新人教版八年级下册数学解题技巧专题练习：等腰三角形中辅助线的作法
最新人教版八年级下册数学解题技巧专题练习：等腰三角形中辅助线的作法
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC＝________.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB.求证：EB⊥AB.二、构造等腰三角形4．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为()A．3 B．4 C．5 D．65．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.8．如图，过等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于点E ，Q 为BC 延长线上一点，且P A ＝CQ ，连接PQ 交AC 于点D .(1)求证：PD ＝DQ ；(2)若△ABC 的边长为1，求DE 的长．【方法8】参考答案与解析 1．42．证明：连接AD .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD ＝∠F AD .在△AED 和△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠F AD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD ，∴DE ＝DF . 3．证明：过点E 作EF ⊥AC 于点F .∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝12AC .∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB .∵AD平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠F AE .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°，∴EB ⊥AB .4．B5．证明：如图，延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE ＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△MBE ≌△CBE ，∴EM ＝EC ＝12MC .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .又∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .6．证明：连接CD .∵AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠B ＝∠C ＝45°，∴∠ACD ＝∠B ＝∠BCD ，∴CD ＝BD .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝90°.又∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB ，∴△ECD ≌△FBD ，∴DE ＝DF .7．证明：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∴∠CED ＝180°－∠BED ＝72°.又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE ＝180°－∠ACB －∠CED ＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .8．(1)证明：过点P 作PF ∥BC 交AC 于点F ，∴∠AFP ＝∠ACB ，∠FPD ＝∠Q ，∠PFD ＝∠QCD .∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°，∴∠AFP ＝60°，∴△APF 是等边三角形，∴PF ＝P A ＝CQ ，∴△PFD ≌△QCD ，∴PD ＝DQ .(2)解：由(1)知△APF 是等边三角形，∵PE ⊥AC ，∴AE ＝EF .由(1)知△PFD ≌△QCD ，∴DF ＝CD ，∴DE ＝EF ＋DF ＝12AF ＋12CF ＝12AC .又∵AC ＝1，∴DE ＝12.。
等腰三角形时常用的辅助线作法
等腰三角形时常用的辅助线作法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC = 2∠DBC⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE = DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EF⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F求证：DF = EF2⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，F在AC上，E在BA延长线上，且AE = AF，连结DE求证：EF⊥BC⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o，∠PCB = 30o求∠PAB的度数.有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC = 2∠DBC证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2= 12∠BAC又∵AB = AC∴AE⊥BC∴∠2＋∠ACB = 90o∵BD⊥AC∴∠DBC＋∠ACB = 90o∴∠2 = ∠DBC21EDCBA34∴∠BAC = 2∠DBC（方法二）过A 作AE ⊥BC 于E （过程略） （方法三）取BC 中点E ，连结AE （过程略）⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，D 为BC 中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE = DF证明：连结AD.