3.4一阶隐式方程与解的积分表示

dy dy x 2 = 0. y= −x + dx 2 dx
2
解令
x y = p − xp + = 0. 2 两边对x求导 求导， 两边对 求导，得到
2
dy p= dx
，得到
2
（3.4.13）
dp dp p = 2p −x − p + x = 0. dx dx
6
或
dp − 1 ( 2 p − x ) = 0 dx
' '
(
)
(
)
3.4.1 可以解出 或x的方程 可以解出y或 的方程 （1）首先讨论形如 ）
dy 的方程的解法。 的方程的解法。这里假设函数 f x, dx
dy y = f x, dx
（3.4.2） ）
有连续的偏导数。 有连续的偏导数。
2
做变换
dy p= dx
dp dy
解出， 解出，于是可以按本章
前三节的方法求解。 前三节的方法求解。设求得的通解为 （3.4.17） 因此得方程（ 因此得方程（3.4.14）的通解为 ） x = f ( y, p ) , （3.4.18） Φ ( y, p, c ) = 0.
9
Φ ( y , p, c ) = 0
y ，但其表达式的形式非常复杂，则需 但其表达式的形式非常复杂，
要采用引进参数的方法将方程变成导数 可以解出的类型。 可以解出的类型。
1
'
本节介绍的方程包括以下几种类型 ' ' (1) y = f x, y , ( 2 ) x = f y, y ,
( 3) F ( x, y ) = 0, ( 4 ) F ( y, y ) = 0.
x = f ( y, p)
两端对y求导， 两端对 求导，并以 求导
1 ∂f ∂f dp = + p ∂y ∂p dy
dx 1 = dy p
（3.4.15） 代入， 代入，得到 （3.4.16）
8
方程（ 的一阶方程， 方程（3.4.16）是关于 和p的一阶方程， ）是关于y和 的一阶方程 并且已经就
F ( y, y ' ) = 0
F ( y, p ) = 0
dy p= y = dx
'
（3.4.24） ，则方程变成
（3.4.25） 从几何上看，方程（ 从几何上看，方程（3.4.25）代表 平面 ）代表yop平面 上的一条曲线， 上的一条曲线，可以把这条曲线表示为适 当的参数形式
y = ϕ (t ) , p =ψ (t )
'
（3.4.21） 从几何上看，方程（ 从几何上看，方程（3.4.21）代表 ）代表xop平面 平面 上的一条曲线， 上的一条曲线，可以把这条曲线表示为适 当的参数形式
F ( x, p ) = 0
பைடு நூலகம்
x = ϕ (t ) ,
p =ψ (t )
（3.4.22）
12
这里t是参数。 这里 是参数。另一方面注意到沿方程 是参数 （3.4.20）的任何一条积分曲线，恒有关系 ）的任何一条积分曲线， dy = pdx 以（3.4.22）代入到上式得 ） ' dy = ψ ( t ) ϕ ( t ) dt 两边积分， 两边积分，得到 ' y = ∫ψ ( t ) ϕ ( t ) dt + c 于是得到方程参数形式的通解 x = ϕ (t ) , （3.4.23） y = ∫ψ ( t ) ϕ ' ( t ) dt + c, 其中c为任意常数。 其中 为任意常数。 为任意常数
3
则方程（ 则方程（3.4.2）变成 ） y = f ( x, p )
例3.4.1求解方程 求解方程
dy dy + 2 x − y = 0. dx dx
3
解出y, 解 解出 并令
dy p= dx
3
，得到 （3.4.12）
y = p + 2 xp
两边对x求导，得到 两边对 求导， 求导
3 4 dp + d ( p 2 x ) = 0 4
积分之， 积分之，有
因此方程参数形式的通解为
c 3 2 x= 2 − p , p 4
2c 1 3 − p. y= p 2
( p ≠ 0)
5
当p=0时，由（3.4.12）直接推知 时 ）直接推知y=0也是 也是 方程的解。 方程的解。 例3.4.2 求解微分方程
（3.4.27）
其中c为任意常数。 其中 为任意常数。 为任意常数
16
例3.4.5 求解微分方程
2 '
y 解 令 2 − y = yt 与原方程联立消去 1 2 2 2 后，有 y ( yt − 1) = y t , 由此得 y = + t
'
y (1 − y ) = ( 2 − y
' 2
)
.
