5-3 电偶极辐射解析
合集下载
电偶极子的辐射场.
赫兹1888年用振荡电路证实了电磁波的存在.
理想的LC电路的电磁振荡如下图:
I 0
I0
I 0
I0
A q0 E H B q0
A B
A q0 E H B q0
A B
其周期和频率可表示为
T0 2 LC f 0 1 2 LC
要实现电偶极子的辐射,就要经过下面的演化:
从LC振荡电路到振荡电偶极子
在无限大均匀绝缘介质(或真空)中,平面 电磁波的性质概括如下:
1. 电磁波是横波, E , H , v 构成正交右旋关系. 电磁波是偏振波, E , H 都在各自的平面内 振动,且 E , H 是同位相的. E
v H
平面电磁波 示意图
2. 在同一点的E、H值满足下式:
E H
S沿表面的负法 向,即指向轴心
I 2R n S EH 2al
对于长 l 的导体,单位时间内通过表面积 Ａ=2al 输入的电磁能量为
I 2R 2 AS dA 2al 2al I R
四、振荡电路 赫兹实验
麦克斯韦1865年预言了电磁波的存在.
E H
坡印廷矢量
S v 同方向
对于振荡电偶极子辐射波,可导出(自证推导) 平均辐射强度:
p0 sin S 2 2 24 r v
4 2
上式表明: 1) 辐射具有方向性 2) S与4成正比
例
圆柱形导体,长为l,半径为a,电阻为R,通 有电流I,证明: Z 1)在导体表面上,坡印廷 矢量S处处垂直导体表 面并指向导体内部. 2)沿导体表面的坡印廷 矢量的面积分等于导体 内产生的焦耳热功率 I2R.
赫兹用下面的实验证实了电偶极子 产生的电磁波
电动力学课件 5.3 电偶极辐射
e ikR 0 e ikR 0 B x, t A x, t p t pt 4 R R 4 0 e ikR ike R p t 4 R p t p t i p t 由于 k 0 0 t 1 c p t i p t 2 p t 0 0 e ikR e ikR 1 B x, t p t eR p t sin e 3 3 4 0 c R 4 0c R
§5.3 电偶极辐射
静止的电荷不能发射电磁波，静电场∝ 1/R2，无能流 恒定电流体系：电场∝ 1/R2 ，磁场∝ 1/R2 ，能流密度∝ 1/R4， 远场总功率≈ 0 只有随时间变化的电荷电流系统才能辐射电磁波。 宏观上，载有高频交变电流的天线可产生辐射，微观 上，一个做变速运动的带电粒子即可产生辐射。
电磁场能流密度正比于1/R2，沿径向辐射
e ikR B x, t p t sin e 4 0c 3 R
1
b) 辐射功率 单位时间内通过半径为 R 的球面向外辐射的平均能量，称为 辐射功率。把能流密度 S 对球面积分即得总辐射功率，即
P
S
S ds
dV
任何小区域电荷电流分布在远处某点产生的矢势可表示为位 于原点的各级电磁多极辐射的叠加 3、电偶极辐射
1 1）展开式的第一项 A x 与电偶极矩 p t 的关系
7
ikR e 由于 A1 x 0 J x dV 4 R V ikR ikR e e 1 A x , t 0 J x e i t dV 0 J x , t dV 4 R V 4 R V
电偶极辐射电场的分析及演示
１３４
进一步化简，
上式中 Ｃ’为积分常量， Ｃ’取不同数值时， 即得时刻辐射 场中不同的电场线方程， 与文献［１］得到的电 场线方程是 一致的。由于问题具有轴对称性， 故只需作出 Ｏｘｚ 平面 上的电场线， 下面对上式做进一步处理。将
代入（ １２） 式， 整理得：
（ １３）
作下列替换：
（ １２）
得
Ｔｈｅ Ａｎａｌｙｓｅ ａｎｄ Ｄｅｍｏｎｓｔｒ ａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｅｌｅｃｔｒ ｉｃ Ｆｉｅｌｄ Ｌｉｎｅ ｏｆ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ Ｅｌｅｃｔｒ ｉｃ Ｄｉｐｏｌｅ ＷＵ Ｎｅｎｇ－ ｚｈｉ， ＣＨＥＮ Ｙｉ－ ｃｈｅｎｇ， ＹＡＮＧ Ｗｅｉ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｈｕａｚｈｏｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｗｕｈａｎ ４３００７９， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｍａｔｈ－ ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｍａｐｌｅ， ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｌｉｎｅ ｏｆ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｄｉｐｏｌｅ ｉｓ ａｃｑｕｉｒｅｄ ｂｙ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｗａｙ， ａｎｄ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ ａｎｄ ａｎａｌｙｚｅｄ ｄｉｖｉｓｉｏｎａｌｌｙ ａｎｄ ｔｉｍｅ ｓｈａｒｉｎｇ． Ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎ ｉｓ ｅｘｐｏｒｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ＧＩＦ ｆｏｒｍａｔ ａｓ ａ ｒｅｓｕｌｔ． Ｋｅｙ Ｗｏｒ ｄｓ： ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｄｉｐｏｌｅ；ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｌｉｎｅ；ａｎｉｍａｔｅｄ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎ；Ｍａｐｌｅ
电偶极辐射电场线分布的分析
E θ = P0 k0
3
co sθ e
- i ( k 0 r-ω t)
( 19 ) ( 20 )
( ω 1 i 1 θe- i k0 r- t) sin 3 3 + 2 2 π ε 4 k0 r k0 r k0 r 0
将分量式写成实数形式 : 3 2 P0 k0 θ[ 31 3 co s ( k0 r - ω t) - 21 2 sin ( k0 r - ω t) ] Er = co s π ε 4 0 k0 r k0 r
_ _
2
( 15 )
_
er
_
eθ
eφ ( 16 )
_
E =
ic k0
θ r θ r sin r sin _ 1 × B = 9 9 ω iε 0 0μ 0 θ 9r 9 0 0 r sin θ Bφ
_
=
I△ l
er r
2
ω ε i4 π 0
I△ l
ik0 +
e θ ik0 1 2 co s 1 θθ k2 sin - 2 0 r r r r
E θ = E φ P0 k0
3
( 21 ) ( 22 ) ( 23 )
π ε 4 0 =0
θ[ ( sin
1
k0 r
3 3
-
1
k0 r
) co s ( k0 r - ω t) +
1
k0 r
2 2
sin ( k0 r - ω t) ]
4 电偶极辐射的电场线方程
电偶极辐射的电场线满足方程 Er θ 1 E = θ dr r d ( 22 ) 、 ( 23 ) 带入式 ( 24 ) , 整理后得 将式 ( 21 ) 、 1 1 ( 2 2 - 1 ) co s ( k0 r - ω t) + sin ( k0 r - ω t) k0 r k0 r θ 2 co s θ= d dr sin θ 1 1 sin ( k0 r - ω t) 2 2 co s ( k0 r - ω t) k0 r k0 r
3
co sθ e
- i ( k 0 r-ω t)
( 19 ) ( 20 )
( ω 1 i 1 θe- i k0 r- t) sin 3 3 + 2 2 π ε 4 k0 r k0 r k0 r 0
将分量式写成实数形式 : 3 2 P0 k0 θ[ 31 3 co s ( k0 r - ω t) - 21 2 sin ( k0 r - ω t) ] Er = co s π ε 4 0 k0 r k0 r
_ _
2
( 15 )
_
er
_
eθ
eφ ( 16 )
_
E =
ic k0
θ r θ r sin r sin _ 1 × B = 9 9 ω iε 0 0μ 0 θ 9r 9 0 0 r sin θ Bφ
_
=
I△ l
er r
2
ω ε i4 π 0
I△ l
ik0 +
e θ ik0 1 2 co s 1 θθ k2 sin - 2 0 r r r r
E θ = E φ P0 k0
3
( 21 ) ( 22 ) ( 23 )
π ε 4 0 =0
θ[ ( sin
1
k0 r
3 3
-
1
k0 r
) co s ( k0 r - ω t) +
1
k0 r
2 2
sin ( k0 r - ω t) ]
4 电偶极辐射的电场线方程
电偶极辐射的电场线满足方程 Er θ 1 E = θ dr r d ( 22 ) 、 ( 23 ) 带入式 ( 24 ) , 整理后得 将式 ( 21 ) 、 1 1 ( 2 2 - 1 ) co s ( k0 r - ω t) + sin ( k0 r - ω t) k0 r k0 r θ 2 co s θ= d dr sin θ 1 1 sin ( k0 r - ω t) 2 2 co s ( k0 r - ω t) k0 r k0 r
电偶极子的辐射场.
