反比例函数动点综合题.doc
中考数学压轴题专集三：正反比例函数综合.doc
中考数学压轴题专集三：正反比例函数综合1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，－3），反比例函数y＝kx（x＞0）的图象经过点A，动直线x＝t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．（1）求△BMN面积的最大值；（2）若MA⊥AB，求t的值．（1）将A（8，1）代入y＝kx，得k＝8∴y＝8 x易求直线AB的解析式为y＝12x－3则M（t，8t），N（t，12t－3），MN＝8t－12t＋3S△BMN＝12(8t－12t＋3)t＝－14t2＋32t＋4＝－14(t－3)2＋254∴当t＝3时，△BMN面积的最大值为25 4（2）作AQ⊥y轴于Q，延长AM交y轴于P ∵MA⊥AB，∴△ABQ∽△P AQ∴AQBQ＝PQAQ，∴84＝PQ8，∴PQ＝16∴P（0，17）∴直线AP：y＝－2x＋17令－2x＋17＝8x，解得x1＝12，x2＝8（舍去）∴t＝1 22、如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝5，分别以OA 、OC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D 是边CB 上的一个动点（不与C 、B 重合），反比例函数y ＝kx（k ＞0）的图象经过点D 且与边BA交于点E ，连接DE ． （1）若△BDE 的面积为103，求k 的值； （2）连接CA ，DE 与CA 是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D ，使得点B 关于DE 的对称点在OC 上？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）设D （k 5，5），E （3，k 3 ），则BD ＝3－k 5 ，BE ＝5－k3∵S △BDE＝10 3，∴1 2 ×(3－k 5)(5－k 3)＝10 3解得k ＝5或k ＝25（舍去）∴k ＝5（2）DE ∥CA∵BD ＝3－ k 5 ，BE ＝5－ k 3 ，∴BD BE ＝ 3－k 55－k 3＝35∵BC BA＝3 5，∴BD BE ＝BC BA又∠B ＝∠B ，∴△BDE ∽△BCA ∴∠BDE ＝∠BCA ，∴DE ∥CA（3）设点B 关于DE 的对称点F 在OC 上 过E 作EG ⊥OC 于G 则△DCF ∽△FGE ∴CF GE ＝ DF EF ，∴CF 3 ＝ 3－k 55－k 3＝ 3 5 ，∴CF ＝95在Rt △DCF 中，DC 2＋CF 2＝DF 2∴(k5)2＋(9 5 )2＝( 3－ k 5 )2，解得k ＝24 5∴D （245，5）备用图3、如图，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过点A 、B （2，2），AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥y 轴于D ，AC 与BD 交于点F ，一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点A 、D ，与x 轴的负半轴交于点E ． （1）若AC ＝32OD ，求a 、b 的值； （2）若BC ∥AE ，求BC 的长．（1）∵点B （2，2）在函数y ＝kx（x ＞0）的图象上∴k ＝4，y ＝4x∵BD ⊥y 轴，∴D （0，2），OD ＝2 ∵AC ⊥x 轴，AC ＝32OD ，∴AC ＝3，即A 点的纵坐标为3 ∵点A 在y ＝4x的图象上，∴A （43，3） ∵一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点A 、D∴⎩⎪⎨⎪⎧4 3a ＋b ＝3b ＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3 4b ＝2（2）设A （m ，4m），则C （m ，0）∵BD ∥CE ，且BC ∥DE ， ∴四边形BCED 为平行四边形 ∴CE ＝BD ＝2∵BD ∥CE ，∴∠ADF ＝∠AEC ∵tan ∠ADF ＝ AFDF ＝ 4 m－2 m，tan ∠AEC ＝ACEC＝4m2∴4 m－2 m ＝ 4m2，解得m ＝1∴C （1，0），BC ＝54、如图，直线y＝ax＋b与双曲线y＝kx（x＞0）交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），直线AB与x轴交于点P（x0，0），与y轴交于点C．（1）若b＝y1＋1，x0＝6，且AB＝BP，求A、B两点的坐标；（2）猜想x1、x2、x0之间的关系并证明．（1）作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E则AD∥BE，AD＝y1，BE＝y2∵AB＝BP，∴BE＝12AD，即y2＝12y1，DE＝EP∵A（x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线y＝kx上∴x1y1＝x2y2＝k∴x2＝2x1，∴OD＝DE＝EP＝x1∵x0＝6，∴OP＝6，∴3x1＝6，∴x1＝2 ∴x2＝2x1＝4∵AD∥OC，∴△P AD∽△PCO∴ADOC＝PDOP，∴y1y1＋1＝46解得y1＝2，∴y2＝12y1＝1∴A（2，2），B（4，1）（2）猜想x1＋x2＝x0令y＝ax＋b＝0，得x＝－ba，即x0＝－ba令ax＋b＝kx，即ax2＋bx－k＝0∴x1＋x2＝－b a∴x1＋x2＝x05、如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝mx的图象交于A（－4，12）、B（n，2）两点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D，P是线段AB上一点．（1）求一次函数及反比例函数的解析式；（2）若△PCA和△PBD的面积相等，求点P的坐标．（1）一次函数的解析式为y＝12x＋52反比例函数的解析式为y＝－2 x（2）作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N设P（m，12m＋52），则PM＝12m＋52，PN＝－m∵S△P AC＝S△PBD，∴12AC·CM＝12BD·DN即12(m＋4)＝(2－12m－52)，解得m＝－52∴P（－52，54）6、如图，直线y＝mx与双曲线y＝kx（k＜0）相交于A（－1，a）、B两点，过点B作BC⊥x轴于C，连接AC交y轴于D，△AOD的面积为1 2．（1）求m、k的值；（2）在x轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（1）由题意，OA＝OB，OD∥BC∴AD＝DC∵点A的横坐标为－1，∴点B的横坐标为1∴OC＝1∴S△BOC＝S△AOC＝2S△AOD＝1∴12OC·BC＝1，即12×1·BC＝1∴BC＝2，∴B（1，－2）∴m＝－21＝－2，k＝1×(－2)＝－2（2）易得A（－1，2），D（0，1），C（1，0）∠ACO＝45°，∠ACB＝135°∴满足条件的点P只能在点C的右侧易求AC＝22，则PC＝2或PC＝4∴P1（3，0），P2（5，0）7、如图，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y＝－12x＋b分别交边AB、BC于点M、N，反比例函数y＝kx的图象经过点M、N．（1）当b＝3时，求△MON的面积；（2）若将△BMN沿MN翻折后，点B恰好落在OC上，求b的值和反比例函数的解析式．（1）当b＝3时，直线y＝－12x＋3则M（2，2），N（4，1）AM＝BM＝2，BN＝CN＝1∴S△MON＝S矩形OABC－S△AOM－S△BMN－S△CON＝2×4－12×2×2－12×2×1－12×4×1＝3（2）设翻折后点B落在OC上点B′处过M作MH⊥OC于H，设M（m，2），N（4，12m）则MH＝2，MB′＝MB＝4－m，B′N＝BN＝2－1 2m∵∠MB′N＝∠B＝90°，∴∠MB′H＋∠NB′C＝90°∵∠B′NC＋∠NB′C＝90°，∴∠MB′H＝∠B′NC∴Rt△MB′H∽Rt△B′NC∴MHB′C＝MB′B′N＝4－m2－12m＝4－m12(4－m)＝2∴B′C＝12MH＝1∵B′C2＋NC2＝B′N2，∴12＋(12m)2＝(2－12m)2解得m＝32，∴k＝2m＝3∴反比例函数的解析式为y＝3 x把M（32，2）代入y＝－12x＋b，得2＝－12×32＋b∴b＝11 48、如图，一次函数y ＝－x ＋4的图象与反比例y ＝kx（k 为常数，且k ≠0）的图象交于A （1，a ），B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）在x 轴上找一点P ，使P A ＋PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标及△P AB 的面积．（1）∵点A （1，a ）在一次函数y ＝－x ＋4的图象上 ∴a ＝－1＋4＝3，∴A （1，3） 将点A （1，3）代入y ＝kx中，得k ＝3 ∴反比例函数的表达式为y ＝3x联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4y ＝3x解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝3 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2＝1 ∴点B 的坐标为（3，1）（2）作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB ′ 交x 轴于点P 则点P 即为所求的点由B （3，1）得点B ′（3，－1）设直线AB ′ 的函数的表达式为y ＝mx ＋n ，则有：⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝33m ＋n ＝－1 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝5 ∴AB ′：y ＝－2x ＋5令y ＝0，即－2x ＋5＝0，得x ＝52∴点P 的坐标为（52，0）∴S △P AB＝S △ABB ′－S △PBB ′＝1 2 ×2×(3－1 )－ 1 2 ×2×( 3－ 5 2 )＝329、如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例y＝mx的图象交于A（1，4），B（－4，n）两点．（1）求反比例函数及一次函数的表达式；（2）点P是x轴上的一动点，使|P A－PB|的值最大，求点P的坐标及△P AB的面积．（1）y＝4x，y＝x＋3（2）（－173，0），S△P AB＝20310、如图，一次函数y ＝kx ＋b （k ＜0）的图象经过点C （3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3． （1）求该一次函数的解析式； （2）若反比例函数y ＝mx的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，且AC ＝2BC ，求m 的值．（1）设一次函数y ＝kx ＋b 的图象交y 轴于D 则S △OCD＝12OC ·OD ＝12×3×OD ＝3 ∴OD ＝2∵k ＜0，∴D （0，2）∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0b ＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2 3b ＝2∴一次函数的解析式为y ＝－23x ＋2（2）令－2 3 x ＋2＝m x，得2x2－6x ＋3m ＝0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝3作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F 则△ACE ∽△BCF∵AC ＝2BC ，∴CE ＝2CF ∴3－x 1＝2(x 2－3)∴x 1＋2x 2＝9，解得x 2＝6∴y 2＝－23×6＋2＝－2，∴B （6，－2）∴m ＝6×(－2)＝－1211、如图，□ABCD的顶点A、D在反比例函数y＝kx（k＜0，x＜0）的图象上，顶点B、C分别在坐标轴上．（1）求证：∠BAD＝2∠OBC；（2）若B（0，1），C（55－1，0），AB＝5AD，求k的值．（1）延长AB交x轴于G，作AE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F设A（a，ka），D（b，kb）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC ∴∠DCF＝∠AGC，∴∠BAE＝∠DCF∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝k b∴tan∠OBC＝x A－x Dy A－y D＝a－bka－kb＝－abktan∠OBG＝tan∠ABE＝AEBE＝－akb＝－abk∴∠OBC＝∠OBG∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC ∴∠BAD＝∠GBC＝2∠OBC（2）∵B（0，1），C（55－1，0），∴OB＝1，OC＝1－55∵∠ABE＝∠OBG＝∠OBC，∠AEB＝∠COB＝90°∴△ABE∽△CBO，∴AEOC＝BEOB＝ABBC＝ 5∴AE＝5OC＝5－1，BE＝5OB＝ 5 ∴A（1－5，5＋1）∵点A在反比例函数y＝kx的图象上∴k1－5＝5＋1，∴k＝－412、已知：一次函数y ＝－2x ＋10的图象与反比例函数y ＝kx（k＞0）的图象相交于A 、B 两点（A 在B 的右侧）．（1）当A （4，2）时，求反比例函数的解析式及B 点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数的图象的另一支上是否存在一点P ，使△P AB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）y ＝8x由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋10y ＝8 x得x2－5x ＋4＝0 解得x 1＝1，x 2＝4，∴B （1，8）（2）设直线EF 与x 、y 轴分别交于点E （5，0），F （0，10） 当∠P 1AB ＝90°时，设P 1（x 1，8x 1） 分别过A 、P 1作AA 1∥x 轴，P 1A 1∥y 轴，得Rt △P 1A 1A ∵∠P 1AB ＝90°，∴∠A 1AB ＝∠OEF ＝∠A 1P 1A tan ∠A 1P 1A ＝tan ∠OEF ，∴AA 1P 1A 1＝2∴4－x 12－8 x 1＝2，解得x 1＝－4（舍去正值） ∴P 1（－4，－2）同理，当∠P 2BA ＝90°时，设P 2（x 2，8x 2），作Rt △P 2B 1B则BB 1P 2B 1＝2，∴1－x 28－8x 2＝2，解得x 1＝－16（舍去正值） ∴P 1（－16，－12）∴满足条件的点P 的坐标为（－4，－2），（－16，－12）备用图。
