从电偶极子的电场线方程谈起
电偶极子电像法
电偶极子电像法电偶极子电像法是一种非常重要的电学分析方法，它可以帮助我们更好地理解电场的分布和电荷的作用。
在本文中，我们将详细介绍电偶极子电像法的原理、应用和局限性。
电偶极子是由两个等量但相反的电荷组成的系统，它们之间的距离非常小，可以看作是一个点电荷对。
在电偶极子中，两个电荷之间的距离越小，电偶极矩就越大。
电偶极子的电场分布可以用电偶极子矩阵来描述，它是一个向量，其大小等于电偶极子矩，方向指向正电荷到负电荷的方向。
在电偶极子电像法中，我们将一个电偶极子放置在一个无限大的均匀介质中，然后通过对称性和镜像原理来计算电场分布。
具体来说，我们可以将电偶极子看作是两个点电荷，然后在电偶极子的对称面上放置一个虚拟的点电荷，使得这个点电荷和电偶极子的对称面上的点电荷之间的距离相等。
这个虚拟的点电荷就是电偶极子的电像，它的电荷量等于电偶极子的电荷量，但是符号相反。
通过这种方法，我们可以得到电偶极子和电像之间的电场分布，从而更好地理解电场的分布和电荷的作用。
这种方法在电学分析中非常常用，可以帮助我们更好地理解电场的分布和电荷的作用。
二、电偶极子电像法的应用电偶极子电像法在电学分析中有很多应用，下面我们将介绍其中的一些。
1. 电荷分布电偶极子电像法可以帮助我们计算电荷分布的电场分布。
例如，在一个均匀介质中，如果有一个电荷分布，我们可以通过电偶极子电像法来计算电场分布，从而更好地理解电荷分布的作用。
2. 电容器电偶极子电像法可以帮助我们计算电容器的电场分布。
例如，在一个平行板电容器中，我们可以通过电偶极子电像法来计算电场分布，从而更好地理解电容器的工作原理。
3. 电磁波电偶极子电像法可以帮助我们计算电磁波的电场分布。
例如，在一个天线中，我们可以通过电偶极子电像法来计算电场分布，从而更好地理解电磁波的传播和接收。
三、电偶极子电像法的局限性虽然电偶极子电像法在电学分析中非常有用，但是它也有一些局限性。
下面我们将介绍其中的一些。
电荷及电偶极子电场分布的实验心得
电荷及电偶极子电场分布的实验心得
电荷及电偶极子的电场分布是物理学中的基本概念，在实验中可以通过一些简单的装置和测量手段来观察和研究。
观察电荷电场分布的方法之一是使用电荷感应仪。
我们可以将电荷感应仪的探测头移到不同位置，记录下每个位置上的电场强度大小。
然后，根据电场强度与距离的关系，可以绘制出电荷的电场线分布图。
从实验中可以看到，电场线是从正电荷指向负电荷，而且电场线越靠近电荷，电场强度越大。
这与电场的基本特性相符。
接下来，我们可以进行电偶极子的电场分布实验。
一种简单的方法是使用摆线器。
我们可以在摆线器上设置两个点电荷，然后通过调整两个电荷的距离和极性，以及探测头的位置，来观察电场强度的变化。
实验中可以观察到，电偶极子的电场分布呈现出特殊的形状，中心位置处电场强度最强，而离中心远离的地方电场强度逐渐减弱。
通过这些实验，我们可以更直观地了解电荷及电偶极子的电场分布规律，并验证理论模型的准确性。
在实际中，这些电场分布的实验心得对于电场的应用和研究具有重要的指导意义。
电偶极子电场强度的推导求梯度方程
电偶极子电场强度的推导求梯度方程下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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实验1模拟电偶极子的电场和等位线
实验1模拟电偶极子的电场和等位线实验二模拟电偶极子的电场和等位线实验目的：1、了解并掌握MATLAB 软件，熟练运用MATLAB 语言进行数值运算。
2、熟练掌握电偶极子所激发出的静电场的基本性质3、掌握等位线与电力线的绘制方法实验要求：1、通过编程，完成练习中的每个问题，熟练掌握MATLAB 的基本操作。
2、请将原程序以及运行结果写成word 文档以方便检查实验内容：一、相关概念回顾对于下图两个点电荷形成的电场两个电荷共同产生的电位为：2101201211()4π4πp r r q q r r r r φεε-=-=其中距离分别为1r =，2r =电场强度与电位的关系是p φ=-?E等位线函数为: (,,)x y z C φ= 电力线函数为：d d y x E E x y=二、实验步骤1、打开MATLAB 软件，新建命令文档并保存，并在文档中输入程序。