电 磁 波
z θ φ
v
H
r E y
p x
电 偶 极 子 的 辐 射 场
p0 sin r E (r , t ) cos t 2 4v r v 2 p0 sin r H (r , t ) cos t 4vr v
2
偶极子周围的电磁场
在无限大均匀绝缘介质(或真空)中,平面 电磁波的性质概括如下:
1. 电磁波是横波, E , H , v 构成正交右旋关系. 电磁波是偏振波, E , H 都在各自的平面内 振动,且 E , H 是同位相的. E
v H
平面电磁波 示意图
2. 在同一点的E、H值满足下式:
E H
无线电射频 电力传输
10 0 1m 10 3 1km 10 5
3
z E S a . . a H E x H p H
b . S . E y b
二、平面电磁波
在距离偶极子足够远处(r« l,变化很小), 电磁场的波动方程为:
r E E0 cos t v r H H 0 cos t v
平面电磁波方程
赫兹用下面的实验证实了电偶极子 产生的电磁波
A
振子
C
谐振器
B
发射
接收
D
频率
10 22
电磁波谱
γ 射线
X 射线
波长 10 13 1A 10 9 1nm 10
10
6
0
10
1T HZ 10
15
紫外线 可见光 红外线 微 波
1μ m
1cm
12
2
1G HZ 10
1M HZ 10 1K HZ 10
z θ φ
v
H
r E y
p x
电 偶 极 子 的 辐 射 场
p0 sin r E (r , t ) cos t 2 4v r v 2 p0 sin r H (r , t ) cos t 4vr v
2
偶极子周围的电磁场
在无限大均匀绝缘介质(或真空)中,平面 电磁波的性质概括如下:
1. 电磁波是横波, E , H , v 构成正交右旋关系. 电磁波是偏振波, E , H 都在各自的平面内 振动,且 E , H 是同位相的. E
v H
平面电磁波 示意图
2. 在同一点的E、H值满足下式:
E H
无线电射频 电力传输
10 0 1m 10 3 1km 10 5
3
z E S a . . a H E x H p H
b . S . E y b
二、平面电磁波
在距离偶极子足够远处(r« l,变化很小), 电磁场的波动方程为:
r E E0 cos t v r H H 0 cos t v
平面电磁波方程
赫兹用下面的实验证实了电偶极子 产生的电磁波
A
振子
C
谐振器
B
发射
接收
D
频率
10 22
电磁波谱
γ 射线
X 射线
波长 10 13 1A 10 9 1nm 10
10
6
0
10
1T HZ 10
15
紫外线 可见光 红外线 微 波
1μ m
1cm
12
2
1G HZ 10
1M HZ 10 1K HZ 10
5-3 电偶极辐射
ip i ( i ) p0 ( x )e it p p0 ( x )e
2 it
从而得到： |2 p 2 4 | p 0
P 1 4
0
p0
2
4
3c
3
五、短天线的辐射 辐射电阻 当天线的长度远小于辐 射波长时，它的辐射就 是电偶极辐射。 馈电点处电流有最大值 I0，在天线两段电流为 零。若天线长度l<<，
2
3
பைடு நூலகம்
sin d
S
2 | | p
32 0 c
2 2 | | p 2
3
2
0
d sin d
3 0
32 0 c
3
2
4 3
1 40
2 | | p
3c
3
如果偶极子作简谐振动，角频率为ω ，且有 it p( x, t ) p0 ( x )e 则 ip ip0 ( x )e it p
2n x 一般是不能忽略的，因此
x 要保留，
所以，
A( x )
0
4
V
)eik ( R n x ) J(x R
dV
把相因子对 kn x 展开，得
e
ikn x
1 ikn x
1 2!
