Chapter5-3 (电偶极辐射)
电偶极子振荡产生的电磁辐射
电偶极子振荡产生的电磁辐射摘要随着电子信息时代的高速发展，信息传递要求我们更加高效，在我们生活的三维时空里速度最大值为光速，而以人为力量要想到达此速度几乎不可能，但是我们知道电磁波的传播速度为光速(真空)，我们可以利用将信息加载在电磁波上传递来达到高效传输。
因此我们如今大多采用电磁波传递信息。
电偶极子辐射是电磁波辐射理论的基础，清楚地了解它的辐射规律是非常重要的，在辐射问题的实际应用中，可以计算辐射功率和辐射的方向性。
电偶极子辐射的电磁波是空间中的TM 波，TM波在现实中有多方面的应用。
电偶极辐射是天线工程中最基本的问题，电偶极子是电介质理论和原子物理学的重要模型，研究从稳恒到 X光频电磁场作用下电介质的色散和吸收，以及天线的辐射等现象,可以用振荡偶极子。
本文采用微分方程在边界条件下解出电偶极辐射的数学表达式，我们重点研究远场辐射问题。
这对电磁波辐射理论的数学直观化有一定意义，对于我们了解辐射以及辐射的原理有重要意义。
关键字:电偶极辐射微分模型边界问题1问题重述电偶极子(electric dipole)是两个相距很近的等量异号点电荷组成的系统。
电偶极子的特征用电偶极距P=Lq描述，其中 L是两点电荷之间的距离，L和P的方向规定由,q指向+q。
电偶极子在外电场中受力矩作用而旋转，使其电偶极矩转向外电场方向。
电偶极矩就是电偶极子在单位外电场下可能受到的最大力矩，故简称极矩。
如果外电场不均匀，除受力矩外，电偶极子还要受到平移作用。
电偶极子产生的电场是构成它的正、负点电荷产生的电场之和。
当其在水平面上发生振荡是会辐射出电磁波，求解在远区电磁场强度的解析解。
问题分析一对等量异号的电荷组成的带电系统，当它们之间的距离L远比场点到它们的距离r小得多(r>>L)时,我们把这种带电体系叫做电偶极子.当点电偶极子两端的电荷交替变化时,在其附近空间将产生交变电磁场,并使电磁场往远处辐射.通常,交变电偶极子上的电荷变化可视为一个电流元.最简单的辐射电流元是一个很短的直线电流元设此电流元的长度L总是远小于自由空间的电磁波电偶极子波,长.即L<<,则可以认为其上电流的幅值和相位处处相同,即电流均匀分布;且其直径d与其长度相比可忽略不计,即有d<<L,反之,根据电流连续性原理,电流元两端必有等值而异号的电荷积聚,相当于一个交变的电偶极子这样对交变电偶极子的分析也就是对电流元的分析,这种短直线电流元称为电偶极子或基本振子,也称为赫兹振子.赫兹振子的辐射也就叫做电偶极辐射.根据麦克斯韦方程组和在利用2推迟势计算辐射是解决辐射问题的一般思路。
原子物理习题解答
) =13.6 ev∗
= 12.75 ev
光子的能量为 12.75 ev，依据E2 = p2 c 2 + E0 2 考虑到光子的静止能量为 0， 对应的动量为 E 2 − E0 2 = c2 E2 E 12.75 ev = = m c = 光子 c2 c c
p=
因为 m光子 c = M原子 V反冲 V反冲 = = m光子 c M原子
E=ℎ + ������������ ������ 2
������ 2
������
1
⇒ ������ = 0.29 ������������
By
ghrui
3
1.2
动能 T=0.87 Mev 的质子轰击静止的汞核，当散
������ ������
射角������ =
时，求它们之间的最小距离和瞄准距离。
=
=12.4 KeV∙ c −1
By
ghrui
14
