电偶极子和磁偶极子的对比讲解
电偶极子和磁偶极子的对比讲解
电偶极子和磁偶极子的对比目录1 引言 (1)2 定义 (1)2.1 电偶极子的定义 (1)2.2 磁偶极子的定义 (2)3 电偶极子和磁偶极子比较---主动方面 (2)3.1 电偶极子和磁偶极子的场分布 (2)3.2 电偶极子和磁偶极子辐射 (4)4 电偶极子和磁偶极子比较---被动方面 (4)4.1 电偶极子和磁偶极子在外场E和B中的力和力矩 (4)4.2 电偶极子和磁偶极子在外场中的相互作用能 (5)5 应用 (8)5.1 心脏的活动 (8)5.2 赫濨磁偶极子天线 (9)6 结论 (9)参考文献：........................................................... 致谢................................................................电偶极子和磁偶极子的对比摘要：本文介绍了电偶极子和磁偶极子模型的建立, 并对两者在数学表达上的类似和内在结构土的不同所引起的差别作了讨论。
这里的关键是通过电偶极子和磁偶极子各方面的的性质做出了基本论述电偶极子和磁偶极子都是非常实用的物理模型，让同学们更好的认识电磁偶极子非常重要的事。
在研究物质电磁性态时，用电偶极子和磁偶极子就能很好地说明极化和磁化现象，在研究电磁辐射时，偶极辐射不论在理论上或实际应用中都十分重要。
由于电偶极子和磁偶极子分别是复杂点体系和次体系的一级近似在数学表达上有不少的类似之处，使得研究更具更利，但应当认识到，这种类似只是形式上的，因为至今尚未有存在磁单极的实验证据，我们在进行类比并由此高清电偶极子和磁偶极子。
关键词：电偶极子；磁偶极子；相互作用力；相互作用能1 引言电偶极子和磁偶极子都是非常实用的物理模型，让同学们更好的认识电磁偶极子非常重要的事，但数学公式较繁琐，导致初学者在认识上要产生障碍，使得教与学都功倍事半。
应用它们往往能将复杂的问题大大简化又不失本质的东西例如，在研究物质电磁性态时，用电偶极子和磁偶极子就能很好地说明极化和磁化现象；在研究电磁辐射时，偶极辐射不论在理论上或实际应用中都十分重要由于电偶极子和磁偶极子分别是复杂电体系和磁体系的一级近似,，在数学表达上有不少类似之处，使得研究更具便利, 但是应当认识到，这种类似只是形式上的，因为至今尚未有存在磁单极的实验证据，现有电磁理论的电磁对称是破缺的，所以我们在进行类比时要时刻记住偶极模型的根源，并由此搞清电偶极子和磁偶极子的差别。
7-2 电偶极辐射和磁偶极辐射
第八章电磁场势8.1 电磁场的势8.18.2 均匀非导电媒质中电磁场势满足的微分方程达朗伯方程8.3达朗伯方程的解推迟势8.4 推迟势的偶极展开8.5 电偶极辐射和磁偶极辐射8.6均匀导电媒质中电磁场满足的微分方程868.7均匀导电媒质中的赫兹矢量8.88.8 谐变电磁场势的赫姆霍兹方程858.5 电偶极辐射和磁偶极辐射1. 电偶极辐射22. 磁偶极辐射电偶距的方向沿z 轴，有()()()θθθe e p p r G G G sin cos 00−=则()()()()θωθθπμωe e re p i A r kr t i ed GG G sin cos 40−=−上式表明A ed 仅与r 和θ有关，与φ无关。
G G=利用，可以求出磁感应强度为：AB ×∇Ei t D H G G ωε=∂∂=×∇即：Bi E G G ×∇=ωμε1将B 代入可以求得E ，即：k ⎧i i p ⎪⎫⎪⎤⎡−⎤⎡G G G 11223⎡()ϕωθπωμe e kr rk i p k B kr t i G G −⎥⎦⎤⎢⎣−=sin 142202（3）中间区场近区和远区之间称为中间区，在这个区域中，由于r和λ相近，故不能略去电磁场中的任何一项。
