中考数学总复习 专题九 反比例函数与几何图形综合题试题 新人教版
人教中考数学复习反比例函数专项综合练含详细答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，点A在函数y= （x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y= 图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；（2）试问：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．（3）试说明：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．【答案】（1）解：∵点C在y= 的图象上，且C点横坐标为1，∴C（1，1），∵AC∥y轴，AB∥x轴，∴A点横坐标为1，∵A点在函数y= （x＞0）图象上，∴A（1，4），∴B点纵坐标为4，∵点B在y= 的图象上，∴B点坐标为（，4）；（2）解：设A（a，），则C（a，），B（，），∴AB=a﹣ = a，AC= ﹣ = ，∴S△ABC= AB•AC= × × = ，即△ABC的面积不发生变化，其面积为；（3）解：如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，∵AB∥x轴，∴△ABC∽△EFC，∴ = ，即 = ，∴EF= a，由（2）可知BG= a，∴BG=EF，∵AE∥y轴，∴∠BDG=∠FCE，在△DBG和△CFE中∴△DBG≌△CEF（AAS），∴BD=EF．【解析】【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y= 可求得B点坐标；（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．2．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，∴OA= =2，∠AOC=30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，∴B点坐标为（﹣1，），将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上（3）解：由y=﹣得xy=﹣，∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，∴m（ m+6）=﹣，∴m2+2 m+1=0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM= ，∵m＜0，∴mn=﹣1，∴m2n2+2 mn2+n2=0，∴n2﹣2 n=﹣1，∴n2﹣2 n+9=8．【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．3．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”．（1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长；（2）如图2，若某函数是反比例函数（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C，D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．【答案】（1）解：（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时：正方形ABCD的边长为．（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：设正方形边长为a，易得3a= ，解得a= ，此时正方形的边长为．∴所求“伴侣正方形”的边长为或（2）解：如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F，易证△ADE≌△BAO≌△CBF．∵点D的坐标为（2，m），m＜2，∴DE=OA=BF=m，∴OB=AE=CF=2﹣m．∴OF=BF+OB=2，∴点C的坐标为（2﹣m，2）．∴2m=2（2﹣m），解得m=1．∴反比例函数的解析式为y=（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合a、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；b、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，c、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在d、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+ ；e、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；f、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D 的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ；故二次函数的解析式分别为：y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+【解析】【分析】（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，可求出m的值，即可得到反比例函数的解析式．（3）由抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论，即可得到所求的结论．4．给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为________，点C （﹣2，3）和射线OA之间的距离为________；（2）如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为，那么k=________；（可在图1中进行研究）（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O顺时针旋转120°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）．②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形N，请求出图形W和图形N之间的距离．【答案】（1）3；（2）﹣4（3）解：①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF 垂直），；②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，由得，即点M（﹣，），由得：，即点N（﹣，），则﹣≤x≤﹣，图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），即图形W与图形N之间的距离为d，d===∴当x=﹣时，d的最小值为 = ，即图形W和图形N之间的距离．【解析】【解答】解：（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（﹣2，3）和射线OA之间的距离为 = ，故答案分别为：3，；（2）直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为，∴k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= 相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= 交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图1，由得，即点F（﹣，），则OF= = ，∴OE=OF+EF=2 ，在Rt△OEG中，∠EOG=∠OEG=45°，OE=2 ，则有OG=EG= OE=2，∴点E的坐标为（﹣2，2），∴k=﹣2×2=﹣4，故答案为：﹣4；【分析】（1）由题意可得出点B（2，3）到射线OA之间的距离为B点纵坐标，根据新定义得点C（﹣2，3）和射线OA之间的距离；（2）根据题意即可得k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= k x 相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= k x 交于点E、F，过点E作EG⊥x 轴，如图1，将其联立即可得点F坐标，根据两点间距离公式可得OF长，再由OE=OF+EF 求出OE长，在Rt△OEG中，根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为（﹣2，2），将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.（3）①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直）；②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，分别联立即可得出点M、N坐标，从而得出x取值范围，根据题意图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），从而求出图形W与图形N之间的距离为d，由二次函数性质知d 最小值.5．如图，已知函数的图象与一次函数的图象相交不同的点A、B，过点A作AD⊥轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为，△AOD 的面积为2.（1）求的值及 =4时的值；（2）记表示为不超过的最大整数，例如：，，设 ,若，求值【答案】（1）解：设A（x0， y0），则OD=x0， AD=y0，∴S△AOD= OD•AD= x0y0=2，∴k=x0y0=4；当x0=4时，y0=1，∴A（4，1），代入y=mx+5中得4m+5=1，m=-1（2）解：∵，∴＝mx+5，整理得，mx2+5x-4=0，∵A的横坐标为x0，∴mx02+5x0=4，当y=0时，mx+5=0，x=- ，∵OC=- ，OD=x0，∴m2•t=m2•（OD•DC），=m2•x0（- -x0），=m（-5x0-mx02），=-4m，∵- ＜m＜- ，∴5＜-4m＜6，∴[m2•t]=5【解析】【分析】(1）根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可得出k的值；根据反比例函数图像上的点的坐标特点，即可求出A点的坐标，再将A点的坐标代入直线y=mx+5中即可求出m的值；（2）解联立直线与双曲线的解析式所组成的方程组，得出mx2+5x-4=0，将A点的横坐标代入得出mx02+5x0=4，根据直线与x轴交点的坐标特点，表示出OC,OD的长，由m2•t=m2•（OD•DC）=-4m，根据m的取值范围得出5＜-4m＜6，从而答案。
人教版九年级数学中考反比例函数专项练习及参考答案
人教版九年级数学中考反比例函数专项练习命题点1 图象与性质1．一台印刷机每年可印刷的书本数量 y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x ＝2时，y ＝20.则y 与x 的函数图象大致是(C)A B C D2．反比例函数y ＝mx 的图象如图所示，以下结论：①常数m ＜－1；②在每个象限内，y 随x的增大而增大；③若A(－1，h)，B(2，k)在图象上，则h ＜k ；④若P(x ，y)在图象上，则P ′(－x ，－y)也在图象上．其中正确的是(C)A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④3．如图，函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x （x ＞0），－1x （x ＜0）的图象所在坐标系的原点是(A)A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q4．定义新运算：a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ab（b ＞0），－ab（b ＜0）. 例如：4⊕5＝45，4⊕(－5)＝45.则函数y ＝2⊕x(x≠0)的图象大致是(D)A B C D5．如图，若抛物线y ＝－x2＋3与x 轴围成的封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k ，则反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象是(D)A B CD命题点2 反比例函数、一次函数与几何图形综合6．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y ＝mx (x＞0)的图象经过点D ，点P 是一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点．(1)求反比例函数的解析式；(2)通过计算说明一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象一定经过点C ；(3)对于一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)，当y 随x 的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围．(不必写出过程)解：(1)∵B(3，1)，C(3，3)，四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ＝2，AD ∥BC ，BC ⊥x 轴．∴AD ⊥x 轴． 又∵A(1，0)，∴D(1，2)．∵点D 在反比例函数y ＝mx 的图象上，∴m ＝1×2＝2.∴反比例函数的解析式为y ＝2x .(2)当x ＝3时，y ＝kx ＋3－3k ＝3，∴一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象一定过点C. (3)设点P 的横坐标为a ，则23＜a ＜3.命题点3 反比例函数的实际应用(8年2考)7．(2019·杭州)方方驾驶小汽车匀速地从A 地行驶到B 地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t(单位：小时)，行驶速度为v(单位：千米/小时)，且全程速度限定为不超过120千米/小时．(1)求v 关于t 的函数解析式；(2)方方上午8点驾驶小汽车从A 地出发．①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B 地，求小汽车行驶速度v 的范围；②方方能否在当天11点30分前到达B 地？说明理由．解：(1)∵vt ＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，∴v 关于t 的函数解析式为v ＝480t(t ≥4)．(2)①8点至12点48分时间长为245小时，8点至14点时间长为6小时．将t ＝6代入v ＝480t ，得v ＝80；将t ＝245代入v ＝480t，得v ＝100.∴小汽车行驶速度v 的范围为80≤v ≤100.②方方不能在当天11点30分前到达B 地．理由如下：8点至11点30分时间长为72小时，将t ＝72代入v ＝480t ，得v ＝9607.∵9607＞120，超速了． 故方方不能在当天11点30分前到达B 地．基础训练1．(2019·柳州)反比例函数y ＝2x的图象位于(A)A ．第一、三象限B ．第二、三象限C ．第一、二象限D ．第二、四象限2．(2019·哈尔滨)点(－1，4)在反比例函数y ＝kx 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是(A)A ．(4，－1)B ．(－14，1)C ．(－4，－1)D ．(14，2)3．(2019·邢台模拟)已知甲圆柱型容器的底面积为30 cm 2，高为8 cm ，乙圆柱型容器底面积为x cm 2.若将甲容器装满水，全部倒入乙容器中(乙容器没有水溢出)，则乙容器水面高度y(cm)与x(cm 2)之间的大致图象是(C)A B C D4．(2019·唐山乐亭县模拟)若点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)都是反比例函数y ＝－6x 图象上的点，并且y 1＜0＜y 2，则下列结论中正确的是(A)A ．x 1＞x 2B ．x 1＜x 2C ．y 随x 的增大而减小D ．两点有可能在同一象限5．(2019·唐山滦南县一模)如图，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝4x 的图象交于A ，B 两点，其中A(2，2)，当y ＝x 的函数值大于y ＝4x的函数值时，x 的取值范围为(D)A ．x ＞2B ．x ＜－2C ．－2＜x ＜0或0＜x ＜2D ．－2＜x ＜0或x ＞26．(2019·石家庄模拟)已知反比例函数y ＝kx 的图象过第二、四象限，则一次函数y ＝kx ＋k的图象大致是(B)A B C D7．(2019·唐山路北区模拟)已知点P(m ，n)是反比例函数y ＝－3x 图象上一点，当－3≤n ＜－1时，m 的取值范围是(A)A ．1≤m ＜3B ．－3≤m ＜－1C ．1＜m ≤3D ．－3＜m ≤－18．(原创)(2017·河北T15变式)将九年级某班40名学生的数学测试成绩分为5组，第1～4组的频率分别为0.3，0.25，0.15，0.2，第5组的频数记为k ，则反比例y ＝kx (x ＞0)的图象是(D)A B C D9．(原创)(2019·河北T12变式)如图，函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧m x （x ＞0），－m x （x<0）的图象如图所示，以下结论：①常数m ＞0；②在每个象限内，y 随x 增大而减小；③若点A(－2，a)，B(3，b)在图象上，则a ＜b ；④若P(x ，y)在图象上，则P ′(－x ，y)也在图象上，其中正确的是(D)A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④10．(2019·兰州)如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，S矩形OABC＝6，则k ＝6．11．(2019·北京)在平面直角坐标系xOy 中，点A(a ，b)(a ＞0，b ＞0)在双曲线y ＝k 1x 上，点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线y ＝k 2x，则k 1＋k 2的值为0．12．(2019·盐城)如图，一次函数y ＝x ＋1的图象交y 轴于点A ，与反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象交于点B(m ，2)．