) 2 (ikn x
从而得到矢势A的展开式为：
2 x 2n x r R 1 2 R R 1 2
2
z
r
l o x
x
P y
x
, J
由二项式展开得到（略去 x 2 / R 2 等高次项）： r R n x 由此得到
2 it
从而得到： |2 p 2 4 | p 0
P 1 4
0
p0
2
4
3c
3
五、短天线的辐射 辐射电阻 当天线的长度远小于辐 射波长时，它的辐射就 是电偶极辐射。 馈电点处电流有最大值 I0，在天线两段电流为 零。若天线长度l<<，
2
3
பைடு நூலகம்
sin d
S
2 | | p
32 0 c
2 2 | | p 2
3
2
0
d sin d
3 0
32 0 c
3
2
4 3
1 40
2 | | p
3c
3
如果偶极子作简谐振动，角频率为ω ，且有 it p( x, t ) p0 ( x )e 则 ip ip0 ( x )e it p
2n x 一般是不能忽略的，因此
x 要保留，
所以，
A( x )
0
4
V
)eik ( R n x ) J(x R
dV
把相因子对 kn x 展开，得
e
ikn x
1 ikn x
1 2!
) 2 (ikn x
从而得到矢势A的展开式为：
2 x 2n x r R 1 2 R R 1 2
2
z
r
l o x
x
P y
x
, J
由二项式展开得到（略去 x 2 / R 2 等高次项）： r R n x 由此得到
电偶极子的场及辐射
收稿日期：2003-06-14作者简介：吕宽州（1963-），男，河南扶沟人，郑州经济管理干部学院讲师。
文章编号：1004-3918（2003）05-0512-03电偶极子的场及辐射吕宽州1，姜俊2（1.郑州经济管理干部学院，河南郑州450053；2.河南省科学院，河南郑州450002）摘要：采用了镜像法等方法对电偶极子及其产生的静电场、电磁场及辐射等做了较系统和深入的分析、研究，使分析方便、简化，推出的结论有一定实际指导意义。
关键词：电偶极子；电场；磁场；辐射中图分类号：0442文献标识码：A在很多文献上，缺乏对电偶极子及其产生的静电场、电磁场及辐射等较系统和深入的分析、研究。
本文参考有关文献给出或分析、推出了重要结论，部分内容采用了镜像法，使分析更方便。
!电偶极子及其产生的静电场电偶极子由一对正、负点电荷组成，电量为l ，相距为l ，如图1所示。
其电偶极矩p =l l ，l 的方向由~l 指向+l ，在T 处产生的电场的电势为：#（r ）=l 4L e 0T +_l4L e 0T _当T !l 时，#（r ）=l l cOs 64L e 0T 2=p ·e r 4L e 0T2（1）电场强度为：E =_"@=e r P cOs 62L e 0T 3+e !P si n 64L e 0T3（2）以上结果表明，电偶极子的电势及电场强度的大小分别与距离的平方、三次方成反比，既存在于近区，且与方位角有关，这些特点都与点电荷的电场显著不同。
图2绘出了电偶极子的电力线与等位面。
图1电偶极子F i g .1E lectric d i p O le图2电偶极子的电力线与等位线F i g .2E lectric p Ow er li ne and e C ui p Otential p laneOf e lectric d i p O le第21卷第5期2003年10月河南科学HENAN SC I ENCEV O l.21N O.50ct .2003!电偶极子产生的电磁场及辐射当P =P 0e -j G t 时，为谐振电偶极子，P 0为常矢，则在近区，即l H T 时，主要地一方面将感应如上所述的静电场，另一方面，相当于I =j G C 、长为l 的电流元还将产生一稳恒磁场，其规律可用毕萨定律描述，且电场与磁场的相位相差为90 ，即电场能量与磁场能量相互转换，而平均波印亭矢量为零，故不产生辐射。
电偶极辐射
（2）R （感应区） 过度区，电磁场的行为很复杂，一般不详细 研究这一区域。 （3）R （远区，即辐射区） 电磁波在脱离了场源后的传播区域，也是 本课程主要讨论的内容。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三．偶极辐射
1．用 p表示偶极辐射矢势
ikR 0 e A( x , t ) p 4 R
4 r
上式表示一种时谐波，这是计算辐射场矢势的一 般公式。与稳恒电流磁场相比这里 A 附加了一 个因子 e ikr ，称为推迟相因子。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
ikr ( x)e it ( x, t ) [ dV ]e 4 0 r
同样可以得到：
it ( x , t ) ( x )e
r R n x 乘以k相对于 2 不一定是小量。 原因：
利用 e 1 x x ...
