组合数学论文
组合数学期中论文
常系数递归数列的简单推广及其应用摘 要：本文利用k 阶级线性差分方程及常系数非齐次微分方程特解的设解规律对k 阶常系数线性递归数列进行简单推广到了k 阶常系数非齐次线性递归数列，并进行了多类型的设解及其应用总结，又引进矩阵理论增加了k 阶线性递归数列通项公式的求法，拓宽其应用范围。
关键词：递归数列；差分方程；设解；矩阵本学期，在吴克俭老师的指导下我们进行了组合数学课程的学习探究，主要的内容包括了排列与组合，二项式系数，调和数Fibonacci 数和Catalan 数，第二类Stirling 数和Bell 数，第一类Stirling 数，正整数的分拆，Bernoulli 数与Euler 数，递归数列，形式幂级数等知识内容，而在本文当中，我选取了吴老师课堂上没有深入探讨的关于递归数列的部分知识内容进行了简单的推广与应用，即有对常系数递归数列进行简单的推广及其应用。
第一部分：递归数列的知识回顾：1、递归关系2、齐次常系数线性递归关系：1）k 阶常系数齐次线性递归关系 2）k 阶齐次线性递归关系3、其他递归关系：1）非齐次常系数线性递归关系 2）卷积型递归关系3）双下标递归关系第二部分：推广与应用一、对于常系数齐次线性递归关系的简单推广，即k 阶常系数非齐次线性递归关系。
为了方便，我们可以设k 阶常系数非齐次线性递归数列的一般形式为)0(),(0110≠=+++-++p n f a p a p a p n k k n k n （1）其中)(n f ，(n=O ，1，2，...)是一给定的数列，k p p p ,,,10 是给定的常数。
显然，我们可以得到与(1)所对应的k 阶常系数齐次线性递归数列是)0(,00110≠=+++-++p a p a p a p n k k n k n （2） 由吴老师课堂笔记中 3、其他递归数列关系1）非齐次常系数线性递归关系的部分内容可以了解到，(1)的通解等于(2)的通解加上(1)的一个特解。
组合数学心得500字(15篇)
组合数学心得500字(15篇)关于组合数学心得，精选6篇范文，字数为500字。
本次课堂教学设计的亮点是：教材编排紧紧围绕“数学源于生活，生活中数学应用于生活”这一主题开展。
教材从数学的现实生活中抽象出具体的数学知识来源，把课内知识与生活实际紧密的联系。
例如，在《圆的周长》一节课，我们通过学生自己搜集资料，动手实践，小组合作等多个活泼的形式让学生自主学习。
在教学《数学广角》和《百分数》一节课时，我们引导学生用数学知识解决生活中的实际问题，体会数学在日常生活中的重要性。
同时引导学生把自己在学校里学到的知识和实践联系在一起，在实践中进一步学习和应用。
组合数学心得(范文)：1本次课堂教学设计的亮点是：教材编排紧紧围绕“数学源于生活，生活中数学应用于生活”这一主题开展。
教材从数学的现实生活中抽象出具体的数学知识来源，把课内知识与生活实际紧密的联系。
例如，在《圆的周长》一节课，我们通过学生自己搜集资料，动手实践，小组合作等多个活泼的形式让学生自主学习。
在教学《数学广角》和《百分数》一节课时，我们引导学生用数学知识解决生活中的实际问题，体会数学在日常生活中的重要性。
同时引导学生把自己在学校里学到的知识和实践联系在一起，在实践中进一步学习和应用。
在本次课堂教学设计中，我们注重学生数学能力的全面提高，在学习新知识的过程中，培养他们的创新精神和实践能力，培养学生的综合素质，发现解决实际问题的能力。
在教学中，我们努力培养学生的创新精神、实践能力，在数学教学中培养学生的创新精神、实践能力。
在教学过程中注意培养学生的数学能力，在数学教学中培养学生的观察、思考、操作、推理能力，学生在教学中积极运用数学知识解决实际问题的能力，为数学教学创设各种条件，帮助学生在实践中发展。
我们在教学过程中，注重培养学生的数学能力。
数学知识来源于生活，应用于生活，又服务于生活。
在教学中我们充分利用现实生活中的数学资源，如：生产工具、实物、数学广角等，让学生感受到学习数学的快乐，激发学生的学习兴趣。
组合数学论文1800字_组合数学毕业论文范文模板
组合数学论文1800字_组合数学毕业论文范文模板组合数学论文1800字(一)：浅论生成函数在组合数学中的应用【摘要】发生函数是组合数学中许多问题的首要解决方法，他可以将很多数学问题转化为生成函数问题，从而简单明了提供解题思路与方法，使得复杂困难的问题迎刃而解。
本文主要研究生成函数在组合计数、整数拆分、递推问题和恒等式证明等问题中的应用，从而体现生成函数在组合数学中的作用。