(1)求反比例函数的解析式； (2)求△AOB 的面积．解：(1)∵点B(m ，2)在直线y ＝x ＋1上， ∴2＝m ＋1，解得m ＝1. ∴点B 的坐标为(1，2)．∵点B(1，2)在反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，∴2＝k1，解得k ＝2.∴反比例函数的解析式是y ＝2x.(2)将x ＝0代入y ＝x ＋1，得y ＝1，则点A 的坐标为(0，1)． ∵点B 的坐标为(1，2)， ∴△AOB 的面积为12×1×1＝12.能力提升13．(2019·石家庄新华区模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A(0，2)，点P 是双曲线y ＝kx (x ＞0)上的一个动点，作PB ⊥x 轴于点B ，当点P 的横坐标逐渐减小时，四边形OAPB 的面积将会(C)A ．逐渐增大B ．不变C ．逐渐减小D ．先减小后增大14．(2019·陕西)如图，D 是矩形AOBC 的对称中心，A(0，4)，B(6，0)．若一个反比例函数的图象经过点D ，交AC 于点M ，则点M 的坐标为(32，4)．16．(2019·秦皇岛海港区模拟)如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD 的顶点A(1，b)，B(3，b)，D(2，b ＋1)．(1)点C 的坐标是(4，b ＋1)(用b 表示)；(2)双曲线y ＝kx 过▱ABCD 的顶点B 和D ，求该双曲线的解析式；(3)如果▱ABCD 与双曲线y ＝4x(x ＞0)总有公共点，求b 的取值范围．解：(2)∵双曲线y ＝kx 过▱ABCD 的顶点B(3，b)和D(2，b ＋1)，∴3b ＝2(b ＋1)，解得b ＝2，即B(3，2)，D(2，3)． 则该双曲线解析式为y ＝6x .(3)将A(1，b)代入y ＝4x，得b ＝4；将C(4，b ＋1)代入y ＝4x，得b ＋1＝1，即b ＝0.则▱ABCD 与双曲线y ＝4x(x ＞0)总有公共点时，b 的取值范围为0≤b ≤4.17．如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC 段可看成是一段双曲线，建立如图的直角坐标系后，其中，矩形AOEB 为向上攀爬的梯子，OA ＝5米，进口AB ∥OD ，且AB ＝2米，出口C 点距水面的距离CD 为1米，则B ，C 之间的水平距离DE 的长度为(D)A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米18．(1)探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．(2)结论应用：①如图2，点M ，N 在反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，试证明：MN ∥EF ；②若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置，如图3所示，请判断MN 与EF 是否平行？解：(1)AB ∥CD.理由：过点C 作CG ⊥AB 于点G ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ， ∴∠CGA ＝∠DHB ＝90°.∴CG ∥DH. ∵△ABC 和△ABD 的面积相等， ∴CG ＝DH.∴四边形CGHD 是矩形．∴AB ∥CD.(2)①证明：连接MF ，NE ，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，∵点M ，N 在反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，∴x 1y 1＝k ，x 2y 2＝k. ∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴EM ＝x 1，OE ＝y 1，OF ＝x 2，NF ＝y 2. ∴S △EFM ＝12x 1·y 1＝12k ，S △EFN ＝12x 2y 2＝12k.∴S △EFM ＝S △EFN ，由(1)中的结论可知，MN ∥EF.②MN ∥EF ，理由：连接MF ，NE ，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)． ∵M ，N 在反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象上，∴x 1y 1＝k ，x 2y 2＝k.∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴EM ＝x 1，OE ＝y 1，OF ＝－x 2，NF ＝－y 2. ∴S △EFM ＝12x 1·y 1＝12k ，S △EFN ＝12(－x 2)(－y 2)＝12k.∴S △EFM ＝S △EFN .由(1)中的结论可知，MN ∥EF.反比例函数中的面积问题1．(2019·枣庄)如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，∠ABC ＝90°，CA ⊥x 轴，点C 在函数y ＝kx (x ＞0)的图象上．若AB ＝1，则k的值为(A)A ．1 B.22C. 2 D ．22．如图，A ，B 两点在双曲线y ＝4x(x ＞0)上，分别经过A ，B 两点向x 轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S 1＋S 2＝(D)A ．3B ．4C ．5D ．63．(2019·黄冈)如图，一直线经过原点O ，且与反比例函数y ＝kx (k>0)相交于点A ，B ，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，连接BC.若△ABC 面积为8，则k ＝8．4．如图，A ，B 是反比例函数y ＝2x 的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则(B)A ．S ＝2B ．S ＝4C ．2＜S ＜4D ．S ＞45．(2019·郴州)如图，点A ，C 分别是正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝4x 的图象的交点，过A 点作AD ⊥x 轴于点D ，过C 点作CB ⊥x 轴于点B ，则四边形ABCD 的面积为8．6．如图，AB 是反比例函数y ＝3x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是1和3，则S △AOB ＝4．7．(2019·鸡西)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，▱OABC 的顶点A 在反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，顶点B 在反比例函数y ＝5x (x ＞0)的图象上，点C 在x 轴的正半轴上，则▱OABC 的面积是(C)A.32B.52C ．4D ．68．如图，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴上任意一点，BC 平行于x 轴，分别交反比例函数y ＝3x (x ＞0)，y ＝kx(x ＜0)的图象于B ，C 两点．若△ABC 的面积为2，则k 的值为－1．9．(2019·株洲)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 为反比例函数y ＝k x (k ＞0)图象上不同的三点，连接OA ，OB ，OC ，过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，过点B ，C 分别作BE ，CF 垂直x 轴于点E ，F ，OC 与BE 相交于点M ，记△AOD ，△BOM ，四边形CMEF 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则(B)A ．S 1＝S 2＋S 3B ．S 2＝S 3C ．S 3＞S 2＞S 1D ．S 1S 2＜S 2310．(2019·本溪)如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB 的边OA 和菱形OCDE 的边OE 都在x 轴上，点C 在OB 边上，S △ABD ＝3，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过点B ，则k 的值为3．。
人教中考数学反比例函数的综合题试题含答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2= （c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把B（3，2）代入得：k=6∴反比例函数解析式为：把C（﹣1，n）代入，得：n=﹣6∴C（﹣1，﹣6）把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y1=ax+b，得：，解得：所以一次函数解析式为y1=2x﹣4（2）解：由图可知，当写出y1＞y2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或者x＞3．（3）解：y轴上存在点P，使△PAB为直角三角形如图，过B作BP1⊥y轴于P1，∠B P1 A=0，△P1AB为直角三角形此时，P1（0，2）过B作BP2⊥AB交y轴于P2∠P2BA=90，△P2AB为直角三角形在Rt△P1AB中，在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB∴∴P2（0，）综上所述，P1（0，2）、P2（0，）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用图象直接得出结论；（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．2．如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B （0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．【答案】（1）解：∵A（5，0），∴OA=5．∵，∴，解得OC=2，∴C（0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B（0，3），BD∥x轴，∴D（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴，设直线AC关系式为y=kx+b，∵过A（5，0），C（0，﹣2），∴，解得，∴；（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2），∴BC=5=OA，在△OAC和△BCD中∴△OAC≌△BCD（SAS），∴AC=CD，∴∠OAC=∠BCD，∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，∴AC⊥CD；（3）解：∠BMC=45°．如图，连接AD，∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，∴BD∥x轴，∴四边形AEBD为平行四边形，∴AD∥BM，∴∠BMC=∠DAC，∵△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°．【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定△OAC≌△BCD，得出AC=CD，∠OAC=∠BCD，进而AC⊥CD；（3）由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.3．已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A（﹣1，2），B（2，n），与y轴交于C 点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）如图1，若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D，E两点，若S△ABD=3，求D，E的坐标．（3）如图2，P为直线y=2上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q，交双曲线于R，若QR=2QP，求P点坐标．【答案】（1）解：点A（﹣1，2）在反比例函数y= 的图象上，∴m=（﹣1）×2=﹣2，∴反比例函数的表达式为y=﹣，∵点B（2，n）也在反比例函数的y=﹣图象上，∴n=﹣1，即B（2，﹣1）把点A（﹣1，2），点B（2，﹣1）代入一次函数y=kx+b中，得，解得：k=﹣1，b=1，∴一次函数的表达式为y=﹣x+1，答：反比例函数的表达式是y=﹣，一次函数的表达式是y=﹣x+1；（2）解：如图1，连接AF，BF，∵DE∥AB，∴S△ABF=S△ABD=3（同底等高的两三角形面积相等），∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴C（0，1），设点F（0，m），∴AF=1﹣m，∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= （1﹣m）×（1+2）=3，∴m=﹣1，∴F（0，﹣1），∵直线DE的解析式为y=﹣x+1，且DE∥AB，∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①．∵反比例函数的表达式为y=﹣②，联立①②解得，或∴D（﹣2，1），E（1，﹣2）；（3）解：如图2由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为y=﹣，设点P（p，2），∴Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |，∵QR=2QP，∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，解得，p= 或p= ，∴P（，2）或（，2）或（，2）或（，2）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而可得到反比例函数的解析式；把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式；（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3，再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标，即可得出直线DE的解析式，即可求出交点坐标；（3）设点P（p，2），则Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），然后可表示出PQ与QR的长度，最后依据QR=2QP，可得到关于p的方程，从而可求得p的值，从而可得到点P的坐标.4．如图，P1、P2（P2在P1的右侧）是y= （k＞0）在第一象限上的两点，点A1的坐标为（2，0）．（1）填空：当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将________（减小、不变、增大）（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，①求反比例函数的解析式；②求出点P2的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．【答案】（1）减小（2）解：①如图所示，作P1B⊥OA1于点B，∵A1的坐标为（2，0），∴OA1=2，∵△P1OA1是等边三角形，∴∠P1OA1=60°，又∵P1B⊥OA1，∴OB=BA1=1，∴P1B= ，∴P1的坐标为（1，），代入反比例函数解析式可得k= ，∴反比例函数的解析式为y= ；②如图所示，过P2作P2C⊥A1A2于点C，∵△P2A1A2为等边三角形，∴∠P2A1A2=60°，设A1C=x，则P2C= x，∴点P2的坐标为（2+x， x），代入反比例函数解析式可得（2+x） x= ，解得x1= ﹣1，x2=﹣﹣1（舍去），∴OC=2+ ﹣1= +1，P2C= （﹣1）= ﹣，∴点P2的坐标为（ +1，﹣），∴当1＜x＜ +1时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值【解析】【解答】解：（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△P1OA1的面积将减小，故答案为：减小；【分析】（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△P1OA1的面积将减小；（2）①由A1的坐标为（2，0），△P1OA1是等边三角形，求出P1的坐标，代入反比例函数解析式即可；②由△P2A1A2为等边三角形，求出点P2的坐标，得出结论.5．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．【答案】（1）解：∵OB=4，OE=2，∴BE=OB+OE=6．∵CE⊥x轴，∴∠CEB=90°．在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO= ，∴CE=BE•tan∠ABO=6× =3，结合函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）．∵点C在反比例函数y= 的图象上，∴m=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，∴设点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO= ，∴OA=OB•tan∠ABO=4× =2．∵S△BAF= AF•OB= （OA+OF）•OB= （2+ ）×4=4+ ．∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，∴S△DFO= ×|﹣6|=3．∵S△BAF=4S△DFO，∴4+ =4×3，解得：n= ，经验证，n= 是分式方程4+ =4×3的解，∴点D的坐标为（，﹣4）．【解析】【分析】（1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；（2）由点D在反比例函数在第四象限的图象上，设出点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．通过解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为 .（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）解：∵双曲线过点和点，∴，解得，∴点的坐标为，点的坐标为，把点的坐标代入，解得，∴双曲线表达式为（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，∴当点在双曲线，得到，当点在双曲线，得到，∴的取值范围 .