'
并且 y = 1 − t 形式。 形式。因此有
例3.4.3 求解微分方程
y − 4 xyy + 8 y = 0
'3 ' 2
先将x解出 解出， 解 先将 解出，得 得
p2 2 y x= + 4y p
y '2 2 y x= + ' 4y y
再令 y = p
'
（3.4.19）
两边对y求导，并整理得 两边对 求导， 求导
p 3 − 4 y 2 dy p − = 0, 2 2 yp dp 2 y 1
2
也是原方程的解。 也是原方程的解。
18
（3.4.26）
15
这里t是参数。 这里 是参数。由关系 是参数
dy = pdx
得 ϕ ( t ) dt = ψ ( t ) dx 即
'
得到
ϕ ' (t ) x=∫ dt + c ψ (t )
ϕ ' (t ) dx = dt ψ (t )
两边积分， 两边积分
于是得到方程参数形式的通解
ϕ ' (t ) x=∫ dt + c, y = ϕ ( t ) . ψ (t )
令 ），得到方程的一个解 （3.4.19），得到方程的一个解 ），
p 3 − 4 y 2 =0，得 p = ( 4 y 2 ) 3 ，代入到 ，
10
再取
dy p − =0 dp 2 y
4 3 y= x 1 27 解得 p = cy 2 . 代入到
1 2
），得到方程的通解 （3.4.19），得到方程的通解 ），
3.4 一阶隐式方程与解的积分表示 一阶隐式微分方程形式是 (3.4.1) F(x, y, y′) = 0. ' 如果能从（ 如果能从（3.4.1）中解出 y ，表达式就是 ） ' y = f ( x, y ) ，则可以根据 f ( x, y ) 的具体形 采用本章上面几节介绍的方法求解。 式，采用本章上面几节介绍的方法求解。 ' 但如果难于从方程中解出 y ，或即使解出
.从
p = x+c
2
dp −1 dx
=0得到 得到
将它代入到（ ），得到方程的通解 将它代入到（3.4.13），得到方程的通解 ）， 又从 2 p − x =0 解得 p = 2 以此代入到（ ），得到方程另一个解 以此代入到（3.4.13），得到方程另一个解 ），
x 2 y = + cx + c 2 x
2
dp dp + 2x + 2p p = 3p dx dx 两边乘以p，得 两边乘以 ，
3 p dp + 2 xpdp + p dx = 0
3 2
4
此式可以写成
3 4 2 c − p 4 3 将它代入到（ ），得 将它代入到（3.4.12），得 y = p + ）， p
3 4 p + p2 x = c 4 解出x, 解出 得到 3 4 c− p 4 x= p2
'
2
这是原微分方程的参数
t
积分之得到
dy 1 dx = ' = − 2 dt y t
1 x = +c t
17
于是求得方程参数形式的通解为 1 1 x = + c, y = + t . t t 消去t, 消去 得 1 y = x+ −c x−c ' 另外， 另外，当 y = 0 时原方程变成
y = 4, 于是y = ±2
y=∫
(1 + t )
3 3
dt
(1 + t )
3 3
3 1 + 4t 3 dt = +c 2 2 (1 + t 3 )
因此方程的参数形式的通解为
3t x= , 3 1+ t 3 1 + 4t 3 y= + c. 2 2 (1 + t 3 )
14
（4）不显含 的、形如 ）不显含x的 的方程的求解。 的方程的求解。记
13
例3.4.4 求解微分方程
x + y − 3 xy = 0.
3 '3 '
解令
3t dy y = = p = tx,则由方程得 x = 3 dx 1+ t
'
3t 从而 p = 1 + t 3
2
于是 dy = txdx =
9 (1 − 2t 3 ) t 2
9 (1 − 2t 3 ) t 2
积分之，得 积分之，
（3.4.3） ）
（3.4.4） ） dy 将方程（ 求导， 将方程（3.4.4）两边对 求导，并以 p = dx ）两边对x求导 代入， 代入，即得 ∂f ∂f dp p= + （3.4.5） ） ∂x ∂p dx 方程（ 的一阶方程， 方程（3.4.5）是关于 和p的一阶方程，但 ）是关于x和 的一阶方程 是已经就导数解出，可以按本章第1至 节 是已经就导数解出，可以按本章第 至3节 介绍的方法求解。 介绍的方法求解。