∵D 为BC 中点， ∴BD = CD又∵AB =AC∴AD 平分∠BAC ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE = DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，在BA 延长线和AC 上各取一点E 、F ，使AE =AF ， 求证：EF ⊥BC证明：延长BE 到N ，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC∵∠B ＋∠ACB ＋∠ACN ＋∠ANC = 180o∴2∠BCA ＋2∠ACN = 180o∴∠BCA ＋∠ACN = 90o 即∠BCN = 90o∴NC ⊥BC ∵AE = AF ∴∠AEF = ∠AFE 又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC ∴EF ∥NC ∴EF ⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 在AB 上，E 在AC 延长线上，且BD = CE ，连结DE 交BC 于F 求证：DF = EF证明：（证法一）过D 作DN ∥AE ，交BC 于N ，则∠DNB = ∠ACB ，∠NDE = ∠E ， ∵AB = AC ， ∴∠B = ∠ACB∴∠B =∠DNB∴BD = DN又∵BD = CE ∴DN = ECF E DC B AN F EC B A21N F ED C B A在△DNF和△ECF中∠1 = ∠2∠NDF =∠EDN = EC∴△DNF≌△ECF∴DF = EF（证法二）过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB =∠B（过程略）⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD = AE，连结DE求证：DE⊥BC证明：（证法一）过点E作EF∥BC交AB于F，则∠AFE =∠B∠AEF =∠C∵AB = AC∴∠B =∠C∴∠AFE =∠AEF∵AD = AE∴∠AED =∠ADE又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180o∴2∠AEF＋2∠AED = 90o即∠FED = 90o∴DE⊥FE又∵EF∥BC∴DE⊥BC（证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于N，（过程略）（证法三）过点A作AM∥BC交DE于M，（过程略）⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o∠PCB = 30o求∠PAB的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE则∠BAE =∠ABE = 60oAE = AB = BE∵AB = AC∴AE = AC ∠ABC =∠ACB∴∠AEC =∠ACE∵∠EAC =∠BAC－∠BAE= 80o－60o = 20o∴∠ACE = 12(180o－∠EAC)=80o∵∠ACB= 12(180o－∠BAC)=21MFEDCBANMF EDCBAPECBA550o∴∠BCE =∠ACE－∠ACB= 80o－50o = 30o∵∠PCB = 30o∴∠PCB = ∠BCE∵∠ABC =∠ACB = 50o, ∠ABE = 60o∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60o－50o =10o ∵∠PBC = 10o∴∠PBC = ∠EBC在△PBC和△EBC中∠PBC = ∠EBCBC = BC∠PCB = ∠BCE∴△PBC≌△EBC∴BP = BE∵AB = BE∴AB = BP∴∠BAP =∠BPA∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o∴∠PAB = 12(180o－∠ABP)= 70o解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。
最新修订人教版八年级下册数学解题技巧专题练习：等腰三角形中辅助线的作法
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC＝________.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.二、构造等腰三角形3．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为()A．3B．4C．5D．64．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.7．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且P A ＝CQ，连接PQ交AC于点D.(1)求证：PD＝DQ；(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．【方法8】参考答案与解析1．42．证明：连接AD .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD ＝∠F AD .在△AED 和△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠F AD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD ，∴DE ＝DF .3．B4．证明：如图，延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE ＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△MBE ≌△CBE ，∴EM ＝EC ＝12MC .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .又∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .5．证明：连接CD .∵AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠B ＝∠C ＝45°，∴∠ACD ＝∠B ＝∠BCD ，∴CD ＝BD .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝90°.又∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB ，∴△ECD ≌△FBD ，∴DE ＝DF .6．证明：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∴∠CED ＝180°－∠BED ＝72°.又∵AB＝AC ，∠A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE ＝180°－∠ACB －∠CED ＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .7．(1)证明：过点P 作PF ∥BC 交AC 于点F ，∴∠AFP ＝∠ACB ，∠FPD ＝∠Q ，∠PFD ＝∠QCD .∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°，∴∠AFP ＝60°，∴△APF 是等边三角形，∴PF＝P A ＝CQ ，∴△PFD ≌△QCD ，∴PD ＝DQ .(2)解：由(1)知△APF 是等边三角形，∵PE ⊥AC ，∴AE ＝EF .由(1)知△PFD ≌△QCD ，∴DF ＝CD ，∴DE ＝EF ＋DF ＝12AF ＋12CF ＝12AC .又∵AC ＝1，∴DE ＝12.。
解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线(3类热点题型讲练)(解析版) 八年级数学下册
第07讲解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线(3类热点题型讲练)目录【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 (1)【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】 (9)【考点三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 (20)【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点，DE AC ⊥于E ．(1)求EDC ∠的度数；(2)若2AE =，求CE 的长．【答案】(1)60︒(2)6【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，含30︒角的直角三角形的性质等知识，（1）连接AD ，根据等腰三角形的“三线合一”即可作答；（2）根据含30︒角的直角三角形的性质即可作答．【详解】（1）连接AD ，1．（2023下·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE AF =．求证：DE DF =．【答案】见解析【分析】连接AD ，根据等腰三角形的性质可得∠∠EAD FAD =，然后即可证明(SAS)AED AFD △≌△，进而可得结论．【详解】证明：连接AD ，AB AC = ，D 是BC 的中点，EAD FAD ∴∠=∠，在AED △和AFD △中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)AED AFD ∴△≌△，DE DF ∴=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．2．（2023上·宁夏吴忠于点E ，DF AC ⊥于点(1)求证：DE DF =；(2)若60,A BE ∠=︒=【答案】(1)见解析(2)24【分析】（1）连接AD （2）根据已知条件证明【详解】（1）证明：连接∵AB AC =，D 为BC 边的中点，∴AD 平分BAC ∠，∴∠∠EAD FAD =，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥∴90AED AFD ∠=∠=︒又AD AD =，=；(1)DE DF(2)BG CH=．【答案】(1)见解析(2)见解析AB AC =，点D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，EF BC ∥，∴90DAF ADB ∠=∠=︒，∴AD EF ⊥，AE AF =，∴AD 垂直平分EF ，∴DE DF =；（2）,,DE DF DA EF =⊥ ,EAD FAD ∴∠=∠,ADB ADC ∠=∠ ,EDB FDC ∴∠=∠,AB AC =,B C ∴∠=∠在BDG 和CDH △中，,B C BD CD BDG CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA),BDG CDH ∴△≌△.BG CH ∴=【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键．4．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，D 为线段CE 的中点，且BE AC =．(1)求证：AD BC ⊥．(2)若90BAC ∠=︒，2DC =，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接AE ，根据线段垂直平分线的性质得到BE AE =，证明AE AC =，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）证明AEC △为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：连接AE ，EF 是AB 的垂直平分线，BE AE ∴=，BE AC = ，AE AC ∴=，AEC ∴ 是等腰三角形，D 为线段CE 的中点，AD BC ∴⊥；（2）解：BE AE = ，EAB B ∴∠=∠，2AEC EAB B B ∴∠=∠+∠=∠，AE AC = ，AEC C ∴∠=∠，2C B ∴∠=∠，90BAC ∠=︒ ，60C ∴∠=︒，AEC ∴ 为等边三角形，2DC ED ==，24AE EC BE DC ∴====，426BD BE ED ∴=+=+=．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．5．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别在直线AB AC 、上运动，且始终保持AE CF =．(1)如图①，若点E F 、分别在线段AB AC 、上，DE 与DF 相等且DE 与DF 垂直吗？