【关键词】组合函数；数学；应用引言所谓生成函数也就是母函数，又被称为发生函数，它是链接离散函数和连续函数的结合点，是组合数学中许多问题的首要解决方法。
可以将很多数学问题转化为生成函数问题，从而简单明了的为数学中的许多问题提供解题思路与方法，使得复杂困难的问题迎刃而解。
1.生成函数在组合计数中的应用生成函数作为在组合计数学习中极其重要的一个工具，在处理某些相关问题时运用生成函数，往往会使问题简单明了。
例1.现有1分2分5分邮票，邮票可重复使用，则能贴出那些面值的邮票？每种面值有多少种贴法？解：a把表示为用1分2分5分邮票贴出面值为n的有票的不同贴法，则我们可以得到一个数列{a}的生成函数f（x）=∑n≥0anxn=（1+x+x2+x3+…）（1+x2+x4+…）（1+x5+x10+…）=1+x+2x2+2x3+3x4+4x5+…根据生成函数展开式可知x表示贴出面值为1分的方案有1种：1分2x表示贴出面值为2分的方案有2种：1分+1分，2分2x表示贴出面值为3分的方案有2种：1分+1分+1分，2分+1分3x表示贴出面值为4分的方案有3种：1分+1分+1分+1分，2分+1分+1分，2分+2分……由生成函数就可以看出，可以贴出那些面值的邮票，贴出n面值的邮票有多少种贴法。
通过上述例子我们可以看出，在现实学习生活中，很多问题看似复杂，处理起来毫无头绪，但只要我们合理的运用生成函数处理为，很多难题复杂题迎刃而解，且过程简单明了，容易掌握。
2.生成函数在整数拆分中的应用在很多数学实际问题中，往往会整数拆分与组合数学联系在一起，既将组合数学中的很多实际问题看做整数拆分问题。
排列组合教学研究论文
排列组合教学研究论文1．调整教材内容顺序，加强认知结构的层级性智慧技能的教学是学校教学的中心任务．著名认知心理学家加涅认为，智慧技能主要涉及概念和规则的掌握与运用，它由简单到复杂构成一个阶梯式的层级关系：概念（需要以辨别为先决条件）→规则（需要以概念为先决条件）→高级规则（需要以规则为先决条件）．因此，对于中学数学的每个单元，学生应该按照加涅关于智慧技能由简单到复杂构成的这个层级关系去学习，以便按照这个层级关系把所学的知识组织到大脑当中，形成具有良好层级性的认知结构．据此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，将教材内容的顺序进行了调整．调整后的结构如图1所示．排列、组合Ｐ概念从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手，得出排列与组合的概念，进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示．排列、组合概念从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手,得出排列与组合的要领进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示.专题一算法在解释Ｐ１ｎ＝ｎ，Ｃ１ｎ＝ｎ（ｎ∈Ｚ＋）的基础上，介绍加法原理和乘法原理（引例和例题的处理均须用由Ｐ１ｎ或Ｃ１ｎ组成的算式来解答）．专题二排列数公式与计算专题三组合数公式、计算与性质用直译法解决纯排列与组合问题（同时用分步法解答纯排列问题）．题型如1990年人教版高中《代数》下册（必修）（简称：高中《代数》下册．下同）第234页例3、第245页例2.专题四用分类法解决加法原理的简单应用题．题型如高中《代数》下册第234页例4（此例还可用分步法）、第245页例3．专题五用分步法、分类法和排除法解综合性排列与组合问题．题型如高中《代数》下册第235页例5、第246页例4．专题六图1于是该单元的教学次序是：基本概念的形成（排列与组合的概念、排列数与组合数的概念）→基本算法规则的掌握（原理与公式）→概念和算法规则相结合的应用（这里是以解题规律为主线，把排列应用题和组合应用题一并按其解法由易到难分层次集中而对偶地解决的），完全符合加涅关于智慧技能的学习必须按从概念到规则，再到高级规则的层级顺序去进行的规律，理顺了学生学习排列、组合内容的认知层次，加强了该单元认知结构的层级性．２．运用先行组织者，促成认知结构的稳定性运用先行组织者以改进教材的组织与呈现方式，是提高教材可懂度，促进学生对教材知识的理解的重要技术之一．其目的是从外部影响学生的认知结构，促成认知结构的稳定性．因为高中生首次面对排列、组合单元的学习任务时，其认知结构中缺乏适当的上位观念用来同化它们，因此，我们在该单元的入门课里，在没有正式学习具体内容之前，先呈现如图2所示的组织者，能起到使学生获得一个用来同化排列、组合内容的认知框架的作用．