【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．7．如图，直线 y=kx与双曲线 =－交于A、B两点，点C为第三象限内一点．（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；（2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标；（3）当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式．【答案】（1）解：把（a，3）代入 =－，得，解得a=－2；（2）解：连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°，∴∠DAO+∠AOD=90°，∵直线 y=kx与双曲线 =－交于A、B两点，∴OA=OB，当CA=CB，∠ACB=90°时，∴CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，∴△ADO≌△OEC，又k=－，由y=－ x和y=－解得，，所以A点坐标为（－2，3），由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，所以C（-3，-2）；（3）解：连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°，∴∠DAO+∠AOD=90°，∵直线 y=kx与双曲线 =－交于A、B两点，∴OA=OB，∵△ABC为等边三角形，∴CA=CB，∠ACB=60°，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，∴△ADO∽△OEC，∴，∵∠ACO= ∠ACB=30°，∠AOC=90°，∴，∵C的坐标为（m，n），∴CE=-m，OE=-n，∴AD=－ n，OD=－ m，∴A（ n，－ m），代入y=－中，得mn=18.【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出a的值；（2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，根据垂直的定义得出∠ADO=∠CEO=90°，故∠DAO+∠AOD=90°，根据双曲线的对称性得出OA=OB，当CA=CB，∠ACB=90°时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形的三线合一得出CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，根据等角的余角相等得出∠DAO=∠EOC，从而利用AAS判断出△ADO≌△OEC，，解联立直线与双曲线的解析式组成的方程组，得出A 点的坐标，由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，进而得出C点坐标；（3）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，根据垂直的定义得出∠ADO=∠CEO=90°，故∠DAO+∠AOD=90°，根据双曲线的对称性得出OA=OB，△ABC为等边三角形，故CA=CB，∠ACB=60°，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，根据等角的余角相等得出∠DAO=∠EOC，从而判断出△ADO∽△OEC，根据相似三角形的旋转得出,根据锐角三角函数的定义，及特殊锐角三角函数值得出,C的坐标为（m，n），故CE=-m，OE=-n，AD=－ n，OD=－m，从而得出A点的坐标，再代入反比例函数的解析式即可求出mn=18.8．如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．【答案】（1）解：∵点A（1，a）在一次函数y=﹣x+3的图象上，∴a=﹣1+3=2，∴点A（1，2）．∵点A（1，2）在反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象上，∴k=1×2=2，∴反比例函数的表达式为y= ．联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点B（2，1）（2）解：作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，如图所示．∵点B、B′关于x轴对称，∵点A、P、B′三点共线，∴此时PA+PB取最小值．设直线AB′的函数表达式为y=mx+n（m≠0），将A（1，2）、B（2，﹣1）代入y=mx+n，，解得：，∴直线AB′的函数表达式为y=﹣3x+5．当y=﹣3x+5=0时，x= ，∴满足条件的点P的坐标为（，0）．【解析】【分析】（1）将x=1代入直线AB的函数表达式中即可求出点A的坐标，由点A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式，联立两函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点B的坐标；（2）作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，由两点之间线段最短可得出此时PA+PB 取最小值，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．9．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，OC=2 ，sin∠AOC= ，反比例函数y= 的图象经过点C以及边AB的中点D．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）四边形OABC的面积．【答案】（1）解：过C作CM⊥x轴于M，则∠CMO=90°，∵OC=2 ，sin∠AOC= = ，由勾股定理得：OM= =2，∴C的坐标为（2，4），代入y= 得：k=8，所以这个反比例函数的解析式是y=（2）解：过B作BE⊥x轴于E，则BE=CM=4，AE=OM=2，过D作DN⊥x轴于N，∵D为AB的中点，∴DN= =2，AN= =1，把y=2代入y= 得：x=4，即ON=4，∴OA=4﹣1=3，∴四边形OABC的面积为OA×CM=3×4=12【解析】【分析】（1）过C作CM⊥x轴于M，则∠CMO=90°，解直角三角形求出CM，根据勾股定理求出OM，求出C的坐标，即可求出答案；（2）根据D为中点求出DN的值，代入反比例函数解析式求出ON，求出OA，根据平行四边形的面积公式求出即可．10．如图1，抛物线y＝ax2﹣4ax+b经过点A（1，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAC沿AC翻折得到△ACE，直线AE交抛物线于点P，求点P的坐标；（3）如图2，点M为直线BC上一点（不与B、C重合），连OM，将OM绕O点旋转90°，得到线段ON，是否存在这样的点N，使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）解：由题意知：抛物线的对称轴为：x=2，则B（3，0）；已知OB=OC=3，则C（0，-3）；设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），依题意有：a（0-1）（0-3）=-3，a=-1；故抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3．（2）解：设AE交y轴于点F；易证得△FOA∽△FEC，有，设OF＝x，则EF＝3x，所以FA＝3x﹣1；在Rt△FOA中，由勾股定理得：（3x﹣1）2＝x2+1，解得x＝；即OF＝，F（0，）；求得直线AE为y＝﹣x+ ，联立抛物线的解析式得：，解得，；故点P（，）．（3）解：∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC：y＝x﹣3；设点M（a，a﹣3），则：①当点M在第一象限时，OG＝a，MG＝a﹣3；过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H；根据旋转的性质知：∠MON＝90°，OM＝ON，则可证得△MOG≌△NOH，得：OG＝NH＝a，OH＝MG＝a﹣3，故N（a﹣3，﹣a），将其代入抛物线的解析式中，得：﹣（a﹣3）2+4（a﹣3）﹣3＝﹣a，整理得：a2﹣11a+24＝0，a＝3（舍去），a＝8；故M（8，5），N（5，﹣8）．②当点M在第三象限时，OG＝﹣a，MG＝3﹣a；同①可得：MG＝OH＝3﹣a，OG＝NH＝﹣a，则N（3﹣a，a），代入抛物线的解析式可得：﹣（3﹣a）2+4（3﹣a）﹣3＝a，整理得：a2﹣a＝0，故a＝0，a＝1；由于点M在第三象限，所以a＜0，故a＝0、a＝1均不合题意，此种情况不成立；③当点M在第四象限时，OG＝a，MG＝3﹣a；同①得：N（3﹣a，a），在②中已经求得此时a＝0（舍去），a＝1；故M（1，﹣2），N（2，1）；综上可知：存在符合条件的N点，且坐标为N（2，1）或（5，﹣8）．【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴方程，进而可根据点A 的坐标表示出点B的坐标，已知OB=OC，即可得到点C的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式．（2）点P为直线AE和抛物线的交点，欲求点P，必须先求出直线AE的解析式；设直线AE与y轴的交点为F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根据相似三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF，设OF=x，则EF=3x，AF=3x-1，进而可在Rt△FOA 中求出x的值，也就能求出F点的坐标，然后利用待定系数法求出直线AE的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标．（3）此题应分三种情况讨论：①当点M在第一象限时，可设M（a，a-3），由于ON是由OM旋转90°而得，因此△OMN是等腰直角三角形，分别过M、N作MG、NH垂直于x轴，即可证得△OMG≌△NOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得点M、N 的坐标；②当点M在第三象限，④点M在第四象限时，解法同①．11．请完成下面题目的证明．如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG 与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE（1）求证:直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH；①求证:△CBH∽△OBC；②求OH+HC的最大值.【答案】（1）证明：由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠GAF=∠GCE，∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线CG是⊙O的切线；（2）证明：①∵CB=CH，∴∠CBH=∠CHB，∵OB=OC，∴∠CBH=∠OCB，∴△CBH∽△OBC解：②由△CBH∽△OBC可知：∵AB=8，∴BC2=HB•OC=4HB，∴HB= ，∴OH=OB-HB=∵CB=CH，∴OH+HC=当∠BOC=90°，此时BC=∵∠BOC＜90°，∴0＜BC＜令BC=x∴OH+HC= = =当x=2时，∴OH+HC可取得最大值，最大值为5【解析】【分析】（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∠GAF=∠GCE，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；②由△CBH∽△OBC可知：，所以HB= ，由于BC=HC，所以OH+HC=利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．12．如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE.（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F.探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）解：将C（0，-3）代入函数表达式得，，∴（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m.∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）.∵AB平分∠DAE.∴∠DAM=∠EAN.∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN, ∴ .设点E的坐标为（x, ）,∴ ,∴x=4m.∴为定值.（3）解：存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中,∵tan∠CGO＝ , tan∠FGH＝ , ∴ = .∴OG="3m,"由勾股定理得，GF= ，AD=∴ .由（2）得，，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5.∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】【分析】1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.13．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC．（1）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（2）在（1）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ABD＝90°，∴△ABC∽△ADB，∴∠ABC＝∠ADB，且∠ACB＝∠BCD＝90°，∴△ABC∽△BDC，∴∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝AC．∴BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵，∴，∴CD＝，∴AD＝AC+CD＝4+ ＝，∴OD＝AD﹣AO＝，∴点D的坐标为：（，0）；（2）解：如图2，当∠APC＝∠ABD＝90°时，∵∠APC＝∠ABD＝90°，∠BAD＝∠PAQ，∴△APQ∽△ABD，∴，∴∴m＝，如图3，当∠AQP＝∠ABD＝90°时，∵∠AQP＝∠ABD＝90°，∠PAQ＝∠BAD，∴△APQ∽△ADB，∴，∴∴m＝；综上所述：当m＝或时，△APQ与△ADB相似．【解析】【分析】（1）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，可证△ABC∽△ADB，可得∠ABC＝∠ADB，可证△ABC∽△BDC，可得，可求CD 的长，即可求点D坐标；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．14．已知：抛物线y＝﹣mx2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且开口向上（1）求抛物线的解析式；（2）结合图象写出，0＜x＜4时，直接写出y的取值范围________；（3）点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC＝1时，求出矩形ABCD的周长．【答案】（1）解：∵y＝x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，∴0＝0+0+m2﹣1，即m2﹣1＝0解得m＝±1．又∵开口向上，∴﹣m＞0，∴m＜0，∴m＝﹣1，∴二次函数解析式为y＝x2﹣3x．（2）﹣≤y＜4（3）解：如图，∵BC＝1，B、C关于对称轴对称，∴B（1，0），C（2，0），∵AB⊥x轴，DC⊥x轴，∴A（1，﹣2），D（2，﹣2），∴AB＝DC＝2，BC＝AD＝1，∴四边形ABCD的周长为6，当BC＝1时，矩形的周长为6．【解析】【解答】解：（2）∵y＝x2﹣3x═（x﹣）2﹣，∴x＝时，y最小值为﹣，x＝0时，y＝0，x＝4时，y＝4，∴0＜x＜4时，﹣≤y＜4．故答案为﹣≤y＜4．【分析】（1）把（0，0）代入抛物线解析式求出m的值，再根据开口方向确定m的值即可．（2）求出函数最小值以及x＝0或4是的y的值，由此即可判断．（3）由BC＝1，B、C关于对称轴对称，推出B（，1，0），C（2，0），由AB⊥x轴，DC⊥x轴，推出A （1，﹣2），D（2，﹣2），求出AB，即可解决问题．15．如图，反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），直线y=﹣x+b（b≠0）与双曲线y= 在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．（1）求k的值；（2）当b=﹣2时，求△OCD的面积；（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），∴k=﹣1×4=﹣4；（2）解：当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，∵y=0时，﹣x﹣2=0，解得x=﹣2，∴C（﹣2，0），∵当x=0时，y=﹣x﹣2=﹣2，∴D（0，﹣2），∴S△OCD= ×2×2=2（3）解：存在．当y=0时，﹣x+b=0，解得x=b，则C（b，0），∵S△ODQ=S△OCD，∴点Q和点C到OD的距离相等，而Q点在第四象限，∴Q的横坐标为﹣b，当x=﹣b时，y=﹣x+b=2b，则Q（﹣b，2b），∵点Q在反比例函数y=﹣的图象上，∴﹣b•2b=﹣4，解得b=﹣或b= （舍去），∴b的值为﹣．【解析】【分析】（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=﹣4；（2）当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C（﹣2，0），D（0，﹣2），然后根据三角形面积公式求解；（3）先表示出C（b，0），根据三角形面积公式，由于S△ODQ=S△OCD，所以点Q和点C到OD的距离相等，则Q的横坐标为（﹣b，0），利用直线解析式可得到Q（﹣b，2b），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b•2b=﹣4，然后解方程即可得到满足条件的b的值．。
人教版九年级数学反比例函数专题复习与测试含答案
