组合数学 课程论文
组合数学期中论文
常系数递归数列的简单推广及其应用摘 要：本文利用k 阶级线性差分方程及常系数非齐次微分方程特解的设解规律对k 阶常系数线性递归数列进行简单推广到了k 阶常系数非齐次线性递归数列，并进行了多类型的设解及其应用总结，又引进矩阵理论增加了k 阶线性递归数列通项公式的求法，拓宽其应用范围。
关键词：递归数列；差分方程；设解；矩阵本学期，在吴克俭老师的指导下我们进行了组合数学课程的学习探究，主要的内容包括了排列与组合，二项式系数，调和数Fibonacci 数和Catalan 数，第二类Stirling 数和Bell 数，第一类Stirling 数，正整数的分拆，Bernoulli 数与Euler 数，递归数列，形式幂级数等知识内容，而在本文当中，我选取了吴老师课堂上没有深入探讨的关于递归数列的部分知识内容进行了简单的推广与应用，即有对常系数递归数列进行简单的推广及其应用。
第一部分：递归数列的知识回顾：1、递归关系2、齐次常系数线性递归关系：1）k 阶常系数齐次线性递归关系 2）k 阶齐次线性递归关系3、其他递归关系：1）非齐次常系数线性递归关系 2）卷积型递归关系3）双下标递归关系第二部分：推广与应用一、对于常系数齐次线性递归关系的简单推广，即k 阶常系数非齐次线性递归关系。
为了方便，我们可以设k 阶常系数非齐次线性递归数列的一般形式为)0(),(0110≠=+++-++p n f a p a p a p n k k n k n （1）其中)(n f ，(n=O ，1，2，...)是一给定的数列，k p p p ,,,10 是给定的常数。
显然，我们可以得到与(1)所对应的k 阶常系数齐次线性递归数列是)0(,00110≠=+++-++p a p a p a p n k k n k n （2） 由吴老师课堂笔记中 3、其他递归数列关系1）非齐次常系数线性递归关系的部分内容可以了解到，(1)的通解等于(2)的通解加上(1)的一个特解。
组合数学论文
组合数学浅谈组合数学是一门既古老又年轻的数学分支。
我国古人在《河图》《洛书》中便已经对一些有趣的组合问题给出了正确的解答。
中国最早的组合数学理论可追溯到宋朝时期的”贾宪三角”, 后来被杨辉引用, 所以普遍称之为“杨辉三角”, 这在西方是1654年由帕斯卡提出，但比中国晚了400多年。
近代，由于计算机的出现，组合数学这门学科得以迅猛发展，成为了一个重要的数学分支。
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题—穿过Königsberg城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。
Euler1736年证明了不可能存在这样的路线。
组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。
如果说微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础，那么组合数学的发展则是奠定了21世纪计算机革命的基础。
组合数学问题在生活中非常常见。
例如，求n个球队参加比赛，每队只和其他队比赛一次的总比赛场数。
例如，在纸上画一个网络，用铅笔沿着网络的线路揍，在笔不离开纸面而且不重复线路的条件下，一笔画出网络图。
又例如这样一个简单的组合数学问题：一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。
而当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的一个，问人怎样才能把三者都运过河。
我国著名数学家吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。
组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。
现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。
计算机程序是计算机的大脑思维，而程序的本质就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。
组合数学的产生恰好满足了编写计算机程序的需求。
论文 排列与组合
排列组合定义及数学思想应用举例石家庄市第十八中学 王永欣加法原理与乘法原理作为“排列与组合”单元中的基本原理，不仅起着理论上的奠基的作用，而且作为一种解题方法，它还贯穿于整节内容的始终。
因此，它理应成为我们重点把握的教学内容。
除了认真完成课本上的例子和练习外，还应弄清除有关“可重复”与“不允许重复”以及“步中有类”“类中有步”这些交叉型的问题。