请说明理由；(2)如图②，若点E F 、分别在线段AB CA 、的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．【答案】(1)DE DF =且DE DF ⊥，见解析(2)成立，见解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解；（2）利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）DE DF =且DE DF ⊥，理由是：如图①，连接AD ，∵90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 中点，∴45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD DC ==，在AED △和CFD △中，AE CF EAD DAC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED CFD SAS ≌（），∴DE DF =，ADE CDF ∠=∠，又∵90CDF ADF ∠+∠=︒，∴90ADE ADF ∠+∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∴DE DF ⊥．根据题意，90BAC ∠=︒，AB ∴222(2)BC AB AC =+=∴190452B ACB ∠=∠=⨯︒=︒，∵F 为BC 中点，【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知60AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，12OP =，【答案】2【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角形的性质可得CM CN =练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中【详解】解：如图，作PC PM PN = ，PC OB ⊥CM CN ∴=，在OPC 中，90PCO ∠=162OC OP ∴==，5OM = ，65CM OC OM ∴=-=-1．（2023下·广东广州·八年级广州市番禺区钟村中学校考期中）如图，四边形ABCD 中，1013125AB BC CD AD ====，，，，AD CD ⊥，求四边形ABCD 的面积．【答案】ABCD S =四边形【分析】连接AC ，过点的性质得出AE BE =得出结论．∵AD CD ⊥，∴90D Ð=°．在Rt ACD △中，AD =∴22AC AD CD =+=∵13BC =，(1)如图1，若ADC △是直角三角形，①当AD BC ⊥时，求AD 的长；②当AD AC ⊥时，求CD 的长．(2)如图2，点E 在AB 上（不与点A ，B 重合），且ADE ∠=∵10AB AC ==，16BC =，∴182CD BD BC ===，Rt ADC 22AD AC =由①得6AH =，8CH =，在Rt AHD △中，2AD AH =在Rt ADC 中，22AD CD =-(1)BC边上的高的长度为；(2)如图1，若点P从点B出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，设运动时间为t秒t值，使得APC△为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，把APB△沿着直线AP翻折，点B的对应点为点F，PF交边AC于点E，当的长度．∵AB AC =，AD BC ⊥，∴116322BD BC ==⨯=由勾股定理，得()22221332AD AB BD =-=-=，∴BC 边上的高的长度为2．则2BP t =，62AP CP t ==-，由(1)知∶3BD =，2AD =，∴23DP t =-，由勾股定理，得()()22262223t t -=+-，由（1）知，2AD =，3BD =，由折叠知：F B ∠=∠，13AF AB ==，又∵90AGF ADB ∠=∠=︒，∴()AAS AGF ADB ≌，∴3GF BD ==，2AG AD ==，(1)如图1，若AB AC =，AD AE =．求证：BD CE =；(2)如图2，若90BAC ∠=︒，BA BD =，设B x ∠=︒，CAD y ∠=︒．①猜想y 与x 的数量关系，并说明理由；②在①的条件下，CA CE =，请直接写出DAE ∠的度数．【答案】(1)见解析（2）①猜想：2x y =，理由是：∵BA BD =，B x ∠=︒，∴(11802BAD BDA ∠=∠=︒-∠∵90BAC ∠=︒，CAD y ∠=︒，∴90BAD CAD ∠+∠=︒，即90整理得：2x y =；(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ．①用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE ，CD ，DE 之间的数量关系，并证明．则90AMC ADC ∠∠=︒=∵AB AC =，∴1122CM BM BC ===在ACD 与ACM △中，则90AMC ANC ∠=∠=∴90CAN ACB '∠+∠=∵90DAE ACD ∠+∠=︒，∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠，∵ACB ACB '∠=∠，∴B ACB ACD '∠=∠=∠∴FAE DAE ∠=∠，在FAE 和DAE 中，AF AD FAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS FAE DAE ≌，∴FE DE=，∴BE FE BF CD DE =+=+．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．【考点三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 是BC 的中点，过点E 作FG AD ⊥交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF AG =；(2)BF CG =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据ASA 证明AHF AHG ≌ ，即可得出AF AG =；（2）过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，由AHF AHG ≌ 可得AFH G ∠=∠，根据平行线的性质得出CMG AFH ∠=∠，可得CMG G ∠=∠，进而得出CM CG =，再根据据ASA 证明BEF CEM ≌ ，得出BF CM =，等量代换即可得到BF CG =．