m 2 + m − 1 = 1; 2 m + 2m ≠ 0.
解得：
m = −2, 或m = 1 m ≠ 0, 且m ≠ −2
所以 m = 1.
故若 y 是 x 的正比例函数，则 m = 1. ⑵若 y 是 x 的反比例函数，由题意知：
m 2 + m − 1 = −1; 2 m + 2m ≠ 0.
k ( k ≠ 0 ) , 此问题的关键在于确定 k 的值. x k 解：⑴设反比例函数为 y = ( k ≠ 0 ) , 当 x = −1 时， y = 2, 得 k = xy = ( −1) × 2 = −2. x 2 所以反比例函数为 y = − . x ⑵利用函数表达式把已知的 x 或 y 的值代入表达式，即可解出未知 x 或 y 的值.从左到 y=
反比例函数专题复习 反比例函数专题复习
【课标要点 课标要点】 课标要点 1．掌握反比例函数的图象及性质； 2．会求反比例函数的解析式； 3．会画反比例函数的图象．
【知识网络 知识网络】 知识网络
定义 反比例函数的概念 图象 性质
第 1 讲 反比例函数
【知识要点 知识要点】 知识要点 1、一般地，函数 y =
9.如图，已知 A, B 两点是反比例函数 y =
2 x
( x > 0 ) 的图象上任意两点，过 A, B 两点分别
作 y 轴的垂线， 垂足分别是 C , D ， 连结 AB, AO, BO. 求梯形 ABDC 的面积与 ∆AOB 的 面积是多少？
第 2 讲 反比例函数的应用
又∵C 点在反比例函数 y = 【知识运用 知识运用】 知识运用 一、选择题 1.在下列函数中，反比例函数是（ ）
最新人教版九年级下册《反比例函数》专题汇总(解析版)
最新人教版九年级下册《反比例函数》专题汇总一、单选题1．如图，梯形AOBC 的顶点A 、C 在反比例函数3y x =的图像上，//OA BC ，上底OA 在直线y x =上，下底BC 交x 轴于点(2,0)E ，则四边形AOEC 的面积为（ ）A ．3B 3C 31D 31【答案】D 【分析】四边形AOEC 的面积＝梯形AOBC 的面积−三角形OBE 的面积．根据AO ∥BC ，且直线BC 经过E （2，0），解方程组3y xy x ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝求出A 点坐标．根据勾股定理求出OA 、BC 的长度，易求梯形AOBC 的高，从而求出梯形AOBC 的面积．△OBE 是等腰直角三角形，腰长是2，易求其面积，进而即可求解． 【详解】将反比例函数解析式为3y x =，与y ＝x 组成方程组得：3y xy x ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，解得x 3，x ＝3代入y ＝x 得，y 3A 33 ∴OA ()()22336+AOE =45°，∵//OA BC ，∴∠OEB =∠AOE =45°，即BOE △是等腰直角三角形， ∵E （2，0），∴OE=OB=2，B （0，-2）， ∴BE ＝22， ∴BE 边上的高为2， ∴梯形AOBC 高为2，由点C 的纵坐标y =1，代入3y x =，可得x =3，即：C （3，1）， ∴BC =()()22301232-++=，梯形AOBC 面积=12×（32＋6）×2＝3＋3， △OBE 的面积为：12×2×2＝2，则四边形AOEC 的面积=3＋3−2＝1＋3． 故选：D ． 【点睛】此题综合考查了梯形和函数的有关知识，此题难度较大，考查了函数和方程的关系，交点坐标和方程组的解的关系，以及反比例函数的图像．要用梯形、三角形的面积公式及勾股定理来计算． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合，点E 是x 轴上一点，连接AE 、BE ，若AD 平分OAE ∠，反比例函数()0,0k y k x x=<<的图像经过AE 上的点A 、F ，且AF EF =，ABE △的面积为18，则k 的值为（ ）A ．6-B ．12-C ．18-D ．24-【答案】B 【分析】连接BD ，OF ，过点A 作AN ⊥OE 于N ，过点F 作FM ⊥OE 于M ．证明BD ∥AE ，推出S △ABE ＝S △AOE ＝18，推出S △EOF ＝S △AOE ＝9，可得S △FME ＝3，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BD ，OF ，过点A 作AN ⊥OE 于N ，过点F 作FM ⊥OE 于M ． ∵AN ∥FM ，AF ＝FE ， ∴MN ＝ME ， ∴FM ＝12AN ，∵A ，F 在反比例函数的图象上， ∴S △AON ＝S △FOM ， ∴ON •AN ＝•OM •FM ， ∴ON ＝12OM ， ∴ON ＝MN ＝EM ， ∴ME ＝13OE ， ∴S △FME ＝13S △FOE ， ∵AD 平分∠OAE ， ∴∠OAD ＝∠EAD ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ＝∠DAE ， ∴AE ∥BD ， ∴S △ABE ＝S △AOE ， ∴S △AOE ＝18， ∵AF ＝EF ，∴S△EOF＝S△AOF＝9，∴S△FME＝3，∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6，162OM MF ，∵点F在第二象限，∴k＝-12．故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，解题的关键是证明BD∥AE，利用等积法求出三角形面积．3．如图，菱形OABC的两个顶点A、C在反比例函数y＝kx（k≠0）的第一象限内的图象上，已知菱形OABC面积为6，点B坐标为（32，32），则k的值为（）A．2 B．4 C．2D．8【答案】B【分析】连接OB ，AC ，交点为Q ，作AD ⊥y 轴于D ，AF ⊥x 轴于F ，CE ⊥x 轴于E ，根据菱形的性质得出OB 平分∠AOC ，OA ＝OC ，AC ⊥BD ，Q 是AC 、OB 的中点，进而求得Q 的坐标，△AOC 的面积，即可得出m ＋n ＝32，由点B 在直线y ＝x 上，即可得出∠AOD ＝∠COE ，通过证得△AOD ≌△COE 得到A （m ，n ），则C （n ，m ），根据S △OAC ＝S 梯形ACEF +S △AOF ﹣S △COE ＝S 梯形ACEF ，求得n −m ＝2，与m ＋n ＝32组成方程组，解方程组求得m 、n 的值，即可求得k 的值． 【详解】证明：如图连接OB ，AC ，交点为Q ，作AD ⊥y 轴于D ，AF ⊥x 轴于F ，CE ⊥x 轴于E ，∵B 坐标为（22 ∴点B 在直线y ＝x 上， ∵四边形OABC 是菱形，∴OB 平分∠AOC ，OA ＝OC ，AC ⊥BD ，Q 是AC 、OB 的中点， ∴∠AOD ＝∠COE ， 在△AOD 和△COE 中，AOD COE ADO CEO OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOD ≌△COE （AAS ）， ∴AD ＝CE ，OD ＝OE ，∴设A （m ，n ），则C （n ，m ）， ∵Q 是AC 、OB 的中点， ∴322m n += ， ∴m +n ＝2∵菱形OABC 面积为6， ∴S △AOC ＝3，∵S △OAC ＝S 梯形ACEF +S △AOF ﹣S △COE ＝S 梯形ACEF ， ∴12（m +n ）（n ﹣m ）＝3， ∴32（n ﹣m ）＝6， ∴n ﹣m ＝2，∴322m n n m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ，解得222n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∵点A 、C 在反比例函数y ＝k x（k ≠0）的第一象限内的图象上， ∴k ＝mn ＝4， 故选：B ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数系数k 的几何意义，三角形全等的判定和性质，三角形的面积，求得A 或C 的坐标是解题的关键．4．如图所示，直线2x y =与双曲线()0,0k y k x x =>>交于点A ，将直线2x y =向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，与双曲线()0,0ky k x x=>>交干点B ，若3OA BC =，则k 的值为（ ）A ．3B ．6C ．1D ．92【答案】D 【分析】方法1，过点A 引1AA x ⊥轴于点1A ，过点B 引 1BB x ⊥轴于点1B ，过点C 引11CC BB ⊥于点 1C ，易证11Rt ~Rt AOA BCC ，所以 11133OA CC OB ==，得A 33,2b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ,42b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再代入A A B B k x y x y ==即可得出答案．方法2，设A ,kx x ⎛⎫⎪⎝⎭，代入2xy =得2x k =，所以A 22,2k k ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．因为11AOA BCC ，且3OA BC =，由平移得B 22,436k k ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭．计算22436k k k ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭即可得出答案． 【详解】方法1 如图所示，过点A 引1AA x ⊥轴于点1A ，过点B 引1BB x ⊥轴于点1B ，过点C 引11CC BB ⊥于点1C ．因为OA CB ∥，所以11Rt Rt AOA BCC ，于是有11133OA CC OB ==， 设点A 的坐标为,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，点B 的坐标为,42bb ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以3a b =，故点A 的坐标为33,2b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭．从而可由点A ，B 均在双曲线ky x=上，得A A B B k x y x y ==，即133422b b b b ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭，解得1b =或0（舍去）， 于是由点A 的坐标为33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．可得92=k ．故选D ．方法2 设点A 的坐标为,k x x ⎛⎫⎪⎝⎭，于是由点A 在2x y =上，可得2k x x =，即2x k =A 的坐标为22,k k ⎭．又因为11AOA BCC ，且3OA BC =，从而根据已知平移的性质，可得点B 的坐标为22,436k k ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭．据此同样可根据22436k k k ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得92=k 或0（舍去）． 故选D ． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，设出A 、B 两点的坐标，再根据k =xy 的特点求出k 的值是解决本题的关键．5．如图，11122233,,,OA B A A B A A B △△△…是分别以123,,,A A A …为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点111222333(,),(,),(,),C x y C x y C x y …均在反比例函数4y x=（x ＞0）的图象上，则12100y y y +++的值为（ ）A ．210B ．20C ．42D ．27【答案】B 【分析】作辅助线如图，根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特点依次求出1234C C C C 、、、点的纵坐标，找到规律，再求和即可．【详解】解：过123C C C 、、……分别作x 轴的垂线，垂足分别为123D D D 、、……其斜边的中点1C 在反比例函数4y x=上，∴12,2C （），即12y =， ∴1112OD D A ==，设12A D a =，则22C D a =，此时2(4,)C a a +，带入4y x=， 解得：222a =-，2222y =-， 同理32322y =-，42423y =-，……1002100299y =-， 12100=2+2222322+2100299=2100=20y y y +++（-）+（-）……（-）故选：B ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等腰直角三角形的性质以及一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相关知识、找到规律是解题的关键．6．如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A 、B 分别在x 轴和y 轴正半轴上，顶点C 、D 分别落在双曲线k y x=上，过点C 作y 轴垂线交y 轴于点E ，且2OB BE =．若平行四边形ABCD 的面积为16，则k 的值为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24 【答案】B【分析】连接AC ，设2=OB a ，则BE a =，则(0,2)B a ，(0,3)E a ，(3kC a ，3)a ，设点A 的横坐标为m ，则(,0)A m ，由平行四边形的平移可知，(3kD m a +，)a ；再根据点D 在反比例函数k y x=上，则()3km a k a+=，即23km a =，最后根据8ABC AOB BCE OACE S S S S =--=△△△梯形建立方程即可可解得12k =．【详解】解：如图，连接AC ，由题意可得：ABC 的面积为8，设2=OB a ，则BE a =，(0,2)B a ∴，(0,3)E a ，点C 在反比例函数ky x=上，(3kC a∴，3)a ， 设点A 的横坐标为m ，则(,0)A m ，由平行四边形的性质可知，//BC AD ，BC AD =， ∵由B 到C 向上移动a ，向右移动3ka ， ∴由A 到D 向上移动a ，向右移动3ka， (3kD m a∴+，)a ， 又∵点D 在反比例函数k y x=上，()3km a k a∴+=，解得：23k m a =， ∵8ABC AOB BCE OACE S S S S =--=△△△梯形， ∴12121()3282332323k k k k a a a a a a a +⋅-⋅⋅-⋅⋅=，∴112132822323k k k a a a a a a ⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅=，∴328236k k k --=， 解得：12k =．故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的性质，平行四边形的性质，由平移方式确定点的坐标，能通过B 点的平移方式和反比例函数上点的坐标特征表示D 点的坐标是解决本题的关键．7．如图，正方形1112A B PP 的两个顶点1A ，1B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，另外两个顶点1P ，2P 在函数2y x=的图像上，在正方形1112A B PP 的右侧再作一个正方形2223A B P P ，使2A 在x 轴上，3P 在函数图像上，则点3P 的坐标为（）A ．()221B ．()331C ．)551D ．()3,1【答案】B【分析】 分别过点123P P P ，，作123PC y P B x P D x ⊥，⊥，⊥，过点2P 作23P E P D ⊥，根据全等求出各边之间的关系，设113OA a OB b P D c ===，，，表示出123P P P ，，的坐标代入反比例函数，求解即可．【详解】解：分别过点123P P P ，，作123PC y P B x P D x ⊥，⊥，⊥，过点2P 作23P E P D ⊥，如下图：则11112190PCB AOB P BA ∠=∠=∠=︒，111190PB C B PC ∠+∠=︒ 在正方形1112A B PP 中，111211A B A P B P ==，11111290PB A B A P ∠=∠=︒∴111190PB C A B O ∠+∠=︒∴1111B PC A B O ∠=∠ ∴1111()PB C B AO AAS △≌△同理可得：1211A PB B AO △≌△，2332P P E P A D △≌△ 由题意可知：四边形2P BDE 为矩形，设113OA a OB b P D c ===，，则211111=BP B C OA a A B PC OB b =====，，23P E P D BD c === 则1(,)P b a b +，2(,)P a b a +，3(,)P a b c c ++ 代入反比例函数得2a b b +=①，2a a b =+②，2c a b c=++③ 由①得2a b b =-，代入②得222b b b b b-=-+，化简得21b =，解得1b =±（负值舍去） 将1b =代入①得12a +=，1a = 代入③得22c c=+，化简得2220c c +-= 由求根公式可得22241(2)13c -±-⨯⨯-=- 31c =，令31y =231x=，解得31x =+ 点3P 的坐标为()331故选B ．【点睛】此题考查了反比例函数与几何的综合应用，涉及了全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及一元二次方程的求解，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的斜边AB 的中点与坐标原点重合，点D 是x 轴上一点，连接CD 、A D ．若CB 平分OCD ∠，反比例函数(0,0)k y k x x=<<的图象经过CD 上的两点C 、E ，且CE DE =，ACD △的面积为18，则k 的值为（ ）．A ．8-B ．12-C ．14-D ．16-【答案】B【分析】 连接OE ，过点E 作EF ⊥OD 于点F ，过点C 作CG ⊥OD 于点G ，证明CD ∥AB ，推出S △OCD ＝S △ACD ＝18，求得△ODE 的面积，再证明DF ＝FG ＝OG ，得S △OEF ＝23S △ODE ，进而即可求解．