例如 ：例1：(1)用0～9这十个数字组数，问一共可以组成多少个不同的含有七个数字的彩票号码?(提示:彩票号码中首位数字可以是0，且其中数字可以重复) (2)一个小学生用十块分别写有0～9这十个数之一的硬纸片拼组数，问一共可以组成多少个不同的七位数?分析：显然(1)属于排列与组合结合的问题。
解法1：按组号顺序分步，先从这10个数字中任选7个组合起来有710C 种，再把每一种全排列有77A 个，按分步计数原理共有771010.C A 个。
解法2：直接由排列定义得：77A 个(2)特殊位置优先分步.先选最高位有19A 个,再选其它六位有69A 个, 按分步计数原理共有1699.A A 个. 例2：连续射击n 次，把每次命中与否按顺序记录下来，问可能出现多少种不同的结局?解法1：按射击的次数分n 个步骤，每射击一次，无非就是“中”与“不中”两种可 能，因而由乘法原理知共有2n 种不同的结局。
解法2：按命中的可能结果分为n+1类，即命中0次，1次，2次，…，n 次，显然分别有C n 0，C n 1，C n 2，…，C n n 种可能结果，因而根据加法原理知共有C n 0+C n 1+C n 2+ …+C n n 种不同的结局。
（解法2只有在学习了组合知识以后才会用)例3：今有壹圆币一张，贰圆币一张，伍圆币一张，拾圆币两张，伍拾圆币两张，用这些人民币可以组成多少种不同数额的款子?解法1：分五个步骤：(1)取“壹圆”币，有两种方法，即“取一张”或“不取”(2)取“两圆”币，同样有两种方法(3)取“伍圆”币，同样有两种方法(4)取“拾圆”币，有三种方法，即“取一张”、 “取两张”或“不取”(5)取“伍拾圆”币，同样有三种方法故由乘法原理知共有 2×2×2×3×3种取法.而由“壹圆”“贰圆”“伍圆”“ 拾圆”“伍拾圆”这些币值的特殊性，可知每一种“取法”对应着一款“数额”，且不同的“取法”对应着不同的“数额”，再注意到若都是“不取”，则“数额”为0,这不符合题意，故所求答案应为 2×2×2×3×3－1=71(种)。
组合数学在数学竞赛中的应用毕业论文
目录1.引言 (1)2组合数学与数学竞赛简介. (1)2.1组合数学 (1)2.2数学竞赛 (1)3 组合数学的几种方法在数学竞赛中的应用 (2)3.1抽屉原理 (2)3.2容斥原理 (2)3.3排列组合 (8)4.探索高中数学竞赛中的组合问题 (10)4.1熟练掌握四个基本的技术原理 (10)4.2学习组合数学的几点建议 (10)4.3培养学生的组合性思维和组合思想 (11)4.4常见排列组合的解题策略 (11)参考文献 (12)致谢 (12)组合数学在数学竞赛中的应用Combinatorial Mathematics in Applied Mathematics(0521110329 Class 2 Grade 2005 Mathematics & Applied Mathematics School of Mathematics & Information) Abstract: Mathematical competitions in high school and junior high school are very popular in which the portfolio problem accounts for a large proportion. As for this issue, the writer combines with the portfolio mathematics and competitive mathematics in university, and adopts the drawer principle, exclusion principle and permutation and combination methods to make the research and discussion.Importantly, the writer carries new research on the problems of combination in mathematical competition.Key words: order; combination; drawer principle; Exc lusion principle1. 引言组合数学是可以追溯到公元前2200既古老而又年轻的数学分支, 它的源泉可以追溯到公元前2200年的大禹时期，中外历史上许多著名的数字游戏是它古典部分的主要内容. 公元1666年，德国著名数学家莱布尼茨为它请名为“组合学”(Combinatorics),并预言了这一数学分支的诞生. 