实际上，每一项大致相等，即在这个区域中感应场和辐射场大致相当。
和辐射场大致相当应该注意，不论近区场或远区场都同时存在感应场和辐射场，两者相比，在近区场，感应场强，辐射场可以忽略；在远区内，辐射场强，感应场几乎减小到零。
因而近区主要显示感应场的性质，而远区主要显示辐射场的性质。
同时，也应该着重指出，尽管在近区内的辐射场较感应场小，可是仍然比远区的辐射场大得多，否则会得到辐射场愈到远处愈强的错误结论。
实际上，辐射场是由近及远随距离成反比而逐渐衰减的。
Aϕ它表明与无关，仅与r、θ有关。
md⎤⎥⎦。
电偶极子共振和磁偶极子共振
电偶极子共振和磁偶极子共振
电偶极子共振和磁偶极子共振是一类常见的谱学方法，常用于分析化合物的结构和性质。
它们都是基于偶极子相互作用的共振现象，但具体的原理和应用有所不同。
1. 电偶极子共振
电偶极子共振是一种分子振动谱学方法，基于分子中偶极矩的变化而产生的共振信号。
偶极矩是指分子中正电性和负电性中心之间的电性差异所导致的极性量，通常用D（Debye）作为单位，1 D = 3.336 × 10-30 C·m。
当分子在电磁场的作用下发生偶极矩的变化时，将会产生共振信号。
电偶极子共振通常使用红外光谱仪来测量，是一种非常常见的分析方法。
分子中包含
的C=O、C-N、C=C、N-H等基团都会引起红外光的吸收，从而产生共振峰。
通过分析共振峰的位置和强度，可以确定分子中的化学键类型、官能团和结构等信息。
磁偶极子共振是一种核磁共振（NMR）方法，基于原子核磁矩在外加磁场中发生共振的现象。
原子核磁矩是指原子核自旋所带有的磁矩，通常用μ（核磁矩）作为单位，单位是核玻尔磁子，1μ = 5.052 × 10-27 J/T。
磁偶极子共振利用外加磁场对磁性原子核的磁矩进行定向，通过改变外加磁场的强度
和方向来产生共振信号。
共振信号的频率取决于外加磁场和原子核的磁矩大小和方向，和
化学环境、化学键和化合物结构等因素有关。
磁偶极子共振常用于分析有机和无机化合物的结构和动力学性质。
通过分析共振峰的
位置、强度和形状等信息，可以确定化合物的结构、化学键的类型和位于哪些原子核上，
以及分子动力学过程中分子的旋转方向、速率和能量变化等信息。
第3章 偶极子天线
l
j
sh2kl
ch2
a
l
c
os
2k
l
RA jX A
3.3 偶极子天线
3.3 偶极子天线
在偶极子天线长度确定的情况下，随着频率的变化， 方向图或最大辐射方向会改变，副瓣电平可能增大， 阻抗匹配将变坏等。因此，对一个特定的偶极子天线 就应该具有通频带的概念。 阻抗随频率的变化很大，因此经常以阻抗特性来定义 偶极子天线的通频带。天线输入阻抗的变化会引起天 线电压驻波比的变化，通常根据一个天线的工作条件 和要求给出一个允许的最大电压驻波比来定义天线的 通频带。
c
osk
l
c
os
s in
c
os
k
l
2dLeabharlann P1 2I
2 m
R
R
30
2
d
0
0
c
osk
l
cos
s in
c
os
k
l
2
d
3.3 偶极子天线
l , ka 0.1
R 20kl4
3.3 偶极子天线
前面求得的辐射电阻是在远区积分得到的，没有 考虑近区场。如果作一闭合面紧靠振子表面，这 时波印廷矢量沿表面的积分所得的功率应既有实 部又有虚部。实部功率产生脱离振子电流和电荷 的辐射场，虚部表示无功功率，它表示受振子电 流和电荷牵制的，并与电流和电荷形成统一体， 不能分割开的储能场。
