简谐振动电偶极子辐射场分析(最终报告)
电动力学课件 5.3 电偶极辐射
e ikR 0 e ikR 0 B x, t A x, t p t pt 4 R R 4 0 e ikR ike R p t 4 R p t p t i p t 由于 k 0 0 t 1 c p t i p t 2 p t 0 0 e ikR e ikR 1 B x, t p t eR p t sin e 3 3 4 0 c R 4 0c R
§5.3 电偶极辐射
静止的电荷不能发射电磁波，静电场∝ 1/R2，无能流 恒定电流体系：电场∝ 1/R2 ，磁场∝ 1/R2 ，能流密度∝ 1/R4， 远场总功率≈ 0 只有随时间变化的电荷电流系统才能辐射电磁波。 宏观上，载有高频交变电流的天线可产生辐射，微观 上，一个做变速运动的带电粒子即可产生辐射。
电磁场能流密度正比于1/R2，沿径向辐射
e ikR B x, t p t sin e 4 0c 3 R
1
b) 辐射功率 单位时间内通过半径为 R 的球面向外辐射的平均能量，称为 辐射功率。把能流密度 S 对球面积分即得总辐射功率，即
P
S
S ds
dV
任何小区域电荷电流分布在远处某点产生的矢势可表示为位 于原点的各级电磁多极辐射的叠加 3、电偶极辐射
1 1）展开式的第一项 A x 与电偶极矩 p t 的关系
7
ikR e 由于 A1 x 0 J x dV 4 R V ikR ikR e e 1 A x , t 0 J x e i t dV 0 J x , t dV 4 R V 4 R V
5-3 电偶极辐射解析
从而得到矢势A的展开式为：
0 eikR 1 2 A( x ) J ( x ) 1 ik n x ( ik n x ) 4 R V 2!
展开式的各项对应于各级电磁多极辐射。
三、电偶极辐射
展开式的第一项
ikR e A(1) ( x ) 0 4 R
在近区内， kr <<1 ，推迟因子 eikr~1 ，因而场保持
稳恒场的主要特点，即电场具有静电场的纵向形式，
磁场也和稳恒场相似。 b) 远区（辐射区）r>>λ，而且也保证r>>l。
1 1 在此区域中场强E和B均可略去 的高次项， R | x |
该区域内的场主要是横向电磁场。
c) 感应区（过渡区），r ~ λ，但满足r>>l。 这个区域是一个过渡区域。它介于似稳区和辐射区
根据小区域的意义
l ~| x | ,
l ~| x | r.
因此，在计算辐射场时只须保留1/R的最低次项。 而 R r , r | x |，所以分母中可以去掉 n x 项。但分子不能去掉 n x 项，这是因为这项贡献 一个相因子： ikn x i 2n x /
若电流 J ( x, t ) 是一定频率ω的交变电流，有
J ( x, t ) J ( x)e
因此
it
式中 k c 为波数
0 J ( x)ei ( k r t ) Α( x, t ) dV 4 r
如果令 A( x, t ) A( x )e it
( x, t )
40 r
c dV
由此可见，由矢势公式就可以完全确定电磁场。 磁场
ic 电场（在电荷分布区域外面） Ε Β k 二、矢势A的展开式
电偶极子振荡产生的电磁辐射
电偶极子振荡产生的电磁辐射摘要随着电子信息时代的高速发展，信息传递要求我们更加高效，在我们生活的三维时空里速度最大值为光速，而以人为力量要想到达此速度几乎不可能，但是我们知道电磁波的传播速度为光速(真空)，我们可以利用将信息加载在电磁波上传递来达到高效传输。
因此我们如今大多采用电磁波传递信息。
电偶极子辐射是电磁波辐射理论的基础，清楚地了解它的辐射规律是非常重要的，在辐射问题的实际应用中，可以计算辐射功率和辐射的方向性。
电偶极子辐射的电磁波是空间中的TM 波，TM波在现实中有多方面的应用。
电偶极辐射是天线工程中最基本的问题，电偶极子是电介质理论和原子物理学的重要模型，研究从稳恒到 X光频电磁场作用下电介质的色散和吸收，以及天线的辐射等现象,可以用振荡偶极子。
本文采用微分方程在边界条件下解出电偶极辐射的数学表达式，我们重点研究远场辐射问题。
这对电磁波辐射理论的数学直观化有一定意义，对于我们了解辐射以及辐射的原理有重要意义。