随着科学技术的发展，组合数学这门历史悠久的学科得到了迅速发展．数学活动离不开解题，掌握数学的一个重要标志就是善于解题．现在专门以中学生为对象的数学竞赛成为时代的时尚，本论文希望结合组合数学和数学竞赛有关理论知识，针对在数学竞赛中占很大比例的组合问题，利用大学组合数学理论给出解释，并结合初等数学向学生渗透和合理讲解．在此过程中，提出自己直接的见解和总结．2.组合数学与数学竞赛简介2.1 组合数学组合数学历史悠久，几千年前，我国的《河图》、《洛书》就已涉及一些简单有趣的组合问题．组合问题在日常生活中也随处可见．例如，在玩扑克牌游戏中计算“同花顺”的概率、一笔画和幻方等都是组合数学问题．组合数学自20世纪60年代急速发展的部分原因在于计算机在我们的生活中所发挥的重要影响，而且这种影响还在继续发挥．由于远算速度的持续增加，计算机已经能够解决大型问题，这在以前是不可能做到的．近年来，由于计算机科学、编码理论、规划论、数字通讯、试验设计、社会科学、生物科学等学科的迅猛发展，大大促进了组合数学的研究，使这一古老的数学分支成为了一门充满活力的数学学科．组合数学可以一般地描述为：组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门学科．现代的组合数学几乎是与图论不可分割的．图论是数学的一个分支，它以图为研究对象，研究顶点和边组成的图形的数学理论和方法．有关图论的第一篇文章是由著名瑞士学家欧拉写于1736年，他探讨的是著名的哥尼斯堡七桥问题，图论在智力难题和游戏方面有着历史根源，而今天它为许多学科的研究提供了一种非常重要的语言和框架．2.2 数学竞赛围绕着数学竞赛而开展的各种活动已经搭起了一个数学教育新分支的框架，其特点是以开发智力为根本目的、以问题解决为基本形式、以竞赛数学为主要内容．最本质的是对中学生进行“竞赛数学”的教育，这种教育的性质是：较高层次的基础教育、开发智力的素质教育、生动活泼的业余教育、现代教学的普及教育．竞赛数学是一中“中间数学”，介乎于中小学与大学数学之间；竞赛数学是一种“前沿数学”，追求内容的新颖性，不断推陈出新，时刻涌现出新问题新方法和新结果；竞赛数学是一种“艺术数学”，它把现代化的内容与趣味性的问题有机结合，把普遍性的问题与独创性的技巧有机结合，展示出数学美的魅力；竞赛数学是一种“教育数学”，它称为教育数学中最接近研究数学的“先头部队”，利用自己所处的地位，大量地、方便地吸收着前沿成果初等化，也把古典问题高等化．3. 组合数学的几种方法在数学竞赛中的应用3.1 抽屉原理抽屉原理又称鸽巢原理或重叠原理，是组合数学的两大基本原理之一，是一个极其初等而又应用较广的数学原理．抽屉原理要解决的是存在性问题，即在具体的组合问题中，要解决某些特定问题求解的方案数，其前提就是要知道这些方案的存在性．定理3.1.1（基本形式）将1n +个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品数不少于两个．证 反证之． 将抽屉编号为：1,2,...n ，设第i 个抽屉放有i q 个物品，则12...1n q q q n +++=+ 但若定理结论不成立，即1i q ≤，亦有12...n q q q n +++≤，从而有 121...n n q q q n +=+++≤矛盾．定理3.1.2（推广形式）将12...1n q q q n +++-+个物品放入n 个抽屉，则下列事件至少有一个成立：即第i 个抽屉的物品数不少于i q 个，1,2,...i n =．证 反证．不然，设第i 个抽屉的物品数小于(1,2,...)i q i n =（即该抽屉最多有1i q -个物品），则有 11n i i q n =-+=∑物品总数111n ni i i i q q n ==≤-=-∑∑ 与假设矛盾．根据定理的结果，不难得出下述结论．推论3.1.1将(1)1n r -+个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品个数不少于 r个．推论3.1.2将m 个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品个数不少于11m m n n -⎢⎥⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥个．其中x ⎢⎥⎣⎦表示取正数x 的整数部分，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于 x 的最小整数． 推论3.1.3若n 个正整数(1,2,...,)i q i n =满足12...1n q q q r +++>-则至少有一个i q ，满足i q r ≥．