【详解】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠，∴FAH GAH ∠=∠，∵FG AH ⊥，∴90AHF AHG ∠=∠=︒，在AHF △和AHG 中，FAH GAH AH AH AHF AHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AHF AHG ≌ ，∴AF AG =；（2）证明：过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，∵AHF AHG ≌ ，∴AFH G ∠=∠，∵CM AB ∥，∴CMG AFH ∠=∠，∴CMG G ∠=∠，∴CM CG =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∵CM AB ∥，∴B ECM ∠=∠，在BEF △和CEM 中，B ECM BE CE BEF CEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BEF CEM ≌ ，∴BF CM =，∴BF CG =．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP 平分MON ∠．点A 为OM 上一点，过点AC OP ⊥，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可根据证明AOC BOC ≌△△，则AO 点C 为AB 的中点）．(2)【类比解答】如图2，在ABC 中，CD 平分ACB ∠，AE CD ⊥于E ，若63EAC ∠=︒，37B ∠=︒，通过上述构造全等的办法，可求得DAE ∠=．(3)【拓展延伸】如图3，ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足E 在CD 究BE 和CD 的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取ACB ∠的角平分线CD ；②过点A 作AD 13BC =，10AC =，ABC 面积为20，则划出的ACD 的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)ASA(2)26︒(3)12BE CD =，证明见解析100【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题：（1）将图1沿着过点B 的直线l 折叠，得到图2，DAC ∠的度数．（2）如图3，90A D ∠=∠=︒，BD 平分ABC ∠【拓展提升】【答案】【情景建模】见解析；（1）60︒；（2）102；（3）至少需要围挡40米．【分析】情景建模：利用角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，求证ABP ACP ≌（1）利用角平分线的性质和等腰三角形的性质“等边对等角”将边的关系转化为角的关系，再应用第一问的条件和结论结合方程即可解题．（2）延长BA 和CD 相交于点F ，利用勾股定理和第一问的结论得出12CD CF =,即可解题．90BAC ∠=︒ ，225BC AC AB ∴=+=，BD Q 平分ABC ∠，BD CF ⊥，5BF BC ∴==，541AF ∴=-=，OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABC ∠，OM OA ⊥，ON OB ⊥，由“情境建模”的结论得：AOM AOD △△≌，BON BOE △△≌，OM OD ∴=，ON OE =，在MON △和DOE 中，OM OD MON DOE ON OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()MON DOE SAS ∴ ≌，MN DE ∴=，90ACB ∠=︒ ，50AC =米，120BC =米，130AB ∴=米设AM x =，BN y =，则50CM x =-，120CN y =-，AOM AOD ≌，BON BOE △△≌，AD AM x ∴==，BE BN y ==，130DE AD BE AB x y =+-=+-，130MN DE x y ∴==+-，()()()5012013040CM CN MN x y x y ++=-+-++-=，CMN ∴ 的周长40=答：至少需要围挡40米．【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和勾股定理，本题的关键在于灵活应用角平分线性质结合全等三角形的性质，求解角和边．。
专题训练(一) 等腰三角形中常见辅助线的作法
证明：过点 E 作 EF⊥AC 于点 F，∵EA＝EC，∴AF＝FC＝12 AC. ∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，∴∠BAD＝∠CAD， 在△BAE 和△FAE 中，A∠BB＝AADF＝，∠CAD， ∴△ABE≌△AFE(SAS)，
AE＝AE， ∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB
证明：过点 E 作 EG∥AC 交 BC 于点 G，则∠ACB＝∠BGE，∠F＝∠DEG， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BGE，∴BE＝GE.
又∵BE＝CF，∴GE＝CF.在△CDF 和△GDE 中，∠ ∠FC＝ DF∠＝D∠EGG， DE， CF＝GE，
∴△CDF≌△GDE(AAS)， ∴DE＝DF
方法2：截长补短构造等腰三角形 技巧点拨：对于线段和差问题，利用“截长补短”的思想，添加辅助线，可构 造等腰三角形来实现边角之间的转化． 7．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D， 求证：AB＝AD＋BC.
证 明 ： 方 法 一 ： ( 截 长 法 ) ， 如 图 ① ， 在 AB 上 截 取 BE ＝ BC ， 连 接 ED ， 易 证 △BCD≌△BED，∴∠DEB＝∠ACB＝108°.又∵∠A＝∠ABC＝36°，∴∠AED＝ ∠ADE＝72°，∴AD＝AE，∴AB＝BE＋AE＝BC＋AD.