3.3 偶极子天线
柱面上的波印廷矢量的法向分量，z方向上的积分为零
Sx
1 2
Ez
H
*
Sz
1 2
Ex H*
l 2
P 2 0 Sxaddz
电与磁对偶性原理
课程研究报告（课程设计）电与磁的对偶性姓名学号课程名称专业同组同学得分电与磁的对偶性摘要：电荷及电流产生的电磁场和磁荷及磁流产生的电磁场之间存在着对应关系。
只要将其结果表示式中各个对应参量用对偶原理的关系置换以后，所获得的表示式即可代表具有相同分布特性的磁荷与磁流产生的电磁场。
关键词：电荷、磁荷、对偶、电磁场 题目内容：假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产生电场与电流产生磁场满足相同的规律，导出在这一前提下电磁场的Maxwell 方程组表达式，证明电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁流激发电磁场满足的方程互为对偶方程。
1、 无源区麦克斯韦方程组：如果把其中的两个按如下方式写成一组：0E H E t μ⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=-⎪∂⎩0H E H t ε⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=⎪∂⎩（1）得到两组完全相同的方程组，它们关于E 和H（除了有一负号）是对称的。
这种对称性使得对其中一组作E H → 、H E →-、εμ→、με→代换，得到另外一组方程。
0E H E t μ⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=-⎪∂⎩ →,,E H H E εμμε⎡⎤→→-⎢⎥→→⎣⎦ 0H E H t ε⎧∇=⎪⎨∂∇⨯=⎪∂⎩(2) 它们仍然是麦克斯韦方程组，并与原方程相同。
数学上成这种具有相同形式的两组方程为对偶方程容易证明两组对偶的互为对偶的方程，其解也具有对偶性。
2、 广义麦克斯韦方程（有源区）在有源区，麦克斯韦方程组不是对称的，其原因是自然界还没有发现类似于电荷的磁荷，也没有发现类似于“电流”的“磁流”，其激发的电磁场与电荷荷电流激发的电磁场相互对偶，则推广后所得到的麦克斯韦方程就具有对偶性。
设理想的磁荷密度为m ρ、磁流密度为m J，并满足守恒定律，即()(),,0mmr t r t tJ ρ∂∇+=∂进一步假设磁荷在激发磁场方面与电荷在激发电场相一致，磁流几番电场与电流激发磁场一致。
根据这一假设，推广的麦克斯韦方程组和边界条件是：, ,e mm eH E E J t EH H J t ρμερεμ⎧∂∇=∇⨯=--⎪∂⎪⎨∂⎪∇=∇⨯=+⎪∂⎩（3） ()()2122121,1 ,n es n msn ms n es e D D e E E J e B B e H H J ρρ⎧⎡⎤-=⨯-=-⎣⎦⎪⎨⎡⎤-=⨯-=-⎪⎣⎦⎩(4) 式中下表ms 表示表示“磁量源”，下表es 表示“电量源”，ms J 是磁流密度，其量纲为V/2m ；m ρ是磁荷密度，其量纲为Wb/3m 。
第3章-2-磁化+边界条件+电感
(r
1)
J (b2 2b
a2 )
ez
磁介质中自由电流激发磁化电流。
思考：为什么r=a-，r=b+ 没有磁化电流？ 真空r＝1
例题3-8 删
19
3.4 恒定磁场的边界条件
S B dS 0
B 0
L H dl I
H J
B H
2A J
利用上面方程讨论介质分界面的B、H、A的变化规律
20
3.4 恒定磁场的边界条件