利用抽屉原理可以得到下面两个性质：性质 1 任意三个整数中，必有两个整数的和是2的倍数．性质 2 任意五个整数中，必有三个整数的和是3的倍数．例1 任意15个整数中，必有8个整数的和是8的倍数．证 15个整数是任意的，所以我们用1231415,,....,a a a a a 这15个字母来表示，有性质1，123,,a a a 中122a a a +=（a 为整数），同理可得，456,,a a a 中有452a a b +=（b 为整数），789,,a a a 中782a a c +=（c 为整数），101112,,a a a 中10112a a d +=（d 为整数）。
组合几何论文
摘要组合几何是组合数学的一个分支，主要研究的三个方面之一即是离散对象间的某种组态的存在性，如果要说明一个图形不存在的理由，一般要用到反证法；如果要说明一个图形存在，一般要用到从极端考虑，局部调整，有序化等数学思想，有时还需要用构造法将这样的图形构造出来；当满足某些条件的几何图形存在时，需要研究此类几何图形的个数，或者此类几何图形的性质，如距离最小，面积最大，或可以进行怎样的拆分与拼补。
本文基于三角形在平面几何中的重要地位，讨论分析了三角形的相似分解与全等分解的一些基本情况，系统的将能进行满足条件分解的三角形所具备的特征作以概括，本课题的研究不仅对组合几何中的面积覆盖问题会有一个更形象化的理解，同时也为组合几何中其他图形的分解奠定了一定的基础。
关键字：三角形，相似，全等引言：给定若干具有某种性质的小图形，我们总能把他们拼成形形色色的图形，我国古代数学家很早就用这一方法证明了勾股定理，相反，给定一个具有某种特性的图形，也可以分解成若干个具有某种特性的小图形。
平面几何学中最常见也是最基本的图形即为三角形，本文将讨论分析三角形的相似分解和全等分解的一些基本情况。
一：相似分解1：如下图（1）将∆ABC的每一边k等分(k>1,k是正整数)并且过每一分点分别做其他两边的平行线，那么可以得2k个全等三角形（因而也是相似三角形）。
B CB C（1）（2）2：如上图（2）中，DE与BC之间有2k-()21-k=2k-1个相似三角形，因此在图（2）中2个相似三角形。
3: 在图（2）的基础上连接∆ADE的三条中纬线，∆ADE分为4个相似的三角形，从而∆ABC被分解成22k+3个相似三角形。
根据以上分析可知：任意三角形均可以分解成n个相似三角形（即n个，n ≠2，3，5）。
下面分别对n=2,3,5分类进行分析，1：n=2时（即一个三角形被分解成2个相似的三角形）。
设∆ABC被分解为2个相似三角形，此时必有一个角被分成2个角，不妨设∠BAC被AD分开，D在BC边上，由下图（3）可知：∠BDA大于∠DAC和∠DCA，而∆BA D与∆CAD相似，所以一定有∠BDA=∠CDA=︒90，（1）如果∠BAD=∠CAD，则∆ABC为等腰三角形，如图（4）（2）如果∠BAD=∠ACD，则∆ABC为直角三角形，如图（5）BD DB C CDB（3）（4）（5）综上得：只有等腰三角形或直角三角形可以分解成两个相似的三角形。
组合数学论文1800字_组合数学毕业论文范文模板
组合数学论文1800字_组合数学毕业论文范文模板组合数学论文1800字(一)：浅论生成函数在组合数学中的应用【摘要】发生函数是组合数学中许多问题的首要解决方法，他可以将很多数学问题转化为生成函数问题，从而简单明了提供解题思路与方法，使得复杂困难的问题迎刃而解。
本文主要研究生成函数在组合计数、整数拆分、递推问题和恒等式证明等问题中的应用，从而体现生成函数在组合数学中的作用。
【关键词】组合函数；数学；应用引言所谓生成函数也就是母函数，又被称为发生函数，它是链接离散函数和连续函数的结合点，是组合数学中许多问题的首要解决方法。
可以将很多数学问题转化为生成函数问题，从而简单明了的为数学中的许多问题提供解题思路与方法，使得复杂困难的问题迎刃而解。
1.生成函数在组合计数中的应用生成函数作为在组合计数学习中极其重要的一个工具，在处理某些相关问题时运用生成函数，往往会使问题简单明了。
例1.现有1分2分5分邮票，邮票可重复使用，则能贴出那些面值的邮票？每种面值有多少种贴法？解：a把表示为用1分2分5分邮票贴出面值为n的有票的不同贴法，则我们可以得到一个数列{a}的生成函数f（x）=∑n≥0anxn=（1+x+x2+x3+…）（1+x2+x4+…）（1+x5+x10+…）=1+x+2x2+2x3+3x4+4x5+…根据生成函数展开式可知x表示贴出面值为1分的方案有1种：1分2x表示贴出面值为2分的方案有2种：1分+1分，2分2x表示贴出面值为3分的方案有2种：1分+1分+1分，2分+1分3x表示贴出面值为4分的方案有3种：1分+1分+1分+1分，2分+1分+1分，2分+2分……由生成函数就可以看出，可以贴出那些面值的邮票，贴出n面值的邮票有多少种贴法。