2.9 下列各粒子限制在限度 L 的一维盒中，请利用海 森伯不确定关系式估计它们具有的最小动能： （1）电子限制在 L=1Å的盒子中； （2）电子限制在 L=10 fm（原子核尺寸）的盒子中， 1 fm=������������−������������ ������； （3）中子（静止能量为 940MeV）限制在 L=10 fm 的 盒子中； （ 4 ） 质 量 为 L=������������−������ ������的盒子中；
解：透入距离
1 k2
= =
ℏ 2m(v 0 −E) 6.63 ∗10 −34
2.3.14 ∗ 2∗9.1∗10 −31 ∗4∗1.6∗10 −19
=0.097 Å
By
ghrui
§53电偶极辐射§5.3电偶极辐射
§5.3 电偶极辐射53Electric Dipole Radiation电磁波是以交变运动的电荷系统辐射出来的，在宏观情形电磁波由载有交变电流的天线辐射出来；在微观情形，变速运动的带电粒子导致电磁波的辐射。
本节研究宏观电荷系统在其线度远小于波长情形下的辐射问题。
1、计算辐射场的一般公式当电流分布给定时，计算辐射场的基),(t x j ′′r r r 础是的推迟势：A τμ′′′=d t x j t x A ),(),(0r r r r π∫rV 4若电流是一定频率ω的交变电流，有),(t x j ′′r r t i e x j t x j ′−′=′′ω)(),(r r rr因此0())i t j x e ωμ′−′′r r r r (,4V A x t d r τπ=∫()0()r c i t j x e d ωμτ−−′′=r r ()4V i kr t r x e ωπ−′∫r r 0()4V j d rμτπ′=∫式中为波数c k ω=如果令−t i ω)r r r r ′=ikr e x e x A t x A (),(r r r r 且有∫′=V d r j x A τπμ)(4)(0式中因子e ikr 是推迟作用因子，它表示电磁波传到场点时有相位滞后kr 。
根据Lorentz 条件，可求出标势：ϕA c r ⋅∇−=∂2ϕ由此可见，由矢势的公式完全确定了电磁场。
t ∂A r另外根据电荷守恒定律∂r 另外，根据电荷守恒定律且有0=∂+⋅∇t j ρ=⋅r r ，只要给定电流，则电荷分布ρ也自然确定了。
从而标势也就随之而确定了，因ωρi j ∇j ϕ而在这种情况下，有′e x j r r μ0)(⎪⎪=∫d r x A V τπ4)(⎪⎪⎨⋅∇−=∂∂A c t r r r ϕ2⎪⎪⎪∇×∇=A B r r ⎪⎩∂∂−−∇=t A E ϕ在电荷分布区域外面所以r 在电荷分布区域外面，，所以0=j i E r r r ωε=∂E ct B 200μ−∂=×∇故得ic E B =∇×r r 2、矢势的展开式kA r 对于矢势r ∫′′=V ikr d r e x j x A τπμ)(4)(0r r r)a)近区近区（（似稳区似稳区））且有kr <<1，推迟因子e ikr ~1，因而场保持稳恒场的主要特点即电场具有静电场的纵向形式l r r >><< , 但仍满足λ恒场的主要特点，即电场具有静电场的纵向形式，磁场也和稳恒场相似。
电偶极辐射_38p
两个金属球相距很近，充电到很高的电压，使周围空气击穿 而放电，就形成一个振荡的电偶极子． 本节研究宏观电荷系统在其线度远小于波长情形下的远区辐 射问题。即讨论电荷分布以一定频率做周期运动，且电荷体 系线度远远小于电荷到观测点的距离的情况。
具体的计算研究思路就是由源的变化出发，确定出势的变化
规律，再算出场量，并且给予充分的讨论。
曲面上的矢径长表示 E 的数 值对 q 和 j 的函数关系。 曲面上的曲线，是 j 为常数 的曲线，每隔10 度画一条。
为清楚起见，曲面切成了两
半。
沿着y轴的方向，两个波相加，合成的电场强度是单个天线所产生 的两倍。沿着x轴，两个波相位相反而互相抵消了。在xz平面的其 他方向上，波并不完全抵消，因为路程差比l/2小。每个天线在z轴
t
r A( xv)
=
µ0
r J
(
xr′)eikr
dV
′
4π r
(2) 辐射场电荷密度
∂ρ(xv,t) = −∇ ⋅ Jv(xv,t) = −[∇ ⋅ Jv(xr)]exp(− iωt) ∂t
ρ(xv,t)
=
1
iω
∇
⋅
Jv(xv,t)
令 ρ ( xr, t) = ρ ( xr)e−iω t
5-3 电偶极辐射
与R相比，不能略去相因子中 nr ⋅ xr′ 项。
2π nr 5-3亦电即偶极辐射λ
⋅
xr′
相对
2π不一定是小量
20
§5-3-3 偶极辐射
电磁波是从变化电荷电流系统辐射出来的。
在宏观情形，电磁波由载有交变电流的天线辐射出来；
在微观情形，变速运动的带电粒子导致电磁波的辐射。
下面研究宏观电荷电流系统基本辐射元 电偶极子和磁偶极子的辐射问题。 电偶极子的辐射 振荡电偶极子 短直线电流元是最简单、最基本的电磁波辐射源 短直线电流元称为电基本振子, 也叫基元天线 直线电流元的辐射特性是研究更复杂
电偶极子的场及辐射
收稿日期：2003-06-14作者简介：吕宽州（1963-），男，河南扶沟人，郑州经济管理干部学院讲师。
文章编号：1004-3918（2003）05-0512-03电偶极子的场及辐射吕宽州1，姜俊2（1.郑州经济管理干部学院，河南郑州450053；2.河南省科学院，河南郑州450002）摘要：采用了镜像法等方法对电偶极子及其产生的静电场、电磁场及辐射等做了较系统和深入的分析、研究，使分析方便、简化，推出的结论有一定实际指导意义。
关键词：电偶极子；电场；磁场；辐射中图分类号：0442文献标识码：A在很多文献上，缺乏对电偶极子及其产生的静电场、电磁场及辐射等较系统和深入的分析、研究。
本文参考有关文献给出或分析、推出了重要结论，部分内容采用了镜像法，使分析更方便。
!电偶极子及其产生的静电场电偶极子由一对正、负点电荷组成，电量为l ，相距为l ，如图1所示。
其电偶极矩p =l l ，l 的方向由~l 指向+l ，在T 处产生的电场的电势为：#（r ）=l 4L e 0T +_l4L e 0T _当T !l 时，#（r ）=l l cOs 64L e 0T 2=p ·e r 4L e 0T2（1）电场强度为：E =_"@=e r P cOs 62L e 0T 3+e !P si n 64L e 0T3（2）以上结果表明，电偶极子的电势及电场强度的大小分别与距离的平方、三次方成反比，既存在于近区，且与方位角有关，这些特点都与点电荷的电场显著不同。
图2绘出了电偶极子的电力线与等位面。
图1电偶极子F i g .1E lectric d i p O le图2电偶极子的电力线与等位线F i g .2E lectric p Ow er li ne and e C ui p Otential p laneOf e lectric d i p O le第21卷第5期2003年10月河南科学HENAN SC I ENCEV O l.21N O.50ct .2003!电偶极子产生的电磁场及辐射当P =P 0e -j G t 时，为谐振电偶极子，P 0为常矢，则在近区，即l H T 时，主要地一方面将感应如上所述的静电场，另一方面，相当于I =j G C 、长为l 的电流元还将产生一稳恒磁场，其规律可用毕萨定律描述，且电场与磁场的相位相差为90 ，即电场能量与磁场能量相互转换，而平均波印亭矢量为零，故不产生辐射。
四,磁偶极辐射和电四极辐射（PDF）
+
1 (xv'Jv' 2
−
Jv' xv' )
则积分为
∫ ∫ 1
2
[(nv
⋅
xv '
)Jv'
+
(nv
⋅
Jv'
) xv '
]dV
'
+
1 2
[(nv ⋅ xv' )Jv' − (nv ⋅ Jv' )xv' ]dV '
(nv ⋅ xv' )Jv' − (nv ⋅ Jv' ) xv' = −nv × ( xv' × Jv' )
+ (nv ⋅ Jv' )xv']dV
=
1 2
e[(nv ⋅ xv' )vv + (nv ⋅ vv' )xv']
vv' 带电粒子的速度
∑ ∑ d 1
dt 2
e(nv
⋅
xv' )xv'
=
nv
⋅
d dt
1 2
e(xv'xv' )
=
1 6
nv
⋅
d dt
Dt
微分有两项
其中 代入得
∑ Dv = 3exv' xv' 体系的电四极矩
辐射功率
~ ω2 ( l )4 λ
电四极辐射与磁偶极辐射同级
比电偶极辐射所小的数量级 (l / λ )2
辐射角分布取决于 (D&r&&× nv)2
一般情形角分布较为复杂，这里不作详细计算。
电偶极子的辐射场.
z θ φ
v
H
r E y
p x
电 偶 极 子 的 辐 射 场
p0 sin r E (r , t ) cos t 2 4v r v 2 p0 sin r H (r , t ) cos t 4vr v
2
偶极子周围的电磁场
在无限大均匀绝缘介质(或真空)中,平面 电磁波的性质概括如下:
1. 电磁波是横波, E , H , v 构成正交右旋关系. 电磁波是偏振波, E , H 都在各自的平面内 振动,且 E , H 是同位相的. E
v H
平面电磁波 示意图
2. 在同一点的E、H值满足下式:
E H
无线电射频 电力传输
10 0 1m 10 3 1km 10 5
3
z E S a . . a H E x H p H
b . S . E y b
二、平面电磁波
在距离偶极子足够远处(r« l,变化很小), 电磁场的波动方程为:
r E E0 cos t v r H H 0 cos t v
平面电磁波方程
赫兹用下面的实验证实了电偶极子 产生的电磁波
A
振子
C
谐振器
B
发射
接收
D
频率
10 22
电磁波谱
γ 射线
X 射线
波长 10 13 1A 10 9 1nm 10
10
6
0
10
1T HZ 10
15
紫外线 可见光 红外线 微 波
1μ m
1cm
12
2
1G HZ 10
1M HZ 10 1K HZ 10
电动力学第五章答案
v
v
解
v v 1 ∂ϕ A 与 ϕ 满足洛仑兹规范 故有 ∇ ⋅ A + 2 =0 c ∂t v Q ϕ = −∇ ⋅ Ζ 代入洛仑兹规范 有 v 1 ∂ v ∇ ⋅ A + 2 ⋅ (−∇ ⋅ Ζ) = 0 c ∂t
k
v v v v* ∴ 要使上式成立 仅当 k ⋅ a k = k ⋅ a k = 0时 v v v ∴ 故 证得当取 ∇ ⋅ A = 0, ϕ = 0 时 k ⋅ a k = 0 vv vv v v v v* ik ⋅ x 3 已知 A( x , t ) = ∑ [a k (t )e + ak (t )e −ik ⋅ x ]
第五章
电磁波的辐射
如果取 ϕ = 0
有
v v B = ∇× A v v ∂A E=− ∂t
代入方程
v v ∂D ∇× H = ∂t v ∇⋅D = 0
有
v v ∂D 1> ∇ × H = ∂t
v v ∂E ∇ × B = εµ ∂t
∴ 由 1>2>得
v ∇⋅ A = 0
2
kh
v v E , B 相互垂直 v v E , B 同相 振幅比为 υ v v
1
2 可表示的波正是符合条件的平面波
所以命题得证 4. 设真空中矢势 A( x , t ) 可用复数傅立叶展开为 A( x , t ) =
v v
v v
v d 2 a k (t ) v v 1 证明 a k 满足谐振子方程 + k 2 c 2 a k (t ) = 0 2 dt
2 当选取规范 ∇ ⋅ A = 0, ϕ = 0 时 3 把 E和B 用 a k 和 a k 表示出来
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19
若取坐标原点在电荷分布取内， 并以电偶极矩方向为极轴，则 由上式，磁场沿纬线上振荡, 电场沿经线上振荡
Β
Ε
1 ikR p e sinθ eφ 2 4πε0c R
1 ikR p e sinθ eθ 2 4πε0c R
磁感线总是绕极轴的圆周，磁场总是横向的。 电场线是经面上的闭合曲线。
20
由于在空间中E=0，电场线必 须是闭合的。这样电场不可能完 全横向。只有略去1/R高次幂， 电场才近似为横向。
电偶极辐射是空间中的TM波。 在辐射区电磁场1/R,能流 1/R2，对球面积分 后总功率与球半径无关，这就保证电磁能量可 以传播到任意远处。
1 c S Re (Ε Η ) Re [(Β n) Β] 2 2 μ0 2 p c 2 2 Β n sin θ n 2 3 2 2 μ0 32π ε0c R
23
电偶极辐射角分布： sin2表示电偶极辐射的 角分布，即辐射的方向性
' n x
e
' ikn x
e
' i 2 n x /
12
把相因子对
' kn x
展开
0e ikR ' ' ' A( x ) J ( x )(1 ikn x )dV 4R
展开式中各项对应于各级电、磁多极辐射
l , l r
8
对于 r 和 的关系，可以区别三种情况
r
r~
近区
感应区 远区(辐射区)
9
r
三个区域场的特点是不同的
近区：
kr 1
e
ikr
~1
场保持恒定场
电场具有静电场的纵向形 式 磁场也和恒定场相似
感应区： 过渡区域
远区：
电磁场变为横向的辐射场
10
这里主要讨论远区的场
4
若电流是一定频率的交变电流
' ' i t J ( x , t ) J ( x )e
代入得
' i(k r t ) 0 J ( x )e ' ( x , t ) dV 4 r
5
• 1.计算辐射场的一般计算公式
• 2. 矢势的展开式
2 I ( z ) I 0 (1 z ) z l / 2 l
28
电偶极矩变化率
p
1 l / 2 I ( z )dz 2 I 0 l
l/2
2 2 2 2
短天线的辐射功率
ip p
0 I 0 l 0 2 l Ρ I0 48c 12 0
J ni ei i
i
d dp ev dt ex dt p
电荷系统的电 偶极矩
' ' J ( x ) dV p
15
简单的电偶极子系统
Q
l
两导体球，细导线相连
16
当导线上有交变电流 I 时，两导体上的电荷交 替地变化，形成一个振 荡电偶极子。
Rr
6
0 l 0
2
( l )
30
利用
0 / 0 376.7
l Rr 197
2
得
天线的辐射电阻越 大，表示在一定输 入电流下，辐射功 率愈大。
因此，辐射电阻 通常是用来表征 天线辐射能力的 一个量。
31
由于短天线的辐射电 阻正比于(l<<)2，因 此，短天线的辐射能 力是不强的。
• 3. 偶极辐射
• 4. 辐射能流 角分布 辐射功率
• 5. 短天线的辐射 辐射电阻
6
2. 矢势的展开式
在矢势公式中，存在三个线度:
' 电荷分布区域的线度 l ： x
波长 ：
2 / k
r
7
电荷到场点的距离：
本节研究分布于一个小区域内的电流所产 生的辐射。小区域是指它的线度远小于波长 以及观察距离 r，即
电偶极矩横断面 90
电偶极矩轴线方向 0,
辐射最强 没有辐射
24
总辐射功率P
Ρ S R 2 d 1
2 p 2 p
32 2 0 c 3
2 sin d
4 0 3c 3
对球面积分
若保持电偶极矩振幅不变，则辐射正比 于频率的四次方。频率变高时，辐射功 率迅速增大!
25
• 1.计算辐射场的一般计算公式
• 2. 矢势的展开式
• 3. 偶极辐射
• 4. 辐射能流 角分布 辐射功率
• 5. 短天线的辐射 辐射电阻
26
自学：5. 短天线的辐射
辐射电阻
中心馈电天线
天线两半段 电流方向相同
27
馈电点处电流有最大值I0， 在天线两段电流为零。若天 线长度l<<，则沿天线上的 电流分布近似为线性形式
13
• 1.计算辐射场的一般计算公式
• 2. 矢势的展开式
• 3. 偶极辐射
• 4. 辐射能流 角分布 辐射功率
• 5. 短天线的辐射 辐射电阻
14
3. 偶极辐射
第一项
0e ikR ' ' A( x ) J ( x ) dV 4R
' ' J ( x )dV e
1
§5.3 电偶极辐射
2
• 1.计算辐射场的一般计算公式
• 2. 矢势的展开式
• 3. 偶极辐射
• 4. 辐射能流 角分布 辐射功率
• 5. 短天线的辐射 辐射电阻
3
1.计算辐射场的一般计算公式
以给定交变电流分布, 计算辐射场的基础 推迟势讨论
' r J(x ,t ) 0 ' c ( x , t ) dV 4 r
p Ql
当导线上有电流 I时， Q 的变化率为
dQ I dt
17
因而体系的电偶极矩变化率为
' d ' p Ql Il J ( x )dV dt
与一般公式相符
' ' J ( x ) dV p
可见，振荡电偶极矩产生的辐射为
要提高辐射能力，必 须使天线长度增大到 最小与波长同级。
这种情况下天线的辐射已不 能用电偶极辐射表示。在后 面我们将进一步讨论常用的 半波天线的辐射。
32
• 1.计算辐射场的一般计算公式
• 2. 矢势的展开式
• 3. 偶极辐射
• 4. 辐射能流 角分布 辐射功率
• 5. 短天线的辐射 辐射电阻
33
0e ikR ' ' A( x ) J ( x ) dV 4R
ikR 0e A( x ) p 4R
18
因此
i0 k ikR 1 ikR Β Α e n p e p n 2 4R 40c
这个式子适用于l<<情形。若保持天线电流 I0 不变,则短天线的辐射功率正比于(l/)2 。
29
ห้องสมุดไป่ตู้
电磁能量不断向外辐射，电源 需要供给一定的功率来维持辐 射。辐射功率正比于I02 ，因此 辐射功率相当于一个等效电阻 上的损耗功率。这个等效电阻 称为辐射电阻Rr。令
1 2 Ρ Rr I 0 2
21
• 1.计算辐射场的一般计算公式
• 2. 矢势的展开式
• 3. 偶极辐射
• 4. 辐射能流 角分布 辐射功率
• 5. 短天线的辐射 辐射电阻
22
4. 辐射能流 角分布 辐射功率
在辐射问题的实际应用中，最主要的问题是计 算辐射功率和辐射的方向性。这些都可以由平均 能流密度S求出。电偶极辐射的平均能流密度
在远区
x' / R
只保留1/R的最低次项 展开则保留各级项
' x /
R 为原点到场点 x 的距离
11
' ik ( R n ' x ) 0 J ( x )e ' Α( x ) dV ' 4 Rnx
只保留1/R的最低 次项，所以在分 母中可略去 但是相因子中的不 应略去，因为数相 因子对较小的量也 比较敏感