【详解】解：连接OE ，过点E 作EF ⊥OD 于点F ，过点C 作CG ⊥OD 于点G ，则EF ∥CG ，∵CE ＝DE ，∴DF ＝FG ，EF ＝12CG ， ∵反比例函数(0,0)k y k x x =<<的图象经过CD 上的两点C 、E ，∴S △OCG ＝S △OEF ＝12|k |， ∴12OG •CG ＝12OF •EF ，∴OF ＝2FG ，∴DF ＝FG ＝OG ，∴S △OEF ＝23S △ODE ，∵Rt △ABC 的斜边AB 的中点与坐标原点重合，∴OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∵CB 平分∠OCD ，∴∠OCB ＝∠DCB ，∴∠OBC ＝∠DCB ，∴CD ∥OB ，∴S △OCD ＝S △ACD ＝18，∵CE ＝DE ，∴S △ODE ＝12S △OCD ＝9，∴S △OEF ＝23S △ODE ＝23×9＝6， ∴12|k |＝6，∵k ＜0，∴k ＝−12．故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的性质，直角三角形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明CD ∥AB ，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．9．如图，过原点的直线与反比例函数(0)k y k x=>的图象交于A 、B 两点，点A 在第一象限，点C 在x 轴正半轴上，连接AC 交反比例函数图象于点D ，AE 为BAC ∠的平分线，过点B 作AE 的垂线，垂足为E ，连接DE ，若2AD DC =，ADE 的面积为8，则k 的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】B【分析】 如图：连接OE 、CE ，过点A 作AF ⊥x 轴，过点D 作DH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥AF ；由AB 经过原点，则A 与B 关于原点对称，再由BE ⊥AE ，AE 为∠BAC 的平分线，可得AD //OE ，进而可得S △ACE =S △AOC ；设点A （m ，k m ），由已知条件AC =2DC ，DH ∥AF ，可得3DH =AF ，则点D （3m ，3k m ），证明△DHC ∽△AGD ，得到S △HDC =14S △ADG ，所以S △AOC =S △AOF +S 梯形AFHD +S △HDC =12k +43k +6k =12；即可求解． 【详解】解：如图：连接OE ，CE ，过点A 作AF ⊥x 轴，过点D 作DH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥AF ，∵过原点的直线与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，B两点，∴A与B关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BE⊥AE，∴OE=OA，∴∠OAE=∠AEO，∵AE为∠BAC的平分线，∴∠OAE=∠CAE，∴∠DAE=∠AEO，∴AD//OE，∴S△ACE=S△AOC，∵AD=2DC∴AC=3DC，∵△ADE的面积为8，∴S△ACE=S△AOC=12，设点A（m，km），∵AC=3DC，DH//AF，∴3DH =AF ，∴D （3m ，3k m ）， ∵CH //GD ，AG //DH ，∴△DHC ∽△AGD ，∴S △HDC =14S △ADG ，∵S △AOC =S △AOF +S 梯形AFHD +S △HDC=11()22HDC k DH AF FH S ∆+⨯+⨯+=11411222223243k k k m m m m +⨯⨯+⨯⨯⨯ =1412236k k k ++=， ∴2k =12，∴k =6．故选B ．【点睛】本题主要考查反了比例函数k 的几何意义、直角三角形、角平分线等知识点，将△ACE 的面积转化为△AOC 的面积是解答本题的关键．10．如图，点B 是反比例函数()120y x x =>图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足分别为A ，C ．反比例函数()0k y x x =>的图象经过OB 的中点M ．与AB ，BC 分别交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，下列结论①6k =；②:1:3AD DB =；③BDF 的面积是个定值；④AD CF =中，正确的有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【分析】取OA 的中点N ，连接MN ，由中位线定理可知AB =2MN ，OA =2ON ，设点B 的坐标为(m ，n )，则可得mn =12，从而可得k 的值，得到函数解析式，对①可作出判断；由AB ⊥y 轴，可得得D 的坐标，从而可求得AD 、DB ，并求得其比，对②可作出判断；由前一问的结论可求得△BDF 的面积，故可对③作出判断；因点E 在k y x=上，且BC ⊥x 轴，可得E 的坐标，也可求得CE 与EF 的比，再由△CEF ∽△BED ，从而易得CF 与AD 的关系，从而可对④作出判断．【详解】取OA 的中点N ，连接MN ，如图∵M 是OB 的中点∴MN 是△OAB 的中位线∴AB =2MN ，OA =2ON设点B 的坐标为(m ，n )，则AB =m ，OA =n ∴1122MN m ON n ==， ∴11,22M m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∵点B 是反比例函数()120y x x =>图象上一点 ∴mn =12 ∴12m n= ∵点M 在双曲线ky x =上 ∴1122m n k ⨯=∴k =3故①不正确； ∵3y x =，且AB ⊥y 轴，点D 在此双曲线上∴点D的纵坐标为n∴3 xn =即3 ADn=∵12 mn =∴DB=AB-AD=1239 n n n-=∴AD:DB=1:3 故②正确；∵1199222 BDFS DB OA nn==⨯⨯=△∴△BDF的面积为定值故③正确；∵点D在3yx=的图象上，且BC⊥x轴∴E点的横坐标为m∴3 ym =即3 CEm=∵AB⊥y轴，BC⊥x轴，AO⊥BO ∴四边形ABCO是矩形∴BC=OA=n12m=，AB∥OC∴CE：BC=1：4 ∴CE：BE=1：3 ∵AB∥OC∴△CEF∽△BED∴13 CF CE DB BE==∴CF：DB=1：3∴AD=CF故④正确综上所述，正确的结论有②③④三个故选：C．【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合，考查了反比例函数的图象，面积的计算，相似三角形的判定与性质，中位线定理等知识，掌握反比例函数的性质是关键．11．平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交y轴于C，D两点，则的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限求得，，再根据为双曲线上一点求得；根据点A与点M的坐标求得直线AM解析式为，进而求得，根据点B与点M的坐标求得直线BM解析式为，进而求得，最后计算即可．【详解】解：∵直线与双曲线相交于A，B两点，∴联立可得：解得：或∵点A在第一象限，∴，．∵为双曲线上一点，∴．解得：．∴．设直线AM的解析式为，将点与点代入解析式可得：解得：∴直线AM的解析式为．∵直线AM与y轴交于C点，∴．∴．∴．∵，∴．设直线BM的解析式为，将点与点代入解析式可得：解得：∴直线BM 的解析式为． ∵直线BM 与y 轴交于D 点， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴=4．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 与反比例函数()0k y x x =>的图象交于D ，E 两点，矩形的顶点A ，C 在坐标轴上，:10:21OD DE =，90ODE ∠=︒，若点D 的坐标为()2,5，则下列结论错误的是（ ）A ．10OEC S =△B ．44120DBE S =△C ．214BE EC =D ．点E 的坐标为254,25⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】 先根据题意求得OA =5,AD =2,OD 2229OA AD +:10:21OD DE =求出DE ,然后再证明△OAD ∽△DBE 可得OA AD OD DB BE DE==，进而求得BD 、BE ，然后求出OC 、EC ，最后逐项排查即可． 【详解】解：∵四边形OABC 为矩形，D (2,5)∴OA =5，AD =2，OD 2229OA AD +又∵:10:21OD DE =∴DE 212910∵∠ODE =90°∴∠ODA +∠BDE =90°又∵∠ODA +∠AOD =90°∴∠BDE =∠AOD90,OAD DBE ∠=∠=︒∴△OAD ∽△DBE ∴OA AD OD DB BE DE ==,即521021DB BE == ∴BD 212= ，BE 215= ∴OC =AD +BD =2125222+=，EC =BC -BE =214555-=∴S △OEC =1125452225OC CE =⨯⨯=,故A 错误；符合题意； S △DEB =112121441222520BD BE =⨯⨯= ，故B 正确；不符合题意； 21215445BE EC ==,故C 正确；不符合题意； CO =252，EC =45，则点E 的坐标为254,25⎛⎫ ⎪⎝⎭．正确，不符合题意； 故选：.A【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的结合、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数()0ky x x =>的图象过点A ，连接OA ，过点A 作OA 的垂线交反比例函数图象于另一点B ，若2AB OA =，点A 的横坐标为1，则k 的值是_____________．21【分析】作AD x ⊥轴于D ，BE AD ⊥于E ，通过证得ABE OAD ∽，得出2AE =，2BE AD =，设(1,)A n ，则(12,2)B n n +-，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到(12)(2)k n n n ==+⋅-，解得即可．【详解】解：作AD x ⊥轴于D ，BE AD ⊥于E ，OA AB ⊥，90OAD BAE ∴∠+∠=︒，90AOD OAD ∠+∠=︒，BAE AOD ∴∠=∠，90AEB ODA ∠=∠=︒，ABE OAD ∴∽， ∴AE BE AB OD AD OA==， 2AB OA =，点A 的横坐标为1， ∴=21AE BE AB AD OA==， 2AE ∴=，2BE AD =，设AD n =，则2BE n =，∴(1,)A n ，则(12,2)B n n +-， 反比例函数(0)ky x x =>的图象过点A 、B ，(12)(2)k n n n ∴==+⋅-， 解得112n =21-2n =12k ∴= 故答案为12【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，表示出A 、B 的坐标是解题的关键．14．如图，在Rt△ABC 中，∠ABC ＝90°，C （0，﹣4），AC 与x 轴交于点D ，CD ＝4AD ，点A 在反比例函数k y x=（x ＞0）的图象上，且y 轴平分∠ACB ，求k ＝__．【答案】53【分析】作x 轴的垂线，构造相似三角形，利用4CD AD ＝和C （0，﹣4）可以求出A 的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点A 的坐标，进而确定k 的值．【详解】解：过A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，∵C （0，﹣4），∴OC ＝4，∵∠AED ＝∠COD ＝90°，∠ADE ＝∠CDO ∴ADE CDO ∽，∵4CD AD ＝，∴41AE DE AD CO OD CD ===，∠OCD ＝∠DAE ， ∴AE ＝1；又∵y 轴平分∠ACB ，CO ⊥BD ，在△OBC 和△ODC 中，90BCO DCO OC OC BOC DOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△OBC ≌△ODC （ASA ）∴BO ＝OD ，∠OCB ＝∠OCD ，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBD＝90°，又∵∠OCB+∠CBD＝90°，∴∠OCB＝∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，∴△ABE～△DCO，∴AE BE OD OC=，设DE＝n，则BO＝OD＝4n，BE＝9n，∴1944n=n，∴n＝13，∴OE＝5n＝53，∴A（53，1）∴k＝53×1＝53．故答案为：53．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质求A的坐标，依据A在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出k的值．综合性较强，注意转化思想方法的应用．15．如图，点A，B在反比例函数ykx=第一象限的图象上，点A坐标为（1，2），AB的延长线交x轴于点C．点D在x轴上，BD的延长线交双曲线的另一支于点E，AB＝BC＝BD．则点C的坐标为____，△CDE的面积等于____．【答案】(3,0) 2【分析】 先求出反比例函数的解析式2y x =，根据B 为AC 的中点，由中点坐标公式可计算出(3,0)C ，同理可求出点(1,0)D ，再求出直线BD 的方程1y x =-，联立12y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩求出点(1,2)E --，根据1||2BCE E S CD y =⋅即可求解． 【详解】解：点A ，B 在反比例函数y k x=第一象限的图象上，将(1,2)A 代入上式，解得：2k =，2y x ∴=， 设点(,0)C c ，AB BC =，B ∴为AC 的中点， 由中点坐标公式可得：1(,1)2c B +， 将1(,1)2c B +代入2y x =，解得：3c =，即(3,0)C ，(2,1)B ∴由勾股定理得：ABBD ∴=设(,0),(03)D d d <<，=解得：1d =，故(1,0)D ，设直线BD 的方程为y kx b =+，解得,B D 两点代入其中得：012k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：1,1k b ==-，1∴=-y x ， 联立12y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得：12x y =-⎧⎨=-⎩或21x y =⎧⎨=⎩， 由图可得：(1,2)E --312,||2E CD y =-==， 由11||22222BCE E S CD y =⋅=⨯⨯=， 故答案是：(3,0)C ，2．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，中点坐标公式，勾股定理，解题的关键是掌握用待定系数法求函数的解析式．16．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，▱ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F．若kyx=（k≠0）图象经过点C，且S△BEF＝1，则k的值为_____．【答案】24【分析】连接OC，BD，根据折叠的性质得到OA＝OE，得到OE＝2OB，求得OA＝2OB，设OB＝BE＝x，则OA＝2x，根据平行四边形的性质得到CD＝AB＝3x，根据相似三角形的性质得到133BE EF xCD DF x===，求得S△BDF＝3，S△CDF＝9，于是得到结论．【详解】解：连接OC，BD，∵将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，∴OA＝OE，∵点B恰好为OE的中点，∴OE＝2OB，∴OA＝2OB，设OB＝BE＝x，则OA＝2x，∴AB＝3x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3x，∵CD∥AB，∴△CDF∽△BEF，∴133 BE EF xCD DF x===，∵S△BEF＝1，∴S △BDF ＝3，S △CDF ＝9， ∴S △BCD ＝12， ∴S △CDO ＝S △BDC ＝12， ∴k 的值＝2S △CDO ＝24． 故答案为：24【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k 的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．17．如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，顶点A ，C 在双曲线()110k y k x=>上，顶点B ，D 在双曲线()220k y k x=<上，且BD 经过点O ．若122k k +=，则菱形ABCD 面积的最小值是___________．【答案】3【分析】先构造出COM ∽△OBN ，得出OM CM OCBN ON OB==，再判断出△BCD 是等边三角形，得出OC 3，进而得出OM 3，CM 3，设点B 的坐标为（m ，2k m ），求出C （23k 3），进而得出k 1=-3k 2，进而求出k 1=3，k 2=-1，进而求出OB ，OC ，最后得出S 菱形ABCD 3m -1m)23论．【详解】解：如图，过点C 作CM ⊥y 轴于M ，过点B 作BN ⊥y 轴于N ，连接OC ， ∴∠OMC =∠BNO =90°， ∴∠COM +∠OCM =90°， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴OC ⊥BD ， ∴∠BOC =90°， ∴∠COM +∠BON =90°， ∴∠OCM =∠OBN ， ∴△COM ∽△OBN ， ∴OM CM OCBN ON OB==， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD =CB ，AB ∥CD ，∴∠BCD =180°-∠ABC =60°， ∴△BCD 是等边三角形， ∵OC ⊥BD ，∴OC ，∴OM CMBN ON==∴OM ，CM ， 设点B 的坐标为（m ，2k m）， ∴BN =m ，ON =2k m-，∴OM ，CM -2k m )=∴C （）， ∵点C 在反比例函数y =1k x图象上，∴23k m-×3m =k 1， ∴k 1=3-k 2， ∵k 1+k 2=2， ∴k 1=3，k 2=-1， ∴3(3)C m m，，1()B m m ，-，∴22223()(3)1OC m OB m m m=+=+，， ∴S 菱形ABCD =2×12BD •OC =2OB •OC2222312()(3)m m m m=+⨯+ 223(12)m m =+. 2123()43m m=-+， ∴当m =1m时，S 菱形ABCD 最小=43， 故答案为：43．