定义磁场强度:
B
0
Pm
J
H B Pm A / m
0
（3-30）
B 0(H Pm)
D 0E P
H J
磁介质中安培环路定理的微分形式。
（3-31）
12
3.3 磁偶极子与介质磁化
3.3.3 介质中的恒定磁场方程 1. 磁场强度、安培环路定理 磁介质中安培环路定理的积分形式。
H J
上式两边取面积分：
B1n =0
21
3.4 恒定磁场的边界条件
3.4.2 磁场强度的切向边界条件
en
H1
H dl I
△h→0H1
L
l1
H2
l2
Jsl
1
l 1 h
et
2
2
JS
H1 etl H2 etl Jsl
H2
积分方向与电流呈右手关系！
(H1 H2 ) et Js
（3-40）
H1t H 2t J s 讨论：1）如果JS =0, 则
即
A1n A2n
综合两个结论，有 A1 A2 （3-42）
表明在媒质分界面上磁矢位 A 是连续的。 23
3.4 恒定磁场的边界条件
偶极子1解读
偶极子[编辑]维基百科，自由的百科全书（重定向自偶极矩）地球磁场可以近似为一个磁偶极子的磁场。
但是，图内的N 和S 符号分别标示地球的地理北极和地理南极。
这标示法很容易引起困惑。
实际而言，地球的磁偶极矩的方向，是从地球位于地理北极附近的地磁北极，指向位于地理南极附近的地磁南极；而磁偶极子的方向则是从指南极指向指北极。
电极偶子的等值线图。
等值曲面清楚地区分于图内。
在电磁学里，有两种偶极子（dipole）：电偶极子是两个分隔一段距离，电量相等，正负相反的电荷。
磁偶极子是一圈封闭循环的电流，例如一个有常定电流运行的线圈，称为载流回路。
偶极子的性质可以用它的偶极矩描述。
电偶极矩（）由负电荷指向正电荷，大小等于正电荷量乘以正负电荷之间的距离。
磁偶极矩（）的方向，根据右手法则，是大拇指从载流回路的平面指出的方向，而其它拇指则指向电流运行方向，磁偶极矩的大小等于电流乘以线圈面积。
除了载流回路以外，电子和许多基本粒子都拥有磁偶极矩。
它们都会产生磁场，与一个非常小的载流回路产生的磁场完全相同。
但是，现时大多数的科学观点认为这个磁偶极矩是电子的自然性质，而非由载流回路生成。
永久磁铁的磁偶极矩来自于电子内禀的磁偶极矩。
长条形的永久磁铁称为条形磁铁，其两端称为指北极和指南极，其磁偶极矩的方向是由指南极朝向指北极。
这常规与地球的磁偶极矩恰巧相反：地球的磁偶极矩的方向是从地球的地磁北极指向地磁南极。
地磁北极位于北极附近，实际上是指南极，会吸引磁铁的指北极；而地磁南极位于南极附近，实际上是指北极，会吸引磁铁的指南极。
罗盘磁针的指北极会指向地磁北极；条形磁铁可以当作罗盘使用，条形磁铁的指北极会指向地磁北极。
根据当前的观察结果，磁偶极子产生的机制只有两种，载流回路和量子力学自旋。
科学家从未在实验里找到任何磁单极子存在的证据。
物理偶极子、点偶极子、近似偶极子[编辑]分开有限距离的两个异性电荷的电场线。
有限直径的载流循环的磁场线。
任意点偶极子（电偶极子、磁偶极子、声偶极子等等）的场线。
基于matlab的电偶极子和磁偶极子的近场仿真分析
基于matlab的电偶极子和磁偶极子的近场仿真分析
对于电偶极子和磁偶极子的近场仿真分析,可以使用MATLAB中的电磁场仿真工具箱进行模拟。
首先,我们需要构建电偶极子和磁偶极子的模型。
电偶极子和磁偶极子都可以近似为一个“小电荷”和一个“小磁荷”的组合体,其中电偶极子的电荷量为q,分布在距离为d的点P1和P2上,而磁偶极子的磁荷量为m,分布在距离为d的线段上。
其次,我们需要对模型进行参数化处理。
具体来说,我们需要定义电偶极子和磁偶极子的位置、方向和大小等参数,以便进行后续的仿真计算。