解：如图，过点 C 作 BA 的垂线，交 BA 的延长线于点 D. ∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠CAD＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°. ∵AC＝2ห้องสมุดไป่ตู้CD 是 AB 边上的高，∴CD＝12 AC＝12 ×2＝1. ∴AB 边上的高是 1
4．如图，四边形ABCD中，∠C＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°. 若AB＝2，CD＝8，求AD的长．
2等腰三角形中作辅助线的四种常用方法
方法 4 加倍折半法
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC 于点D，且AB＋BD＝DC，
求∠C的度数．
解： 如图，在DC上截取DE，使DE＝BD，连接AE. ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE＝90°. ∵BD＝DE，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED(SAS)． ∴AB＝AE，∠B＝∠AEB. ∵AB＋BD＝CD，DE＝BD， ∴AB＋DE＝CD.
求证：BD＋DC＝AB．
证明： 如图，延长BD至点E，使BE＝AB， 连接CE，AE. ∵∠ABE＝60°，BE＝AB， ∴△ABE为等边三角形． ∴∠AEB＝60°，AB＝AE. 又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.
∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE. ∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC. ∴DC＝DE. ∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋CD， 即BD＋DC＝AB.
而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC. ∴AE＝EC. ∴∠EAC＝∠C. 设∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB为△AEC的外角， ∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x. ∴∠B＝2x，∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x. ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAE＋∠EAC＝120°，
返回
即180°－4x＋x＝120°. 解得x＝20°，则∠C＝20°.
返回
∴DE＝DF.
方法 2 作平行线法
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA 移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动， 点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
(1)求证：PD＝QD． (2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E， P，Q在移动的过程中，线段BE，DE， CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
技巧专题技巧专题等腰三角形7种常用辅助线添加方法
技巧专题等腰三角形7种常用辅助线添加方法方法1.三线合一法例1.如图，△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A点的直线EF//BC,且AE=AF.求证: DE=DF.方法2.作一腰的平行线构造等腰三角形法例2.如图，AB=AC,F 为DE的中点，求证BD=CE.例3.如图，AABC中，AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P, Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1).如图①，当点P为AB的中点时，求证: PD=QD;(2).如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E,当点P，Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.方法3.截长补短构造等腰三角形法例4.如图，在△ABC中，AB=AC, D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°求证:BD+DC=AB例5.如图，在AABC中，∠BAC=120°, AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C.方法4.证与底有关的线段时，通常作底的平行线例6.如图，等边△ABC中，D是边AB延长线上一点，延长BC至E点，使CE=AD, DG⊥BE 于G,求证BG=EG.方法5.加倍折半法，倍长中线法例7.如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC.求证:CD=2CE.方法6.以底或腰为边作等边三角形,出三角形全等例8.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=40°，点P为三角形内一点，且∠PCA=∠PAB=20°.求∠PBC的度数方法7、将以腰为边的一个三角形绕顶角的顶点旋转例9.如图，△ABC中，点P是△ABC内一点，且∠APB>∠APC. 求证:PC> PB.课后培优练习题1.如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=90°，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且AE=CF.求证:△DEF 是等腰直角三角形.2.如图，等边△ABC的边BC上任取一点D,作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于点E,判断△ADE的形状，并证明你的结论.3.如图，△ABC中，AB=AC, D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB, DF⊥AC，垂足分别为E, F.(1)求证: DE=DF;(2)若∠A=90°，图中与DE相等的有哪些线段? (不需说明理由)4.如图，△ABC中，AC=2AB, AD平分∠BAC交BC于D,E是AD上一点，且EA=EC,求证: EB⊥AB.5.如图，△ABC的面积为1cm2, AP垂直∠ABC的平分线BP于P，求△PBC的面积.6.如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF,点E、F分别在AC、BC 上，求证: DE=DF.7.如图，已知AB=AC, ∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D.求证: BC=AB+CD.8.如图，在△ABC中，AB=AC, AE⊥BE于点E,且BC=2BE,若∠EAB=20°，求∠BAC的度数.9.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D, CE ⊥BD. 求证: BD=2CE.10.如图，等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一一点，且PA=CQ,连PQ交AC边于D.(1).求证: PD=DQ;(2).若△ABC的边长为1，求DE的长.。
《专题提升---等腰三角形中辅助线的作法》教学PPT
证明：连接 CD. ∵AC＝BC，∠C＝90°，D 是 AB 的中点， ∴CD 平分∠ACB，CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠B＝∠C＝45°， ∴∠ACD＝∠B＝∠BCD， ∴CD＝BD. ∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°. 又∵∠CDF＋∠BDF＝90°， ∴∠EDC＝∠FDB，∴△ECD≌△FBD，∴DE＝DF
边上中点，过 D 点作 DE⊥DF 交 AB 于 E，交 BC 于 F，若四
边形 BFDE 的面积为 16，
则 AB 的长为
【巩固练习】 3．如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D，E 都在边 BC 上，且 AD＝AE，那么 BD 与 CE 相等吗？请证明你的结论。
4．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝108°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D. 求证：BC＝AB＋CD.