关键字:电偶极辐射微分模型边界问题1问题重述电偶极子(electric dipole)是两个相距很近的等量异号点电荷组成的系统。
电偶极子的特征用电偶极距P=Lq描述，其中 L是两点电荷之间的距离，L和P的方向规定由,q指向+q。
电偶极子在外电场中受力矩作用而旋转，使其电偶极矩转向外电场方向。
电偶极矩就是电偶极子在单位外电场下可能受到的最大力矩，故简称极矩。
如果外电场不均匀，除受力矩外，电偶极子还要受到平移作用。
电偶极子产生的电场是构成它的正、负点电荷产生的电场之和。
当其在水平面上发生振荡是会辐射出电磁波，求解在远区电磁场强度的解析解。
问题分析一对等量异号的电荷组成的带电系统，当它们之间的距离L远比场点到它们的距离r小得多(r>>L)时,我们把这种带电体系叫做电偶极子.当点电偶极子两端的电荷交替变化时,在其附近空间将产生交变电磁场,并使电磁场往远处辐射.通常,交变电偶极子上的电荷变化可视为一个电流元.最简单的辐射电流元是一个很短的直线电流元设此电流元的长度L总是远小于自由空间的电磁波电偶极子波,长.即L<<,则可以认为其上电流的幅值和相位处处相同,即电流均匀分布;且其直径d与其长度相比可忽略不计,即有d<<L,反之,根据电流连续性原理,电流元两端必有等值而异号的电荷积聚,相当于一个交变的电偶极子这样对交变电偶极子的分析也就是对电流元的分析,这种短直线电流元称为电偶极子或基本振子,也称为赫兹振子.赫兹振子的辐射也就叫做电偶极辐射.根据麦克斯韦方程组和在利用2推迟势计算辐射是解决辐射问题的一般思路。
matlab结题报告(电偶极子的辐射场)
电偶极子的辐射场背景与意义：对于一个带电体来说，如果正负电荷呈电偶分布，正、负电荷的重心不重合，那么讨论这种带电体的电场时，可以把它模拟成两个相距很近的等量异号的点电荷+q 和−q ，这样的带电系统称为电偶极子。
实际生活中电偶极子的例子随处可见，例如，在研究电解质极化时，采用重心模型描述后电解质分子可等效为电偶极子；在电磁波的发射和吸收中电子做周期性运动形成振荡电偶极子；生物体所有的功能和活动都以生物电的形式涉及到电偶极子的电场等，当天线长度l 远小于波长时，它的辐射就是电偶极辐射。
因此，研究电偶极子在空间激发的电场问题具有重要意义。
我们主要讨论宏观电荷系统在其线度远小于波长情形下的辐射问题。
基本内容介绍：1. 计算辐射场的一般公式A B (1)B kic E （2） 其中A ⃗ (x,⃗⃗ t)=μ04π∫J (x ,⃗⃗⃗ ,t−r c )r V dV , (3)若电流J 是一定频率的交变电流，有J (x ,⃗⃗ ,t )=J (x ,⃗⃗⃗ )e−iωt (4) 代入（3）式得A (x ,,⃗⃗⃗⃗ t )=μ04π∫J (x ,⃗⃗⃗ )e i(kr−ωt)r V dV ， （5）式中k =ω/c 为波数。
令A (x ,t )=A (x )e −iωt有 ')'(π4μ)(0dV re x J x A V ikr （6） 2. 失势的展开在失势公式（6）中，存在三个线度：电荷分布区域的线度l ，它决定积分区|x ,⃗⃗⃗ |的大小；波长λ=2π/k 以及电荷到场点的距离r 。
我们研究分布于一个小区域的电流所产生的辐射。
所谓小区域是指它的线度远小于波长λ以及观察距离r ，即 l r l这种情况下，可以讲失势做展开得A (x )=μ0e ikr 4μr ∫J V (x ,⃗⃗⃗ )(1−ike r ⃗⃗⃗ ∙x ,⃗⃗⃗ +⋯)dV , (7) 3. 电偶极辐射我们研究展开式的第一项 ')'(πR 4μ)(0dV x J e x A V ikR（8）先看电流密度体积分的意义。
电偶极辐射电场线分布的分析
3
co sθ e
- i ( k 0 r-ω t)
( 19 ) ( 20 )
( ω 1 i 1 θe- i k0 r- t) sin 3 3 + 2 2 π ε 4 k0 r k0 r k0 r 0
将分量式写成实数形式 : 3 2 P0 k0 θ[ 31 3 co s ( k0 r - ω t) - 21 2 sin ( k0 r - ω t) ] Er = co s π ε 4 0 k0 r k0 r
_ _
2
( 15 )
_
er
_
eθ
eφ ( 16 )
_
E =