然后,我们可以使用MATLAB中的电磁场仿真工具箱中的函数和工具完成具体的仿真计算。
其中,可以使用场源距离远小于波长的近场近似方法进行模拟,计算电磁场分布的幅度和相位等,并将结果可视化输出。
最后,我们可以对仿真结果进行分析,比较不同参数下电偶极子和磁偶极子产生的电磁场分布差异,并进一步优化模型参数和仿真计算方法,以提高模拟精度和可靠性。
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电偶极子和磁偶极子的对比目录1引言 (1)2定义 (1)2.1电偶极子的定义 (1)2.2磁偶极子的定义 (2)3电偶极子和磁偶极子比较---主动方面 (2)3.1电偶极子和磁偶极子的场分布 (2)3.2电偶极子和磁偶极子辐射 (4)4电偶极子和磁偶极子比较---被动方面 (4)4.1电偶极子和磁偶极子在外场E和B中的力和力矩 (4)4.2电偶极子和磁偶极子在外场中的相互作用能 (5)5应用 (8)5.1心脏的活动 (8)5.2赫濨磁偶极子天线 (9)6结论 (9)参考文献：...................................致谢......................................电偶极子和磁偶极子的对比摘要：本文介绍了电偶极子和磁偶极子模型的建立，并对两者在数学表达上的类似和内在结构土的不同所引起的差别作了讨论。
这里的关键是通过电偶极子和磁偶极子各方面的的性质做出了基本论述电偶极子和磁偶极子都是非常实用的物理模型，让同学们更好的认识电磁偶极子非常重要的事。
在研究物质电磁性态时，用电偶极子和磁偶极子就能很好地说明极化和磁化现象，在研究电磁辐射时，偶极辐射不论在理论上或实际应用中都十分重要。
由于电偶极子和磁偶极子分别是复杂点体系和次体系的一级近似在数学表达上有不少的类似之处，使得研究更具更利，但应当认识到，这种类似只是形式上的，因为至今尚未有存在磁单极的实验证据，我们在进行类比并由此高清电偶极子和磁偶极子。
关键词：电偶极子；磁偶极子；相互作用力；相互作用能1引言电偶极子和磁偶极子都是非常实用的物理模型，让同学们更好的认识电磁偶极子非常重要的事，但数学公式较繁琐，导致初学者在认识上要产生障碍，使得教与学都功倍事半。
应用它们往往能将复杂的问题大大简化又不失本质的东西例如，在研究物质电磁性态时，用电偶极子和磁偶极子就能很好地说明极化和磁化现象；在研究电磁辐射时，偶极辐射不论在理论上或实际应用中都十分重要由于电偶极子和磁偶极子分别是复杂电体系和磁体系的一级近似，，在数学表达上有不少类似之处，使得研究更具便利，但是应当认识到，这种类似只是形式上的，因为至今尚未有存在磁单极的实验证据，现有电磁理论的电磁对称是破缺的，所以我们在进行类比时要时刻记住偶极模型的根源，并由此搞清电偶极子和磁偶极子的差别。
研究电偶极子与磁偶极子在生活中的实际应用，围绕其性质及作用，进行科学性研究论述！2定义2.1电偶极子的定义一个实体，它在距离充分大于本身几何尺寸的一切点处产生的电场强度都和一对等值异号的分开的点电荷所产生的电场强度相同。
电偶极子(electric dipole )是两个相距很近的等量异号点电荷组成的系统。
电偶极子的特征用电偶极距P= lq描述，其中I是两点电荷之间的距离，I 和P的方向规定由一q指向+ q。
图1-1电偶极子模型图(3.1)(3.2)2.2磁偶极子的定义一个实体，它在距离充分大于本身几何尺寸的一切点处产生的磁感应强度都 和一个有向平面电流回路所产生的磁感应强度相同。
当场点到载流小线圈的距离远大于它的尺寸时，这个载流小线圈就是一个磁偶极子。
