 4 ( ) 24EI
yc
练习
求B点水平位移。
4 EI
Pl
EI
B P
Mi
l
1
l
EI A
MP
+1 1 1 ( 300 6) 1 EI 2 3
300 0.002rad () EI
A 0.002rad
()
提示：采用荷载分段画图进行计算
2.求C点的竖向位移
(1)虚设单位荷载 (2)画弯矩图 M P , M
(3)求位移Cy
Δ
1 EI
( ) A y
B
c
y c
ql2 / 2
ql2 / 8
已知 EI 为常数，求B截面转角。
B
2kN/m
4
MP
6kN
12
M 1
3m
Mi
A
4m
2m
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
B
y c
EI
1 1 1 2 1 ( 4 12 1 4 4 ) EI 2 3 3 2 )
8 ( 3EI
已知 EI 为常数，求C、D两点来自对水平位移 CD。
1
ql
C
D
l
A
q
B
ql
q
1
l
ql 2
l
MP
l
Mi