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法，构造出相似三角形是解本题的关键．18．如图，平行四边形OABC 中，点A ，C 在反比例函数1k y x=第一象限的图象上，点B 在反比例函数2k y x =第一象限的图象上，连接AC 并延长交x 轴于点D ，若2AD AC =，则12k k 的值是_______．【答案】29 【分析】作AM x ⊥轴于M ，CN x ⊥轴于N ，由//AM CN ，即可得出12CNCD AMAD ==，即2AM CN =，设1(k C m，)m ，则1(2k A m ，2)m ，根据平行四边形的性质得出11(2k k B m m +，3)m ，代入2k y x=即可证得结论．【详解】解：作AM x ⊥轴于M ，CN x ⊥轴于N ，//AM CN ∴，∴CN CDAM AD=， 2AD AC =，∴12CN CD AM AD ==， 2AM CN ∴=，设1(k C m，)m ，则1(2k A m ，2)m ， 四边形OABC 是平行四边形，且原点O 向右平移12km 个单位，向上平移2m 个单位得到A ，∴点C 向右平移12k m个单位，向上平移2m 个单位得到B ， 11(2k k B m m∴+，3)m ，点B 在反比例函数2k y x=第一象限的图象上， 112()32k k m k m m∴+⋅=， ∴1229k k =， 故答案为29． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，解题的关键是表示出A 、B 、C 的坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y ＝kx 与反比例函数8y x-=的图象交于A ，B （-2，a ）两点，过原点O 的另一条直线l 与双曲线y ＝k x交于P ，Q 两点（Q 点在第四象限），若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形面积为24，则点P 的坐标是_______．【答案】（-4，2）或（-1，8） 【分析】根据题意先求出点B （﹣2，4），利用反比例函数的对称性求出A （2，﹣4），再把A 代入代入正比例函数得出解析式，利用原点对称得出四边形AQBP 是平行四边形，S △POB ＝S 平行四边形AQBP ×14＝14×24＝6，设点P 的横坐标为m （m ＜0且m ≠﹣2），得到P 的坐标，根据双曲线的性质得到S △POM ＝S △BON ＝4，接着再分情况讨论：若m ＜﹣2时，可得P 的坐标为（﹣4，2）；若﹣2＜m ＜0时，可得P 的坐标为（﹣1，8）． 【详解】解：∵点B （﹣2，a ）在反比例函数8y x=-上，∴把x＝﹣2代入反比例函数82x-=-，解得y＝4，∴点B（﹣2， 4），∵点A与B关于原点对称，∴A点坐标为（2，﹣4），把点A（2，﹣4）代入反比例函数y kx=，得k＝﹣2，∴正比例函数为y＝﹣2x，∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，∴OP＝OQ，OA＝OB，∴四边形AQBP是平行四边形，∴S△POB＝S平行四边形AQBP×14＝14×24＝6，设点P的横坐标为m（m＜0且m≠﹣2），得P（m，﹣8m），过点P、B分别做x轴的垂线，垂足为M、N，∵点P、B在双曲线上，∴S△POM＝S△BON＝4，若m＜﹣2，如图1，∵S△POM+S梯形PMNB＝S△POB+S△POM，∴S梯形PMNB＝S△POB＝6．∴12（4﹣8m）•（﹣2﹣m）＝6．∴m1＝﹣4，m2＝1（舍去），∴P（﹣4，2）；若﹣2＜m＜0，如图2，∵S△POM+S梯形BNMP＝S△BOP+S△BON，∴S梯形BNMP＝S△POB＝6．∴12（4﹣8m）•（m+2）＝6，解得m1＝﹣1，m2＝4（舍去），∴P（﹣1，8）．∴点P的坐标是P（﹣4，2）或P（﹣1，8），答案为：（﹣4，2）或（﹣1，8）．【点睛】此题考查一次函数和反比例函数的综合，解题关键在于做出辅助线，运用分类讨论的思想解决问题．20．如图，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于C、D两点，与反比例函数y＝mx的图象交于A（1，3）、B（3，1）两点，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，连结EF．给出以下结论：①m＝3，k＝﹣1，b＝4；②EF∥AB；③五边形AEOFB的面积＝6；④四边形DEFB与四边形AEFC的周长相等．所有正确的结论有 ______．（填正确的序号）【答案】①②④【分析】根据待定系数法求出函数关系式可确定k、b、m的值，并对①作出判断；确定点E、F的坐标及直线AB与x轴、y轴交点C、D的坐标，利用等腰直角三角形的性质可对②作出判断；根据S五边形AEOFB＝S△COD﹣S△ADE﹣S△BCF，即可对③作出判断；由坐标求出相应的线段的长，根据勾股定理求出AD、BC、EF、CD的长，再求出BD、AC的长，分别计算出四边形DEFB与四边形AEFC的周长即可对④作出判断．【详解】∵直线y＝kx+b过A（1，3）、B（3，1）两点，∴3 31k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得14kb=-⎧⎨=⎩，∴直线的函数关系式为y＝﹣x+4，又∵反比例函数y＝mx的图象过A（1，3），∴m＝1×3＝3，∴反比例函数的关系式为y＝3x，因此①正确；∵AE⊥y轴，BF⊥x轴，∴E（0，3），F（3，0），∴OE＝OF＝3，又∵直线y＝﹣x+4与x轴的交点C（4，0），与y轴的交点D（0，4），∴OC＝OD＝4，∴AE＝DE＝BF＝FC＝1，∴∠BCF＝∠EFO＝45°，∴EF∥AB，因此②正确；S五边形AEOFB＝S△COD﹣S△ADE﹣S△BCF＝12×4×4﹣12×1×1﹣12×1×1＝7，因此③不正确；在直角△ADE中，AD=在直角△BCF中，BC，在直角△EOF中，EF=在直角△COD中，CD=∴BD=CD-BC=AC=CD-AD=∴四边形DEFB的周长为DE+EF+BF+BD＝，四边形AEFC的周长为AE+EF+FC+AC＝，∴四边形DEFB与四边形AEFC的周长相等，因此④正确；综上所述，正确的结论有：①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的图象的交点坐标，勾股定理，图形的周长与面积的计算，待定系数法求函数解析式以及勾股定理求出线段的长是解决问题的关键．21．如图，已知直线y＝kx＋b与函数y＝mx（x＞0）的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B ，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，点D 为AB 中点，线段CD 交y 轴于点E ，连接BE ．若△BEC 的面积为272，则m 的值为___．【答案】27 【分析】过点A 作AF ⊥y 轴于点F ，连接AE ，根据点D 是AB 的中点，△ADC 的面积=△BDC 的面积，△ADE 的面积=△BDE 的面积，从而其差相等，即△AEC 的面积=△BEC 的面积，由于△AEC 的面积=矩形AFOC 面积的一半，再由反比例函数中k 的几何意义即可求得m 的值． 【详解】过点A 作AF ⊥y 轴于点F ，连接AE ，如图 ∵AC ⊥x 轴，FO ⊥OC ∴四边形ACOF 是矩形 ∵点D 是AB 的中点∴CD 、ED 分别是△ABC 、△ABE 的边AB 上的中线 ∴ADCBDCS S =， ADEBDESS=∴ADC ADE BDCBDES SSS-=-即272AECBECSS==∵·ACOF S AC OC =矩形，1·2AECS AC OC =∴2722272AECACOF S S==⨯=矩形 ∴根据反比例函数解析式中k 的几何意义知，27ACOF S m ==矩形∵反比例函数的图象在第一象限∴m=27故答案为：27．【点睛】本题考查了三角形中线的性质、反比例函数比例系数k的几何意义、矩形的判定等知识，添加辅助线，利用三角形中线平分三角形面积的性质是本题的关键．22．如图，反比例函数6yx=的图象与直线y x m=-+（0m>）交于A，B两点（点A在点B左侧），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，连接AO，BO，图中阴影部分的面积为6，则m的值为______．【答案】33【分析】首先由已知得到S△BFG＝2S△OEC，从而可得A、B横坐标的关系，再设A、B坐标代入y＝−x＋m，即可求解．【详解】解：过点A、B分别作y轴和x轴的垂线，垂足分别为R、F，设点M是AB的中点，由6yxy x m⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得：x2−mx＋6＝0，由题意可得x2−mx＋6＝0有两个不相等的实数根分别设为x1，x2，则x1＋x2＝m，y1＋y2＝−x1＋m−x2＋m＝m，则点M的坐标为（12m，12m），设直线AB交x轴于点G，交y轴于点H，对于y＝−x＋m，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝m，∴点G、H的坐标分别为（m，0）、（0，m），则点HG中点的坐标为（12m，12m），即点M也为GH的中点，故AH＝BG，∵AR∥x轴，∴∠HAR＝∠BGF，∵∠HRA＝∠BFG＝90°，∴△HRA≌△BFG（AAS），∴AR＝OC＝FG，∴S△HRA＝S△BFG，∵S△AEO＋S△OCE＋S△OCE＋S四边形ECFB＝12|k|＋12|k|＝6，而阴影部分的面积＝S△AEO＋S四边形EBFC＋S△BFG＝6，∴S △BFG ＝2S △OEC ， 即2×12×CO •EC ＝12×BF •FG ，而OC ＝FG ，∴EC ＝12BF ，即EC 是△OBF 的中位线，故设点A 的坐标为（t ，6t ），则点B （2t ，3t ），将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式得：632t m t t m t ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＋＝＋，解得333t m ⎧=⎪⎨=⎪⎩（不合题意的值已舍去）， 故答案为：33．【点睛】本题为反比例函数综合运用，考查反比例函数和一次函数的基本性质、中点公式的运用、三角形全等及面积问题，题目较难，解题的关键是得出A 、B 横坐标的关系．23．如图，已知等腰三角形ABC 的底边BC 落在x 轴上，延长CA 到点D ，使得AD AC =，延长AB 交y 轴于点E ，连接CE ，点D 落在反比例函数()0k y k x=≠的图像上．若BCE ∆的面积等于23，则k =_______． \【答案】3连接,,OD ED BD ，根据已知条件可得,BDA BCA EDA ECA S S S S ==△△△△，进而可得EDB ECB S S =△△，再证明DB BC ⊥，则可得DBO DBE S S =，根据反比例函数k 的几何意义，即可求得；【详解】连接,,OD ED BD ，AD AC =，,BDA BCA EDA ECA S S S S ∴==△△△△，EDB ECB S S ∴=△△，,AB AC AD AC ==，AD AB ∴=，,DBA BDA ABC ACB ∴∠=∠∠=∠，180DBA BDA ABC ACB ∠+∠+∠+∠=︒，90ABD ABC ∴∠+∠=︒，DB BC ∴⊥，//OE DB ∴，DBO DBE S S ∴==△△23ECB S =△243OBD k S ∴==△ D 在第一象限，43k ∴= 故答案为：43本题考查了三角形中线的性质，反比例函数k 的几何意义，掌握以上知识点是解题的关键．24．如图，在ABC 中，AB AC =，点A 在反比例函数(0,0)ky k x x =>>的图像上，点B 、C 在x 轴上，15OC OB =，延长AC 交y 轴于点D ，连接BD ，若BCD △的面积等于1，则k 的值为______．【答案】3【分析】作AE BC ⊥于E ，连接OA ，根据等腰三角形的性质得出12OC CE =，根据相似三角形的性质求得1CEA S ∆=，进而根据题意求得32AOE S ∆=，根据反比例函数系数k 的几何意义即可求得k 的值． 【详解】解：作AE BC ⊥于E ，连接OA ，AB AC =，CE BE ∴=，15OC OB =， 12OC CE ∴=， //AE OD ，COD CEA ∴∆∆∽，∴2()4CEA COD S CE S OC∆∆==， BCD ∆的面积等于1，15OC OB =，1144COD BCD S S ∆∆∴==， 1414CEA S ∆∴=⨯=， 12OC CE =， 1122AOC CEA S S ∆∆∴==， 13122AOE S ∆∴=+=， 1(0)2AOE S k k ∆=>， 3k ∴=，故答案为3．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，三角形的面积，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题25．如图，直线2y x =-+与双曲线ky x=-相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AD x ⊥轴，垂足为D ，已知32ACD S ∆=．（1）求此双曲线的函数表达式；（2）求点A ，B 的坐标；（3）直接写出不等式2k x x -+≥的解集【答案】（1）3y x =-；（2）()3,1A -，()1,3B -；（3）1x ≤-或03x <≤．【分析】（1）利用反比例函数k 的几何意义即可求出k =-3．（2）联立两个函数表达式求解即可．（3）根据图像和第二小题即可找出所求解集．【详解】（1）∵Δ113222ACD A A S y x k =⋅⋅== ∴3k =-或3．∵反比例函数只分布在第二、四象限，∴0k <，∴3k =-． 所以，这个双曲线的函数表达式为3y x=-．（2）由题意得：23y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩， 解得：1113x y =-⎧⎨=⎩或2231x y =⎧⎨=-⎩．所以，A ，B 坐标分别为()3,1A -，()1,3B -（3）由图象知，不等式2k x x-+≥的解集为1x ≤-或03x <≤．【点睛】本题考查反比例函数表达式的求解、一次函数和反比例函数的交点等问题，熟练掌握反比例函数的知识是本题解题关键．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x =的图象交于点()2,4A 和点(),2B m -．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）直线AB 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点C ．①过点C 作//CE x 轴交反比例函数2k y x =的图象于点E ，连接AE ，试判断ACE ∆的形状，并说明理由；②设M 是x 轴上一点，当12CMO DCO ∠=∠时，求点M 的坐标．【答案】（1）2y x =+；8y x =；（2）①等腰直角三角形，见解析；②点M 坐标为(2)2,0+或(22,0)--． 【分析】（1）根据点()2,4A 在反比例函数2k y x =的图象上，可求出反比例函数的表达式为8y x=，从而得到。
人教中考数学专题复习反比例函数的综合题及详细答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），与y轴交于点C．（1）m=________，k1=________；（2）当x的取值是________时，k1x+b＞；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP 与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE=3：1时，求点P的坐标．【答案】（1）4；（2）﹣8＜x＜0或x＞4（3）解：由（1）知，y1= x+2与反比例函数y2= ，∴点C的坐标是（0，2），点A 的坐标是（4，4）．∴CO=2，AD=OD=4．∴S梯形ODAC= •OD= ×4=12，∵S四边形ODAC：S△ODE=3：1，∴S△ODE= S梯形ODAC= ×12=4，即OD•DE=4，∴DE=2．∴点E的坐标为（4，2）．又点E在直线OP上，∴直线OP的解析式是y= x，∴直线OP与y2= 的图象在第一象限内的交点P的坐标为（4 ，2 ）．【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数y2= 的图象过点B（﹣8，﹣2），∴k2=（﹣8）×（﹣2）=16，即反比例函数解析式为y2= ，将点A（4，m）代入y2= ，得：m=4，即点A（4，4），将点A（4，4）、B（﹣8，﹣2）代入y1=k1x+b，得：，解得：，∴一次函数解析式为y1= x+2，故答案为：4，；（2）∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，4）和B（﹣8，﹣2），∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4，故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4；【分析】（1）由A与B为一次函数与反比例函数的交点，将B坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值；（2）由A与B 横坐标分别为4、﹣8，加上0，将x轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可；（3）先求出四边形ODAC的面积，由S四边形ODAC：S△ODE=3：1得到△ODE的面积，继而求得点E的坐标，从而得出直线OP的解析式，结合反比例函数解析式即可得．2．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B，D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）．（1）点C的坐标________；（2）若反比例函数y= （k≠0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求m的值及反比例函数的解析式；（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，使得S△PEF= S△CEF，求点P的坐标．【答案】（1）（3，0）（2）解：∵AB=CD=3，OB=1，∴A的坐标为（1，3），又C（3，0），设直线AC的解析式为y=ax+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ．∵点E（2，m）在直线AC上，∴m=﹣ ×2+ = ，∴点E（2，）．∵反比例函数y= 的图象经过点E，∴k=2× =3，∴反比例函数的解析式为y=（3）解：延长FC至M，使CM= CF，连接EM，则S△EFM= S△EFC， M（3，﹣0.5）．在y= 中，当x=3时，y=1，∴F（3，1）．过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，则S△PEF=S△MEF．设直线EF的解析式为y=a'x+b'，∴，解得，∴y=﹣ x+ ．设直线PM的解析式为y=﹣ x+c，代入M（3，﹣0.5），得：c=1，∴y=﹣ x+1．当x=1时，y=0.5，∴点P（1，0.5）．同理可得点P（1，3.5）．∴点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5）．【解析】【解答】解：（1）∵D（3，3），∴OC=3，∴C（3，0）．故答案为（3，0）；【分析】（1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；（2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC至M，使CM=CF，连接EM，则S△EFM=S△EFC， M（3，﹣0.5）．求出F（3，1），过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF．此时直线EF与直线PM的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F 的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PM的斜率，再由M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐标．3．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，3n），点B的坐标为（5n+2，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点，求a的值；（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，则点E的坐标为________．【答案】（1）解：∵A、B在反比例函数的图象上，∴2×3n=（5n+2）×1=m，∴n=2，m=12，∴A（2，6），B（12，1），∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，∴，解得，∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ，y=﹣ x+7．（2）解：设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a，由，消去y得到x2+（2a﹣14）x+24=0，由题意，△=0，（21a﹣14）2﹣4×24=0，解得a=7±2 ．（3）（0，6）或（0，8）【解析】【解答】（3）设直线AB交y轴于K，则K（0，7），设E（0，m），由题意，PE=|m﹣7|．∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，∴ ×|m﹣7|×（12﹣2）=5．∴|m﹣7|=1．∴m1=6，m2=8．∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．故答案为（0，6）或（0，8）．【分析】（1）由A、B在反比例函数的图象上，得到n，m的值和A、B的坐标，用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式；（2）由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，得到平移后的一次函数的解析式，由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，得到方程组求出a的值；（3）由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5，求出点E的坐标.4．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，P n（x n， y n）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B1（﹣1，1）．（1）求反比例函数y= 的解析式；（2）求点P2和点P3的坐标；（3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：△P n B n O的面积为 ________ ，点P n的坐标为________ （用含n的式子表示）．【答案】（1）解：在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线，则B1与P1关于y轴对称，∵B1（﹣1，1），∴P1（1，1）．则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y=（2）解：连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，又点P1的坐标为（1，1），∴OA1=2，设点P2的坐标为（a，a+2），代入y=得a=-1，故点P2的坐标为（-1，+1），则A1E=A2E=2-2，OA2=OA1+A1A2=2，设点P3的坐标为（b，b+2），代入y=（>0）可得b=-，故点P3的坐标为（-，+）（3）1；（-，+）【解析】【解答】解：（3）∵=2=2×=1，=2=2×=1，…∴△P n B n O的面积为1，由P1（1，1）、P2（﹣1， +1）、P3（﹣，+ ）知点P n的坐标为（﹣，+ ），故答案为：1、（﹣， +）．【分析】（1）由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出点P1（1，1），然后利用待定系数法求解即可；（2）连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2，设P2的坐标为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P3的坐标；（3）先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可.5．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）.（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为（k＞0）∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1。
人教中考数学反比例函数的综合题试题含详细答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A （﹣1，a），B（b，1）两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；（3）求△PAB的面积．【答案】（1）解：当x=﹣1时，a=x+4=3，∴点A的坐标为（﹣1，3）．将点A（﹣1，3）代入y= 中，3= ，解得：k=﹣3，∴反比例函数的表达式为y=﹣（2）解：当y=b+4=1时，b=﹣3，∴点B的坐标为（﹣3，1）．作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．∵点B的坐标为（﹣3，1），∴点D的坐标为（﹣3，﹣1）．设直线AD的函数表达式为y=mx+n，将点A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y=mx+n中，，解得：，∴直线AD的函数表达式为y=2x+5．当y=2x+5=0时，x=﹣，∴点P的坐标为（﹣，0）（3）解：S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP，即可得出结论．2．如图1，已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A，B，反比例函数y= 经过点M．（1）若M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）．当a=﹣3时，设点M的横坐标为m，求k与m之间的函数关系式．（2）当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M，且OM= ，求a的值．（3）当a=﹣2时，将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′，如图2，M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点，求k的取值范围．【答案】（1）解：当a=﹣3时，y=﹣3x+2，当y=0时，﹣3x+2=0，x= ，∵点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），∴0＜m＜，，DANG则，﹣3x+2= ，当x=m时，﹣3m+2= ，∴k=﹣3m2+2m（0＜m＜）（2）解：由题意得：，ax+2= ，ax2+2x﹣k=0，∵直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，∴△=4+4ak=0，ak=﹣1，∴k=﹣，则，解得：，∵OM= ，∴12+（﹣）2=（）2，a=±（3）解：当a=﹣2时，y=﹣2x+2，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′，∴A′（2，1），B′（1，3），点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点，当点M′与A′重合时，k=2，当点M′与B′重合时，k=3，∴k的取值范围是2≤k≤3【解析】【分析】（1）当a=﹣3时，直线解析式为y=﹣3x+2，求出A点的横坐标，由于点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）从而得到m的取值范围，由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m（0＜m＜）；（2）由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0，直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，△=4+4ak=0，ak=﹣1，由勾股定理即可；（3）当a=﹣2时，y=﹣2x+2，从而求出A、B两点的坐标，由平移的知识知A′，B′点的坐标，从而得到k的取值范围。
2024年人教版九年级数学中考专题训练：反比例函数(含解析)
2024年人教版九年级数学中考专题训练：反比例函数1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝﹣x+m 的图象与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于A 、B 两点，已知A （1，2）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）连接AO 、BO ，求△AOB 的面积．2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数.已知当时，.（1）求出这个函数的表达式；（2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？3．如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于、两点．（1）则 ， ， （2）观察图像，请直接写出满足的取值范围．（3）若Q 为y 轴上的一点，使最小，求点Q 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x 轴，y 轴正半轴于点A ，B ，内切于，反比例函数的图象经过点P ，交直线于点C ，D （C 在点D 的左侧）.kx()P kPa ()3mV 30.8m V =120kPa P =128kPa ()10ky k x=≠2y x b =-+()13A ，()3B n ，k =b =n =12y y ≥QA QB +364y x =-+P ABO ()0ky x x=>AB（1）求反比例函数的解析式；（2）过点C ，D 分别作x 轴，y 轴的平行线交于点E ，求的面积.5．如图1，点A （1，0），B （0，m ）都在直线y ＝﹣2x+b 上，四边形ABCD 为平行四边形，点D 在x轴上，AD=3，反比例函数（x>0）的图象经过点C ．（1）求k 的值；（2）将图1的线段CD 向右平移n 个单位长度（n≥0），得到对应线段EF ，线段EF 和反比例函数（x>0）的图象交于点M ．①在平移过程中，如图2，若点M 为EF 的中点，求△ACM 的面积；②在平移过程中，如图3，若AM ⊥EF ，求n 的值．6．如图，点A 是反比例函数图象上的点，AB 平行于y 轴，且交x 轴于点，点C 的坐标为，AC 交y 轴于点D ，连接BD ，（1）求反比例函数的表达式；（2）设点P 是反比例函数图象上一点，点Q 是直线AC 上一点，若以点O ，P ，D ，Q CDE ky x=ky x=()0ky k x=>()10B ，()10-，AD =()0ky x x=>为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标； （3）若点是该反比例函数图象上的点，且满足∠MDB>∠BDC ，请直接写a 的取值范围.7．某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．（1）写出该商品上市以后销售量y （万件）与时间x （天数）之间的表达式；（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？8．在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了（x>0）和的图象，两个函数图象交于A （x 1，y 2），B （x 2，y 2）两点，在线段AB 上选取一点P ，过点P 作y 轴的平行线交反比例函数图象于点 O （如图1）.在点P 移动的过程中，发现PO 的长度随着点P 的运动而变化.为了进一步研究 PO 的长度与点P 的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题∶（1）设点P 的横坐标为x ，PQ 的长度为y ，则y 与x 之间的函数关系式为 （x 1<x<x 2）；（2）为了进一步的研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象；①列表∶()M a b ，ky x=1y x=5y x =-+x 1234ym3n表中 m ＝ ，n ＝；②描点∶根据上表中的数据，在图2中描出各点；③连线∶请在图2中画出该函数的图象.观察函数图象，当x ＝时，y 的最大值为；（3）应用∶已知某矩形的一组邻边长分别为m ，n ，且该矩形的周长 W 与n 存在函数关系，求 m 取最大值时矩形的对角线长.9．如图，点P 为函数与函数图象的交点，点P 的纵坐标为4，轴，垂足为点B ．（1）求m 的值；（2）点M 是函数图象上一动点，过点M 作于点D ，若，求点M 的坐标．10．若关于x 的函数y ，当时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”.（1）①若函数，当时，求函数y 的“共同体函数”h 的值；②若函数（，k ，b 为常数），求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；（2）若函数，求函数y 的“共同体函数”h 的最大值；（3）若函数，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数”h 的最小值.若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.11．已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为1x 13122x 535234220W n=-+1y x =+()0my x x=>PB x ⊥()0m y x x =>MD BP ⊥12tan PMD ∠=1122t x t -≤≤+2M Nh -=4044y x =1t =y kx b =+0k ≠21y x x=≥（）24y x x k =-++原来的2倍，设原矩形的一边加长a 米，另一边长加长b 米，可得a 与b 之间的函数关系式b＝﹣2．某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y ＝﹣2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：（1）类比反比例函数可知，函数y ＝﹣2的自变量x 的取值范围是 ，这个函数值y 的取值范围是 ．（2）“数学兴趣小组”进一步思考函数y ＝|﹣2|的图象和性质，请根据函数y ＝﹣2的图象，画出函数y ＝|﹣2|的图象；（3）结合函数y ＝|﹣2|的图象解答下列问题：①求出方程|﹣2|＝0的根；②如果方程|﹣2|＝a 有2个实数根，请直接写出a 的取值范围．12．如图，抛物线与x 轴交于两点（在的左边），与y 轴交于C ，；双曲线经过抛物线的顶点，点的横坐标为1．123a +123x +123x +123x +123x +123x +123x +123x +123x +23y ax bx =++A B 、A B 3tan CAB ∠=(0)ky k x=≠23y ax bx =++D D（1）求抛物线和双曲线的解析式．（2）点P 为抛物线上一动点，且在第一象限，连接，求当四边形取得最大值时，点P 的坐标，并求出这个最大值．（3）若在此抛物线和双曲线上存在点Q ，使得，请求出点Q 的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）分别求一次函数及反比例函数的表达式；（2）在第三象限内的B 点右侧的反比例函数图象上取一点P ，连接且满足．i ）求点P 的坐标；ii ）过点A 作直线，在直线l 上取一点Q ，且点Q 位于点A 的左侧，连接，试问：能否与相似？若能，求出此时点Q 的坐标；若不能，请说明理由．14．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．（1）在①；②；③三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有 （填序号）；（2）若y 关于x 的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求a 的值；（3）若y 关于x 的二次函数图像的“n 阶方点”一定存在，请直接写出n 的取值范围．15．