排列、合概念排列、组合的概念算法算法原理、计算公式应用解排列、组合问题图2值得一提的是，安排在本文的入门课——专题一中的飞机票和飞机票价等具体问题，以及安排在基本原理课题中的两个引例，它们也分别起到了学习相应内容的具体模型组织者的作用．３．实行近距离对比，强化认知结构的可辨别性如果排列概念和组合概念在学生头脑中的分离程度低，加法原理和乘法原理在学生头脑中的可辨别性差，则会造成学生对排列和组合的判定不清，对加法原理和乘法原理的使用不准，从而严重影响学生解排列、组合问题的正确性．因此，在教学中我们必须增强它们在学生头脑中的可辨别性，以达到促使学生形成良好的“排列、组合”认知结构之目的．按调整后结构的顺序教学，很自然地实行了近距离对比，加大了排列与组合、加法原理和乘法原理的对比力度，从而强化了它们在学生头脑中的可辨别性．（1）在入门课里，开篇就将排列概念和组合概念进行近距离对比，有利于引导学生得到并掌握排列和组合的判定标准：看实际效果与元素的顺序有无关系．（2）专题二首次近距离比较加法原理和乘法原理，并运用其判定标准——是分类还是分步，去完成对实际问题的处理，以加强学生对它们的理解与辨别．（3）专题四、五、六里，把排列、组合问题按其解法分层次对偶地解决，在没有单独占用课时的情况下，很自然地为排列和组合的近距离比较，为加法原理和乘法原理的运用对比，提供了切实而尽可能多的机会．４．及时归纳总结，增强认知结构的整体性与概念性我们知道，认知结构是人们头脑中的知识结构，也就是知识在人们头脑中的系统组织，它具有整体性和概括性．认知心理学认为，认知结构的整体性越强、概括水平越高，就越有利于学习的保持与迁移．因此，在每个单元的教学中，我们必须随着该单元教学进度的推进，及时归纳总结已学内容的规律，以促进学生认知结构概括水平的不断提高，最终促使学生高效高质地整体掌握该单元，从而形成整体性强、概括程度高的认知结构．于是对于“排列、组合”单元，笔者就随着教学进度的深入，引导学生不断归纳、及时总结出以下各规律：（1）排列与组合的判定标准（见前文）．（2）加、乘两原理的判定标准（见前文）．（3）排列数公式的特征（略）．（4）组合数与排列数的关系（略）．（5）解排列、组合问题的基本步骤与方法：①仔细审清题意，找出符合题意的实际问题．所有排列、组合问题，都含有一个“实际问题”，找出了这个实际问题，就找到了解题的入口．②逐一分析题设条件，推求“问题”实际效果，采取合理处理策略．处理排列、组合问题的常用策略有：正面入手；正难则反；调换角度；整、分结合；建立模型等．但不管采用哪个策略，我们都必须从问题的实际效果出发，都必须保证产生相同的实际效果．因此，实际问题的实际效果，就是我们解排列、组合问题的出发点和落脚点，因而也可以说是解排列、组合问题的一个关键．③根据问题“实际效果”和所采取的“处理策略”，确定解题方法．解排列、组合问题的方法，不同的提法很多，其实归根到底，不外乎以下五种：枚举法；直译法；分步法；分类法；排除法．如所谓插空法，推究起来也只不过是在调换角度考虑的策略下的分步法而已．５．注意策略的教学与培养，增大认知结构的可利用性智育的目标是：第一，通过记忆，获得语义知识，即关于世界的事实性知识，这是较简单的认知学习．第二，通过思维，获得程序性知识，即关于办事的方法与步骤的知识，这是较复杂的认知学习．第三，在上述学习的同时，获得策略知识，即控制自己的学习与认知过程的知识，学会如何学习，如何思维，这是更高级的认知学习，也是人类学习的根本目的．所谓策略，指的就是认知策略的学习策略，认知策略是个人用以支配自己的心智加工过程的内部组织起来的技能，包括控制与调节自己的注意、记忆、思维和解决问题中的策略．学习策略是“在学习过程中用以提高学习效率的任何活动”，包括记忆术，建立新旧知识联系，建立新知识内部联系，做笔记、摘抄、写节段概括语和结构提纲，在书上评注、画线、加标题等促进学习的一切活动．在中学生的数学学习中，如果学生的认知结构中缺乏策略或策略的水平不高，那么学生的学习效果就不好、学习效率就不高，特别是在解题过程中，就会造成不能利用已学的相关知识而找不到解题途径，或造成利用不好已学的相关知识而使解题思路受阻，或造成不能充分利用好已学的相关知识而使解题方法不佳，以致解题速度不快、解答过程繁冗、解答结果不准确等．因此，中学数学教学，必须重视策略的教学和培养，让学生学会如何学习和如何思维，以增大学生认知结构的可利用性．为此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，除注意一般性学习策略（如做笔记、画线、注记和写单元结构图等）的培养以外，更注重解排列、组合问题的培养和训练．