ic k0
θ r θ r sin r sin _ 1 × B = 9 9 ω iε 0 0μ 0 θ 9r 9 0 0 r sin θ Bφ
_
=
I△ l
er r
2
ω ε i4 π 0
I△ l
ik0 +
e θ ik0 1 2 co s 1 θθ k2 sin - 2 0 r r r r
E θ = E φ P0 k0
3
( 21 ) ( 22 ) ( 23 )
π ε 4 0 =0
θ[ ( sin
1
k0 r
3 3
-
1
k0 r
) co s ( k0 r - ω t) +
1
k0 r
2 2
sin ( k0 r - ω t) ]
4 电偶极辐射的电场线方程
电偶极辐射的电场线满足方程 Er θ 1 E = θ dr r d ( 22 ) 、 ( 23 ) 带入式 ( 24 ) , 整理后得 将式 ( 21 ) 、 1 1 ( 2 2 - 1 ) co s ( k0 r - ω t) + sin ( k0 r - ω t) k0 r k0 r θ 2 co s θ= d dr sin θ 1 1 sin ( k0 r - ω t) 2 2 co s ( k0 r - ω t) k0 r k0 r
电偶极子的辐射场.
z θ φ
v
H
r E y
p x
电 偶 极 子 的 辐 射 场
p0 sin r E (r , t ) cos t 2 4v r v 2 p0 sin r H (r , t ) cos t 4vr v
2
偶极子周围的电磁场
在无限大均匀绝缘介质(或真空)中,平面 电磁波的性质概括如下:
1. 电磁波是横波, E , H , v 构成正交右旋关系. 电磁波是偏振波, E , H 都在各自的平面内 振动,且 E , H 是同位相的. E
v H
平面电磁波 示意图
2. 在同一点的E、H值满足下式:
E H
无线电射频 电力传输
10 0 1m 10 3 1km 10 5
3
z E S a . . a H E x H p H
b . S . E y b
二、平面电磁波
在距离偶极子足够远处(r« l,变化很小), 电磁场的波动方程为:
r E E0 cos t v r H H 0 cos t v
平面电磁波方程
赫兹用下面的实验证实了电偶极子 产生的电磁波
A
振子
C
谐振器
B
发射
接收
D
频率
10 22
电磁波谱
γ 射线
X 射线
波长 10 13 1A 10 9 1nm 10
10
6
0
10
1T HZ 10
15
紫外线 可见光 红外线 微 波
1μ m
1cm
12
2
1G HZ 10
1M HZ 10 1K HZ 10
电偶极子在均匀电场中的运动特征研究
Ｖｏ． ２ Ｎｏ ２ ２ １ １２ ． ０ ２
电偶 极 子在 均 匀 电场 中的运 动特 征 研 究
张 永 梅
（ 南京航 空航 天大 学理 学院 ， 江苏 南 京 ２ １ ０ ） １ １ ６
（ 收稿 日期 ：２ １－ １０ ） ０ ＩＩ－４
摘 要 电偶极 子在 均匀 电场 中受到 力 矩 的作 用 而发 生转 动 ， 由于 惯 性 的存 在 ， 但 电偶极 子 不 会 立 即静 止在 平 衡位 置 ， 是会 在 平衡 位置 附近振 动． 文从 动 力 学和 能量 特 征 两个 而 本 方面证 实 ， 始 角度较 小 的情况 下 ， 初 电偶极 子做 简谐振 动．
度证 实振 动 的电偶极 子类 似 力学 中的单 摆 或 弹簧 设外 电场 的强 度 为 Ｅ， 电偶 极 子 放 在 该 均 把
匀 的外 电场 中时 ， 的电偶 极 矩 ｐ 它 。的方 向 与 电场
强度 Ｅ 的方 向之 间 的夹角 为 ０ 电偶 极子 的正 负 电 ．
荷 分别 受到 电场 力 Ｆ 和 Ｆ 的作 用 ， 两 个 力 的 这 大小 Ｆ 一Ｆ 均为 ｑ Ｅ．
物 理 与工程
Ｖｏ． ２ Ｎｏ ２ ２ １ １２ ． ０ ２
由于这 两个力 大 小相 等 ， 向相 反 ， 以 电偶 方 所
一
一
ｑ Ｅｒ０
一 ０
（） ６
（） ７
极子 受 到的 合力 为零 ， 电偶 极 子 不会 发 生 平 动 ． 但
是这 两个 力 不 在 同一 条 直 线 上 ， 以 电偶 极 子 受 所 到力 矩 的作用 ， 个力 矩 的大小 为 这