中考数学《反比例函数图像上点的坐标特征》专项练习题及答案
中考数学《反比例函数图像上点的坐标特征》专项练习题及答案一、单选题1．如图，点A是反比例函数y=2x（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=−3x的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD ，其中C、D在x轴上，则S平行四边形ABCD=（）A．2B．3C．4D．52．点（-1，4）在反比例函数y= k x的图象上，则下列各点在此函数图象上的是(）．A．（4，-1)B．（−14，1)C．(-4，-1)D．（14，2）3．下列四个点，在反比例函数y=6x图象上的是（）A．(−1，6)B．(3，2)C．(−2，3)D．(2，3)4．设点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是反比例函数y= k x图象上的两点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A．4B．5C．6D．76．关于反比例函数y＝2x，下列说法不正确的是（）A．函数图象分别位于第一、第三象限B．当x＞0时，y随x的增大而减小C．函数图象经过点（1，2）D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y27．如图，点A，B在双曲线y= 3x（x＞0）上，点C在双曲线y= 1x（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，则AB等于（）A．√2B．2 √2C．4D．3 √28．已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点（3，2），那么该反比例函数图象经过（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、四象限D．第二、三象限9．如图，在x轴的上方，直角∥BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∥BOA的两边分别与函数y=﹣1x、y=2x的图象交于B、A两点，则∥OAB的大小的变化趋势为（）A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变10．如图，点A是反比例函数y= 1x（x＞0）上的一个动点，连接OA，过点O作OB∥OA，并且使OB=2OA，连接AB，当点A在反比例函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数y= kx图象上移动，则k的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．211．如果反比例函数y=k x的图像经过点（－3，－4），那么函数的图象应在（）A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限12．如图，在平面直角坐标系中，∥ABC的顶点A，B在反比例函数y=k x(k>0,x>0)的图象上，横坐标分别为1、3.5，AB＝AC,BC与x轴平行，若∥ABC的面积为152，则k的值为（）A．215B．5C．94D．154二、填空题13．反比例函数y=k x的图象上有一点P(2，n)，将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝．14．如图，∠AOB=90°，反比例函数y=kx的图象过点B，若点A的坐标为(2，1)，BO=2√5，则k=.15．如图，A(−1，6)是双曲线y=k x(x<0)上的一点，P为y轴正半轴上的一点，将A点绕P点逆时针旋转90°，恰好落在双曲线上的另一点B，则点B的坐标为.16．如图，正方形ABOC的边长为2，双曲线y＝k x的一个分支经过点A，若点（﹣1，y1）（2，y2）（4，y3）都在该双曲线上，则y1，y2，y3的大小关系是（用“＜”号连接）.17．若反比例函数y= k x的图象经过点A（1，2），则k=．18．从2，3，4，6中任意选两个数，记作a和b，那么点(a，b)在函数y=12x图象上的概率是.三、综合题(x>0) 19．如图，RtΔAOB的直角顶点O为坐标原点∠OAB=30°，点A在反比例函数y=√3x的图象上，点B在反比例函数y=k x(x<0)的图象上，AB交y轴于点C，C为AB中点.（1）求点A的坐标；（2）求ΔACO的面积；（3）求k的值.20．如图，点A在y轴正半轴上，点B(4,2)是反比例函数图象上的一点，且tan∠OAB=1.过点A作AC⊥y轴交反比例函数图象于点C.（1）求反比例函数的表达式；（2）求点C的坐标.21．如图，点A(1，m)，B(6，n)在反比例函数图象上，AD∥y轴于点D，BC∥y轴于点C，DC=5（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；（2）连结AB，在线段DC上是否存在一点P，使∥PAB的面积等于10？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B,C在x轴的正半轴上，AB=8,BC=6对角线AC,BD相交于点E，反比例函数y=k x(x>0)的图像经过点E，分别与AB,CD交于点F,G.（1）若OC=8，求k的值;（2）连接EG，若BF−BE=2，求△CEG的面积.23．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x(x>0)的图象与直线y=kx(k≠0)交于点P(1,p)．M是函数y=2x(x>0)图象上一点，过M作x轴的平行线交直线y=kx(k≠0)于点N．（1）求k和p的值；（2）设点M的横坐标为m．①求点N的坐标；（用含m的代数式表示）②若△OMN的面积大于12，结合图象直接写出m的取值范围．24．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝2x﹣2与双曲线y2＝k x交于A、C两点，AB∥OA交x轴于点B，且OA＝AB（1）求双曲线的解析式；（2）求点C的坐标，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；（3）设AC直线与y轴交于点D，求D点到OA的距离．参考答案1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】A 12．【答案】A 13．【答案】6 14．【答案】−815．【答案】（-3，2）或（-2，3） 16．【答案】y 2<y 3<y 1 17．【答案】2 18．【答案】1319．【答案】（1）解：在 RtΔABO 中， C 为 AB 的中点∴AC =OC 又 ∠OAB =30° ∴∠AOC =30°设点A 的坐标为 (x,√3x) ，将其代入 y =√3x解得 x 1=1 ， x 2=−1 （舍） ∴点 A 的坐标为 (1,√3) 故答案为： (1,√3)（2）解：∵点 A 的坐标为 (1,√3) ∴AO =2∴OB =OA ⋅tan30°=2√33∴ΔAOB 的面积为 12OB ⋅OA =12×2√33×2=2√33又C为AB中点∴SΔACO=12SΔAOB=√33故答案为：√33（3）解：如图，过点B作BM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N.∵∠BOA=90°∴∠BOM+∠AON=90°∵∠AON+∠OAN=90°∴∠BOM=∠OAN又∠BMO=∠ANO=90°∴ΔBMO∽ΔONA∴∠AOC=∠OAN=∠BOM=30°∴tan∠BAO=BOAO=tan30°=√3 3∴SΔBMOSΔOAN=(OBOA)2=13∵SΔAON=12×1×√3=√32∴SΔBOM=√36∴k=2SΔBOM=√33故答案为：√3320．【答案】（1）解：设反比例函数的表达式为y=k x ∵点B(4,2)在反比例函数图象上∴2=k 4 .解得k=8.∴反比例函数的表达式为y=8 x .（2）解：过点B作BD⊥AO于点D.∵点 B 的坐标为 (4,2) ∴BD =4 ， DO=2. 在 Rt △ABD 中 ∴AD =BD =4 . ∴AO =AD +DO =6 . ∵AC ⊥y 轴∴点 C 的纵坐标为6.将 y =6 代入 y =8x ，得 x =43 .∴点 C 的纵坐标为 (43,6) .21．【答案】（1）解：点A(1，m)，B(6，n)在反比例函数图象上，DC=5．依题意 解得{m =6n =1∴A(1，6)设反比例函数的解析式为y =kx ，则k =6∴反比例函数的解析式为y =6x（2）解：存在，P(0，3)，理由如下 如图，连接AP ，PB ，设P(0，a)(1≤a ≤6)∵A(1，6)，B(6，1)，C(0，1)，D(0，6)∴AD=1，BC=6，CD=5∴S四边形ABCD =12(1+6)×5=352S△ADP=12AD×DP=12×1×(6−a)=12(6−a)∵S△APB=10∴352−12(6−a)−3(a−1)=10解得a=3∴P(0，3) 22．【答案】（1）解：∵在矩形ABCD的顶点B，AB＝8，BC＝6而OC＝8∴B（2，0），A（2，8），C（8，0）∵对角线AC，BD相交于点E∴点E为AC的中点∴E（5，4）把E（5，4）代入y＝kx得k＝5×4＝20（2）解：∵AC＝√62+82＝10∴BE＝EC＝5∵BF﹣BE＝2∴BF＝7设OB＝t，则F（t，7），E（t+3，4）∵反比例函数y= kx（x＞0）的图象经过点E、F∴7t＝4（t+3），解得t＝4∴k＝7t＝28∴反比例函数解析式为y＝28 x当x＝10时，y＝2810=145∴G（10，14 5）∴∥CEG的面积＝12×3×145=215．23．【答案】（1）解：依题意，点P(1,p)在函数y=2x(x>0)的图象上可得p=21=2，则点P(1,2)将P(1,2)代入直线y=kx(k≠0)，得k=2综上k=2，p=2（2）解：①由于M是函数y=2x(x>0)图象上一点，且点M的横坐标为m可得点M的纵坐标为2 m则点M(m,2 m)又因为过M作x轴的平行线交直线y=kx(k≠0)于点N则点N的纵坐标为2 m当y=2m时，2x=2m，解得x=1m则点N的坐标为(1m,2 m)；②由题意得：m>0且m≠1（因为当m=1时，点M、N重合，不能构成△OMN）因此，分以下两种情况：（∥）当0<m<1时，MN=1m−m，边MN上的高为2m则S△OMN=12⋅(1m−m)⋅2m>12解得−√63<m<√6 3结合0<m<1得：0<m<√63（∥）当m>1时，MN=m−1m，边MN上的高为2m则S△OMN=12⋅(m−1m)⋅2m>12解得m>√2（符合题设）或m<−√2（不符题设，舍去）综上，m的取值范围为0<m<√63或者m>√2．24．【答案】（1）解：∵点A在直线y1＝2x﹣2上∴设A（x，2x﹣2）过A作AH∥OB于H∵AB∥OA，且OA＝AB，∴OH＝BH∴AH＝12OB＝OH∴x＝2x﹣2 x＝2∴A（2，2）∴k＝2×2＝4∴y2＝4x（2）解：∵{y=2x−2y=4x，解得：{x1=2y1=2，{x2=−1y2=−4∴C（﹣1，﹣4）由图象得：y1＜y2时x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2（3）解：过点D作DE∥OA于E，∵A（2，2）∴直线OA为：y＝x∴∥EOD＝45°∴∥EOD是等腰直角三角形由直线y1＝2x﹣2可知D（0，﹣2）∴OD＝2∵2OE2＝OD2，即2OE2＝4∴OE＝√2∴D点到OA的距离为√2．。
(完整版)反比例函数练习题集锦(含答案)
反比例函数练习题集锦（含答案）1、综合题1、如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．（1）求的值；（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．2、已知一次函数与双曲线在第一象限交于A、Ｂ两点，A点横坐标为1．B点横坐标为４(1)求一次函数的解析式;(2)根据图象指出不等式的解集；(2) 点P是x轴正半轴上一个动点，过P点作x轴的垂线分别交直线和双曲线于M、N，设P点的横坐标是t(t>0),△OMN的面积为S,求S和t的函数关系式，并指出t的取值范围。
二、简答题3、．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线AB 分别与轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB的解析式．4、如图，已知正比例函数与反比例函数的图象交于两点．（1）求出两点的坐标；的范围；（2）根据图象求使正比例函数值大于反比例函数值的三、计算题5、为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒。
已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t 的函数关系为（为常数）。
如下图所示，据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米和含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？6、如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x＋b 的图象与反比例函数的图象交于A(1，4).B(3，m)两点。
(1)求一次函数的解析式；的面积。
(2)求△AOB7、如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=图象交于A(－2,1)、B(1,n)两点.(1) 求反比例函数和一次函数的解析式.(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积。
反比例函数综合解答题 (1)
反比例函数综合1．（2016四川省攀枝花市）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直与x轴，垂足为点B，反比例函数kyx=（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3．（1）求反比例函数kyx=的解析式；（2）求cos∠OAB的值；（3）求经过C、D两点的一次函数解析式．2．（2016四川省泸州市）如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数myx=的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．3．（2016四川省甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =﹣ax +b 的图象与反比例函数ky x=的图象相交于点A （﹣4，﹣2），B （m ，4），与y 轴相交于点C ． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求点C 的坐标及△AOB 的面积．4．（2016四川省自贡市）如图，已知A （﹣4，n ），B （2，﹣4）是一次函数y kx b =+和反比例函数my x=的图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出方程0mkx b x+-=的解； （3）求△AOB 的面积；（4）观察图象，直接写出不等式0mkx b x+-<的解集．5．（2016山东省威海市）如图，反比例函数myx=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，求点E的坐标．6．（2016山东省泰安市）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数myx=的图象经过点D，与BC的交点为N．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．7．（2016山东省聊城市）如图，在直角坐标系中，直线12y x=-与反比例函数kyx=的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A点的纵坐标是3．（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线12y x=-向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．8．（2016山东省菏泽市）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线myx=与直线y=﹣2x+2交于点A（﹣1，a）．（1）求a，m的值；（2）求该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标．9.（2016广东省）如图，在直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线2yx=（x＞0）相交于点P（1，m）．（1）求k的值；（2）若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q（）；（3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，53），求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．10.（2016广东省茂名市）如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数kyx=（k为常数，k≠0）的图象交于点A（﹣1，4）和点B（a，1）．（1）求反比例函数的表达式和a、b的值；（2）若A、O两点关于直线l对称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标．11．（2016广西河池市）如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数kyx=（k≠0）的图象交于A（﹣3，2），B（2，n）．（1）求反比例函数kyx=的解析式；（2）求一次函数y=ax+b的解析式；（3）观察图象，直接写出不等式ax+b＜kx的解集．12．（2016广西贵港市）如图，已知一次函数y=12x+b的图象与反比例函数kyx=（x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；（2）当12kx bx+<时，请直接写出x的取值范围．13．（2016内蒙古呼伦贝尔市，第25题，10分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？16．（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数kyx（x＞0）的图象交于点P（m，4），与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．17．（2016内蒙古赤峰市）（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数myx的图象与一次函数y=k（x﹣2）的图象交点为A（3，2），B（x，y）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标；（2）若C是y轴上的点，且满足△ABC的面积为10，求C点坐标．18．（2016四川省乐山市）如图，反比例函数kyx=与一次函数y=ax+b的图象交于点A（2，2）、B（12，n）．（1）求这两个函数解析式；（2）将一次函数y=ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数kyx=的图象有且只有一个交点，求m的值．19．（2016四川省成都市）如图，在平面直角坐标xOy 中，正比例函数y kx =的图象与反比例函数my x=的图象都经过点A （2，﹣2）． （1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA 向上平移3个单位长度后与y 轴交于点B ，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C ，连接AB ，AC ，求点C 的坐标及△ABC 的面积．20．（2016江苏省盐城市）我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y （℃）随时间x （h ）变化的函数图象，其中AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线ky x=的一部分，请根据图中信息解答下列问题： （1）求k 的值；（2）恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？21.（2016江苏省泰州市）如图，点A（m，4），B（﹣4，n）在反比例函数kyx=（k＞0）的图象上，经过点A、B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D．（1）若m=2，求n的值；（2）求m+n的值；（3）连接OA、OB，若tan∠AOD+tan∠BOC=1，求直线AB的函数关系式．22．（2016江苏省苏州市）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数myx=（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．23．（2016江苏省连云港市）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？24．（2016浙江省舟山市）如图，已知一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数24y x=的图象交于点A （﹣4，m ），且与y 轴交于点B ，第一象限内点C 在反比例函数24y x=的图象上，且以点C 为圆心的圆与x 轴，y 轴分别相切于点D ，B （1）求m 的值；（2）求一次函数的表达式；（3）根据图象，当120y y <<时，写出x 的取值范围．25.（2016湖北省黄冈市）如图，已知点A （1，a ）是反比例函数3y x =-的图象上一点，直线1122y x =-+与反比例函数3y x=-的图象在第四象限的交点为点B ． （1）求直线AB 的解析式；（2）动点P （x ，0）在x 轴的正半轴上运动，当线段PA 与线段PB 之差达到最大时，求点P 的坐标．26．（2016福建省莆田市）如图，反比例函数kyx=（x＞0）的图象与直线y=x交于点M，∠AMB=90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B，四边形OAMB的面积为6．（1）求k的值；（2）点P在反比例函数kyx=（x＞0）的图象上，若点P的横坐标为3，∠EPF=90°，其两边分别与x轴的正半轴，直线y=x交于点E，F，问是否存在点E，使得PE=PF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2016湖北省黄石市）如图1所示，已知：点A（﹣2，﹣1）在双曲线C：ayx=上，直线l1：y=﹣x+2，直线l2与l1关于原点成中心对称，F1（2，2），F2（﹣2，﹣2）两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B，P是曲线C上第一象限内异于B的一动点，过P作x轴平行线分别交l1，l2于M，N两点．（1）求双曲线C及直线l2的解析式；（2）求证：PF2﹣PF1=MN=4；（3）如图2所示，△PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S，求证：点Q与点B重合．（参考公式：在平面坐标系中，若有点A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间的距离公式为AB=28．（2016黑龙江省大庆市）如图，P1、P2是反比例函数kyx=（k＞0）在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为（4，0）．若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点．（1）求反比例函数的解析式．（2）①求P2的坐标．②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数kyx=的函数值．29．（2016四川省雅安市）已知直线l1：y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与双曲线kyx交于点C（1，a）．（1）试确定双曲线的函数表达式；（2）将l1沿y轴翻折后，得到l2，画出l2的图象，并求出l2的函数表达式；（3）在（2）的条件下，点P是线段AC上点（不包括端点），过点P作x轴的平行线，分别交l2于点M，交双曲线于点N，求S△AMN的取值范围．30．（2016内蒙古呼和浩特市）已知反比例函数kyx=的图象在二四象限，一次函数为y=kx+b（b＞0），直线x=1与x轴交于点B，与直线y=kx+b交于点A，直线x=3与x轴交于点C，与直线y=kx+b交于点D．（1）若点A，D都在第一象限，求证：b＞﹣3k；（2）在（1）的条件下，设直线y=kx+b与x轴交于点E与y轴交于点F，当34EDEA=且△OFE的面积等于272时，求这个一次函数的解析式，并直接写出不等式kkx bx>+的解集．31．（2016黑龙江省牡丹江市）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y =﹣x +b 与坐标轴交于C ，D 两点，直线AB 与坐标轴交于A ，B 两点，线段OA ，OC 的长是方程2320x x -+=的两个根（OA ＞OC ）．（1）求点A ，C 的坐标；（2）直线AB 与直线CD 交于点E ，若点E 是线段AB 的中点，反比例函数ky x=（k ≠0）的图象的一个分支经过点E ，求k 的值；（3）在（2）的条件下，点M 在直线CD 上，坐标平面内是否存在点N ，使以点B ，E ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2015玉林防城港）已知：一次函数210y x =-+的图象与反比例函数ky x=（0k >）的图象相交于A ，B 两点（A 在B 的右侧）．（1）当A （4，2）时，求反比例函数的解析式及B 点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当A （a ，﹣2a +10），B （b ，﹣2b +10）时，直线OA 与此反比例函数图象的另一支交于另一点C ，连接BC 交y 轴于点D ．若52BC BD =，求△ABC 的面积．33．（2014年福建泉州14分）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=1m．34．（2014年黑龙江牡丹江10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程x 2﹣18x +72=0的两根（OA ＞OC ），BE =5，tan ∠ABO =43． （1）求点A ，C 的坐标；（2）若反比例函数y =k x的图象经过点E ，求k 的值； （3）若点P 在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q ，使以点C ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q 的个数，并直接写出位于x 轴下方的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．35．（2014年江苏淮安12分）如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数kyx（x＞0）的图象上，（1）k的值为▲ ；（2）当m=3，求直线AM的解析式；（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．36．（2014年山东枣庄10分）如图，一次函数y =ax +b 与反比例函数k y x=的图象交于A 、B 两点，点A 坐标为（m ，2），点B 坐标为（﹣4，n ），OA 与x 轴正半轴夹角的正切值为13，直线AB 交y 轴于点C ，过C 作y 轴的垂线，交反比例函数图象于点D ，连接OD 、BD ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求四边形OCBD 的面积．37．（2014年四川巴中10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形DOBC 是矩形，且D （0，4），B （6，0）．若反比例函数1k y x=（x ＞0）的图象经过线段OC 的中点A ，交DC 于点E ，交BC 于点F ．设直线EF 的解析式为2y k x b =+．（1）求反比例函数和直线EF 的解析式；（2）求▲OEF 的面积；（3）请结合图象直接写出不等式12k k x b >0x+-的解集．。
反比例函数动点问题
反比例函数动点问题通常涉及到一些几何和代数的知识。
以下是一个典型例题的分析：
已知A、B是反比例函数y=k/x（k＞0，x≠0）的图像上的两点，当点A在第一象限时，与坐标轴围成的矩形AEOF的面积为3，则点B 与坐标轴围成的矩形的面积是（）。
A. 3
B. －3
C. 6
D. 无法确定
我们可以根据题意进行推理。
由于点A在第一象限，所以矩形AEOF 的面积可以表示为|k| = 3。
同时，由于点B在反比例函数的图像上，与x轴和y轴围成一个矩形，其面积也为|k|。
但是这个矩形的面积的具体数值无法确定，因为它与点A的坐标有关。
因此，正确答案是D. 无法确定。
希望这个例子能够帮助你理解反比例函数动点问题的一般思路和方法。
如果你有更多的例题需要分析，欢迎继续提问。
专题66 反比例函数中的动点最值问题(解析版)
例题精讲【例1】．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为________解：当x＝0时，y＝×0+4＝4，∴点B的坐标为（0，4）；当y＝0时，x+4＝0，解得：x＝﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C的坐标为（﹣3，2），点D坐标为（0，2）．作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D交x轴于点P，此时PC+PD的值最小，如图所示．∵点C的坐标为（﹣3，2），∴点C′的坐标为（﹣3，﹣2）．设直线C′D的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C′（﹣3，﹣2），D（0，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直线C′D的解析式为y＝x+2．当y＝0时，x+2＝0，解得：x＝﹣，∴点P的坐标为（﹣，0），即点P的坐标为（﹣1.5，0）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB 的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小解：设点P的坐标为（x，），∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，∴四边形OAPB是个直角梯形，∴四边形OAPB的面积＝（PB+AO）•BO＝（x+AO）•＝+＝+•，∵AO是定值，∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．故选：C．【变1-2】．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（2，0）为圆心，半径为1的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为，则k的值是．解：方法一、联立，∴，∴，∴A（），B（），∴A与B关于原点O对称，∴O是线段AB的中点，∵N是线段AM的中点，连接BM，则ON∥BM，且ON＝，∵ON的最大值为，∴BM的最大值为3，∵M在⊙C上运动，∴当B，C，M三点共线时，BM最大，此时BC＝BM﹣CM＝2，∴（，∴k＝0或，∵k＞0，∴，方法二、设点B（a，2a），∵一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，∴A与B关于原点O对称，∴O是线段AB的中点，∵N是线段AM的中点，连接BM，则ON∥BM，且ON＝，∵ON的最大值为，∴BM的最大值为3，∵M在⊙C上运动，∴当B，C，M三点共线时，BM最大，此时BC＝BM﹣CM＝2，∴＝2，∴a1＝或a2＝0（不合题意舍去），∴点B（，），∴k＝，故答案为：．【例2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x 轴上，则PM+PN的最小值是2．解：∵正方形OABC 的边长是6，∴点M 的横坐标和点N 的纵坐标为6，∴M （6，），N （，6），∴BN ＝6﹣，BM ＝6﹣，∵△OMN 的面积为10，∴6×6﹣×6×﹣×6×﹣×（6﹣）2＝10，∴k ＝24，∴M （6，4），N （4，6），作M 关于x 轴的对称点M ′，连接NM ′交x 轴于P ，则NM ′的长＝PM +PN 的最小值，∵AM ＝AM ′＝4，∴BM ′＝10，BN ＝2，∴NM ′＝＝＝2，故答案为2．变式训练【变2-1】．已知在平面直角坐标系中有两点A （0，1），B （﹣1，0），动点P 在反比例函数y ＝的图象上运动，当线段PA 与线段PB 之差的绝对值最大时，点P 的坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1）．解：如图，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（0，1）、B（﹣1，0）代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+1，直线AB与双曲线y＝的交点即为所求点P，此时|PA﹣PB|＝AB，即线段PA与线段PB 之差的绝对值取得最大值，由可得或，∴点P的坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1），故答案为：（1，2）或（﹣2，﹣1）．【变2-2】．如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象与双曲线y2＝（k≠0）相交于A（﹣1，2）和B（2，b）两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．（1）求双曲线的解析式；（2）经研究发现：在y轴负半轴上存在若干个点P，使得△CPB为等腰三角形．请直接写出P点所有可能的坐标．解：（1）∵点A（﹣1，2）在双曲线y2＝（k≠0）上，∴k＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函数解析式为y2＝﹣，（2）∵点B在双曲线y2＝﹣上，∴2b＝﹣2，∴b＝﹣1，∴B（2，﹣1），将点A（﹣1，2），B（2，1）代入一次函数y1＝mx+n（m≠0）中，得，∴，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1；令x＝0，则y＝1，∴C（0，1），设P（0，p）（p＜0），∵B（2，﹣1），∴BC＝＝2，BP＝，CP＝1﹣p，∵△CPB为等腰三角形，∴①当BC＝BP时，2＝，∴p＝1（舍）或p＝﹣3，∴P（0，﹣3），②当BC＝CP时，2＝1﹣p，∴p＝1﹣2，∴P（0，1﹣2），③当BP＝CP时，＝1﹣p，∴p＝﹣1，∴P（0，﹣1），故满足条件的点P的坐标为（0，﹣3）或（0，1﹣2）或（0，﹣1）．1．如图，点N是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点N作MN∥x轴，交直线y＝﹣2x+4于点M，则△OMN面积的最小值是（）A．1B．2C．3D．4解：设点N的坐标为（，m），则点M的坐标为（2﹣m，m）（m＞0），∴MN＝﹣（2﹣m）＝m+﹣2，＝MN•m＝m2﹣m+3＝（m﹣2）2+2，∴S△OMN∴当m＝2时，△OMN面积最小，最小值为2．故选：B．2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ＝99°．设BP＝x，CQ＝y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．解：∵AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣18°）＝81°，∴∠ABC＝∠APB+∠PAB＝81°，∵∠PAQ＝99°，∠BAC＝18°，∴∠PAB+∠QAC＝99°﹣18°＝81°，∴∠APB＝∠QAC，同理可得∠PAB＝∠AQC，∴△APB∽△QAC，∴＝，即＝，整理得，y＝，∵x、y都是边的长度，是正数，∴y与x之间的函数关系用图象表示是反比例函数在第一象限内的部分，纵观各选项，只有A符合．故选：A．3．如图，已知A、B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作PM ⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S＝K，保持不变，故排除B、D；②点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为a，则S＝OC×CP＝OC×（l﹣at），因为l，OC，a均是常数，所以S与t成一次函数关系．故排除C．故选：A．4．已知点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等边△ABC．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但始终在一个函数的图象上运动，则这个函数的表达式为y＝﹣．解：设A（a，），∵点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB，∵△ABC为等边三角形，∴AB⊥OC，OC＝AO，∵AO＝，∴CO＝，过点C作CD⊥x轴于点D，则可得∠AOD＝∠OCD（都是∠COD的余角），设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD＝tan∠OCD，即＝，解得：y＝﹣a2x，在Rt△COD中，CD2+OD2＝OC2，即y2+x2＝3a2+，将y＝﹣a2x代入，（a4+1）x2＝3×可得：x2＝，故x＝，y＝﹣a2x＝﹣a，则xy＝﹣3，故可得：y＝﹣（x＞0）．故答案为：y＝﹣（x＞0）．5．如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ．当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是3．解：∵PQ⊥x轴，∴设P（x，），则Q（x，x﹣2），∴PQ＝﹣x+2，＝（﹣+2）•x＝﹣（x﹣2）2+3，∴S△POQ∵﹣＜0，∴△POQ面积有最大值，最大值是3，故答案为3．6．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过点C．已知点P是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）图象上的一个动点，则点P到直线AB距离最短时的坐标为（，）．解：（1）设直线AB的解析式为y＝ax+b，将点A（1，0），点B（0，2）代入得，解得，∴直线AB为y＝﹣2x+2；∵过点C作CD⊥x轴，∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝1，∴C（3，1），∴k＝3，∴y＝；设与AB平行的直线y＝﹣2x+h，联立﹣2x+h＝，∴﹣2x2+hx﹣3＝0，当△＝h2﹣24＝0时，h＝2或﹣2（舍弃），此时点P到直线AB距离最短，解方程﹣2x2+2x﹣3＝0得x＝＝，∴P（，），故答案为P（，）．7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是（用含k的代数式表示）．解：如图，因为反比例函数关于直线y＝x对称，观察图象可知：当线段AB与直线y＝x 垂直时，垂足为M，此时AM＝BM，OM的值最小，∵M为线段AB的中点，∴OA＝OB，∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴点A与点B关于直线y＝x对称，∵AB＝4，∴可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），∴（m+4）（﹣4）＝k，整理得k＝m2+4m，∴A（m，m+4），B（m+4，m），∴M（m+2，m+2），∴OM＝＝＝，∴OM的最小值为．故答案为．8．如图，点A是反比例函数y＝在第一象限的图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B．连接AO，以点A为圆心，分别以AB，AO为半径作直角扇形BAC和OAD，并连接CD，则阴影部分面积的最小值是2π+2．解：如图，过点D作DE垂直于CA的延长线于点E，则∠AED＝90°，由题意可知，AB＝AC，AO＝AD，∠BAC＝∠DAO＝90°，∵AB⊥y轴，∴∠ABO＝90°，∴∠BAO+∠OAE＝90°，∠DAE+∠OAE＝90°，∴∠BAO＝∠DAE，∴△BAO≌△EAD（AAS），∴DE＝OB．∵点A是反比例函数y＝在第一象限的图象上的一点，∴OB•AB＝4，∴S△AOB＝OB•AB＝2，∴S△ACD＝AC•DE＝OB•AB＝2，∴S阴影＝S△ACD+S扇形OAD＝2+＝2+∵（AB﹣OB）2≥0，∴AB2﹣2AB•OB+OB2≥0，∴AB2+OB2≥2AB•OB，∴S阴影≥2+×2AB•OB＝2+2π．故答案为：2+2π．9．如图，点A是反比例函数y＝（k＞0）图象第一象限上一点，过点A作AB⊥x轴于B 点，以AB为直径的圆恰好与y轴相切，交反比例函数图象于点C，在AB的左侧半圆上有一动点D，连接CD交AB于点E．记△BDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，连接BC，△ACB是等腰直角三角形，则若S1﹣S2的值最大为1，则k的值为4+4．解：如图连接BC、O′C，作CH⊥x轴于H．由题意⊙O′与反比例函数图象均关于直线y＝x对称，∴点A、C关于直线y＝x对称，设A（m，2m）则C（2m，m），∴BO′＝CH＝m，BO′∥CH，∴四边形BHCO′是平行四边形，∵BH＝CH，∠BHC＝90°，∴四边形BHCO′是正方形．∴∠ABC＝45°，∴△ACB是等腰直角三角形，∵S1﹣S2＝S△DBC﹣S△ACB，△ABC的面积是定值，∴△DBC的面积最大时，S1﹣S2的值最大，∴当DO′⊥BC时，△DBC的面积最大，∴m•（m+m）﹣•2m•m＝1，∴m2＝2（+1），∵k＝2m2，∴k＝4+4，故答案为：等腰直角三角形，4+4．10．如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，P为x轴上一点，求使PA+PB的值最小时点P的坐标．解：（1）设A点的坐标为（a，b），则由，得ab＝2＝k，∴反比例函数的解析式为；（2）由条件知：两函数的交点为，解得：，，∴A点坐标为：（2，1），作出A点关于x轴对称点C点，连接BC，P点即是所求则点C（2，﹣1），∵B（1，2），设直线BC的解析式为：y＝kx b，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣3x+5，当y＝0时，x＝，∴点P（，0）．11．如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，若△ABC面积为2．（1）求k的值（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝2÷2＝1，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2．