正方形的性质与判定练习题

一、填空题
1、如图，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，则∠ACE＝°.
2、如图，四边形ABDC 是正方形，延长CD 到点E ，使CE=CB ，则∠AEC＝°.
3、如图，正方形ABCD 中，点E 在BC 的延长线上，AE 平分∠DAC,则下列结论：
①∠E=22.5°；②∠AFC=112.5°；③∠ACE=135°；④AC=CE ；⑤AD∶CE=1∶.其中正确的有个.
4、如图，等边△EDC 在正方形ABCD 内，连结EA 、EB ，则∠AEB＝°；∠ACE＝°.
5、已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是°.
6、如图，四边形ABCD 是正方形，E 是边CD 上一点，若△AFB 经过逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°）后，与△AED 重合，则θ值为°.
第6题图第7题图第8题图第9题图
7、已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE=2，EC=1，把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________.
8、如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为.
9、如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且C B '=3，则CN=；AM 的长是.
10、正方形的面积是31，则其对角线长是________.
11、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴
影部分的面积是.
12、如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正方
形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为.
第12题图第13题图 13、边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一
个“蝶形风筝”（如图所示重叠部分），则这个风筝的面积是. 14、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC 交于点O ，则四边形AB′OD 的周长是.
15、如右图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE
对折至△AFE，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG≌△AFG； ②BG＝GC ；③AG∥CF；④S △FGC ＝3．其中正确的结论是.（填序号）
16、如右图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作等边△ABE，CE 与DB
相交于点F ，则AFD ∠=。

二、解答题
1、如图1：正方形ABCD 中，AC=10，P 是AB 上任意一点，PE⊥AC 于E ，
PF⊥BD 于F ，则PE+PF=.可以用一句话概括：
正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于.
思考：如若P 在AB 的延长线时，上述结论是否成立？若不成立，请在图2中画出图
形，写出你的结论，并加以说明. 图2
第1题图第2题图第3题图第4题图
O
2O
1
2、（1）如图1，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE⊥BC 于点E ，PF⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD 一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC．其中正确结论的序号是．
思考：（2）当点P 在DB 的长延长线上时，请在图2中补充完整，并思考（1）中AP
与EF 的关系结论是否依旧成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 图2图1
3、已知Rt△ABC 中，∠C=90°，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，DF//BC,DE//AC.
求证：四边形DECF 为正方形.
4、如图，正方形ABCD 中，E 、F 、G 分别是AD 、AB 、BC 上的点，且AE=FB=GC. 试判断△EFG 的形状，并说明理由.
5、E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 的度数.
6、如图，在正方形ABCD 中，△PBC、△QCD 是两个等边三角形，PB 与DQ 交于M ，BP 与CQ 交于E ，CP 与DQ 交于F.求证：PM=QM.
7、P 为正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB 的度数.
8、如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上一点，且AF 平分∠DAE，求证：AE=EC+CD.
9、如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在
射线BC 上，且PE=PB.试判断PE 与PD 的关系.
10、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD⊥BC，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点E ，
（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．
11、如图，已知□ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且
ACE △是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．
12、如图，在正方形ABCD 中，P 为BC 上一点，Q 为CD 上一点，
（1）若∠PAQ=45°,求证：PQ=BP+DQ ；（2）若PQ=BP+DQ ，求∠PAQ 的度数. 13、如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O 重合，A′B′交BC 于点E ，A′D′交CD 于点F.（1）求证：OE=OF ；（2）若正方形ABCD 的边长为1，求两个正方形重叠部分的面积；（3）若正方形A′B′C′D′
绕着O 点旋转，EF 的长度何时最小，并求出最小值.
14、如图①，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠(点E 、F 分别在边AB 、CD 上)，
使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连接EP ．如图②，若M 为AD 边的中点，
（1）△AEM 的周长=cm ；（2）求证：EP=AE+DP ；
15、如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以
CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；（无需证明）
（2）将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得
到如图2、图3情形．请你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立,并选取一种情况证明你的判断． E
C D B A O
16、（1）如图（1），已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG>BC），B、C、G在同一直线
上，M为线段AE的中点。

探究：线段MD、MF的关系。

（2）如图（2），若将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45︒，使得正方形CGEF对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点。

试问：（1）中探究的结
论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

图1图2
17、以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点
分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；
如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状是；（直接写出
结果）
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），
①试用含α的代数式表示∠HAE；
②求证：HE=HG；
③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．
18、已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点
M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H
（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；
（2）如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；
小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN 对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？。