如图1，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于A （2，a ），B 两点.BP CP 、ABPC QB QC =xOy y kx b =+my x=(14)A ，(4)B n -，PA PB ，15PAB S = l PB BQ QAB ABP (0)n n ≥1133⎛⎫⎪⎝⎭，y x =12(21)，2y x =122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(11)--，(11)，1y x=31y ax a =-+2()21y x n n =---+(0)ky k x=≠1y x =-（1）求反比例函数的表达式及A ，B 两点的坐标；（2）M 是x 轴上一点，N 是y 轴上一点，若以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点M 的坐标；（3）如图2，反比例函数的图象上有P ，Q 两点，点P 的横坐标为，点Q 的横坐标与点P 的横坐标互为相反数，连接，，，.若的面积是的面积的3倍，求m 的值.16．如图，直线AC 与双曲线交于A （m ，6），B （3，n ）两点，与x 轴交于点C ，直线AD 与x 轴交于点D （－11，0），（1）请直接写出m ，n 的值；（2）若点E 在x 轴上，若点F 在y 轴上，求的最小值；（3）P 是直线AD 上一点，Q 是双曲线上一点，是否存在点P ，Q ，使得四边形ACQP 是正方形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“H 点”，如（2，-3）与（-3，2）是一对“H 点”.（1）点 和它的“H 点”均在直线 上，求k 的值；AB ky x=(2)m m >AP AQ BP BQ ABQ ABP ()60y k x=≠AF EF BE ++()m n ，y kx a =+（2）若直线 经过的A ，B 两点恰好是一对“H 点”，其中点A 还在反比例函数 的图象上，一条抛物线 也经过A ，B 两点，求该抛物线的解析式；（3）已知 ，B 为抛物线 上的一对“H 点”，且满足：， ，点P 为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅存在3个点P 满足△PAB 的面积为16，求 的值.18．已知：如图，一次函数y ＝-2x+10的图象与反比例函数y＝的图象相交于A 、B 两点（A 在B 的右侧），点A 横坐标为4.（1）求反比例函数解析式及点B 的坐标；（2）观察图象，直接写出关于x 的不等式-2x+10-＞0的解集；（3）反比例函数图象的另一支上是否存在一点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.19．如图，反比例函数与一次函数相交于点A （1，4）和点B （4，1），直线 的图象与y 轴和x 轴分别相交于点C 和点D ；（1）请直接写出当时自变量x 的取值范围；（2）将一次函数向下平移8个单位长度得到直线EF ，直线EF 与x 和y 轴分别交于点E 和点F ，抛物线过点A 、D 、E 三点，求该抛物线的函数解析式（也称函数表达式）；3y kx =+2y x=2y x bx c =++()()A m n m n <，()20y ax bx c a =++≠2m n +=3mn =-a b c ++kxkx()110k y x x=>22y k x n =+2y 12y y ≥22y k x n =+2y ax bx c =++（3）在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PBF 是以BF 为斜边的直角三角形，若存在，请用尺规作图（圆规和无刻度直尺）画出点P 所在位置，保留作图痕迹，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于E 、F （E 、F 不与A 重合），沿着将矩形折叠使A 、D 重合．（1）当点E 为中点时，求点F 的坐标，并直接写出与对角线的关系；（2）如图2，连接．①的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；②当平分时，直接写出k 的值．21．如图1，四边形为正方形，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C ．（1）求点C 的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图，将正方形沿x 轴向右平移m 个单位长度得到正方形A ′B ′C ′D ′，点A ′恰好落在反比例函数的图象上，求n 值．（3）在（2）的条件下，坐标系内是否存在点P ，使以点O ，A ′，B ′，P 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．xOy (43)A -，(0)ky k x=<ABOC AC AB EF ABOC AC EF BC CD CDE CD ACO ∠ABCD 4OA =2OB =()0ky k x=≠2ABCD22．如图，在平面直角坐标系中，A （8，0）、B （0，6）是矩形OACB 的两个顶点，双曲线y＝（k≠0，x ＞0）经过AC 的中点D ，点E 是矩形OACB 与双曲线y ＝的另一个交点．（1）点D 的坐标为 ，点E 的坐标为 ；（2）动点P 在第一象限内，且满足S △PBO ＝S △ODE ．①若点P 在这个反比例函数的图象上，求点P 的坐标；②若点Q 是平面内一点，使得以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q 的坐标．23．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）将一次函数向下平移个单位后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值；（3）为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．24．如图，一次函数的图象与反比例函数（k 为常数且）的图象交于A ，B 两点，其中，直线与y 轴、x 轴分别交于C ，D 两点．kxkx561y k x b =+2k y x=()41A -，()4B m ，1k 2k b 1y k x b =+m 2k y x=m P y PAB 3P 4y x =+ky x=0k ≠()13A -，4y x =+（1）求反比例函数的表达式；（2）在x 轴上找一点P ，使的值最小，并求满足条件的点P 的坐标；（3）在坐标平面中是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．PA PB COD答案解析部分1．【答案】（1）解：把点A （1，2）代入y ＝-x+m ，得-1+m ＝2，∴m ＝3，∴一次函数解析式为y ＝﹣x+3；把点A （1，2）代入y ＝，∴k ＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为y ＝；（2）解：联立方程组{y ＝−x +3y ＝2x ， 解得或，∴B （2，1），设直线y ＝﹣x+3与y 轴的交点为C ，∴C （0，3），∴S △AOB =S △COB -S △COA =×3×2-×3×1=1.5.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式和反比例函数的解析式即可；（2）先求出点B 的坐标，再求出直线与y 轴的交点C 的坐标，再利用S △AOB =S △COB -S △COA ，根据三角形的面积公式进行计算即可.2．【答案】（1）解：设P 与V 之间的函数表达式为，当时，，所以，∴，∴P 与V 之间的函数表达式为；（2）解：当时，，∴，∴为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于.【解析】【分析】（1）由题意可设，把V=0.8，P=120代入解析式计算可求得F 的值，则解析式可k x 2x12x y =⎧⎨=⎩21x y =⎧⎨=⎩1212F P V=0.8V =120P =1200.8F =96F =96P V =128P ≤96128V ≤0.75V ≥30.75m F P V=求解；（2）由题意可得关于V 的不等式，解这个不等式可求解.3．【答案】（1）3；4；1（2）解：0＜x≤1或x≥3（3）解：作A 关于y 轴的对称点，连接，如图，∵，∴A 关于y 轴的对称点A ′(−1，3)．设直线的解析式为，将A ′(−1，3)，代入可得：∴，解得：．∴直线的解析式为，令，则，∴．【解析】【解答】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于、两点，∴，，∴，，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为：，；将点代入得；故答案为：3，4，1（2）解：由图像可得：满足的取值范围是或；A 'A B '()13A ，A B 'y ax c =+()31B ，331a c a c -+=⎧⎨+=⎩1252a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩A B '1522y x =-+0x =52y =502Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10k y k x=≠2y x b =-+()13A ，()3B n ，3k =31b =-+3k =4b =13y x =24y x =-+()3B n ，13y x=1n =12y y ≥01x <≤3x ≥【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入求出k 、n 的值，再将点A 的坐标代入求出b 的值即可； （2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；（3）作A 关于y 轴的对称点，连接，利用待定系数法求出直线的解析式，再将代入解析式求出y 的值，可得点Q 的坐标。
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专题九 反比例函数与几何图形综合题
反比例函数与三角形
【例1】 (2016·重庆)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点B 的坐标是(m ，
－4)，连接AO ，AO ＝5，sin ∠AOC ＝3
5
.
(1)求反比例函数的解析式； (2)连接OB ，求△AOB 的面积．
分析：(1)过点A 作AE⊥x 轴于点E ，通过解直角三角形求出线段AE ，OE 的长度，得出点A 的坐标，即可求出反比例函数解析式；(2)先求出点B 的坐标，再求直线AB 的解析式，从而可求出点C 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论．
解：(1)过点A 作AE⊥x 轴于点E ，设反比例函数解析式为y ＝k
x
.∵AE⊥x 轴，∴∠AEO
＝90°.在Rt △AEO 中，AO ＝5，sin ∠AOC ＝35
，∴AE ＝AO·sin ∠AOC ＝3，OE ＝AO 2－AE 2
＝4，
∴点A 的坐标为(－4，3)，可求反比例函数解析式为y ＝－12
x
(2)易求B(3，－4)，可求直线AB 的解析式为y ＝－x －1.令一次函数y ＝－x －1中y ＝
0，则0＝－x －1，解得x ＝－1，∴C(－1，0)，∴S △AOB ＝12OC·(y A －y B )＝1
2
×1×[3－(－4)]
＝72
反比例函数与四边形
【例2】 (2016·恩施)如图，直角三角板ABC 放在平面直角坐标系中，直角边AB 垂
直于x 轴，垂足为点Q ，已知∠ACB ＝60°，点A ，C ，P 均在反比例函数y ＝43
x
的图象上，
分别作PF⊥x 轴于点F ，AD ⊥y 轴于点D ，延长DA ，FP 交于点E ，且点P 为EF 的中点．
(1)求点B 的坐标；
(2)求四边形AOPE 的面积．
分析：(1)设点A(a ，b)，则tan 60°＝b a ＝3，b ＝43
a
，联立可求点A 的坐标，从而
得出点C ，B 的坐标；
(2)先求出AQ ，PF 的长，从而可求点P 的坐标和S △OPF ，再求出S 矩形DEFO ，根据S 四边形AOPE
＝S 矩形DEFO －S △AOD －S △OPF ，代入计算即可．
解：(1)∵∠ACB＝60°，∴∠AOQ ＝60°，∴tan 60°＝
AQ
OQ
＝3，设点A(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，b ＝43a
，解得⎩⎨
⎧a ＝2，b ＝23或⎩⎨⎧a ＝－2，
b ＝－23
(不合题意，舍去)，∴点A 的坐标是(2，23)，∴
点C 的坐标是(－2，－23)，∴点B 的坐标是(2，－23)
(2)∵点A 的坐标是(2，23)，∴AQ ＝23，∴EF ＝AQ ＝23，∵点P 为EF 的中点，∴
PF ＝3，设点P 的坐标是(m ，n)，则n ＝3，∵点P 在反比例函数y ＝43
x 的图象上，∴3
＝43m ，S △OPF ＝12
|43|＝23，∴m ＝4，∴OF ＝4，∴S
矩形DEFO
＝OF·OD＝4×23＝83，∵
点A 在反比例函数y ＝43x 的图象上，∴S △AOD ＝12|43|＝23，∴S
四边形AOPE
＝S
矩形DEFO
－S △AOD
－S △OPF ＝83－23－23＝4 3
1．(2016·泸州)如图，一次函数y ＝kx ＋b(k ＜0)与反比例函数y ＝m
x
的图象相交于A ，
B 两点，一次函数的图象与y 轴相交于点
C ，已知点A(4，1)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接OB(O 是坐标原点)，若△BOC 的面积为3，求该一次函数的解析式．
解：(1)y ＝4
x (2)∵一次函数y ＝kx ＋b(k ＜0)经过点A(4，1)，∴4k ＋b ＝1，即b ＝1
－4k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝kx ＋1－4k
得kx 2
＋(1－4k)x －4＝0，解得x ＝4或－1k ，∴点B(－1k
，－4k)，
又点C(0，1－4k)，而k ＜0，∴－1k ＞0，1－4k ＞0，∴S △BOC ＝12×(－1
k
)×(1－4k)＝3，∴k
＝－12，∴b ＝1－4k ＝3，∴该一次函数解析式为y ＝－1
2x ＋3
2．(2016·宁夏)如图，Rt △ABO 的顶点O 在坐标原点，点B 在x 轴上，∠ABO ＝90°，
∠AOB ＝30°，OB ＝23，反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D.
(1)求反比例函数的关系式；
(2)连接CD ，求四边形CDBO 的面积．
解：(1)∵∠ABO＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝23，∴AB ＝3
3
OB ＝2，作CE⊥OB 于E ，∵∠ABO ＝90°，∴CE ∥AB ，∵OC ＝AC ，∴OE ＝BE ＝12OB ＝3，CE ＝1
2
AB ＝1，∴C(3，1)，
可求反比例函数的关系式为y ＝
3
x
(2)∵OB＝23，∴点D 的横 坐标为23，代入y ＝
3x 得y ＝12，∴D(23，12)，∴BD ＝12，∵AB ＝2，∴AD ＝3
2
，∴S △ACD
＝12AD·BE＝12×32×3＝33
4，∴S 四边形CDBO
＝S △AOB －S △ACD ＝12OB·AB－334＝1
2
×23×2－
334＝53
4
1．(导学号 59042305)(2016·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于
点B ，与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝m
x
的图象在第二象限交于点C ，CE ⊥x 轴，垂足为
点E ，tan ∠ABO ＝1
2
，OB ＝4，OE ＝2.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D 作DF⊥y 轴，垂足为点F ，连接OD ，BF ，如果S △BAF ＝4S △DFO ，求点D 的坐标．
解：(1)∵OB＝4，OE ＝2，∴BE ＝OB ＋OE ＝6.∵CE⊥x 轴，∴∠CEB ＝90°.在Rt △BEC
中，BE ＝6，tan ∠ABO ＝12，∴CE ＝BE·tan ∠ABO ＝6×1
2＝3，∴C(－2，3)，可求反比例函数
的解析式为y ＝－6
x
(2)∵点D 在反比例函数y ＝－6x 第四象限的图象上，∴设点D 的坐标为(n ，－6
n
)(n ＞
0)．在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝4，tan ∠ABO ＝12，∴OA ＝OB ·tan ∠ABO ＝4×1
2
＝2.∵S
△BAF ＝12AF·OB＝12(OA ＋OF)·OB＝12(2＋6n )×4＝4＋
12n .∵点D 在反比例函数y ＝－6
x
第四象限的图象上，∴S △DFO ＝12×|－6|＝3.∵S △BAF ＝4S △DFO ，∴4＋12n ＝4×3，解得n ＝32，经检验n ＝
3
2
是分式方程的解，∴点D 的坐标为(3
2
，－4)
2．(导学号 59042306)(2016·莆田)如图，反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图象与直线y ＝x
交于点M ，∠AMB ＝90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A ，B ，四边形OAMB 的面积为6.
(1)求k 的值；
(2)点P 在反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图象上，若点P 的横坐标为3，∠EPF ＝90°，其两
边分别与x 轴的正半轴，直线y ＝x 交于点E ，F ，问是否存在点E ，使得PE ＝PF ？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)过点M 作MC⊥x 轴于点C ，MD ⊥y 轴于点D ，则∠MCA＝∠MDB＝90°，∠AMC ＝∠BMD，MC ＝MD ，∴△AMC ≌△BMD ，∴S 四边形OCMD ＝S 四边形OAMB ＝6，∴k ＝6
(2)存在点E ，使得PE ＝PF.由题意得点P 的坐标为(3，2)，①过点P 作PG⊥x 轴于点G ，过点F 作FH ⊥PG 于点H ，交y 轴于点K ，∵∠PGE ＝∠FHP＝90°，∠EPG ＝∠PFH，PE ＝PF ，∴△PGE ≌△FHP ，∴PG ＝FH ＝2，FK ＝OK ＝3－2＝1，GE ＝HP ＝2－1＝1，∴OE ＝OG ＋GE ＝3＋1＝4，∴E(4，0)；②过点P 作PG⊥x 轴于点G ，过点F 作FH⊥PG 于点H ，交y 轴于点K ，∵∠PGE ＝∠FHP＝90°，∠EPG ＝∠PFH，PE ＝PF ，∴△PGE ≌△FHP ，∴PG ＝FH ＝2，FK ＝OK ＝3＋2＝5，GE ＝HP ＝5－2＝3，∴OE ＝OG ＋GE ＝3＋3＝6，∴E(6，0)．综上可知，点E 的坐标为(4，0)或(6，0)。