得到：
机动 目录 上页 下页 返回 结束
it J ( x, t ) J ( x)e 条件下辐射场的近似公式 it ( x , t ) ( x)e
J ( x )dV 偶极辐射公式
机动
目录
上页
下页
返回
结束
在满足 l R ， l 的前提下，按 R 与 的关系还可分为三种情况：
3．
R与 的关系
（1）R （近区） R 2 ikR R , e 1 传播时间 t T c k 这一区域内变化电磁场与静场性质类似。
eikR E ( x, t ) ( p n) n 2 4 0c R
1
ikR ikR e ike 所以有： n R R
J ( x, t )dV p
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三．偶极辐射
1．用 p表示偶极辐射矢势
ikR 0 e A( x , t ) p 4 R
4 r
上式表示一种时谐波，这是计算辐射场矢势的一 般公式。与稳恒电流磁场相比这里 A 附加了一 个因子 e ikr ，称为推迟相因子。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
ikr ( x)e it ( x, t ) [ dV ]e 4 0 r
同样可以得到：
it ( x , t ) ( x )e
r R n x 乘以k相对于 2 不一定是小量。 原因：
利用 e 1 x x ...
得到：
机动 目录 上页 下页 返回 结束
it J ( x, t ) J ( x)e 条件下辐射场的近似公式 it ( x , t ) ( x)e
J ( x )dV 偶极辐射公式
机动
目录
上页
下页
返回
结束
在满足 l R ， l 的前提下，按 R 与 的关系还可分为三种情况：
3．
R与 的关系
（1）R （近区） R 2 ikR R , e 1 传播时间 t T c k 这一区域内变化电磁场与静场性质类似。
eikR E ( x, t ) ( p n) n 2 4 0c R
1
ikR ikR e ike 所以有： n R R
J ( x, t )dV p
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
dV
从而得到矢势A的展开式为：
0 eikR 1 2 A( x ) J ( x ) 1 ik n x ( ik n x ) 4 R V 2!
展开式的各项对应于各级电磁多极辐射。
三、电偶极辐射
展开式的第一项
ikR e A(1) ( x ) 0 4 R
在近区内， kr <<1 ，推迟因子 eikr~1 ，因而场保持
稳恒场的主要特点，即电场具有静电场的纵向形式，
磁场也和稳恒场相似。 b) 远区（辐射区）r>>λ，而且也保证r>>l。
1 1 在此区域中场强E和B均可略去 的高次项， R | x |
该区域内的场主要是横向电磁场。
c) 感应区（过渡区），r ~ λ，但满足r>>l。 这个区域是一个过渡区域。它介于似稳区和辐射区
根据小区域的意义
l ~| x | ,
l ~| x | r.
因此，在计算辐射场时只须保留1/R的最低次项。 而 R r , r | x |，所以分母中可以去掉 n x 项。但分子不能去掉 n x 项，这是因为这项贡献 一个相因子： ikn x i 2n x /
若电流 J ( x, t ) 是一定频率ω的交变电流，有
J ( x, t ) J ( x)e
因此
it
式中 k c 为波数
0 J ( x)ei ( k r t ) Α( x, t ) dV 4 r
如果令 A( x, t ) A( x )e it
( x, t )
40 r
c dV
由此可见，由矢势公式就可以完全确定电磁场。 磁场
ic 电场（在电荷分布区域外面） Ε Β k 二、矢势A的展开式
1. 小区域内的电流所产生的辐射的特点： 对于矢势
Β Α
0 J ( x)eikr A( x ) dV 4 V r
ikR e (1) J d V p p 由于 ，所以 A ( x ) 0 4 R V
V
J ( x)dV
可见A(1)表示振荡电偶极矩产生的辐射，简称为电 偶极辐射。 由于讨论远区场时，只保留1/R的最低次项，因而 算符▽不需作用到分母上，而仅需作用到相因子 ikR e 上即可达到要求。
2 2
1
x
r
x
P y
x 2 2 n x 2 x r R 1 R 2 R 由二项式展开得到（略去 x 2 / R 2 等高次项）：
, J
r R n x
由此得到
0 J ( x)eik ( R n x) A( x ) dV 4 V R n x
则有
0
式中因子eikr是推迟作用因子，它表示电磁波传到场 点时有相位滞后kr。 由电荷守恒定律，在一定频率的交变电流情形中有
i J
可见，只要电流密度给定，则电荷密度也自然确定， 标势也随之确定。 r
( x, t )
注意到其中三个线度问题：
第一，电荷分布区域的线度l ，它决定积分区域 内| x’ |的大小；
2 第二，波长 的线度； k
第三，电荷到场点的距离r。 我们研究分布于一个小区域内的电流所产生的辐 射。所谓小区域是指：l 对于r 和λ的关系，可分为三种情况：
l r
a) 近区（似稳区） r , 但仍满足 r l
结论：
1 ikR | sin( )e ˆ E e | p 2 40 c R
磁力线是围绕极轴的圆周，B总是横向的;电场线是经面上 的闭合曲线，由于在空间中 E 0 ，E线必须闭合。因此E不 可能完全横向，只有当略去1/E的高次项后，才近似为横向。
§5.3 电偶极辐射
电磁波是交变运动的电荷系统辐射 出来的，在宏观情形电磁波由载有交变 电流的天线辐射出来；在微观情形，变 速运动的带电粒子导致电磁波的辐射。 本节研究宏观电荷系统在其线度远 小于波长情形下的辐射问题。
一、计算辐射场的一般公式 当电流分布 J ( x, t ) 给定时，计算辐射场的基础是 推迟势： A( x, t ) 0 J ( x, t )dV r 4 V
的过渡区域中。
2. 辐射场的矢势展开式（远区） 选坐标原点在电流分布区域内，则 x 与l 同数 量级， R x ,
z
r x x 。
r
l o
x
, J
P
x
y
x
由图可知：
r | x x | | x | x 2 x x
2 2 2
2
z
l o
R x 2 Rn x
ic ic E B ikn B cB n k k 1 ikR n) n e ( p 2 40 c R
如果取球坐标，原点在电荷电流分布
区域内，并以 p 方向为极轴，则由上
式可知： B沿纬线上振荡，E沿经线上振荡。
z
1 ikR | sin( )e ˆ B e | p 3 40 c R
作用结果相当于代换： ikn , i t 由此得到，辐射场为 i0 k ikR B A ikn A e n p 4R
1 1 ikR ikR n e i n p e p 3 3 40 c R 40 c R
e
e
所以涉及的是小参数 x 而不是 x R ，相位差
2n x 一般是不能忽略的，因此 x
要保留，
ik ( R n x ) 所以， A( x ) 0 J ( x )e dV 4 V R
把相因子对 kn x 展开，得
e
ikn x
1 2 1 ikn x (ikn x ) 2!
从而得到矢势A的展开式为：
0 eikR 1 2 A( x ) J ( x ) 1 ik n x ( ik n x ) 4 R V 2!
展开式的各项对应于各级电磁多极辐射。
三、电偶极辐射
展开式的第一项
ikR e A(1) ( x ) 0 4 R
在近区内， kr <<1 ，推迟因子 eikr~1 ，因而场保持
稳恒场的主要特点，即电场具有静电场的纵向形式，
磁场也和稳恒场相似。 b) 远区（辐射区）r>>λ，而且也保证r>>l。
1 1 在此区域中场强E和B均可略去 的高次项， R | x |
该区域内的场主要是横向电磁场。
c) 感应区（过渡区），r ~ λ，但满足r>>l。 这个区域是一个过渡区域。它介于似稳区和辐射区
根据小区域的意义
l ~| x | ,
l ~| x | r.
因此，在计算辐射场时只须保留1/R的最低次项。 而 R r , r | x |，所以分母中可以去掉 n x 项。但分子不能去掉 n x 项，这是因为这项贡献 一个相因子： ikn x i 2n x /
若电流 J ( x, t ) 是一定频率ω的交变电流，有
J ( x, t ) J ( x)e
因此
it
式中 k c 为波数
0 J ( x)ei ( k r t ) Α( x, t ) dV 4 r
如果令 A( x, t ) A( x )e it
( x, t )
40 r
c dV
由此可见，由矢势公式就可以完全确定电磁场。 磁场
ic 电场（在电荷分布区域外面） Ε Β k 二、矢势A的展开式
1. 小区域内的电流所产生的辐射的特点： 对于矢势
Β Α
0 J ( x)eikr A( x ) dV 4 V r
ikR e (1) J d V p p 由于 ，所以 A ( x ) 0 4 R V
V
J ( x)dV
可见A(1)表示振荡电偶极矩产生的辐射，简称为电 偶极辐射。 由于讨论远区场时，只保留1/R的最低次项，因而 算符▽不需作用到分母上，而仅需作用到相因子 ikR e 上即可达到要求。
2 2
1
x
r
x
P y
x 2 2 n x 2 x r R 1 R 2 R 由二项式展开得到（略去 x 2 / R 2 等高次项）：
, J
r R n x
由此得到
0 J ( x)eik ( R n x) A( x ) dV 4 V R n x
则有
0
式中因子eikr是推迟作用因子，它表示电磁波传到场 点时有相位滞后kr。 由电荷守恒定律，在一定频率的交变电流情形中有
i J
可见，只要电流密度给定，则电荷密度也自然确定， 标势也随之确定。 r
( x, t )
注意到其中三个线度问题：
第一，电荷分布区域的线度l ，它决定积分区域 内| x’ |的大小；
2 第二，波长 的线度； k
第三，电荷到场点的距离r。 我们研究分布于一个小区域内的电流所产生的辐 射。所谓小区域是指：l 对于r 和λ的关系，可分为三种情况：
l r
a) 近区（似稳区） r , 但仍满足 r l
结论：
1 ikR | sin( )e ˆ E e | p 2 40 c R
磁力线是围绕极轴的圆周，B总是横向的;电场线是经面上 的闭合曲线，由于在空间中 E 0 ，E线必须闭合。因此E不 可能完全横向，只有当略去1/E的高次项后，才近似为横向。
§5.3 电偶极辐射
电磁波是交变运动的电荷系统辐射 出来的，在宏观情形电磁波由载有交变 电流的天线辐射出来；在微观情形，变 速运动的带电粒子导致电磁波的辐射。 本节研究宏观电荷系统在其线度远 小于波长情形下的辐射问题。
一、计算辐射场的一般公式 当电流分布 J ( x, t ) 给定时，计算辐射场的基础是 推迟势： A( x, t ) 0 J ( x, t )dV r 4 V
的过渡区域中。
2. 辐射场的矢势展开式（远区） 选坐标原点在电流分布区域内，则 x 与l 同数 量级， R x ,
z
r x x 。
r
l o
x
, J
P
x
y
x
由图可知：
r | x x | | x | x 2 x x
2 2 2
2
z
l o
R x 2 Rn x
ic ic E B ikn B cB n k k 1 ikR n) n e ( p 2 40 c R
如果取球坐标，原点在电荷电流分布
区域内，并以 p 方向为极轴，则由上
式可知： B沿纬线上振荡，E沿经线上振荡。
z
1 ikR | sin( )e ˆ B e | p 3 40 c R
作用结果相当于代换： ikn , i t 由此得到，辐射场为 i0 k ikR B A ikn A e n p 4R
1 1 ikR ikR n e i n p e p 3 3 40 c R 40 c R
e
e
所以涉及的是小参数 x 而不是 x R ，相位差
2n x 一般是不能忽略的，因此 x
要保留，
ik ( R n x ) 所以， A( x ) 0 J ( x )e dV 4 V R
把相因子对 kn x 展开，得
e
ikn x
1 2 1 ikn x (ikn x ) 2!