平 衡 位置 ． 矩 的作 用 将 使 电偶 极 子 趋 向 于平 衡 力 位 置 一０ 但 是 ， 。 如果 考 虑到 电偶 极子 是 由具 有 质
电偶极子辐射场公式的推导
电偶极子辐射场公式的推导
电偶极子辐射场是物理学、电磁学和天文学的重要现象。
它描述的是一个小的
点源（作为辐射源），其双极性会在空间中传播，给出了“电偶极子辐射场”的公式。
因此，对于推导出这一公式而言，对其理论基础的理解及其运用就显得极为重要。
首先，要想推导出“电偶极子辐射场”的公式，必须具有对基础知识的充分理解，并运用物理学的基本知识，进行相关逻辑推理以及关于“电偶”技术的理论认知。
其次，如果要推导出“电偶极子辐射场”的公式，必须熟悉及掌握一些相关的数学知识，其中包括：高等数学、泛函分析以及多元函数运动等，同时，还要牢记一些基本几何知识，如和平面几何，三角几何以及曲面几何等，当然，推导中还要运用一定的数学和电磁场理论。
基于以上考虑，“电偶极子辐射场”的公式推导需要运用激进方法，即先从物
理因素出发，推导出电磁场的飞行力学方程；然后，将所有的数学、物理及电磁学知识进行融会贯通，推导出所要求的“电偶极子辐射场”的公式，并以此为基础来considering相关实际问题。
总而言之，推导“电偶极子辐射场”的公式，是非常重要的物理、电磁学和天
文学理论，但是，其过程并不容易，其前提是具备扎实的基本理论知识，并且要能把各个学科知识有机地融会贯通，以获得场定量的表达，从而能有效解决实际问题。
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研究简谐振动的电偶极子电场【摘 要】本文首先对振动性偶极子电场的物理模型进行简要的分析并推导出其电场线方程，然后利用数学软件Matlab 对隐函数直接作图的功能作出其电场线的演化进程图像，并用Matlab 动画模拟其电场线辐射过程，最后结合图像和动画对了振动性偶极子电场进行具体的分析，得出结论。
特别是，文中清楚地模拟了部分不闭合电场线“分裂”出闭合电场线的过程，这在一般论文和教材中较为少见。
【关键字】振动性偶极子(振荡电偶极子 偶极振子)；Matlab ；作图；动画；感应电场；库仑电场1． 引言振动性偶极子是电磁波辐射理论的基础，对其电场辐射情况的研究具有重要的意义。
但由于振动性偶极子电场的概念抽象，理论计算过程又十分复杂，推导和掌握需要较深的数学基础，而图形绘制也要考虑诸多因素，极其繁琐，致使这方面的研究较为困难。
使用Matlab 则可以轻松地应对这些问题，它能够针对振动性偶极子电场的各个参量变化时的特点快速地绘制出其电场线图像。
在图形的帮助下，就很容易对其电场进行简明而清楚的分析。
2． 物理模型2．1振动性偶极子的电场设振动性偶极子的电矩为0cos x P e P t ω=采用球坐标可得到在任意时刻t ，空间任意处r 的辐射电场[4]：30320211cos cos()cos()4()()2r P k E t kr t kr kr kr πθωωπε⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦30320111sin []cos()cos()4()()2P k E t kr t kr kr krkr θπθωωπε⎧⎫=--+-+⎨⎬⎩⎭ （2-1） 0=ϕE上式中k cω=。
在kr>>l 的远区，库仑电场比感应电场弱得多，故远区的电场以感应电场为主导。
而在 kr<<l 的近区与kr ≈l 的过渡区，库仑电场和感应电场不仅大小有差别，而且二者相位不尽相同，使此区域的电场呈现比较复杂的情况，这是需要进行认真分析的，也是本文的重点。
由（1）式可直接推导出振动性偶极子在在kr<<1的近区的电场为[4]：300302cos cos 4sin cos 40r P E t r P E t rE θϕθωπεθωπε=== （2-2）直接从式（2）出发进行分析很难看清楚，用图示的方法则可以非常清晰明了。
而要作图，首先要导出辐射的电场线所应满足的方程。
2．2 振动性偶极子电场的电场线方程由式(1)导出振动性偶极子电场的电场线方程[2]，根据此方程即画出电场线图。