∴∠DBC+∠C=90° ∴∠2=∠DBC
1
即∠DBC= 2 ∠BAC
证明（二）：如图 3，在 AD 上取一点 E，使 DE=CD 连接 BE
∵BD⊥AC ∴BD 是线段 CE 的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C ∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ∴∠BAC=180°-2∠C ∴∠EBC=∠BAC
【巩固练习】答案提示
1．如图，在△ABC 中，BP 平分∠BAC，且 AP⊥BP
于点 P，连接 CP.若△PBC 的面积为 2，则△ABC 的
面积为( B )
八年级数学下册2.解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法 (2)(附答案)
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC ＝________.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE ＝AF.求证：DE＝DF.3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA ＝EC，连接EB.求证：EB⊥AB.二、构造等腰三角形4．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为( )A．3 B．4 C．5 D．65．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC ＝AB＋CD.8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D.(1)求证：PD＝DQ；(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．【方法8】参考答案与解析1．42．证明：连接AD.∵AB＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED 和△AFD 中，⎩⎨⎧AE ＝AF ，∠EAD＝∠FAD，AD ＝AD ，∴△AED≌△AFD，∴DE＝DF.3．证明：过点E 作EF⊥AC 于点F.∵EA＝EC ，∴AF＝FC ＝12AC.∵AC＝2AB ，∴AF＝AB.∵AD 平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE ，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB.4．B5．证明：如图，延长BA 和CE 交于点M.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°.∵BD 平分∠ABC，∴∠MBE ＝∠CBE.又∵BE＝BE ，∴△MBE≌△CBE，∴EM＝EC ＝12MC.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD＋∠BDA＝90°.∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠CDE＝90°.∵∠BDA＝∠E DC ，∴∠ABE＝∠ACM.又∵AB＝AC ，∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC ，∴BD＝2CE.6．证明：连接CD.∵AC＝BC ，∠C＝90°，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB，CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠B＝∠C＝45°，∴∠ACD＝∠B＝∠BCD，∴CD ＝BD.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC＝∠FDB，∴△ECD≌△FBD，∴DE＝DF.7．证明：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE.∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD.又∵BD＝BD ，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∴∠CED＝180°－∠BED＝72°.又∵AB＝AC ，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE ＝180°－∠ACB－∠CED＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE ，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.8．(1)证明：过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD ＝∠QCD.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形，∴PF＝PA＝CQ，∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ.(2)解：由(1)知△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，∴DF＝CD，∴DE＝EF＋DF＝12AF＋12CF＝12AC.又∵AC＝1，∴DE＝12.。
初中数学等腰三角形辅助线添加方法及数学提分技巧
初中数学等腰三角形辅助线添加方法及数学提分技巧方法一：做三线合一中的一线三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。
所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。
必然三线合一。
例题1，是三线合一的最基础的题型，D是BC的中点，那么连接AD，通过三线合一的性质，得出AD⊥BC.方法二：做平行线法这个一般是做一腰的平行线，得出两个角相等，从而得出三角形全等例题2中，这个题是非常常见的考试经典题型。
第①小题，得出三角形全等，得出PD=QD。
第②小题，过点P做PF∥AC，因为△PBF是等腰三角形，PE⊥BF，三线合一得出BE=EF。