通过上述例子我们可以看出，在现实学习生活中，很多问题看似复杂，处理起来毫无头绪，但只要我们合理的运用生成函数处理为，很多难题复杂题迎刃而解，且过程简单明了，容易掌握。
2.生成函数在整数拆分中的应用在很多数学实际问题中，往往会整数拆分与组合数学联系在一起，既将组合数学中的很多实际问题看做整数拆分问题。
数学与应用数学-排列组合及其应用探究论文
排列组合及其应用探究摘要排列组合在很多领域都有着广泛的应用,它是组合学最基本的概念，也是高考必考内容之一，在中学阶段的学习中，它在解题中大大简化了计算的过程。
但这一知识点与其他章节的联系不大，一道题目往往有多个解法，学生在学习这方面内容时会比较困难。
本文以高考和数学联赛真题为例，通过例题对排列组合在数学学科以及实际生活中的一些应用进行分析解答，帮助学生形成严密的数学思维，培养学生联系实际解决问题的能力，最后结合课程标准的要求，对教师的教学提出一些建议。
关键词排列组合应用中学数学Reserch on permutation and combination and its applicationAbstract Permutation and combination are widely used in many fields. It is the most basic concept of combinatorics, and it is also one of the content of the college entrance examination. In the middle school stage of learning, it greatly simplifies the calculation process in solving problems. However, this knowledge is not related to other chapters. There are many solutions to a problem, so it is difficult for students to learn this aspect. This paper takes the real problems of college entrance examination and mathematics league as examples to analyze and solve some applications of permutation and combination in mathematics subjects and real life, so as to help students form a rigorous mathematical thinking, cultivate students' ability to solve problems in connection with the actual situation, and finally put forward some suggestions for teachers' teaching combined with the requirements of curriculum standards.Key words Permutation Combination Application Middle School Mathematics引言 (1)1研究概述 (1)1.1研究背景 (1)1.2研究现状 (1)1.3研究意义 (2)1.4研究内容和方法 (3)2理论基础 (3)2.1普通高中数学课程标准中“排列组合”的要求 (3)2.2“排列组合”部分的高考解读 (3)2.3排列组合基本概念 (4)2.3.1排列组合定义与公式 (4)2.3.2两个计数原理 (4)2.3.3解题技巧 (5)3排列组合的应用 (5)3.1排列组合在数学中的应用 (5)3.1.1排列组合在数字问题中的应用 (5)3.1.2排列组合在函数问题中的应用 (6)3.1.3排列组合在概率问题中的应用 (6)3.1.4排列组合在几何问题中的应用 (8)3.2排列组合在实际问题中的应用 (9)结论 (11)参考文献 (13)致谢........................................................................................................................... 错误!未定义书签。
组合数学论文
生活中的组合数学摘要:组合数学在基础理论方面和生活应用方面都发挥着越来越重要的作用,组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。
如果说微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础，那么组合数学的发展则是奠定了21世纪计算机革命的基础。
因此随着计算机科学和其它许多新兴应用学科的发展,组合数学在基础理论方面和生活应用方面都发挥着越来越重要的作用,进而需要我们对其进行更加深层次的研究.关键词:组合数学;鸽巢原理;数学游戏引言随着计算机的普及推广,组合数学这门古老的学科焕发出蓬勃的生机.组合数学是一门研究内容丰富、应用广泛的学科,同时它也是一门讲究方法,讲究技巧的学科.组合数学的魅力在于找到巧妙的解法来完善的解决一个组合数学问题,计算机强大的计算能力为寻求组合数学问题的巧妙解法提供了无限的可能,同时组合数学也反过来有效地推动了计算机科学的发展.组合数学在国外已有较快发展,在很多大学已设立组合数学与优化理论专业来培养专门人才.我国对组合数学的研究具有一定的基础,特别是图论研究和区组设计等方面已取得一定的成果.组合数学的发展显然已经改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面,奠定了本世纪的计算机革命的基础.因此需要对其进行更加深入的理论探讨和实践.本文正是基于这种思想,希望借以简单的阐述引起人们对组合数学的更深层次的理解,并能够将其灵活应用于生活中.所以我想通过一些实例和数学史上的一些故事和难题,介绍了组合数学是如何在生活中应用的.在研究了一些典型的例子和趣味性的故事的基础上,系统的查阅了相关文献，并结合生活中涉及组合数学的相关知识进行阐述,具体说明了组合数学的基本方法及其在生活中的应用.这样就使得晦涩的组合数学显得更加形象,也使抽象的理论概念变得浅显具体,更易被初学者理解和接受,以至于可以激发人们在生活中应用组合数学的意识.1.组合数学的基本内容1.1概念伴随着计算机科学的高速发展,近年来,组合数学已渐渐成为一门新兴起来的边缘性、综合性学科.关于组合数学到底是什么,数学界有许多种的看法.Richard A.Brualdi在其所著的《Introductory Combinatorics》一书中提到组合数学研究的是事物按照一定的规则安排,其中包括:对已知安排问题的研究，计数性问题,存在性问题.在《Basic Techniques of Combinatorial Theory》中有如此描述: 组合数学即为对已给定描述事物的研究有多少种或者是对某事物发生的途径有多少种.综上所述,组合数学主要研究的就是事物安排中所涉及的有关数学问题[]1.组合数学是研究任意一组离散性事物按照一定规则安排或配置的数学.特别是当指定的规则较简单时,计算一切可能的安排或配置的方法数,就成为它研究的主要问题.现代组合数学有两个主要特点:其一,它大量应用了抽象代数学工具和矩阵工具促使问题的提法和处理方法表现出极大的普遍性;其二,为了适应计算机科学的发展,它很注重对方法的能行性和程序化问题进行研究.这样,它又派生出算法组合学和组合算法等新的亚分支学科.1.2主要内容组合数学最早是同数论和概率论交叉在一起的.本世纪五十年代以来,特别是由于计算机科学的巨大发展,促使组合数学成为一支富有生命力的新兴数学分支.与传统的数学课程相比,组合数学研究的主要是一些离散事物之间所存在的某些数学关系,包括计数性问题、存在性问题、最优化问题以及构造性问题等,其内容主要是枚举和计数.组合学中研究最多的主要是计数问题,该问题通常出现在所有的数学分支之中.计算机科学通常需要研究有关算法的内容,就必须估计出算法所需的存储单元和运算量,即分析算法的空间复杂性和时间复杂性[]2.综上,组合数学主要研究:排列组合、递推关系和生成函数、鸽巢原理和容斥原理、贝恩赛特引理与波利亚定理以及区组设计与编码等等.2.组合数学的基本解题方法组合数学是离散数学的一个分支,其内容零散,思想方法繁多,对于长期接受连续性数学学习的我们来说,通常感到很难抓住其要领,无从下手,尤其是对新颖繁多的各种组合方法感到有些茫然.组合数学的方法很多,如加乘法则,抽屉法则,母函数法,逐步淘汰法等等,了解这些方法有助于培养我们学生的组合思维。
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第二类stirling 数S(n ，n-7)的一个公式
数学与应用数学（师范）2班 李霞 200902114078
一、定义与符号
定义1 从n 个不同事物中取出m 个的组合数,记作m n C .
定义2 把含有n 个元素的一个集合分成恰好有k 个非空子集合的分拆数目就叫
做第二类stirling 数,并记作(,)S n k ,对于0n k ==时,定义(0,0)S =0;当(,)0n k S n k <=时,.
对于集合A,我们用|A|表示A 的基数.关于第二类stirling 数的性质与计算方法,我们给出以下几个引理. 引理 []11
1
1
1
2
11(,1)1,(,2)21,(,3)(3
1)2
,
2
,n n n n n S n S n S n S n S n n S n n ---≥==-=
+-当时，（,0)=0,（,-1)=C （,)=1.
引理 []
12
1(,)(1,1)(1,).k n S n k S n k kS n k ≤≤=--+-当时,
为了方便下面定理1的证明，根据引理1和引理2，我们可以算出以下几个第二类stirling 数：
8
99
1(9,2)21255;(10,3)(31)29330;(11,4)145750;
2
S S S =-==
+-==(12,5)1379400.S =
定理 [][][][]
2345A
344,(,2)3n
n
n S n n C C ≥-=+当时4566(,3)1015;n
n
n
S n n C C C ≥-=++;当n 时,
5
6
7
8
8(,4)25105105;
n n n n n S n n C C C C ≥-=+++当时,
6
7
8
9
10
10(,5)564901260945;
n n n n n n S n n C C C C C ≥-=++++当时,
7
8
9
10
11
12
12(,6)119191894501732510395.n n n n n n n S n n C C C C C C ≥-=+++++当时,
二、 主要结果及其证明
定理 1 当14n ≥时，
8
9
10
11
12
13
14
(,7)246682556980190575270270135135.n n n n n n n S n n C C C C C C C -=++++++
证明: 设X 是含有n 个元素的集合, 当14n ≥时, 按照(,7)n n -S 的定义,我们有下面7种不同情况的分拆方法. 情况1
7
1
1287(17)(,1,7)
(2)...18.
n i
i
i
j i n n X A A i n A A i j i j n A A A A -=--=
≤≤-⋂=∅≠≤≤-===== 设,这里满足（1）
且
我们从X 的n 个元素中取出8个元素放在7n A -中的方法共有8n C 种, 因此, 在情况1中,我们有8n C 种分拆方法. 情况2
7
1
1298787(17)(,1,7)
(2)...12,2,9.
n i
i
i
j i n n n n n X B B i n B B i j i j n B B B B B B B -=-----=
≤≤-⋂=∅≠≤≤-====≥≥⋃= 设,这里满足（1）
且并且
我们从X 中取出9个元素的方法有9n C 种, 而9个元素分成两个非空集合的分拆数为(9,2)S .若将9个元素分成两部分, 一部分有1个元素而另一部分有8个元素, 共有19C 种方法, 因此, 将9个元素分成两部分, 使每部分至少有2个
元素的方法共有1918
9
(9,2)(21)9210246S C --=--=-=种.因此在情况2中,我们共有2469n C 种分拆方法. 情况3
7
1
1210987987(17)(,1,7)
(2)...12,2,2,10.