磁荷观点认为，磁场是由磁荷产生的，磁针的 荷，S 极带负磁荷，磁荷的多少用磁极强度 qm 来表示。
相距I 、磁极强度 为±qm 的一对点磁荷，当I 远小于场点到它们的距离时， ±qm 构成的系统叫 磁偶极子。
电偶极子和磁偶极子都是等强度的一个点源和一个点汇，令其无限接 近并保持其强度和距离的乘积为常数的一种极限流动。
3电偶极子和磁偶极子比较-----主动方面3.1电偶极子和磁偶极子的场分布研究电磁场及它与带电体系的相互作用时， 通常引入标势和矢势上作基本量，「和丄一般是空间坐标和时间的函数N 极带正磁图1-2磁偶极子的模型图A =(3.12)式中T 和j 分别为体系的电荷密度和电流密度,R = r 一 r •是源点r 至场点 < 的距离，将R 作泰勒展开，代入（1），（2）式，可得到多极展式(1)(1 )若疋义1r jdv(3.5 )(3.4)(3.5)则一级近似项为(3.7) (3.8)我们将（3.5 ）、（3.6 ）两式定义的p 和m 分别称为电偶极矩和磁偶极矩，它们 分别是电荷分布和电流分布j 对某点的矩。
在势的一级近似中它们所起的作 用完全相似。
若由（3.7 ）、（3.8 ）两式求场, 则电偶极子的电场为E(1) - (1)(3.9)而磁偶极子的磁场为(3.10 )由于(")m八)—(^4^)B （1 ）又可表为B(1) _ _ I(S m * r(3.11 )将（3.11）式与 （3.9）式比较，可看出若引入磁标势P r 4 二；0r3(1)4 二则有 B ⑴=_ .1 °；? M可见在不存在电流的区域，，磁偶极标势和电偶极势相似3.2电偶极子和磁偶极子辐射如果考虑偶极子辐射，电偶极子的辐射场为磁偶极子的辐射场为II e i （ kR_• ,t ）.. .1 e i （ kR_•」）E m「（ m n ） ， B m—2（m n ） n （3・15）4~. cr4 二 c r比较（3.14 ）、（3.15 ）两式，可看出电偶极辐射和磁偶极辐射间存在以下的对 应(3.16)电偶极子和磁偶极子之间这些相似和对应关系，给具体研究和应用带来了便利，但必须清楚，由于电偶极子和磁偶极子是分别由电荷分布和电流分布对某点 的矩定义的当问题牵涉内在结构时，两者将显示重要的差别。
4电偶极子和磁偶极子比较-----被动方面4.1电偶极子和磁偶极子在外场 E 和B 中的受力和力矩电偶极子和磁偶极子置于外场中会受到力的作用一个位于坐标原点的电偶极子P 则在外场中所受的力可以写成F e 八（P • E ）（ 4.1）电偶极子在外场中所受的力矩为L e 二 P E（4.2）位于坐标原点的磁偶极子 m 则m 在外磁场中所受的力为F m 八（m • B ）(3.13)- e i(KR —对)-■--E e2— ( p n ) n ，4江名° c ri ( kR e(3.14)（ 4.3）磁偶极子在外磁场B中所受到的力矩为(4.4)L m =4.2电偶极子和磁偶极子与外场E和B的相互作用能电偶极子和磁偶极子的差别在考虑它们与外场的相互作用能是比较明显电荷分布「与外场「e的相互作用能为W®：lllN；e dV ( 4.5) 将:e对原点展开代入(1 )式即得W ei= Q : e ( 0 ) P 八 e ( 0 ) = Q ： e ( 0 ) - P • E e ( 0 ) …(4.6)式中Q二.为总电荷，p仍由(3.1.5 )定义，可见电偶极子与外场的相互作用能为W ei - - P * E e ( 4.7) 对于电流分布j，相互作用能为w mi 二j * A e dV (4.8)将体电流分解为许多闭合电流圈，则每个电流圈与外场的相互作用能为a* &a* aa.W mi = I . A e • d I = I B e ・ d S (4・9) 式中I为电流圈上的电流强度，将外场 B e作泰勒展开有B e = B e ( 0 ) r ・I B e (0 ) ( 4.10) 代入上式，得W mi = I B e (0 ) • d s，m • B e (0 ) ( 4.11) 式中m = I . . d s是电流圈的磁矩。
对于体电流(4.7 )式的关系仍成立，只是式中的m由(3.6 )式定义，也即磁偶极子与外场 B e (0 )的相互作用能为W mi = m • B e( 4.12 ) 与(4.3 )式比较，相差一符号。
这表明，当P与E e平行同向时，W mi只在m与B e平行反向时才取最小值。
产生这种差异的原因是p和m的内部结构不同，因为p是由正负电荷分布不均匀产生的，其内部有一很强的与 E e反向的场E ,当p与E e平行同向时，E •与，E e迭加使总场最小，导致W ei最小；对m其内部不存在反向场，因此只有当m与B e平行反向时W mi才最小。
p和m与外场作用时的这种差异使得应用相互作用能计算作用力和力矩时也有重要的差别。
先来看p的情况。
我们知道，点和体系运动状态的变化（受力）是由电场能量变化而来的，而电场能量一般包括电荷固有能荷电荷间的相互作用能，当p 移动或转动时，由于外场的源和p的固有能不变，所以力F e和力矩L e来自总能中相互作用能W eb的改变，即F）=-勺W ei，L （4.13）；-将（4.7）式代入上式，即得（4.1 ）、（4.2）式，再来看m的情况。
由于构成m的是电流，当m移动或转动时，由于感应电动势的出现，会使电流发生变化，要维持m不变，场源就要做功。
场源的功A g 一部分用来完成机械功A f ,另一部分则转变为系统的相互能W mi，根据能量守恒，有「•A g 二、；A f ，W mi（ 4.14）式中.A f = F m・r = 一W m・r（ 4.15）W mi= I W mi •: r（4.15）式中的W m是磁场的总能，我们要证明，对于磁偶极子有一W m = ' W mi （ 4.16）即总场能的减少率正好等于相互作用能的增长率。
考虑一个处于外磁场中的一个小电流圈。
设在磁场力F m作用下电流圈作为一无限小位移、：r，同时调节场源电动势e s以保持回路电流不变，则有(4.17)另一方面，由于移动回路的磁通量变化了、「，从而有感应电动势(4.18)e L若不考虑损耗，由电路方程有(4.22)与（4.20）式比较,也相差一负号，若将（4.12）式代入,就得到（4.3 ）、（4.4） 式，这时又与（4.18 ）式相似不过现在我们已知，这种相似只是形式上的，实 际应用时要多加小心例如，对于原子磁矩武，由于不存在感应电流，情况与节完 全一样，即有 而作用力为F m 二八 W mi 八(m .1 • B e )5应用实际应用中电偶极子与磁偶极子在科研方面也极具重要意义，目前以研究 出偶极子天线、等离子天线等。
其具有宽带、低噪声、隐身等特点，波束可控、 频率可控、增益和方向图可控等天线电参数动态重构的优势。
由等离子体构成的 e g e L 或e g所以、A g 由于电流保持不变1 -)=、.(I ，A2 i 1 ■ 1 ■ — 、.A f 二、.( j 4 A dv1 - =、.(I B • d s ) =、.( I ) 将(4.14 )、( 4.15)代入(4.10 )式，有11 eW mi = I II 、. 2 2 (4.19)（12 ） 式。
对于体电流只要将它分解为许多个电流圈，也能证得同样的结果。