又因为三角形全等，得出FD=CD。
所以，得出ED=BC的一半，即为定值。
方法三：截长补短法，或者叫截长取短法简单说，就是在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等。
或者，延长某一线段，使之等于某已知线段。
此解题方法常用，请大家细心钻研，平时多探索，勤学苦练。
例题3，就是一道延长某一线段，使之等于某已知线段，经典考试题型。
例题4，这就是一道在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等，通过等量转换，得出结论的经典考试题型。
方法四：加倍折半法，倍长中线法例题5，解析说过点B做BF∥AC，最后得出的还是线段相等。
其实，这个题还有一个更好的解题思路，就是倍长中线法先提示一下辅助线的添加方法。
因为CE是△ABC的中线，倍长中线CE。
延长CE 至F，使EF=CE，连接BF。
倍长中线，必出三角形全等，最后得出，△DBC≌△FBC，所以DC=CF，所以CD=2CE。
初中数学学习方法与提分技巧基本学习方法1.主动预习预习的目的是主动获取新知识的过程，有助于调动学习积极主动性，新知识在未讲解之前，认真阅读教材，养成主动预习的习惯，是获得数学知识的重要手段。
因此，要注意培养自学能力，学会看书。
如自学例题时，要弄清例题讲的什么内容，告诉了哪些条件，求什么，书上怎么解答的，为什么要这样解答，还有没有新的解法，解题步骤是怎样的。
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解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法
——形成精准思维模式，快速解题
◆类型一利用“三线合一”作辅助线
一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝1，则BC的长为________．
2．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB，求证：EB⊥AB.
二、构造等腰三角形
3．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为() A．3
B．4
C．5
D．6
4．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.
◆类型二 巧用等腰直角三角形构造全等
5．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥DF ，点E ，F 分别在AC ，BC 上．求证：DE ＝DF .
◆类型三 等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等
6．(2017·郑州校级月考)如图，过等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于点E ，Q 为BC 延长线上一点，且P A ＝CQ ，连
接PQ 交AC 于点D .若△ABC 的边长为6，则
DE 的长为【方法8】( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．不能确定
7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D .求证：BC ＝AB ＋CD .
参考答案与解析
1．2
2．证明：过点E 作EF ⊥AC 于点F .∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝12
AC .∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB .∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠F AE .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°，∴EB ⊥AB .
3．B
4．证明：延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE
＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△MBE ≌△CBE ，∴EM ＝EC ＝12
MC .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .又∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .
5．证明：连接CD .∵AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠B ＝∠C ＝45°，∴∠ACD ＝∠B ＝∠BCD ，∴CD ＝BD .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝90°.又∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB ，∴△ECD ≌△FBD ，∴DE ＝DF .
6．B 解析：过点P 作PF ∥BC 交AC 于点F ，∴∠AFP ＝∠ACB ，∠FPD ＝∠Q ，∠PFD ＝∠QCD .∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°，∴∠AFP ＝60°，∴△APF 是等边三角形．∴P A ＝PF .又∵P A ＝CQ ，∴PF ＝QC ，∴△PFD ≌△QCD ，∴DF ＝CD .∵PE ⊥AC ，∴AE ＝EF ，∴DE ＝EF
＋DF ＝12AF ＋12CF ＝12
AC .又∵AC ＝6，∴DE ＝3. 7．证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∴∠CED ＝180°－∠BED ＝72°.又∵AB ＝AC ，
∠A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝12
×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE ＝180°－∠ACB －∠CED ＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .。