混沌学的历史和现状_邓宗琦
混沌发展历程研究现状及目的意义
混沌发展历程研究现状及目的意义1混沌的发展史 (1)2混沌同步发展史及研究现状 (2)2.1 混沌同步在超宽带无线通信中的应用 (3)2.2 混沌同步在数字水印中的应用 (3)3混沌保密通信研究现状与发展趋势 (4)4研究目的和意义 (5)1混沌的发展史混沌的发现从现代科学意义上讲可追溯到19世纪末20世纪初庞加莱在研究限制三体问题时遇到了混沌问题，发现三体引力互相作用能产生惊人的复杂性，他是世界上第一个了解混沌存在的人。
典型的Duffing动力学方程和VDP动力学方程奠定了混沌动力学基础。
1954年到1963年间，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)和他的学生阿诺多(Amold)以及瑞士数学家莫西(Moser)提出了著名的KAM定理。
1963年，洛伦兹(Lorenz)给出了三个变量的洛仑兹方程。
这都为混沌运动奠定了基础。
1964年，法国天文学家M.Henon等人从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得到启发，得到了一个二维不可积哈密顿系统中的确定性随机行为，发现了Henon映射。
混沌一词的应用是从美国数学家约克(J.A.Y okr)和李天岩(T.Y.Li)题为“周期3意味着混沌”的文章中引用得来的。
1976年，美国生态学家梅(May)在文章《具有极复杂的动力学的简单数学模型》中，研究了一维平方映射，指出逻辑(Logistic)非常简单的一维迭代映射也能产生复杂的周期倍化和混沌运动。
后来，美国物理学家费根鲍姆(Feigenbaum)与1978年发现了倍周期分岔现象中的标度性和普适常数，并引入了重整化群的思想，从而使混沌在现代科学中有了坚实的理论基础。
1984年，美国物理学家肖(Shaw)和他的同事用水龙头进行混沌实验，并有实验数据重建了奇怪吸引子。
从20世纪80年代开始，混沌的理论受到广泛和深入的研究，人们着重研究系统如何从有序进入新的混沌及混沌的性质及特点。
1983年，由蔡少棠(L.O.Chua)发明的蔡氏电路由于结构简单，实现容易，并且表现出丰富的混沌行为。
混沌理论与管理思想的发展课件
领导力是一种影响力 ，可以通过影响他人 的思想和行为来实现 目标。
领导力是一种素质， 是领导者必备的核心 能力。
混沌理是一种研究复 杂系统行为的科学，其 核心是动态、非线性、
不可预测性。
领导力作为一种复杂的 社会现象，需要应对不 断变化的环境和情况， 因此与混沌理论有很好
01
混沌理论在组织行为学中的应用，可以帮助我们更好地理解和 预测组织中的行为和结果。
02
混沌理论可以解释组织中的一些复杂现象，例如组织的变革、
组织的演化等。
混沌理论还可以帮助我们更好地理解组织中的非线性关系和非
03
因果关系，以及这些关系对组织行为的影响。
05
混沌理论与领导力
领导力的基本概念
领导力是一种能力， 可以影响和激励他人 ，以实现共同的目标 。
混沌理论与管理 思想的发展课件
目录
• 混沌理论概述 • 混沌理论对管理思想的影响 • 混沌理论在管理思想中的发展 • 混沌理论与组织行为学 • 混沌理论与领导力 • 混沌理论与决策制定
01
混沌理论概述
混沌理论的基本概念
混沌理论是一种研究非线性动态系统行为的理论，揭示了自然和社会现象中的复杂 性和不确定性。
04
混沌理论与组织行为学
组织行为学的基本概念
1
组织行为学是一门研究组织内部成员行为的学科 ，其目的是通过理解和预测组织成员的行为，以 提高组织的绩效和效率。
2
组织行为学的研究范围包括个体行为、群体行为 、领导行为、组织行为等。
3
组织行为学强调人的因素在组织中的作用，以及 组织对人的行为的影响和塑造。
决策类型
根据不同的分类方法，决 策可以分为确定性决策、 不确定性决策、风险性决 策等。
1[1].1混沌简介
![1[1].1混沌简介](https://img.taocdn.com/s3/m/bb371628bcd126fff7050bc7.png)
第一章 混沌学简介§1.1引言与混沌定义一. 混沌学（chaology ）的历史与现状1. 中国科学院院士郝柏林：“混沌，这个在中外文化渊源悠久的词儿，正在成为具有严格定义的科学概念，成为一门新科学的名字，它正在促使整个现代知识体系成为新科学”.(1993，分岔、混沌、奇怪吸引子，物理进展，1983（3） 329—416)2. 詹姆斯·格架克（混沌—开创新科学）：“越来越多的人认识到，这是相对论和量子力学问世以来，对人类整个知识体系的又一次巨大冲击，这也许是20世纪后半叶数理科学所做的最有深远意义的贡献”（1990年，张淑誉译）.3．近年来，人们发现在自然界和社会生活中混沌现象无所不有，无所不在，因而，对混沌的研究已经深入到自然科学和社会科学的各个领域：物理、化学、生物、天文、气象、地质探测、经济管理、数学、通信、电子电工、人文社科等各个方向.因此，在科学界越来越多的学者认为，20世纪人类对科学的三大贡献为：①相对论；②量子力学；③混沌学.二. 混沌学的诞生与混沌定义的演变混沌学的诞生或者说混沌学的正式形成一般人公认为1975年12月李天岩(Li T. Y . )和约克(Yorke J. A.)发表于Amer. Math. Monthly （美国数学月刊）的论文:Period Three Implies Chaos(周期三意味着混沌)——正是这篇论文，chaos 作为一个科学代名词被里程式的确定下来.·Li-Yorke 定义（1975） 设I 是一个区间，连续映射成为是混沌的（混沌映射），如果周期集I I f →:N f P =)(且存在不可数集)(0f Per I S −⊂，合于(ⅰ) 0)()(sup lim >−∞→y f x f n n n (0,S y x ∈∀，y x ≠)； (ⅱ) 0)()(inf lim =−∞→y f x f nn n ；第一章 混沌学简介 2 (ⅲ) 0)()(sup lim >−∞→p f x f n n n ，(0s x ∈∀，)(f Per p ∈∀). 其中：称为是混沌集，是的所有周期点构成的集合.0S )(f Per I I f →:关于周期点的定义：设I I f →:（1）定义，其中为恒等映射；))(()()(11x f f x f f x f n n n −−==D 0f （2）设I x ∈0，如果N n ∈∃使得，则称为的周期点，特别地，当时，即00)(x x f n =0x f 1=n 00)(x x f =，则称为的不动点；如果0x f N n ∈∃，使得，但(00)(x x f n =00)(x x f k ≠1,,2,1−=n K ")，则称为的-周期点，并称为点关于的周期，通常用表示的周期点的全体，即0x f n n 0x f )(f Per (){,()}n Per f x I n N f x x =∈∃∈=Li-Yorke 在1975年的Amer. Math. Monthly 上证明了如下定理:定理（Li-Yorke ） 设I 是一个区间，是连续映射，若存在使得,,合于I I f →:I a ∈)(a f b =)(2a f c =)(3a f d =cb a d <<≤(或)，则d a b ≥>>c T1）N k ∈∀，在I 中存在一个-周期点 (即，k I x ∈∃0使得，而当时, ).00)(x x f k =k i <≤100)(x x f i ≠T2）存在一个不可数集)(0f Per I S −⊂满足下列条件：ⅰ)0,S q p ∈∀，q p ≠，有0)()(sup lim >−∞→q f p f n n n ，并且 0)()(inf lim =−∞→q f p f n n n ；ⅱ)，0S p ∈∀)(f Per q ∈∀，有0)()(sup lim >−∞→q f p f nn n .在上面定理中，当a d =时，即，，，则上定理的结论T1)与T2)都成立，这就是30多年来，科学界广泛注视的著名定理：“周期三意味着混沌”.)(a f b =)(2a f c =)(3a f a =长期以来，人们始终都在努力用数学的方法描述存在于自然界、社会生活、科学实验里确定系统中的内在随机现象和复杂性问题（无序性，乱七八糟），因此，对Li-Yorke 的定义，人们并不满意，因为Li-Yorke 定义的最大缺点是缺乏直观性.1989年，Devaney R. L. 从工程的角度引入了一个与Li-Yorke 定义完全独立的定义.·Devaney 定义 设是一个（紧）度量空间，是连续映射，且满足 D D D f →:§1.1引言与混沌的定义 • 3(1) 对初值是敏感依赖的；f (2) 是拓扑传递的；f (3) 的周期点在内稠密(即，f D D f Per =)()则称映射是在Devaney 意义下是混沌的(即，是Devaney 混沌映射).f f 注释：① 对初值敏感依赖：在物理上称为“蝴蝶效应”(即，墨西哥的一只蝴蝶轻轻地扇动一下翅膀，也许会引起太平洋上的一场大风暴).“对初值是敏感依赖”0>∃⇔δ，D x ∈∀，()U x ∀∈U ，U y ∈∃，使得(其中：N n ∈∃δρ>))(),((y f x f n n ρ为上的度量).D ② 拓扑传递性：映射称为是拓扑传递的，如果D D f →:D x ∈∃0使得D f =0，其中},2,1,0)({)(00"==n x f x Orb n f 称为点的轨道.0x 从工程角度或几何角度上讲，就是所谓的“遍历性”，即，点的轨道跑遍度量空间中每一个点的每一个邻域，这是因为：0x D 0()f Orb x D x D =⇔∀∈，()U x ∀∈U ，()f U Orb x φ∩≠D x ∈∀⇔，0>∀ε，φε≠∩)(),(x Orb x B f ，其中=),(εx B }),({ερ<∈x y D y 是点的x ε-开球③ 周期点的稠密性：D x D f Per ∈∀⇔=)(，()U x ∀∈U ， ()U Per f ∩φ≠⇔D x ∈∀，0>∀ε，φε≠∩)(),(f Per x B .习题一1.在图书馆的网站上查阅100篇（近3年）以混沌为关键词的学术论文；列出5个不同学科，20个不同研究方向的混沌学术论文（每个方向一篇）.2. 证明：工程上的遍历性等价于0()f Orb x D =.3、证明：三角帐篷映射是Devaney 混沌映射，即三角帐篷映射是对初值敏感依赖的，拓扑传递的，周期点稠密的.。
浅谈混沌理论
浅谈混沌与世间种种巨大的力量相比，扇动着翅膀的蝴蝶似乎没多大力量。
然而有一句谚语却说：“中国上空的一只蝴蝶振动双翅，美国某处便下起了大雨。
”混沌理论可以证明这一谚语。
对蝴蝶力量的科学洞察始于洛伦兹的工作。
洛伦兹是一位气象学家，也被尊称为混沌理论的缔造者之一。
当时，洛伦兹正在检验一个简单的气象预测模型。
洛伦兹完成了冗长的计算后，需要对结果进行复核，他将 0. 506而不是初始的精确值 0.506127作为初值输入计算机。
他知道这样做将产生千分之一的误差，并预计在其气象预测中和原来的计算将有同等大小的差异。
然而，令他大为吃惊的是，新的天气预报和原先的结果几乎没有什么相似之处，他立即意识到了问题的症结所在：当计算机反馈出每一步的结果并作为原数据重新输入时，两组数据开始时的细微差别被迅速放大为巨大的差异。
这万分之一的误差——这种误差大约相当于多了一阵轻柔的微风——很快就使天气预报变成了一片混乱。
他用图像来模拟气候的变化 ，最后他发现，图像是混沌的，而且十分像一只蝴蝶张开的双翅。
这就是我们今天所熟知的 “蝴蝶效应“， 从科学的角度来看，蝴蝶效应反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。
混沌理论认为：在混沌系统中，初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。
正所谓失之毫厘，谬以千里。
对气象工作者来说，那一天是黑暗的日子。
洛伦兹意识到：“如果大气层真是这样活动的话， 那么要想做出长期气象预报几乎是不可能了。
”但这一天的经历并非只对气象工作者有意义。
他冲破了束缚人们思想的堤坝，并为新的研究领域的开辟奠定了基石，由此引入了混沌这一理论。
我们再来看看一个简单的物理系统-单摆。
在一根不能伸缩的长度为 Z 的细线下端悬挂一个小球，微微移动后，就可以在一竖直面内来回摆动，这种装置称为单摆。
只要有一定物理常识就知道，在一定的条件下(忽略细线质量、空气阻力及系统内的摩擦力，且摆角) ，回复力 F=一k x ，单摆振动的回复力跟位移成正比而方向相反，单摆做简谐振动。
管理科学中的混沌现象研究
管理科学中的混沌现象研究一、引言混沌理论是20世纪60年代末期由美国数学家Edward Lorenz 提出的，在经过几十年的发展和研究，已成为一门发展完备的科学理论。
混沌现象已经应用到多个领域，包括天气预报、股票市场、流体力学等。
本文将会对混沌现象在管理科学中的应用进行探讨和分析。
二、混沌现象简述所谓混沌现象，指的是在某些非线性系统中，当初始条件发生微小变化时，系统的状态也发生了很大的改变，产生了不可预测的结果。
与此同时，混沌现象还包括一些普遍的特征，如无规律出现的震荡、出现奇异吸引子等。
三、混沌现象在管理科学中的应用在管理科学领域中，混沌现象主要被应用于预测和控制方面。
具体应用包括：1.金融市场预测由于股票、期货市场本身就具有非线性因素，所以混沌理论在金融市场预测中应用得非常广泛。
基于混沌理论的金融市场预测模型，可以根据历史股市数据预测未来市场的趋势和价格波动情况。
通过这种方法，投资者可以更好地把握市场节奏，提高盈利率和降低投资风险。
2.产品质量控制在产品量产后，混沌理论被应用于分析生产工艺。
通过对不同温度、压力等参数进行微调，可以防止系统进入混沌状态，保证产品质量的稳定性，提高生产效率和质量。
3.销售预测进入市场后，混沌理论也可以被应用于销售预测。
通过对客户交易数据的分析，可以预测客户的未来购买行为，从而帮助企业更准确地进行产品定价和库存管理，提高销售效率和盈利率。
4.组织管理在组织管理方面，混沌理论可以通过研究组织内部的交互关系和协作模式，优化组织结构，提升组织运营效率。
此外，混沌理论还可以被用于解决企业中的决策问题。
通过对决策者的行为和决策参数进行分析，可以确定最优决策方案，提高决策者的决策质量和效率。
四、结论在管理科学中，混沌理论的应用范围非常广泛，并且具有非常重要的价值。
通过混沌理论的应用，可以提高企业的管理效率和盈利能力。
因此，我们应该积极探索混沌理论在管理科学中的应用，以期更好地服务于企业和社会的发展。
混沌理论及其应用研究
e综述e 唐 巍等 混沌理论及其应用研究
23
蝶效应 仅仅是蝴蝶翅膀的一次小小扇动 就有可 能改变一个月以后的天气情况
图 对初值的敏感性
具有分形的性质 如图 所示 混沌的 奇 异吸引子在微小尺度上具有与整体自相似的几何结
构 对它的空间描述只能采用分数维
c神 经 网 络 将 混 沌 与 神 经 网 络 相 融 合 使 神 经网络由最初的混沌状态逐渐退化到一般的神经网
络 利用中间过程混沌状态的动力学特性使神经网
络逃离局部极小点 从而保证全局最优 可用于联想
记 忆 Z机 器 人 的 路 径 规 划 等 U图像数据压缩 把复杂的图 像数 据用一 组能
b 混沌的应用前景
混沌应用可分为混沌综合和混沌分析 前者利 用人工产生的混沌从混沌动力学系统中获得可能的
功能 如人工神经网络的联想记忆等Q后者分析由复 杂的人工和自然系统中获得的混沌信号并寻找隐藏
的确定性规则 如时间序列数据的非线性确定性预 测等 混沌的具体的潜在应用 可 ‘a 概括如下
优 化 利 用 混 沌 运 动 的 随 机 性Z遍 历 性 和 规 律性寻找最优点 可用于系统辨识Z最优参数设计等 众多方面
成 步 对每个固定的参量值 变量 从某一个
初值 统一用
开始迭代 舍去最初暂态
过 程的 个迭代值 再把后继 个轨道点都画
到所选参量的纵方向上 这样扫过全部的参量范围
图 为图 中小矩形区域的放大图
不断地经历倍周期分叉 最终达到混沌
称当
时由系统 产生的序列0 1为混
沌变量 混沌变量0 1的运动形式有如下特征
比例也趋于一个极限 >* 4?5435@A3@
B 混沌的识别
生命科学中的混沌理论与应用
生命科学中的混沌理论与应用生命科学是一门研究生命现象的学科，它包含了分子生物学、遗传学、细胞生物学、发育生物学、生物物理学等多个分支学科。
生命科学的发展，不仅是一门科学探索的过程，同时也是对人类认知自身、改变自身的历程。
而混沌理论，则是生命科学中一个新兴而有潜力的领域。
混沌理论最初起源于物理学领域，它指的是非线性系统中的一种动态行为，也就是说当系统非常敏感地依赖于输入的小变化时，系统的行为就会表现出随机、无规律的、似乎没有任何规律可循的特点。
混沌理论的核心思想是探究由简单系统规律的微小变化而产生的复杂行为，以及这些行为对系统整体性质的影响。
混沌现象的发现，为科学研究带来了深远的影响，不仅是物理学，化学、生物学等领域也逐渐引进了混沌理论，并开始探究混沌现象在这些领域的表现和应用。
在生命科学领域，混沌理论的应用日渐扩展。
生命科学中的混沌现象，是由分子层面的随机行为所导致的，比如基因突变、蛋白质折叠等。
而混沌现象在生物分子方面的应用，主要表现在以下几个方面：第一，混沌理论对于探究生物分子在系统中的动态行为有着重要的作用。
生物分子在体内的行为是极其复杂的，分子之间相互作用错综复杂，往往呈现出非线性动态行为。
混沌理论可以帮助研究人员探究生物分子运动规律、群体行为等诸多问题，揭示生物分子之间的相互作用方式，对于探索生物分子的结构和功能变化等方面，都起到了重要的帮助作用。
第二，混沌理论可帮助研究人员深入了解人体内部的代谢活动。
人体内部的代谢过程极其复杂，各个因素之间的相互作用具有非常高的复杂性。
混沌理论可以帮助研究人员探究代谢过程中的非线性动态行为，深入了解人体内部的细胞信号传递和能量代谢等重要信息，为药物研发、疾病诊治和人体健康等方面提供有力的支持。
第三，混沌理论也可以应用于神经系统的研究中，帮助科学家探究神经元在体内的运动轨迹、树突末梢的运动状态、大脑内部信息传递方式等重要问题。
这对于理解大脑的功能和修复神经系统的损伤等方面都具有重要价值。
混沌学视角下的民族语言文化
混沌学视角下的民族语言文化1 混沌学理论介绍1.1 混沌学的概念。
近代混沌学（chaos theory）是20世纪初在欧洲诞生，在七八十年代伴隨着计算机科学的迅猛发展而发展起来的一门新兴学科。
经典科学理论认为，决定世界运转的根本秩序是一种因果关系。
因果之间的必然联系构成了一种线性关系一种有序性，然而大自然并不完全是一个程序世界，而是存在复杂多样物质现象的非有序空间，存在诸多受制原因，而且这些原因本身变化多端难以预测。
什么是混沌学？简言之混沌学就是复杂系统所产生的随机性，不可预测性。
张公谨（1998.12）关于混沌的定义被普遍接受，他认为“混沌是一门以直观、整体为基点来研究混沌状态和混沌学运动的复杂规则性学问，混沌学的内涵指的是复杂的确定性系统的内在随机性和不可预测性”。
丁石庆（2008）就混沌学与语言文化研究中的几个问题进行了论述，他认为混沌学和方法自上世纪90年代引入到语言与文化的研究中，至今在国内语言学界尤其少数民族语言文化研究方面已经形成了广泛的影响。
1.2 混沌学的主要特点：混沌学的主要特点总结起来有5点，如表1所示。
2 民族语言文化研究的混沌学视角语言并不是线性系统，而是非线性系统，它作为一个整体的性质，并不能还原为它的组成部分的性质。
语言和文化的关系二者相互依存不可分离。
民族语言文化就总体而言是处于平衡的又是非平衡的，“奇异吸引子”的出现正是打破平衡的原因，它让平衡态趋向非平衡态发展，又由于民族语言文化的自组织性，把这种非平衡态还原为更高水平的平衡态，此时又会有新的奇异吸引子打破这种平衡，长此以往最终由民族语言文化的初始状态在线性与非线性、平衡与非平衡状态下相互更替，形成了今天的民族语言文化的时代特征。
随着时代的推进，语言文化的继续演变在混沌框架上会促进民族语言文化趋向深度的演变，或强势融入弱势，导致弱势衰减消亡；或弱势变为强势，取替以往的强势，这种种的演化状态都是处于高水平的混沌状态，是难以把握的，我们只能从整体方法论的角度去解释这种现象的本质原因。
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一步讨论.
1987 年周作领[ 11] 从另一角度给出了如下定义:
定义 3 对于度量空间( X , d) 中的连续映射 f , 若存在 X 的不可数子集 S 含于f 的非游荡
集, 且对任意 x , y ∈ S 有lni→m∞ inf d( f n ( x ) , f n ( y ) ) = 0, 另外当 x ≠ y 时还有 lim sup d ( f n( x ) , f n ( y ) ) > 0,
13 28
1-
1 23000
=
13( 8999 +
8998 + 2 3002
…+
1) , 则 x 3002 =
在西方的许多文献中也有类似的说法. 如: 在《圣经》中将天地刚刚开辟后的状态称之为混 沌; 在希腊哲学家看来, 世界在本质上是从混沌中产生出来的; 歌德笔下的浮士德的行为有混 沌的色彩.
在近代, 也有许多人用“混沌”这个词儿. 例如, 张君励 1946 年在《醒》这个杂志上发表的文 章中提到: “二十年来之中华民国, 有政府而实无政府, 有制度而实无制度, 混沌而已”.
的多余, 即( i ) 和( iii) 导不出( ii) ; ( ii) 和( iii) 导不出( i) . 1994 年 V ellekoop 和 Berg lund[ 9] 证明,
若考虑区间上的映射, 仅( i) 就可以了, 即拓扑传递性等于混沌. 1995 年 Crannell[ 10] 又作了进
作为一门新科学的混沌学( Chao logy ) , 一般认为始于李天岩和约克( Yorke) 的著名论文 “周期 3 蕴含混沌”, 因为正是在该文中“混沌”( Chaos) 首次被作为科学词儿使用. 该文在《美 国数学月刊》上正式发表是 1975 年 12 月. 20 年来, 混沌学作为一门新科学传播速度之快, 波 及空间之广, 恐怕是前所未有的. 李天岩和约克的论文发表后大约过了 10 年, 国际上便形成了 一支可观的混沌学专家队伍. 与此同时, 许多研究中心与研究所则专门冠之以“非线性动力 学 ”、“非线性科学”、“非线性数学”等名称. 本文将对混沌学 20 年来的发展状况进行回顾和 评述.
风雨的来临. 这种说法来源于一篇文章的题目“在巴西的一只蝴蝶的翅膀扇动会引起一场在德
克萨斯州的龙卷风吗”. 气象系统实际上是一个典型的混沌系统. 正是由于气象系统的敏感性,
长期天气预报难于准确.
为了说明这一特征, 我们举出如下的极为简单的例子.
考虑一维映射( 俗称面包师映射) :
2x n,
当 0 ≤ x n < 1/ 2 时;
x n+ 1 = 2x n - 1, 当 1/ 2 ≤ x n ≤ 1 时.
( 3)
这是一个混沌系统且对初始条件具有敏感性. 事实上, 我们有序列
x 0, x 1, x 2 , …, x n, …,
( 4)
这里 x 0 是初始状态. 序列演化依据初始条件的不同会出现 3 种形态:
1) 当 x 0 是分母 为 2n 的 有理数( n 是 整数) 时, x n → 0 ( n → ∞) . 例如, 取 x 0 =
在当代, 使用“混沌”这个词儿的地方随处可见. 例如, 文学杂志《清明》1989 年第 5 期上有 一篇文章中写道: “杭敏混沌的大脑陡然了一下, 浑身再次打了个激凌……”
显然, 以上一些说法, 均不是今天科学名词“混沌”之同义, 但也不能说, 没有一点渊源. 从学术思想渊源看, 1889 年庞加莱就证明了不可积系统的存在性. 1949 年Van der Pol 研 究振子时发现了与混沌类似的 现象. Feimi 等人于 50 年代初在实验中亦发现了混沌 现象. Krylo v 亦发现了弹性碰撞动力学系统中的指数不稳定性. 1953 年 Go waro d 和 Hine 通过计算 机证明, 粒子运动可以从有规则运动转变为混沌运动. Belonsov 和 Zhabot inski 在进行著名的 BZ 反应实验时, 发现了化学反应从有序到混沌的转变. 1954 年柯尔莫哥洛夫( Kolm ogo lov) 对 解析哈密尔顿系统的椭圆周期轨道进行了分析, 发现了充分接近可积哈密尔顿系统的一类不 可积系统. 这类系统可看作是可积系统受到扰动所致. 若扰动小则其图像接近可积系统; 若扰 动足够大, 则其图像转为混沌. Arnold 给出了柯氏论断的证明, 而 Moser 又给出了改进的柯氏 论断并独立地进行了证明. 这就是著名的 KAM 定理( 由三位姓中第一个字母组成) . 1964 年 Arnold 进一步发现了哈密尔顿扰动系统中的随机运动——Arnold 扩散. 1960 年初上田皖亮在研究 Duf f ing 方程 xb + kxa+ x 3 = Bco st 时, 发现当参数 k = 0. 05, B = 7. 5 时方程解的轨迹, 在 t 很大时会乱七八糟地走一通, 毫无规律可言, 后来人们称之为 “上田吸引子”( Veda Att racto r) . 1963 年, 气象学家洛伦兹( Lo renz) 借助于运算速度为每秒 17 次的计算机, 发现“确定性的 非周期流”的存在是长期预报天气失败的基本原因. 其实他的贡献远远不止于此. 他在耗散系 统中发现了混沌, 发现了奇怪吸引子, 从而提供了混沌研究的模型并开创了用数值方法研究混 沌的先河. 1971 年 Ruel le 和 T akens 通过严密的数学分析独立地发现了奇怪吸引子, 并提出了描述 湍流形成机理的新观点. 这实质上说明, 与奇怪吸引子相关的运动是混沌运动. 人们只要细心回顾一下科学史就不难发现, 自然界虽然只有一个, 但描述自然界的数学方 法却有确定论和概率论两种. 确定论描述的范例是开卜勒的行星运动的三定律及牛顿力学的 三定律. 概率论描述的范例是布朗运动. 随着科学的发展, 人们发现这两种描述在认识论上存 在极为深刻的差异. 混沌现象的发现, 混沌学的建立, 有力地帮助人们理解这种差异的原委. 有些确定论的系 统, 不加任何随机因素的干扰就可以出现与布朗运动类似的行为, 这就是混沌现象. 混沌现象 主要是非线性系统的长时间演化的行为. 非线性数学是从数学角度去描述非线性系统, 然后研 究它在演化过程中出现的各种性态, 尤其是各种共性. 这就是混沌学的任务.
n→∞
则称 f 是混沌的.
周作领依据这个定义证明了有正的拓扑熵的系统以及存在位移自同构或横截同宿点或斯
梅尔马蹄的系统都是混沌的.
从这些定义中可以发现: 混沌系统( 存在混沌的系统) 是由确定性的方程描述的, 不含随
机项; 系统具有拓扑传递性.
2 关于混沌的思想渊源
“混沌”, 正如郝柏林院士指出的那样, 渊源悠久. 在中国的历史文献中“混沌”多处出现. “混沌”又作“浑沌”, 有圆浑、质朴、敦厚、醇粹、温纯、混浊、无分、元始等含义. 《庄子》中说到的 “浑沌”作中央之帝, 很可能是他设想的宇宙生成的一个阶段; 当然, 也有可能是他主观精神的 状态. 《易纬·乾凿度》中说, “太易者, 未见气也. ……气似质具而未相离, 谓之混沌. ”昆伦山在
第 31 卷第 4 期
华中师范大学 学报( 自然科学版)
V ol. 31 N o. 4
1997 年 12 月 JOU RN A L O F CEN T R A L CHIN A N ORM AL U NIV ER SI T Y ( N a 现 状*
49 4
华中师范大学学报( 自然科学版)
第 31 卷
《山海经》中是神仙, 名字也叫“混沌”. 周人称颂祖考, 也喜欢用“混沌”. 庄子以混沌说大道的地 方更多. 老子的“道”亦有混沌之意. 道家认为, “道”即自然, 自然的存在和演化方式就是混沌. 《西游记》一开头便诗曰: “混沌未分天地乱, 茫茫渺渺无人见”. 还可以在古籍中找出更多的 叙说.
( 2)
是连续的, 其中 K为单参数. 映射 F 称为是混沌的, 若
( i) 存在一切周期的周期点;
( ii) 存在不可数的非周期点集 S , S < I 且
lim infûF n( x , K) - Fn( y , K) û = 0, x , y ∈ S , x ≠ y ;
n→∞
lim supûFn( x , K) - Fn( y , K) û> 0, x , y ∈ S, x ≠ y ;
1 关于混沌的定义
什么是混沌? 自然科学界、哲学社会科学界等都有具自己学科色彩的解释. 如: 混沌是非周 期的有序性; 混沌是蕴含着有序的无序运动状态, 是有序和无序的对立统一, 是从有序中产生 的无序状态. 又如: 混沌是一个简单的决定论系统表现出来的一种随机反复的性态; 混沌是不 规整的不可预测的, 来自决定论的非线性动力学系统的性态. 再如: 混沌是决定论系统有限相 空间中高度不稳定的一种运动.
邓 宗琦
( 华中师范 大学, 武汉 430079)
摘 要 对混沌学 20 年来 的发展状况进行回顾和评述. 共分 6 个部分: 1. 关于混沌的 定义; 2. 关
于混沌 的思想渊 源; 3. 关 于混沌的基 本特征; 4. 关于混 沌系统的控 制; 5. 关 于混沌学 的传播; 6. 关 于混沌学的展望.
n→∞
lim supûFn( x , K) - Fn( p , K) û > 0, x ∈ S , p 为周期点
n→∞
成立, 这里 Fn 是 F 的第 n 次迭代.
这个定义一般只适用于一维的情形.
1986 年 Devaney[ 6] 给出了较一般的定义:
定义 2 设 V 为一个集合, 映射 f : V → V 称为在 V 上是混沌的, 若下列条件成立:
关键词 混沌学; 历史; 现状; 展望 中图分类号 N 09; N 13
我国著名的混沌学家、中国科学院院士郝柏林指出: “混沌, 这个在中外文化渊源悠久的词 儿, 正在成为具有严格定义的科学概念, 成为一门新科学的名字, 它正在促使整个现代知识体 系成为新科学. ”他还指出: “越来越多的人认识到, 这是相对论和量子力学问世以来, 对人类整 个知识体系的又一次巨大冲击. 这也许是 20 世纪后半叶数理科学所做的意义最为深远的贡 献. ”[ 1]