引入01/2201[1]sin cos[arctan()]4()P k C e t kr kr r kr ϕθωπε=+-+ [2] （2-3） 由式（1）可以验证E C =∇⨯[2]，即有：1(s i n )s i n 1()0r E C r E rC r r E θϕθθθ∂=∂∂=-∂= （2-4） 在θϕϕ=（定值）的平面内，E 线满足的微分方程：θθE E r rr =d d （2-5） 将式（4）代入式（5），整理得11()(sin )sin rC dr C d r r θθθθ∂∂-=∂∂ 即 (s i n )(s i n )0C r d r C r d r θθθθ∂∂+=∂∂ [2] （2-6） 上式表明sin Cr θ的全微分为零，即sin Cr θ=恒量。
将C 的表达式代入上式中，并将04P kθπε并入恒量，设为-K 。
有12221[1]sin cos[arctan()]0()t kr kr K kr θω+-++=[2] 又由2Tπω=得 12221[1]s i n c o s [2a r c t a n ()]0()t kr kr K kr Tθπ+-++=（2-7）这就是振动性偶极子辐射的电场线所应满足的方程，当K 取不同的值时得到不同的辐射电场线。
3． 用MATLAB 制作振动性偶极子电场线的图像、动画并进行研究3.1 对方程的处理首先将（7）式写成直角坐标式[3。
kr 写成2122])()[(22λλπλπzxr kr +==而22sin zx x rx +==θ将以上两式代入式（7）得到λλzx,所满足的方程[3]：11122222222222221[1]cos 22[()()]arctan(2[()()])0(2)[()()]x t x z x z K x z x z T πππλλλλπλλ⎧⎫+-++++=⎨⎬+⎩⎭+再作代换：,,xztx y n Tλλ⇒⇒⇒，得 11122222222222221[cos 22()arctan[2()]0(2)()x n x y x y K x y x z ππππ⎧⎫+-++++=⎨⎬++⎩⎭[3]（2-8） 现在就可以根据上式编写Matlab 程序进行作图以进行研究了。
3.2 K 值在振动性偶极子电场线方程中的含义上文中提到，当K 取不同的值时得到不同的辐射电场线，为明了K 值的具体含义，作者简单利用ezplot 命令对（8）式作了图1。
在图1中取 n=0，针对不同的K 值作电场线图像，并在图中将取相同K 值的电场线用同一种线条表示。
其中，K=0时作出的图为闭合圆环，但这些圆并非电场线[2]，本文的图中画出这些圆是为了将其作3-1 n=0时不同K 值所代表的电场线(c) K=±0.8(b) K=±0.5（a ）K=±0.2 为参照标准，方便分析。
为了图示清晰，图中所取K 值并不多，但以下结论在K 取更多值的情况下皆能得到验证。
由图1可见：1) 方程中K 取值越大代表离K=0的圆越远的电场线（在下文的演化图1中则会表现为K 越小，则电场线的轮廓越大，K 越大，则电场线轮廓越小，以至消失，因而本文中所作图像都取K 较小的）。
2) 两个K=0的圆之间的电场线K 值只取正或只取负，正负交替。
另外，一部分K 较大的曲线也未在图中表示出，它们处于电场的核心区域，满足1）的情况。
3．3 振动性偶极子电场线的演化进程研究3.3.1 单电场线的演化进程研究K 取定值（K 取值如图），分别在n 取不同值时对电场线方程作图。
程序如下：syms x y ; m=10K=1.6 %分别取K=0，±0.2，±0.4，±0.6，±0.8，±1，±1.1，±1.2，±1.4，±1.6% n=linspace(0.00,1.00,m); %n 在0~1中取m 个值% for i=1:m;z=sqrt((1/(x^2+y^2)/2/pi/2/pi)+1)*(x^2/(x^2+y^2))*(cos(2*pi*n(i)-2*pi*sqrt(x^2+y^2)+atan(2*pi*sqrt(x^2+y^2))))+K; %n 在0~1中取m 个值%ezplot(z,[-1,1,-1,1]); %取相应坐标作图% hold on ; endtitle('振动性偶极子的电场线辐射的进程');（一些模拟结果）k 取不同值的图像.docx(e) K=±1.1(f) K=±1.33-2振动性偶极子单电场线演化进程图像图2即为运行结果，为了便于观察，前三图取m=5，后三图取m=10。
K 值互为相反数的电场线作出的演化进程图像是一致的，因而合为同一张图来表示。
进程图像可以清楚地记录每一时刻电场线的形状及电场线在演化过程中所处的位置，但要明确演化发展的方向，则需借助动画，因动画无法加载到文本中，下面仅列出运行该动画时所用的程序：syms x y ; m=10K=1.6 %分别取K=0，±0.2，±0.4，±0.6，±0.8，±1，±1.1，±1.2，±1.4，±1.6% n=linspace(0.00,1.00,m); %n 在0~1中取m 个值% for i=1:m;z=sqrt((1/(x^2+y^2)/2/pi/2/pi)+1)*(x^2/(x^2+y^2))*(cos(2*pi*n(i)-2*pi*sqrt(x^2+y^2)+atan(2*pi*sqrt(x^2+y^2))))+K; %n 在0~1中取m 个值%ezplot(z,[-1,1,-1,1]); %取相应坐标作图% hold on ; endtitle('振动性偶极子的电场线辐射的进程'); syms x y ;m=moviein(300)%共300帧%¡ n=linspace(0.00,30.00,300); for i=1:300;z=sqrt((1/(x^2+y^2)/2/pi/2/pi)+1)*(x^2/(x^2+y^2))*(cos(2*pi*n(i)-2*pi*sqrt(x^2+y^2)+atan(2*pi*sqrt(x^2+y^2))))+K; ezplot(z,[-1,1,-1,1]); m(:,i)=getframe; endmovie(m,3,20)（动画模拟程序）oujizifushedonghua.m结合图像和动画对电场线进行分析，可将电场线分为三类：第一类：1K ≤的电场线。
这类电场线不断由原点发出，从不闭合曲线逐渐演变为闭合曲线，并不断向外扩散。
其中1K <的电场线在扩散到远区过程中由小变大，不断向外凸；而1K =的电场线(d) K=±1平行向外扩散，到远区后曲线形状始终不变。
如图（a ）~（d ）。
第二类：1K >的电场线（除去下文中第三类的电场线）。
这类电场线始终为不闭合扁圆形曲线，由原点向外扩大，到某一极限位置，又向原点收缩直至不见，之后反复，如图（f ）。
第三类： 1.1K ≈的电场线。
这类电场线同第二类电场线相似，由原点向外扩大，到某一极限位置开始向原点收缩直至不见，之后反复，但在演变过程中会变长、变尖甚至长出尖角。
如图（e ）。
为明确上述各类电场线形状、大小变化发生的具体时间，下文中列出了Matlab 作出的另一组图，结合各单电场线的演化进程，研究其全电场线演化进程。
3.3.2 全电场线演化进程研究取K=0，±0.2，±0.4，±0.6，±0.8，±1，±1.1，±1.2，±1.4，±1.6分别对不同n 值做图。
程序如下：syms x y T ;K=linspace(-1.6,1.6,17);t=T/24%分别取t=0,T/16,T/8,T/64,T/32,3T/16,T/4,3T/8,T% n= (t/T ); for i=1:17;z=sqrt((1/(x^2+y^2)/2/pi/2/pi)+1)*(x^2/(x^2+y^2))*(cos(2*pi*n-2*pi*sqrt(x^2+y ^2)+atan(2*pi*sqrt(x^2+y^2))))+K(i); ezplot(z,[-1,1,-1,1]); %取相应坐标作图% hold on ; endz=sqrt((1/(x^2+y^2)/2/pi/2/pi)+1)*(x^2/(x^2+y^2))*(cos(2*pi*n-2*pi*sqrt(x^2+y ^2)+atan(2*pi*sqrt(x^2+y^2))))+1.1; ezplot(z,[-1,1,-1,1]);title('振动性偶极子电场的电场线图象');（matlab 模拟结果）dianoujifushe.m 程序中(t/T )取值按运行结果图3所示。