n i
i
i
j i n n n n n n n X C C i n C C i j i j n C C C C C C C C C -=-------=
≤≤-⋂=∅≠≤≤-====≥≥≥⋃⋃= 设,这里满足（1）
且并且 我们从X 中取出10个元素的方法有10
n C 种,将10个元素分成3个非空子集
987,,n n n C C C ---的方法共有(10,3)S 种.而其中有一个子集含一个元素,而另外两
个子集至少含有2个的元素的分拆方法有1
10
2462460C ⨯=种;其中有两个子集各含有1个元素,即有一个子集含有8个元素的方法有28
10
1045C C ==种.所以把10
个元素分为3个非空子集且每个子集至少包含2个元素的方法共有
(10,3)(246045)933025056825S -+=-=种.因此,在情况
3中,我们有10
6825n C 种
分拆的方法.
情况4
7
1
12111098710987(17)(,1,7)
(2)...12,22,2,11.
n i
i
i
j i n n n n n n n n n X D D i n D D i j i j n D D D D D D D D D D D -=---------=
≤≤-⋂=∅≠≤≤-====≥≥≥≥⋃⋃⋃= 设,这里满足（1）
且，并且
我们从X 中取出11个元素的方法有11
n C 种, 将11个元素分成4个非空子集
10n D -,9n D -,8n D -,7n D -的方法共有(11,4)S 种. 若有一个子集中含1个元素,
而另外三个子集中至少含有2个元素的分拆方法有1
11
682575075C ⨯=种; 若有两个子集各含有1个元素, 其它两个子集至少含有2个元素的分拆方法有
2
1124613530C ⨯=种; 若有三个子集各含有
1个元素,即有一个子集含有8个元素
的方法有38
11
11165C C ==种. 所以把11个元素分为4个非空子集且每个子集至少包含2个元素的方法共有(11,4)(7507513530165)1457508877056980
S -++=-=种. 因此,在情况4中, 我们有11
56980n C 种分拆的方法.
情况5
7
1
121211109871110987(17)(,1,7)
(2)...12,2,22,2,12.
n i
i
i j i n n n n n n n n n n n X E E
i n E E i j i j n E E E E E E E E E E E E E -=-----------=
≤≤-⋂=∅≠≤≤-====≥≥≥≥≥⋃⋃⋃⋃= 设,这里满足（1）且，并且 我们从X 中取出12个元素方法有12n C 种, 将12个元素分成5个非空子集
1110987,,,,n n n n n E E E E E -----的方法共有(12,5)
S 种. 若有一个子集含一个元素, 而
另外四个子集都至少含有2个元素的分拆方法有1
12
56980683760C ⨯=种; 若有两个子集各含有1个元素, 其它三个子集都至少含有2个元素的分拆方法有
2
126825450450C ⨯=种; 若有三个子集各含有
1个元素, 其它二个子集都至少含
有2个元素的分拆方法有3
12
24654120C ⨯=种; 若有四个子集各含有1个元素,即有一个子集含有8个元素的方法有48
12
12495C C ==种. 所以把12个元素分为5个
非空子集且每个子集都至少包含2个元素的方法共有(12,5)(683760450450
S-+
=-=种. 因此,在情况5中, 我们有++13794001188330190575
54120495)
12
C种分拆的方法.
190575
n
三、参考文献
[1]陈景润.组合数学简介[M].天津:天津科学技术出版社, 1988.
[2]曹汝成.组合数学[M].广州:华南理工大学出版社,2002.
[3]杜春雨.第二类stirling数的一个恒等式[J].江西师范大学学报(自然科学版),
2004(5): 240-241.
[4]吴跃生.第二类stirling数的又一个恒等式[J].华东交通大学学
报,2007(2):146-147.
[5] 吴跃生.第二类stirling数(,6)
n n-
S的一个公式[J].华东交通大学学
2
报,2008(3):97-99.。