2、输入点电荷q1的坐标（q1x ，q1y ）, 以及q1所带的电量。
调用input 函数。
如果不知道该函数的使用方法可在MATLAB 命令行处键入 doc input 。
3、输入点电荷q1的坐标（q1x ，q1y ）, 以及q1所带的电量。
4、定义比例常系数90194πe ε=，命令为k=9e9。
5、定义研究的坐标系范围为[][]5,5,5,5x y ∈-∈-,步长值为0.1。
6、将x,y 两组向量转化为二维坐标的网点结构，函数为meshgrid 。
命令为[X,Y]=meshgrid(x,y)，如果不知道该函数的使用方法可在MATLAB 命令行处键入 doc meshgrid 。
7、计算任意一点与点电荷之间的距离r，公式为1r =，2r =8、计算由q1,q2两个点电荷共同产生的电势01211()4πq V r r ε=- 9、注意，由于在q1和q2位置处计算电势函数为无穷大或者无穷小，因此要把这两点去掉掉，以方便下面绘制等势线。
具体命令可参考Vinf1=find(V==inf);V(Vinf1)=NaN;Vinf2=find(V==-inf);V(Vinf2)=NaN;如果是可以解释这四句话的原理，可以有加分！10、根据天长强度与电位函数的关系φ=-?E ，可直接计算E ，调用gradient 函数。
关于电偶极子的研究
关于电偶极子的研究作者：邱伟陶金来源：《科技创新导报》2015年第30期摘要：电偶极子是电介质理论和原子物理学的重要模型。
该文研究了电场中的电偶极子的力矩、电势能与电偶极子的电势、感生偶极矩、电场线方程。
最后，用MATLAB软件来反应电偶极子激发的电场在空间上的分布情况。
关键词：电偶极子 ;电场 ;电势 ;MATLAB中图分类号：0441.1 ; ; ; ; 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）10（c）-0253-02在实际生活中电偶极子的应用很广泛。
在以往电偶极子的教学当中，没有详细讨论电偶极子，只是给出电偶极子的电场，没有对电偶极子的力矩、电势能、电势电场线作详细讨论。
在接下来将详细讨论这几个问题。
1 电场中的电偶极子1.1 对电偶极子的力矩电场中的电偶极子受力矩作用而旋转，使电偶极矩的方向转向外电场方向。
电偶极矩简称电矩，是其在单位外电场作用下受到的最大力矩。
一个水分子（见图1），显示3个核与电子存在的区域。
电偶极子从氧端（负的）指向氢端（正的）。
如图2所示在均匀外电场中的偶极子，设偶极子是一个大小各为q而中心相距d的两个异号电荷组成的偶极矩与电场成角。
由于电场均匀，电场对偶极子的合力为零，所以偶极子的质心不移动。
然而，在带电末端上力在偶极子上产生一个绕其质心的合力矩。
质心位于连接两个带电末端的线上，离一个末端的距离为，而另一个末端的距离为，根据，所以合力矩（1）利用电场的大小和偶极矩的大小写出的大小，所以上式中用代替并用代替，求得的大小为：，我们还可以写成矢量形式：（对偶极子的力矩）（2），所得结果与文献[1]相同。
1.2 电偶极子的电势能电偶极子的势能与其在电场中的取向有关。
当电偶极子处于平衡取向具有最小的势能，而平衡取向是其偶极矩沿电场方向的取向。
在所有其他取向的情况下它具有较大的势能。
如图3所示，角为90°时势能为零，根据计算当电偶极子从90°转到其他任意时，作用在电偶极子上的电场所做的功，可求出电偶极子在该值时的势能。
电偶极子在电场中的运动规律
目录1自由离子实组成的电偶极子的运动规律 (1)1.1电偶极子模型 (1)1.2自由电偶极子的运动规律 (2)1.2.1自由电偶极子相互作用力 (2)1.2.2自由电偶极子的运动规律 (3)2外电场下系统相互作用的近似处理 (5)2.1自由电偶极子相互作用力 (5)2.2外电场下系统相互作用力 (5)3外电场下电偶极子的运动规律 (6)结论 (9)参考文献 (10)英文摘要 (10)致谢 (11)外电场下电偶极子运动规律的再研究物理系1003班 学 生：刘文浩指导教师：任恒峰摘要：给出由离子实组成的电偶极子模型，对模型进行分析得出势能表达式，然后对势能表达式进行泰勒展开并求出一级近似。
对势能求梯度得出离子实的受力情况，并应用牛顿第二定律得出动力学方程继而得出运动学方程。
将该电偶极子置于任意方向的匀强电场中，也就是将电场力与自由电偶极子的相互作用力叠加，再运用牛顿第二定律求出动力学方程和运动学方程，最后将此方程图像描绘出以便形象的表达电偶极子的运动规律。
关键词：电偶极子；电场；运动学方程引言电偶极子是物理学中非常重要的理论模型，在理论和实际上都有着非常重要的意义。
电偶极子也是我们在电磁理论和实际生活中经常遇到的一种带电体系，它是指一对等量异号的电荷，它们之间的距离远小于场点到它们的间距[1-5]。
电偶极子模型往往可以使复杂的问题简单化，可以将问题分析的恰到好处。
在实际生活中电偶极子的应用很广泛，例如在外电场作用下电介质的原子里正、负电荷即构成电偶极子,无线电天线里电子做周期性运动形成振荡的电偶极子。
目前对电偶极子的研究已有很多。
例如正负单电子组成的电偶极子、电偶极子在外场作用下的运动规律、电偶极子激发的电场，作匀速直线运动的电偶极子的特性等等[5-8]。
但对于正负离子实组成的电偶极子在外场下的运动规律的研究却很少[9,10]。
本文将以自由电偶极子的运动规律为基础，对其在外电场中的势能进行处理，从而得出精确运动规律，并将处理结果进行泰勒展开取一级近似得出它的近似解。
电偶极子的电场与电势
计算机模拟电偶极子电场中的电势及场强分布1 引言在物理中课程中，电磁场理论理论性强、概念抽象、场图较为复杂。
传统教学中，单纯的理论推导无法使学生深刻理解电磁场中的许多概念，从而影响整个课程的学习。
电偶极子的电场是一种对于人体生物电研究有着重要基础意义的典型电场，原子、分子、心肌细胞等的电性质都可以等效为电偶极子来描述。
利用Matbal可模拟出电磁场中的物理量，以图形化的方式显示其分布及其计算结果，得到富有感染力的图形及计算结果。
2 理论推导电偶极子是由两个相距很近的等量异号点电荷+q与-q 所组成的带电系统，从电偶极子的负电荷作一矢径到正电荷，称为电偶极子的轴线。
以电偶极子中心为原点，电场中任意一点a 的位矢为, 与之间的夹角为θ，r l 。
根据电势叠加原理，a 点的总电势应为[1]：U=U++U- [1]1/4πε0·qlcosθr2=1/4πε0·pcosθr2U+ 与U- 分别为正、负电荷在a 点产生的电势，p为电偶极子的电偶极矩，=q ，表征电偶极子的整体电性质。
上式子说明电偶极子电场中电势的分布与方位有关。
以电偶极子轴线的中垂面为零势面将整个电场分为正、负两个对称的区域，正电荷所在一侧为正电势区，负电荷所在一侧为负电势区。
在球坐标系中，电偶极子的电场中的场强为：Er=1/4πε0·2pcosθr3Eθ=1/4πε0·psinθr3特殊地，在电偶极子轴线延长线上，θ=0 或π ，Eθ=0 ，E=Er=1/4πε0·2pr3在电偶极子的中垂面上，θ=π2 ，Er=0 ，E=Eθ=1/4πε0·pr33.1主程序clear;clc;q=2e-6;k=9e9;a=2.0;b=0;x=-6:0.6:6;y=x;[X,Y]=meshgrid(x,y);rp=sqrt((X-a).^2+(Y-b).^2);rm=sqrt((X+a).^2+(Y+b).^2);V=q*k*(1./rp-1./rm);[Ex,Ey]=gradient(-V);AE=sqrt(Ex.^2+Ey.^2);Ex=Ex./AE;Ey=Ey./AE;cv=linspace(min(min(V)),max(max(V)),51);contour(X,Y,V,cv,'r-')%axis('square')title('\fontname{宋体}、fontsize{11} 电偶极子的电场线与等势线'),hold on quiver(X,Y,Ex,Ey,0.6,'g')plot(a,b,'bo',a,b,'g+')plot(-a,-b,'bo',-a,-b,'bo',-a,-b,'w-')xlabel('x');ylabel('y'),hold off3.2 模拟图像红色线圈表示电偶极子的等势面，从图中可以看到电偶极子整个电场为一个电势数值分布对称的区域。
电偶极辐射电场线分布的分析
第２ ７卷第 ６期 ２ ０７ １ ０ 年 ２月
咸
宁 学
院
学
报
Ｖｏ ． ７， ． １ ２ Ｎｏ ６
Ｄｅ ． ００ Ｃ２ ７
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｎｎ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｆＸｉｎ ｉ ｇ Ｃｏｌ ｅ ｅ
文章 编号 ：０ ６— ３ ２ ２ ０ ） ６— ０ ３— ５ １０ ５ ４ 《 ０ ７ ０ ０ ３ ０
一 一
当交 变 电流分 布给定 时 ， 计算 辐射 场 的基 础是 推迟 势公式 （ ￡ ，） 若 电流 －是 一定 的频 率 的交 变 电流 ， ， 有
－ ， ＝ Ｊ 一 ） ， （ ｔ ） （ ｅ ｒ 代 入 （ ）式 中得 １ （ ）＝ ‘
：
４ｆ Ｒ ～ Ｊ
电偶 极 辐射 电场 线 分布 的分 析
程正则 ， 彭 耐
（ 宁 学院 物理 系 ， 成 湖北 成 宁 ４７０ ） ３ １０
摘
要 ： 麦 克斯 韦基 本 电磁 理论 出发 ， 从 严格 推 导得 出电偶 极 辐射 的 电场 强度 表 达 式和 电场 线
表 达式 ， 据 电场 线表 达式作 出电偶 极 辐射 电场 线 的 分 布 图 ， 根 然后 从 电场 线 分布 图探 讨 电偶极
３ Ｖ ＝Ｉ ｄ ｄｌ
辐射 电场线分 布及 辐射 特 点． 关键词 ： 电偶极 辐射 ； 电场 强度 ； 电场 线 中图分类 号 ：０ ４ ． ４ １２
０ 引 言
文献 标识 码 ： Ａ
电偶极子辐射是 电磁波辐射理 论的基础 ， 清楚地 了解它 的辐射规 律是非 常重要 的． 在辐 射问题 的实 际应用 中， 可以计算辐射功率和辐射的方向 电偶极辐射的电磁波是空间中的 Ｔ 性． Ｍ波，Ｍ波在现实中有多方面的应 Ｔ 用． 电偶极子辐射是天线工程 中最 基本的问题． 本文用数学方法严格推导得 出电偶极 辐射的电场线方 程 ， 到电 得 偶极振子电场 的 Ｅ线公式后 ， 出了不 同时刻电偶极振 子 电场 的 Ｅ线 图． Ｅ线作 了分类 ， 区分 时准确地作 作 对 分 出图形并加 以讨 论， 最后完成对 电偶极辐射过程演示． 而对 电偶极振子 的 Ｅ线随时间的变化情况及 电偶极振 进 子的电场作较 详细 的分析． 这对 电磁波辐射理论的教学直观 化有—定的意义． １ 电偶极振 子 的构成 对等量 异号 的电荷组 成 的带 电系统 ， 当它 们之 间 的距离 △ 远 比场 点到它 们 的距离 ｒ 得多 （ Ｚ 小 ｒ＞ ＞ △） ， ｚ 时 我们把这种带电体系叫做电偶极子…． 当点电偶极子两端 的电荷交替变化时， 在其 附近空间将产 生交 变 电磁场 ， 使 电磁 场往 远处 辐射． 常 ， 变 电偶 极 子 上 的 电荷 变化 可 视 为 一个 电流 元． 简 单 的 并 通 交 最 辐射 电流元 是一 个很 短 的直线 电流元． 此 电流元 的长 度 △ 总 是远小 于 自由空 间 的电磁波 电偶 极子 波长 设 Ｚ Ａ 即Ａ ． ｌ＜＜ ， 可 以认 为其 上 电流 的幅值 和相位 处处 相 同 ， 则 即电流均匀 分 布 ； 且其 直径 ｄ与其 长度 相 比 可忽略不计 ， 即有 ｄ ＜ ＜Ａ ， 之 ， 据 电流连续 性原 理 ， ｌ反 根 电流元 两 端必有等 值 而异 号 的 电荷积 聚 ， 当 于 相 个交变的电偶极子． 这样对交变电偶极子的分析也就是对 电流元 的分析 ， 这种短直线 电流元称为电偶 极子 或基本 振子 ， 也称 为赫 兹振 子 Ｊ赫 兹振 子 的辐射 也就 叫做 电偶极 辐射． ． ２ 计算辐 射场 的一 般方 法
电偶极辐射电场的分析及演示
１３４
进一步化简，
上式中 Ｃ’为积分常量， Ｃ’取不同数值时， 即得时刻辐射 场中不同的电场线方程， 与文献［１］得到的电 场线方程是 一致的。由于问题具有轴对称性， 故只需作出 Ｏｘｚ 平面 上的电场线， 下面对上式做进一步处理。将
代入（ １２） 式， 整理得：
（ １３）
作下列替换：
（ １２）
得
Ｔｈｅ Ａｎａｌｙｓｅ ａｎｄ Ｄｅｍｏｎｓｔｒ ａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｅｌｅｃｔｒ ｉｃ Ｆｉｅｌｄ Ｌｉｎｅ ｏｆ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ Ｅｌｅｃｔｒ ｉｃ Ｄｉｐｏｌｅ ＷＵ Ｎｅｎｇ－ ｚｈｉ， ＣＨＥＮ Ｙｉ－ ｃｈｅｎｇ， ＹＡＮＧ Ｗｅｉ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｈｕａｚｈｏｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｗｕｈａｎ ４３００７９， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｍａｔｈ－ ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｍａｐｌｅ， ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｌｉｎｅ ｏｆ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｄｉｐｏｌｅ ｉｓ ａｃｑｕｉｒｅｄ ｂｙ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｗａｙ， ａｎｄ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ ａｎｄ ａｎａｌｙｚｅｄ ｄｉｖｉｓｉｏｎａｌｌｙ ａｎｄ ｔｉｍｅ ｓｈａｒｉｎｇ． Ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎ ｉｓ ｅｘｐｏｒｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ＧＩＦ ｆｏｒｍａｔ ａｓ ａ ｒｅｓｕｌｔ． Ｋｅｙ Ｗｏｒ ｄｓ： ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｄｉｐｏｌｅ；ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｌｉｎｅ；ａｎｉｍａｔｅｄ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎ；Ｍａｐｌｅ
电偶极辐射电场线分布的分析
3
co sθ e
- i ( k 0 r-ω t)
( 19 ) ( 20 )
( ω 1 i 1 θe- i k0 r- t) sin 3 3 + 2 2 π ε 4 k0 r k0 r k0 r 0
将分量式写成实数形式 : 3 2 P0 k0 θ[ 31 3 co s ( k0 r - ω t) - 21 2 sin ( k0 r - ω t) ] Er = co s π ε 4 0 k0 r k0 r
_ _
2
( 15 )
_
er
_
eθ
eφ ( 16 )
_
E =
ic k0
θ r θ r sin r sin _ 1 × B = 9 9 ω iε 0 0μ 0 θ 9r 9 0 0 r sin θ Bφ
_
=
I△ l
er r
2
ω ε i4 π 0
I△ l
ik0 +
e θ ik0 1 2 co s 1 θθ k2 sin - 2 0 r r r r
E θ = E φ P0 k0
3
( 21 ) ( 22 ) ( 23 )
π ε 4 0 =0
θ[ ( sin
1
k0 r
3 3
-
1
k0 r
) co s ( k0 r - ω t) +
1
k0 r
2 2
sin ( k0 r - ω t) ]
4 电偶极辐射的电场线方程
电偶极辐射的电场线满足方程 Er θ 1 E = θ dr r d ( 22 ) 、 ( 23 ) 带入式 ( 24 ) , 整理后得 将式 ( 21 ) 、 1 1 ( 2 2 - 1 ) co s ( k0 r - ω t) + sin ( k0 r - ω t) k0 r k0 r θ 2 co s θ= d dr sin θ 1 1 sin ( k0 r - ω t) 2 2 co s ( k0 r - ω t) k0 r k0 r
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求电场线方程的
特殊技巧
姚志鹏PB13203009
李雅博PB13203018
求解共线分布电荷的电场线方程。
由
即
积分
C为待定常数，可由初始条件确定。
换种写法即
这个方程的形式非常美观，且只与q和夹角有关。
我们可以尝试着使用一种更“物理”的方法来得出
这个方程。
电场线方程满足切线方向处处与电场方向重合即有
则由电场线方程组成的包络面必然满足法向量与电场方向正交导致电通量在包络面上的积分必然为0。
（严格的数学证明省略，简单证明可由电场线不交叉直接得到）由电场线方程的这个性质，我们可以尝试着用一种新的的方法来解电场线方程
先介绍一个引理
对于空间中一个点电荷，它在一个面上产生的电通量为
即电通量正比于对应曲面对点电荷所张的立体角
又在轴对称的情形下一个圆面所张立体角
取向右为正，考虑所取的面位于电荷的左侧类似计算可得立体角取两个截面与包络面组成高斯面
1.高斯面内没有电荷
使用高斯定理
则通过两个面的电通量必然相等得出
2.高斯面内有电荷，假定只有一个(可依次推广)
则
整理即得
综合以上两种情形得出
下面我们来确定常数C的范围
粗看有
但实际上各并不独立。
我们将C看作x,y的函数
求C的极值令
得y=0，极值一定在x轴上取。
故余弦值只能取-1或1，通过逐步调整的总可以确定C的范围，此处不再赘述。
下面我们试着来利用共线电荷电场线方程
解决几个简单的问题
1.电荷任意连续分布
则原式改为积分形式
右图为均匀分布时的结果
为一双曲线
2.正负电荷交叉分布，零点无电荷
我们尝试着构造共线点电荷的一种分布使其净电荷为0，电偶极矩之和也为0
正负交叉等间隔分布且电量按1/n衰减
左图中的渐近线吸引了我们的注意力
我们更改电荷分布，只留下两对电荷以简化
左图为1,2处有电荷右图为3,4处有电荷，但渐近线相同先来确定常数C的范围，由之前得出的方法易
得
分别于（-2，-1）间与（-1,1）间取得，我们
取不同的C画出相应的场线，以下分别为取
C为正负0.01,0.001,0.0001作出的图像（蓝
色曲线对应正C，紫色对应负C）
自然而然地猜测C取0时恰对应渐近线，作图由之前作出的局部图可以猜测渐近线由最内侧
的电荷发出。
证明可由电通量计算得出。
将右侧电荷视为整体Q，发出的电场线全部落在（1,0）处的电荷则有
此对应右端电荷发出电场线经过（1，0）的最大夹角
再将此代入电场线方程，求出C恰等于0。
我们代入C=0，取不同x解出y
验证如下
x=1000,y=1999.91
x=10000,y=19999.99
x=100000,y=199999.99
x=1000000,y=1999999.999
……
得出渐近线方程
y=2x
如何从一般情形证明满足要求的分布总是有这样一条渐近线呢？
我们回归普通方法
电荷分布为q/k(-k,0),q(-1,0),-q(1,0),-q/k(k,0)
由余弦定理
对其展开保留到三阶项得到
令E的切向分量为0，解出正切值恰为2
对刚才的电荷分布由
知其电四极矩也为0，由其电场随r下降的速度可以猜测其为电八极矩
我们也可以由此推广，尝试着用共线分布的点电荷构造出更高阶的电多极矩。
对于空间中位于处的共线电荷，该问题等价于求解线性方程组其中
由范德蒙行列式的知识知道当m+1<n时，原方程有解。
故用共线点电荷构造电2的n次方极子至
少需要n+1个点电荷。
均匀带电圆环
下面我们试着用三种方
法得出电场线方程
1.常微分方程
积分很复杂，MATHMATICA
未能给出解析解
2.电四极子法
用电四极子法可以得到远处的电场线
计算可得电四极矩张量
因此，电四极子产生的电势为
考虑到电荷分布的对称性，采用图示柱坐标系，在均匀带电圆环的远处，即的各点，电势可写成
前三项分别对应零、一、二级近似。
其中为
电偶极矩在远处的电势，而此圆环的电偶极矩本身为零。
第三项
其中为电四极矩，其分量为
则
所得到的电场线方程
为初等隐函数，在远
距离处作图如右所示
（加上第一项）：
3.高斯定理法
第一次积分电场在(r, )点处水平方向的分量第一项为
第二项为
第二次积分
最终的电场线方程为：
取低阶项作图
此方法计算近处的电场线较
为精确，至此我们得出整
个空间中的电场线
我们试图将对称性再还原
计算共轴带电圆环的电场线，无奈计算能力不足未能得出任何结果
总结
一类常微分方程
对称性
二次积分
参考文献
1.戴亮戴又善，直线分布点电荷体系的电场线方程中曲线簇
参数取值范围的确定，大学物理2008年3月第27卷第3期2.姚晓玲谭德宏，用高斯定理推导共线电荷系的电场线方程
，物理与工程Vol.23 No.4 2013
3.邱荒逸，计算均匀带电圆环的电势与电场，江苏江阴
214431
还要在此感谢叶邦角老师的指导，以及黄开、张铮同学的帮助。