故这个反比例函数的解析式为y＝；（2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．将y＝2x与y＝联立成方程组得：，解得：，，∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形∴∠ADB＝90°，如图3，∵O为线段AB的中点，∴OD＝AB＝OA，∵A（1，2），∴OC＝1，AC＝2，由勾股定理得：OA＝＝，∴OD＝，∴D（，0）．根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（﹣，0）．故x轴上存在一点D，使△ABD以AB为斜边的直角三角形，点D的坐标为（，0）或（﹣，0）．12．如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点C，使|CA﹣CB|的值最大，求满足条件的点C的坐标及△ABC的面积．解：（1）∵直线y＝x+2经过点A（1，a），∴a＝3，∵反比例函数y＝经过A（1，3），∴k＝3，∴y＝，由，解得或，∴B（﹣3，﹣1）．（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，延长AB′交x轴于点C，点C即为所求；∵A（1，3），B′（﹣3，1），∴直线AB′的解析式为y＝x+，∴C（﹣5，0），＝S△CBB′+S△BB′A＝×2×2+×2×4＝6．∴S△ABC13．如图，一次函数y＝2x﹣3的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（﹣1，n），B 两点．（1）求反比例函数的解析式与点B的坐标；（2）连接AO、BO，求△AOB的面积；（3）点D是反比例函数图象上的一点，当∠BAD＝90°时，求点D的坐标．解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，∴n＝﹣5，∴点A（﹣1，﹣5），∵点A（﹣1，﹣5）在反比例函数的图象上，∴k＝﹣1×（﹣5）＝5，∴；联立，解得：，，∴点；（2）设y＝2x﹣3与y轴的交点为点E，则点E（0，﹣3），∴OE＝3，＝S△AOE+S△BOE＝×3×1+×3×＝；∴S△AOB（3）设点，如图，分别过点D，B作y轴的平行线DM，BN，过点A作MN⊥DM于M，交BN于N，则MN⊥BN，∴∠M＝∠N＝90°，∴∠DAM+∠ADM＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAN+∠DAM＝90°，∴∠BAN＝∠ADM，∴△BAN∽△ADM，∴＝，即＝，解得：a1＝﹣10，a2＝﹣1（舍），∴．14．如图，直线y＝2x+3与y轴交于A点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0）．（1）求反比例函数的解析式；（2）点D（a，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB+PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0），∴在直线y＝2x+3中，当x＝1时，y＝2+3＝5，∴点B的坐标为（1，5），又∵点B（1，5）在反比例函数y＝上，∴k＝1×5＝5，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）将点D（a，1）代入y＝，得：a＝5，∴点D坐标为（5，1）设点D（5，1）关于x轴的对称点为D′（5，﹣1），过点B（1，5）、点D′（5，﹣1）的直线解析式为：y＝kx+b，可得：，解得：，∴直线BD′的解析式为：y＝﹣x+，根据题意知，直线BD′与x轴的交点即为所求点P，当y＝0时，得：﹣x+＝0，解得：x＝，故点P的坐标为（，0）．15．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．（2）设过（1）中的直线EF的解析式为y＝ax+b，直接写出不等式ax+b＜的解集．（3）当k为何值时，△AEF的面积最大，最大面积是多少？解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，BC＝3，∵F为AB的中点，∴点F坐标为（3，1），∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝3×1＝3，∴反比例函数解析式为y＝，∵点E在BC上，∴E点纵坐标为2，在y＝中，令y＝2，可求x＝，∴E点坐标为（，2）；（2）不等式ax+b＜的解集即直线在反比例函数下方时对应的自变量的取值范围，由（1）可知点E、F两点的横坐标分别为、3，∴不等式ax+b＜的解集为：0＜x＜或x＞3；（3）由题意可知点E的纵坐标为为2，点F的横坐标为3，且E、F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴可设E（，2），F（3，），∴AF＝，CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝3﹣，＝AF•BE＝••（3﹣）＝﹣k2+＝﹣（k﹣3）2+，∴S△AEF∵﹣＜0，是关于k的开口向下的抛物线，∴S△AEF有最大值，最大值为，∴当k＝3时，S△AEF即当k的值为3时，△AEF的面积最大，最大面积为．16．如图，直线OA：y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小．解：（1）设点A的坐标为（a，b），则，解得：k＝2．∴反比例函数的解析式为y＝．（2）联立直线OA和反比例函数解析式得：，解得：．∴点A的坐标为（2，1）．设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，﹣1），连接BC较x轴于点P，点P即为所求．如图所示．设直线BC的解析式为y＝mx+n，由题意可得：B点的坐标为（1，2），∴，解得：．∴BC的解析式为y＝﹣3x+5．当y＝0时，0＝﹣3x+5，解得：x＝．∴P点的坐标为（，0）．17．已知：如图，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点（A在B的右侧），点A横坐标为4．（1）求反比例函数解析式及点B的坐标；（2）观察图象，直接写出关于x的不等式﹣2x+10﹣＞0的解集；（3）反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把x＝4代入y＝﹣2x+10得y＝2，∴A（4，2），把A（4，2）代入y＝，得k＝4×2＝8．∴反比例函数的解析式为y＝，解方程组，得，或，∴点B的坐标为（1，8）；（2）观察图象得，关于x的不等式﹣2x+10﹣＞0的解集为：1＜x＜4或x＜0；（3）存在，理由：①若∠BAP＝90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y＝﹣2x+10，当y＝0时，﹣2x+10＝0，解得x＝5，∴点E（5，0），OE＝5．∵A（4，2），∴OH＝4，AH＝2，∴HE＝5﹣4＝1．∵AH⊥OE，∴∠AHM＝∠AHE＝90°．又∵∠BAP＝90°，∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°，∴∠MAH＝∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴，即，∴MH＝4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y＝mx，则有4m＝2，解得m＝，∴直线AP的解析式为y＝x，解方程组，得，，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．②若∠ABP＝90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16，﹣）．综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，﹣）．18．反比例函数（k为常数．且k≠0）的图象经过点A（1，3），B（3，m）．（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，①求满足条件的点P的坐标；②求△PAB的面积．解：（1）把A（1，3）代入y＝得，k＝3，∴反比例函数的关系式为：y＝；把B（3，m）代入y＝得，m＝1，∴点B的坐标为（3，1）；（2）①如图所示，作点B关于x轴的对称点B′，则B′（3，﹣1），连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB最小．设直线AB′的关系式为y＝kx+b，把A（1，3），B′（3，﹣1）代入得，，解得，，∴直线AB′的关系式为y＝﹣2x+5，当y＝0时，x＝，即：P（，0），也就是，OP＝，②S△P AB＝S梯形ABNM﹣S△AMP﹣S△BPN＝（1+3）×2﹣（﹣1）×3﹣（3﹣）×1＝．19．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A （1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）①在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；②在x轴上找一点M，使|MA﹣MB|的值为最大，直接写出M点的坐标．解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，得a＝3，∴A（1，3），把点A（1，3）代入反比例y＝，得k＝3，∴反比例函数的表达式y＝，解得或，故B（3，1）．（2）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小∴D（3，﹣1）设直线AD的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+5，令y＝0，则x＝，∴P点坐标为（，0）；（3）直线y＝﹣x+4与x轴的交点即为M点，此时|MA﹣MB|的值为最大，令y＝0，则x＝4，∴M点的坐标为（4，0）．20．如图，四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（0，﹣2），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点，两函数图象的另一个交点E的坐标是（m，3）．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式．（2）求出m的值，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P坐标．解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），∴AB＝1+2＝3，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AB＝3，∴C（3，﹣2），把C（3，﹣2）代入y＝，得k＝3×（﹣2）＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝﹣；把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b，得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）∵反比例函数y＝﹣的图象过点E（m，3），∴m＝﹣2，∴E点的坐标为（﹣2，3）；由图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数落在反比例函数图象上方，即当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）设P（t，﹣），∵△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，∴×1×|t|＝3×3，解得t＝18或t＝﹣18，∴P点坐标为（18，﹣）或（﹣18，）．21．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个动点，AC⊥x轴于点C；E是线段AC的中点，过点E作AC的垂线，与y轴和反比例函数的图象分别交于点B、D两点；连接AB、BC、CD、DA．设点A的横坐标为m．（1）求点D的坐标（用含有m的代数式表示）；（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（3）当m为何值时，四边形ABCD是正方形？并求出此时AD所在直线的解析式．解：（1）∵点A的横坐标为m，∴点A的纵坐标为，∵E是AC的中点，AC⊥x轴，∴E（m，），∵BD⊥AC，AC⊥x轴，∴BD∥x轴，∴点B，E，D的纵坐标相等，为，∴点D的横坐标为2m，∴D（2m，）；（2）四边形ABCD是菱形，∵B（0，），E（m，），D（2m，），∴EB＝ED＝m，∵AE＝EC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BD⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形；（3）∵平行四边形ABCD是菱形，∴当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形，∴2m＝，∴m＝2，或m＝﹣2（舍），∴A（2，4），D（4，2），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AD解析式为y＝﹣x+6，∴当m＝2时，四边形ABCD是正方形，此时直线AD解析式为y＝﹣x+6．22．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝交于点C、D，且点C坐标为（﹣2，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点M在y轴正半轴上，且与点B，C构成以BC为腰的等腰三角形，求点M的坐标．（3）点P在第二象限的反比例函数图象上，若tan∠OCP＝3，求点P的坐标．解：（1）∵点C（﹣2，m）在一次函数y＝﹣x+2的图象上，∴m＝﹣（﹣2）+2，解得：m＝4，∴C（﹣2，4），将C（﹣2，4）代入y＝，得k＝﹣8，∴反比例函数为y＝﹣；（2）如图1，过点C作CH⊥y轴于H，在直线y＝﹣x+2中，当x＝0时，则y＝2，∴B（0，2），由（1）知，C（﹣2，4），∴BC＝＝2，当BM＝BC＝2时，OM＝2+2，∴M（0，2+2），当BC＝MC时，点C在BM的垂直平分线，∴M（0，6），综上所述，点M的坐标为（0，2+2）或（0，6）（3）作OQ⊥PC于Q，过Q作HG⊥x轴于G，CH∥x轴，交HG于H，则△CHQ∽△QGO，∴，∵tan∠OCP＝3，∴，设CH＝x，则GQ＝3x，HQ＝4﹣3x，∴OG＝3HQ＝12﹣9x＝x+2，解得x＝1，∴Q（﹣3，3），∴直线CQ的解析式为y＝x+6，∴x+6＝﹣，解得x1＝﹣2，x2＝﹣4，∵点P与C不重合，∴P（﹣4，2）．。
反比例函数综合题
第1页（共78页）反比例函数综合一．选择题（共5小题）1．如图，反比例函数y ＝（k ＞0）的图象与矩形AOBC 的边AC ，BC 分别相交于点E ，F ，点C 的坐标为（4，3）将△CEF 沿EF 翻折，C 点恰好落在OB 上的点D 处，则k 的值为（ ）A ．B ．6C ．3D ．2．若关于x 的一元二次方程x 2+（2k ﹣1）x +k 2＝0的两根a 、b 满足a 2﹣b 2＝0，双曲线（x ＞0）经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于C （如图），则S △OBC 为（ ）A ．3B ．C ．6D ．3或3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝k 1x +2与y 轴交于点C ，与反比例函数y ＝在第一象限内的图象交于点B ，连接BO ，若S △OBC ＝1，tan ∠BOC ＝，则k 2的值是（）A．﹣3B．1C．2D．34．如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝和y＝的一支上，分别过点A，C作x轴的垂线垂足分别为M和N，则有以下的结论：①ON＝OM；②△OMA≌△ONC；③阴影部分面积是（k1+k2）；④四边形OABC是菱形，则图中曲线关于y轴对称其中正确的结论是（）A．①②④B．②③C．①③④D．①④5．如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC 绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B 的中点D，则k的值是（）第2页（共78页）第3页（共78页）A ．9B ．12C ．15D ．18二．填空题（共35小题）6．如图，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，D 为AB 的中点，反比例函数y ＝（k ＞0）的图象经过点D ，且与BC 交于点E ，连接OD ，OE ，DE ，若△ODE 的面积为3，则k的值为．7．如图，菱形ABCD 顶点A 在函数y ＝（x ＞0）的图象上，函数y ＝（k ＞3，x ＞0）的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D 两点，若AB ＝2，∠BAD ＝30°，则k ＝ ．8．如图，点A 、点B 分别在反比例函数y ＝和y ＝的图象上，且AB ∥x 轴，则△OAB的面积等于 ．第4页（共78页）9．如图，点A 在曲线y ＝（x ＞0）上，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，OA 的垂直平分线交OB 、OA 于点C 、D ，当AB ＝1时，△ABC的周长为． 10．如图，点A 是反比例函数y ＝图象上的任意一点，过点A 做AB ∥x 轴，AC ∥y 轴，分别交反比例函数y ＝的图象于点B ，C ，连接BC ，E 是BC 上一点，连接并延长AE 交y 轴于点D ，连接CD ，则S △DEC ﹣S △BEA ＝ ．11．如图所示，直线y ＝x 分别与双曲线y ＝（k 1＞0，x ＞0）、双曲线y ＝（k 2＞0，x ＞0）交于点A ，点B ，且OA ＝2AB ，将直线向左平移4个单位长度后，与双曲线y ＝交于点C ，若S △ABC ＝1，则k 1k 2的值为 ．第5页（共78页）12．如图，A ，B 是反比例函数y ＝在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是．13．如图，点A 在第一象限，作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，反比例函数y ＝的图象经过AB的中点C ，过点A 作AD ∥x 轴，交该函数图象于点D ．E 是AC 的中点，连结OE ，将△OBE 沿直线OE 对折到△OB ′E ，使OB ′恰好经过点D ，若B ′D ＝AE ＝1，则k 的值是 ．14．已知同一个反比例函数图象上的两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），若x 2＝x 1+2，且，则这个反比例函数的解析式为 ．15．如图，已知矩形OABC 的一个顶点B 的坐标是（4，2），反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过矩形的对称中点E，且与边BC交于点D，若过点D的直线y＝mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，则此直线的解析式为．16．如图一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为△AOB 的中位线，PC的延长线交反比例函数的图象于Q，，则Q点的坐标为．17．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为；18．如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2的值为．第6页（共78页）第7页（共78页）19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ODEF 和四边形ABCD 都是正方形，点F 在x 轴的正半轴上，点C 在边DE 上，反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的图象过点B ，E ．若AB ＝4，则k的值为．20．如图，已知A 1，A 2，A 3，…A n 是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n ﹣1A n ＝1，分别过点A 1，A 2，A 3，…A n 作x 轴的垂线交反比例函数y ＝（x ＞0）的图象于点B 1，B 2，B 3，…B n ，过点B 2作B 2P 1⊥A 1B 1于点P 1，过点B 3作B 3P 2⊥A 2B 2于点P 2…，记△B 1P 1B 2的面积为S 1，△B 2P 2B 3的面积为S 2…，△B n P n B n +1的面积为S n ，则S 1+S 2+S 3+…+S n ＝ ．21．如图，直线y＝x分别与双曲线y＝（m＞0，x＞0），双曲线y＝（n＞0，x＞0）交于点A和点B，且，将直线y＝x向左平移6个单位长度后，与双曲线y＝交于点C，若S△ABC＝4，则的值为，mn的值为．22．如图，▱ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，﹣3），顶点C、D在双曲线y＝上，边AD交y轴于点E，且▱ABCD的面积是△ABE面积的8倍，则k ＝．23．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点B的坐标为（12，6），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边BC、AB于点D、E，连结DE，△DEF与△DEB关于直线DE对称．当点F正好落在边OA上时，则k的值为．第8页（共78页）24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1＝（k＞0，x＞0），y2＝（x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD．若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是．25．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y 轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F．若y＝（k≠0）图象经过点C，且S△BEF ＝1，则k的值为．26．如图，A、B两点在反比例函数y＝的图象上，C、D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝4，EF＝3，则k2﹣k1第9页（共78页）＝．27．如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限．点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结DE．若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值．为第10页（共78页）29．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝的图象交于A（a，﹣4），B两点，过原点O的另一条直线l与双曲线y＝交于P，Q两点（P 点在第二象限），若以点A，B，P，Q为顶点的四边形面积为24，则点P的坐标是．30．如图，A，B是双曲线y＝上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为．31．如图，点A1、A3、A5…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A2、A4、A6……在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∠OA1A2＝∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝…＝∠α＝60°，第11页（共78页）第12页（共78页）且OA 1＝2，则A n （n 为正整数）的纵坐标为 ．（用含n 的式子表示）32．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，C （0，﹣3），CD ＝3AD ，点A 在反比例函数y＝图象上，且y 轴平分∠ACB ，求k＝．33．如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝（k ＞0，x ＞0）的图象与等边三角形OAB 的边OA ，AB 分别交于点M ，N ，且OM ＝2MA ，若AB ＝3，那么点N 的横坐标为 ．34．边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线y ＝k 1x 平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A ，B 两点，过B 点的双曲线y ＝的一支第13页（共78页）交其中两个正方形的边于C ，D 两点，连接OC ，OD ，CD ，则S △OCD ＝ ．35．如图，将矩形OABC 置于一平面直角坐标系中，顶点A ，C 分别位于x 轴，y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（5，6），双曲线y ＝（k ≠0）在第一象限中的图象经过BC 的中点D ，与AB 交于点E ，P 为y 轴正半轴上一动点，把△OAP 沿直线AP 翻折，使点O 落在点F 处，连接FE ，若FE ∥x 轴，则点P的坐标为．36．如图，点A 、B 在x 轴的上方，∠AOB ＝90°，OA 、OB 分别与函数y ＝、y ＝﹣的图象交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作矩形AOBC ．当点C 在y 轴上时，分别过点A 和点B 作AE ⊥x 轴，BF ⊥x 轴，垂足分别为E 、F ，则＝ ．37．如图，在平面直角坐标系中，已知A （﹣1，0），B （0，2），将△ABO 沿直线AB 翻折后得到△ABC，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点C，则k ＝．38．若双曲线y＝kx﹣1与直线y＝﹣2x+10在2≤x≤4时有且只有一个公共点，则对k的取值要求是．39．如图，△OBC的边BC∥x轴，过点C的双曲线y＝（k≠0）与△OBC的边OB交于点D，且OD：DB＝1：2，若△OBC的面积等于8，则k的值为．40．如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；④若MF＝MB，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是．（只填序号）第14页（共78页）反比例函数综合参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC，BC分别相交于点E，F，点C的坐标为（4，3）将△CEF沿EF翻折，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为（）A．B．6C．3D．【分析】过点E作EG⊥OB于点G，根据折叠的性质得∠EDF＝∠ACB＝90°，EC＝ED，CF＝DF，易证△GED∽△BDF；再根据EG：DB＝ED：DF＝4：3，即可求出BD，然后在Rt△DBF中利用勾股定理得到关于k的方程，解方程求出k的值即可．【解答】解：如图，过点E作EG⊥OB于点G，∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，第15页（共78页）∴∠EDF＝∠ACB＝90°，EC＝ED，CF＝DF，∴∠GDE+∠FDB＝90°，而EG⊥OB，∴∠GDE+∠GED＝90°，∴∠GED＝∠FDB，∴△GED∽△BDF；又∵EC＝AC﹣AE＝4﹣，CF＝BC﹣BF＝3﹣，∴ED＝4﹣，DF＝3﹣，∴＝＝；∴EG：DB＝ED：DF＝4：3，而EG＝3，∴DB＝，在Rt△DBF中，DF2＝DB2+BF2，即（3﹣）2＝（）2+（）2，解得k＝，故选：D．第16页（共78页）2．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0的两根a、b满足a2﹣b2＝0，双曲线（x＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于C（如图），则S△OBC为（）A．3B．C．6D．3或【分析】首先由一元二次方程根的判别式得出k的取值范围，然后由a2﹣b2＝0得出a﹣b＝0或a+b＝0，再运用一元二次方程根与系数的关系求出k的值，由k的几何意义，可知S△OCA＝|k|．如果过D作DE⊥OA于E，则S△ODE＝|k|．易证△ODE∽△OBA，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出S△OBA，最后由S△OBC＝S△OBA﹣S△OCA，得出结果．【解答】解：∵x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4k2≥0，即k≤．由a2﹣b2＝0得：（a+b）（a﹣b）＝0．当a+b＝0时，﹣（2k﹣1）＝0，解得k＝，不合题意，舍去；当a﹣b＝0时，a＝b，△＝（2k﹣1）2﹣4k2＝0，解得：k＝符合题意．第17页（共78页）∵y＝，∴双曲线的解析式为：y＝．过D作DE⊥OA于E，则S△ODE＝S△OCA＝×1＝．∵DE⊥OA，BA⊥OA，∴DE∥AB，∴△ODE∽△OBA，∴＝（）2＝4，∴S△OBA＝4×＝2，∴S△OBC＝S△AOB﹣S△OAC＝2﹣＝．故选：B．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝k1x+2与y轴交于点C，与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B，连接BO，若S△OBC＝1，tan∠BOC＝，则k2的值是（）第18页（共78页）A．﹣3B．1C．2D．3【分析】先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．【解答】解：∵直线y＝k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，2），∴OC＝2，过B作BD⊥y轴于D，∵S△OBC＝1，∴BD＝1，∵tan∠BOC＝，∴＝，∴OD＝3，∴点B的坐标为（1，3），∵反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B，∴k2＝1×3＝3．故选：D．第19页（共78页）4．如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝和y＝的一支上，分别过点A，C作x轴的垂线垂足分别为M和N，则有以下的结论：①ON＝OM；②△OMA≌△ONC；③阴影部分面积是（k1+k2）；④四边形OABC是菱形，则图中曲线关于y轴对称其中正确的结论是（）A．①②④B．②③C．①③④D．①④【分析】先判断出CE＝ON，AD＝OM，再判断出CE＝AD，即可判断出①正确；由于四边形OABC是平行四边形，所以OA不一定等于OC，即可得出②错误；先求出三角形COM的面积，再求出三角形AOM的面积求和即可判断出③错误，根据菱形的性质判断出OB⊥AC，OB与AC互相平分即可得出④正确．【解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于D，过点C作CE⊥y轴E，∵AM⊥x轴，CM⊥x轴，OB⊥MN，∴∠AMO＝∠DOM＝∠ADO＝∠CNO＝∠EON＝∠CEO＝90°，∴四边形ONCE和四边形OMAD是矩形，第20页（共78页）∴ON＝CE，OM＝AD，∵OB是▱OABC的对角线，∴△BOC≌△OBA，∴S△BOC＝S△OBA，∵S△BOC＝OB×CE，S△BOA＝OB×AD，∴CE＝AD，∴ON＝OM，故①正确；在Rt△CON和Rt△AOM中，ON＝OM，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA与OC不一定相等，∴△CON与△AOM不一定全等，故②错误；∵第二象限的点C在双曲线y＝上，∴S△CON＝|k1|＝﹣k1，∵第一象限的点A在双曲线y＝上，S△AOM＝|k2|＝k2，∴S阴影＝S△CON+S△AOM＝﹣k1+k2＝（k2﹣k1），第21页（共78页）第22页（共78页）故③错误；∵四边形OABC 是菱形，∴AC ⊥OB ，AC 与OB 互相平分，∴点A 和点C 的纵坐标相等，点A 与点C 的横坐标互为相反数，∴点A 与点C 关于y 轴对称，故④正确，∴正确的有①④，故选：D ．5．如图，点A 的坐标是（﹣2，0），点B 的坐标是（0，6），C 为OB 的中点，将△ABC绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′B ′C ′．若反比例函数y ＝的图象恰好经过A ′B 的中点D ，则k 的值是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．18【分析】作A ′H ⊥y 轴于H ．证明△AOB ≌△BHA ′（AAS ），推出OA ＝BH ，OB ＝A′H，求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．【解答】解：作A′H⊥y轴于H．∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠A′BH，∵BA＝BA′，∴△AOB≌△BHA′（AAS），∴OA＝BH，OB＝A′H，∵点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），∴OA＝2，OB＝6，∴BH＝OA＝2，A′H＝OB＝6，∴OH＝4，∴A′（6，4），∵BD＝A′D，∴D（3，5），∵反比例函数y＝的图象经过点D，第23页（共78页）∴k＝15．故选：C．二．填空题（共35小题）6．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE 的面积为3，则k的值为．【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），则E的坐标为E（a，），∵D为AB的中点，∴D（a，b）∵D、E在反比例函数的图象上，∴ab＝k，∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣k﹣k﹣•a•（b﹣）＝3，第24页（共78页）∴ab﹣k﹣k﹣ab+k＝3，解得：k＝，故答案为：．7．如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k ＝6+2．【分析】连接OC，AC过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG ⊥x轴于点G，得O、A、C在第一象限的角平分线上，求得A点坐标，进而求得D点坐标，便可求得结果．【解答】解：连接OC，AC过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D 作DG⊥x轴于点G，∵函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，∴O、A、C三点在同直线上，且∠COE＝45°，第25页（共78页）∴OE＝AE，不妨设OE＝AE＝a，则A（a，a），∵点A在在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴a2＝3，∴a＝，∴AE＝OE＝，∵∠BAD＝30°，∴∠OAF＝∠CAD＝∠BAD＝15°，∵∠OAE＝∠AOE＝45°，∴∠EAF＝30°，∴AF＝，EF＝AE tan30°＝1，∵AB＝AD＝2，AE∥DG，∴EF＝EG＝1，DG＝2AE＝2，∴OG＝OE+EG＝+1，∴D（+1，2），故答案为：6+2．8．如图，点A、点B分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，且AB∥x轴，则△OAB 的面积等于．第26页（共78页）第27页（共78页）【分析】延长AB 交y 轴于点C ，根据反比例函数系数的几何意义求出△BOC 的面积与△AOC 的面积，然后相减即可得解．【解答】解：延长BA 交y 轴于点C ．S △OAC ＝×5＝，S △OCB ＝×8＝4，则S △OAB ＝S △OCB ﹣S △OAC ＝4﹣＝．故答案为：．9．如图，点A 在曲线y ＝（x ＞0）上，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，OA 的垂直平分线交OB 、OA 于点C 、D ，当AB ＝1时，△ABC的周长为4 ．【分析】依据点A 在曲线y ＝（x ＞0）上，AB ⊥x 轴，AB ＝1，可得OB ＝3，再根据CD 垂直平分AO ，可得OC ＝AC ，再根据△ABC 的周长＝AB +BC +AC ＝1+BC +OC ＝1+OB进行计算即可．【解答】解：∵点A在曲线y＝（x＞0）上，AB⊥x轴，AB＝1，∴AB×OB＝3，∴OB＝3，∵CD垂直平分AO，∴OC＝AC，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝1+BC+OC＝1+OB＝1+3＝4，故答案为：4．10．如图，点A是反比例函数y＝图象上的任意一点，过点A做AB∥x轴，AC∥y轴，分别交反比例函数y＝的图象于点B，C，连接BC，E是BC上一点，连接并延长AE 交y轴于点D，连接CD，则S△DEC﹣S△BEA ＝．【分析】设A （a ，），可得B（，），C（a，），进而得到AB＝a，AC＝，依据S△DEC﹣S△BEA＝S△DAC﹣S△BCA进行计算即可．【解答】解：点A是反比例函数y＝图象上的任意一点，可设A（a，），∵AB∥x轴，AC∥y轴，点B，C，在反比例函数y＝的图象上，第28页（共78页）∴B（，），C（a，），∴AB＝a，AC＝，∴S△DEC﹣S△BEA＝S△DAC﹣S△BCA＝××（a﹣a）＝××a＝．故答案为：．11．如图所示，直线y＝x分别与双曲线y＝（k1＞0，x＞0）、双曲线y＝（k2＞0，x＞0）交于点A，点B，且OA＝2AB，将直线向左平移4个单位长度后，与双曲线y＝交于点C，若S△ABC＝1，则k1k2的值为9．【分析】想办法求出A、B两点坐标求出k1、k2即可解决问题．【解答】解：直线y＝x向左平移4个单位后的解析式为y＝（x+4），即y＝x+2，∴直线y＝x+2交y轴于E（0，2），作EF⊥OB于F，可得直线EF的解析式为y＝﹣2x+2，第29页（共78页）第30页（共78页）由解得，∴EF ＝＝，∵S △ABC ＝1，∴•AB •EF ＝1，∴AB ＝，OA ＝2AB ＝，∴A （2，1），B （3，），∴k 1＝2，k 2＝，∴k 1•k 2＝9．故答案为912．如图，A ，B 是反比例函数y ＝在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是 3 ．【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC＝S△BOD＝×4＝2．根据S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S，得出S△AOB＝S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC＝（BD+AC）•CD 梯形ABDC＝（1+2）×2＝3，从而得出S△AOB＝3．【解答】解：∵A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，∴当x＝2时，y＝2，即A（2，2），当x＝4时，y＝1，即B（4，1）．如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC＝S△BOD＝×4＝2．∵S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC，∴S△AOB＝S梯形ABDC，∵S梯形ABDC＝（BD+AC）•CD＝（1+2）×2＝3，∴S△AOB＝3．故答案是：3．第31页（共78页）13．如图，点A在第一象限，作AB⊥x轴，垂足为点B，反比例函数y＝的图象经过AB 的中点C，过点A作AD∥x轴，交该函数图象于点D．E是AC的中点，连结OE，将△OBE沿直线OE对折到△OB′E，使OB′恰好经过点D，若B′D＝AE＝1，则k的值12．是【解答】解：如图，过D作DF⊥OB于F，∵AB⊥x轴，AD∥x轴，∴四边形ABFD是矩形，由折叠可得，∠B'＝90°＝∠A，又∵B'D＝AE＝1，∠DGB'＝∠EGA，∴△DB'G≌△EAG，∴DG＝EG，B'G＝AG，第32页（共78页）∴AD＝B'G＝BE，又∵E是AC的中点，C是AB的中点，∴AE＝CE＝1，AC＝BC＝2，∴BE＝3＝AD，AB＝4＝DF，设C（a，2），则D（a﹣3，4），∵反比例函数y＝的图象经过点C点D，∴2a＝4（a﹣3），解得a＝6，∴C（6，2），∴k＝6×2＝12，故答案为：12．14．已知同一个反比例函数图象上的两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），若x2＝x1+2，且，则这个反比例函数的解析式为y ＝．【分析】设这个反比例函数的表达式为y＝，可得x1•y1＝x2•y2＝k，变形后得：＝，＝，将其代入已知，可得＝，根据x2＝x1+2，即可求得k的值．第33页（共78页）【解答】解：设这个反比例函数的表达式为y＝，∵P1（x1，y1），P2（x2，y2）是同一个反比例函数图象上的两点，∴x1•y1＝x2•y2＝k，∴＝，＝，∵，∴﹣＝，∴＝，∴＝，∴k＝2（x2﹣x1），∵x2＝x1+2，∴x2﹣x1＝2，∴k＝2×2＝4，∴这个反比例函数的解析式为：y＝，故答案为：y＝．15．如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形的对称中点E，且与边BC交于点D，若过点D的直线y＝mx+n 将矩形第34页（共78页）OABC的面积分成3：5的两部分，则此直线的解析式为y＝﹣2x +4或y ＝﹣x+．【解答】解：∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中心，∴点E的坐标为（2，1），代入反比例函数解析式得，＝1，解得k＝2，∴反比例函数解析式为y＝，∵点D在边BC上，∴点D的纵坐标为2，∴y＝2时，＝2，解得x＝1，∴点D的坐标为（1，2），设直线与x轴的交点为F，矩形OABC的面积＝4×2＝8，第35页（共78页）∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，∴梯形OFDC的面积为×8＝3，或×8＝5，∵点D的坐标为（1，2），若（1+OF）×2＝3，则OF＝2，此时点F的坐标为（2，0），若（1+OF）×2＝5，则OF＝4，此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，当D（1，2），F（2，0）时，，解得，此时，直线解析式为y＝﹣2x+4；当D（1，2），F（4，0）时，，解得，此时，直线解析式为y＝﹣x+，综上所述，直线的解析式为y＝﹣2x+4或y＝﹣x+．故答案为：y＝﹣2x+4或y＝﹣x+．第36页（共78页）16．如图一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为△AOB 的中位线，PC的延长线交反比例函数的图象于Q，，则Q点的．坐标为（2，）【解答】解：∵点A是次函数的图象与x轴的交点，∴A（4，0），∵PC是△AOB的中位线，∴点C是线段OA的中点，即C（2，0），∵PC∥y轴，∴QP⊥x轴，第37页（共78页）∴点Q的横坐标为2，设其纵坐标为y，则OC•y＝，即×2y＝，解得：y＝，∴Q（2，）．故答案为：（2，）．17．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例；函数y＝（k≠0）的图象过点C ，则该反比例函数的表达式为y ＝【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，第38页（共78页）∴∠OAB＝∠CBE，∵点A的坐标为（﹣4，0），∴OA＝4，∵AB＝5，∴OB＝＝3，在△ABO和△BCE中，，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，∴点C的坐标为（3，1），∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，∴k＝xy＝3×1＝3，∴反比例函数的表达式为y＝．故答案为：y＝．第39页（共78页）第40页（共78页）18．如图，将直线y ＝x 向下平移b 个单位长度后得到直线l ，l 与反比例函数y ＝（x ＞0）的图象相交于点A ，与x 轴相交于点B ，则OA 2﹣OB 2的值为10 ．【分析】平移后解析式是y ＝x ﹣b ，代入y ＝求出x 2﹣bx ＝5，y ＝x ﹣b 与x 轴交点B 的坐标是（b ，0），设A 的坐标是（x ，y ），求出OA 2﹣OB 2＝x 2+（x ﹣b ）2﹣b 2＝2（x 2﹣xb ），代入求出即可．【解答】解：∵平移后解析式是y ＝x ﹣b ，代入y ＝得：x ﹣b ＝，即x 2﹣bx ＝5，y ＝x ﹣b 与x 轴交点B 的坐标是（b ，0），设A 的坐标是（x ，y ），∴OA 2﹣OB 2＝x2+y2﹣b2＝x2+（x﹣b）2﹣b2＝2x2﹣2xb＝2（x2﹣xb）＝2×5＝10，故答案为：10．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若．AB＝4，则k 的值为24+8【解答】解：设正方形ODEF的边长为a，则E（a，a），B（4，a+4），∵点B、E均在反比例函数y＝的图象上，∴，解得a＝2+2或a＝2﹣2（舍去）．当a＝2+2时，k＝a2＝（2+2）2＝24+8．第41页（共78页）故答案为：24+8．20．如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n﹣1A n＝1，分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…B n，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n ＝．【分析】由OA 1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n﹣1A n＝1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…B n点的坐标为（n，y n），把x＝1，x＝2，x ＝3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…S n的值，故可得出结论．【解答】解：∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n﹣1A n＝1，∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B n（n，y n），∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴y1＝1，y2＝，y3＝…y n＝，∴S1＝×1×（y1﹣y2）＝×1×（1﹣）＝（1﹣）；S2＝×1×（y2﹣y3）＝×（﹣）；第42页（共78页）S3＝×1×（y3﹣y4）＝×（﹣）；…S n＝（﹣），∴S1+S2+S3+…+S n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝．故答案为：．21．如图，直线y＝x分别与双曲线y＝（m＞0，x＞0），双曲线y＝（n＞0，x＞0）交于点A和点B，且，将直线y＝x向左平移6个单位长度后，与双曲线y＝交于点C，若S△ABC＝4，则的值为，mn 的值为100．【分析】先求出直线y ＝x向左平移6个单位长度后的解析式为y＝x+4，那么直线y ＝x+4交y轴于E（0，4），作EF⊥OB于F．根据互相垂直的两直线斜率之积为﹣1得出直线EF的解析式为y＝﹣x+4，再求出F点的坐标，根据勾股定理求得EF，根据S△ABC＝4，求出AB，那么根据，求得OA，进而求出A、B两点坐标，求出m、n 即可解决问题．【解答】解：直线y＝x向左平移6个单位长度后的解析式为y＝（x+6），即y＝第43页（共78页）x+4，∴直线y＝x+4交y轴于E（0，4），作EF⊥OB于F．可得直线EF的解析式为y＝﹣x+4，由，解得，即F（，）．∴EF＝＝，∵S△ABC＝4，∴•AB•EF＝4，∴AB＝，∵＝，∴OA＝AB＝，∴A（3，2），B（5，），∴m＝6，n＝，∴＝，mn＝100．故答案为，100．第44页（共78页）22．如图，▱ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，﹣3），顶点C、D在双曲线y＝上，边AD交y轴于点E，且▱ABCD的面积是△ABE面积的8倍，则k＝．36【解答】解：如图，过D点作x轴的垂线，垂足为G，过C点作y轴的垂线，垂足为F，交DG于H点，连接BD，∵ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵BO∥DG，第45页（共78页）第46页（共78页）∴∠OBC ＝∠GDE ，∴∠HDC ＝∠ABO ，∴△CDH ≌△ABO （AAS ），∴CH ＝AO ＝1，DH ＝OB ＝3，∵▱ABCD 的面积是△ABE 面积的8倍，∴S △ABD ＝4S △ABE ，∴AD ＝4AE ，∴AG ＝4OA ，∵A （﹣1，0），B （0，﹣3），设D （3，m ），则点C （4，m ﹣3），∵点C 和点D 均在双曲线上，则有：3m ＝4（m ﹣3），解得m ＝12，∴k ＝3m ＝36．23．如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 在第一象限，点B 的坐标为（12，6），反比例函数y ＝（k ＞0）的图象分别交边BC 、AB 于点D 、E ，连结DE ，△DEF 与△DEB 关于直线DE 对称．当点F 正好落在边OA 上时，则k的值为 27 ．【分析】由于四边形是矩形OABC，且△DEF与△DEB关于直线DE对称．当点F正好落在边OA上，可得△DGF∽△F AE，然后把D和E点坐标表示出来，再由三角形相似对应边成比例即可求出AF的长．然后利用勾股定理求出k＝27．【解答】解：过点D作DG⊥OA垂足为G（如图所示）由题意知D（，6），E（12，），DG＝6又∵△DEF与△DEB关于直线DE对称．当点F正好落在边OA上∴DF＝DB，∠B＝∠DFE＝90°∵∠DGF＝∠F AE＝90°，∠DFG+∠EF A＝90°又∵∠EF A+∠FEA＝90°∴∠GDF＝∠EF A∴△DGF∽△F AE∴＝，即，解得：AF＝3，第47页（共78页）∵EF2＝EA2+AF2即＝+9解得：k＝27故答案为：2724．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1＝（k＞0，x＞0），y2＝（x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD．若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值．是2【解答】解：令x＝0，得y＝x﹣1＝﹣1，∴B（0，﹣1），∴OB＝1，把y＝x﹣1代入y2＝（x＜0）中得，x﹣1＝（x＜0），第48页（共78页）解得，x＝1﹣，∴，∴，∵CE⊥x轴，∴，∵△COE的面积与△DOB的面积相等，∴，∴k＝2，或k＝0（舍去）．故答案为：2．25．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y 轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F．若y＝（k≠0）图象经过点C，且S△BEF24．＝1，则k 的值为【解答】解：连接OC，BD，第49页（共78页）∵将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，∴OA＝OE，∵点B恰好为OE的中点，∴OE＝2OB，∴OA＝2OB，设OB＝BE＝x，则OA＝2x，∴AB＝3x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3x，∵CD∥AB，∴△CDF∽△BEF，∴＝＝，∵S△BEF＝1，∴S△BDF＝3，S△CDF＝9，∴S△BCD＝12，∴S△CDO＝S△BDC＝12，∴k的值＝2S△CDO＝24．第50页（共78页）。
正反比例函数综合题
正反比例函数综合题（一）题目1。
1. 题目。
- 已知正比例函数y = kx（k≠0）与反比例函数y=(m)/(x)（m≠0）的图象交于A、B两点，点A的坐标为(2,1)。
- 求这两个函数的表达式；- 求点B的坐标。
2. 解析。
-- 把A(2,1)代入正比例函数y = kx，得1 = 2k，解得k=(1)/(2)，所以正比例函数的表达式为y=(1)/(2)x。
- 把A(2,1)代入反比例函数y=(m)/(x)，得1=(m)/(2)，解得m = 2，所以反比例函数的表达式为y=(2)/(x)。
-- 因为正比例函数y=(1)/(2)x与反比例函数y = (2)/(x)的图象交于A、B两点，联立方程组<=ft{begin{array}{l}y=(1)/(2)x y=(2)/(x)end{array}right.，将y=(1)/(2)x 代入y=(2)/(x)得(1)/(2)x=(2)/(x)，即x^2=4，解得x = 2或x=-2。
- 当x = - 2时，y=(1)/(2)×(-2)=-1，所以点B的坐标为(-2,-1)。
（二）题目2。
1. 题目。
- 反比例函数y=(k)/(x)（k≠0）的图象经过点(-1,2)，正比例函数y = ax（a≠0）与反比例函数y=(k)/(x)的图象的一个交点为M(m, - 1)。
- 求反比例函数和正比例函数的表达式；- 求点M的坐标；- 根据图象写出使正比例函数值大于反比例函数值的x的取值范围。
2. 解析。
-- 把(-1,2)代入反比例函数y=(k)/(x)，得2=(k)/(-1)，解得k=-2，所以反比例函数的表达式为y =-(2)/(x)。
- 把M(m,-1)代入y =-(2)/(x)，得-1=-(2)/(m)，解得m = 2，把M(2,-1)代入y = ax，得-1 = 2a，解得a=-(1)/(2)，所以正比例函数的表达式为y=-(1)/(2)x。
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反比例函数动点问题
1. 如图1,已知双曲线y= — （ k >0）与肓线y=k'x 交于〃两点，点/在第一象限.试 解答下列问题：（1）若点/的坐标为（4, 2）则点B 的坐标为 _____________ ；若点/的横坐 标为加，则点〃的坐标可表示为 ____________ ; （2）如图2,过原点O 作另一条直线/,交 双||||线y =L （£>o）于P, Q 两点，点P 在第一豫限.①说明四边形APBQ —定是平行 X 四边形；②设点力，卩的横坐标分别为m,心四边形APBQ 可能是矩形吗？可能是正方形 吗？若可能，直接写出加，
2. 我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你可以利用这…结论解决问题. 如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是： 将X 轴所在的直线绕着原点O 逆时针旋转«度角后的图形.
若它与反比例函数尹=二的图象分别交于笫一.三象限的
x
点、B 、D,已知点力（一〃7, 0）、C （加，0）（加是常数， 且加>0）. （1）直接判断并填写：不论a 取何值，四边形ABCD 的形状一定是 ；
（2）①当点〃为（〃，1）时，四边形MCD 是矩形，试求卩、 a 和加的值；②观察猜想： 对①屮的m 值，能使四边形ABCD 为矩形的 点B 共有几个？（不必说理）（3）试探究：
四边形ABCD 能不能是菱形？若能，
直接写出〃点处标；若不能，说明理由.能，请说明理由•
“应满足的条件；若不可
1 D A 1O B =毎 C
x
3.如图，是反比例函数y=--和p=—色在笫二彖限中的图像，点力在尹=—°的图像上，点力的横坐标为
7
m (〃?<0), AC//y轴交尹=一一的图像于点C, AB. CD
x
均平行于X轴，分别交y=~-.y=~-的图像于点B、x x
D.
(1)用加表示/、B、C、D的坐标；
(2)求证：梯形ABCD的面积是定值；
L 4、如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y=- (x x >0)的图象经过点3.
(1)求£的值；
(2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形
MABC\ NA'BC.设线段MC\分别与函数y=- (x>0)
X
的图彖交于点E、F,求线段EF所在直线的解析式.
5、.如图1,在平面直角坐标系屮，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4, 3）,反比例函数y=L 住>0）的图象与矩形AOBC的边
AC. BC分别相交于点E、F,将ZXCEF沿EF 对折后，C点恰好
落在03上.
（1）求证：5A0E耳/\B0F的面积相等；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）如图2,尸点坐标为（2, —3）,在反比例函数尹=±的图
象上是否存在点M、N 在N的左侧），使得以0、P、M、
N为顶
点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的处标；若不存在，请说明理山.
1.如图，己知岂线y=—2x+b与双曲线y=-（k>01UH2）相交于第一•象限内的两点P
A -9
（1, k）、0（―^二，力）.
（1）求点0的坐标（用含£的代数式表示）；
（2）过戶、0分別作坐标轴的垂线，垂足为/、C,两垂线相交于点氏是否存在这样的斤值，使得AOPO的面积等于面积的二倍？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.（P、0两点请自己在图屮标明）
2.在平面直角坐标系中，函数y=- (x>0,加是常数)的图象经过点/ (1, 4)、点B 5, X
b),其过点力作x轴的垂线，垂足为C,过点B作，轴的垂线，垂足为D MC与3D相交于点M,连结如入DC、CB与4B.
(1)求加的值;
(2)求证：DC//AB；
(3)当AD=BC时，求宜线/〃的函数解析式。