（1）在专题二、四、五、六里，对排列、组合问题解法的教学，始终按“仔细审清题意，找出符合题意的实际问题→逐一分析题设条件，推求问题实际效果，采取合理处理策略→根据问题实际效果和所采取的处理策略，确定解题方法”的基本步骤进行，以培养学生在解排列、组合问题时，有抓住“实际问题的实际效果”这个关键的策略意识和策略能力．（2）重视一题多解和错解分析（多解的习题要有意讲评，例题讲解可故意设错）．一题多解能拓宽解题思路，让学生见识各种解题方法和处理策略．另外，一题多解又能通过比较各种解法的优劣，使学生在较多的思路和方法中优选．同时，因为解排列、组合问题，其结果（数值）往往较大，不便于检验结果的正确性，而一题多解可以通过各种解法所得结果的比较，来检验我们所作的解答是否合理、是否正确，从而起到检查、评价乃至调控我们对排列、组合问题的解答的作用．错解分析能使学生注意到解答出错的原因所在，同时使学生体验到解题策略调节的必要性和方法，防止今后犯类似的错误，增强学生解题纠错力．故意设错如高中《代数》下册第246页例4的第（3）小题：如果100件产品中有两件次品，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?错解：由分步法得Ｃ１２Ｃ２９９＝9702（种）．略析：像该题一样的“至少”问题最好莫用分步法，这里分步出现了重复计算（以上错解是学生易犯错误，教学中必须注意）．参考文献1邵瑞珍主编．学与教的心理学．上海：华东师范大学出版社，19902袁贤琼．优化和发展学生数学认知结构的认识与实践．中学数学，1991，1 3陈学军．数学教学中学生学习策略的教学与培养．中学数学教学参考，1999，4。
甘肃省武威六中高中数学论文《排列与组合问题的解题策略》理
排列与组合问题的解题策略排列、组合问题，在高考中通常是以选择题或填空题的形式考察，它联系实际，题型多样，解法灵活。
备考有效的方法是将题型与解法归类，识别模型、熟练运用。
1. 相邻元素捆绑法所谓“捆绑法”，就是在解决某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将视为一个“大元素”. 例1. 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有 种. 解析：因甲、乙两人要排在一起，故甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有55A 种排法，但甲、乙两人之间有22A 种排法，由分步计数原理可知，共有5252A A 240⋅=不同的排法.2. 相离问题插孔法相离问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以将其他元素排好，再将所指定的不相邻元素插入到空隙及两端位置，故称“插孔法”.例2. 6个男同学和4个女同学排成一列照相，任何两个女同学不相邻，问有多少种不同的排法？解析：现将6个男同学排好，其不同的排法为66A 种，这6个男同学的空隙及两端共七个位置中再排4个女同学共有47A 种排法，由分步计数原理可知，任何两个女同学不相邻的排法共有6467A A ⋅种.3. 定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便.例3. 信号兵红旗与白旗挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是解析：5面旗全排列有55A 种挂法，由于3面红旗与2面白旗分别全排列只能作一次挂法，故共有不同信号的种数是5532A A A ⋅=10种.4. 定位问题优先法所谓“优先法”，即有限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑.例4. 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）种A. 4545A A ⋅B. 345345A A A C. 145345A A C D. 245245A A A解析：先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有22A 放法，再考虑油画与国画本身各有44A 与55A 种放法，故排列的方法为245245A A A ，故选D.5. 至少（至多）问题间接法含“至少”、“至多”的排列组合问题，是分类问题，可用间接法。
组合数学论文1700字_组合数学毕业论文范文模板
组合数学论文1700字_组合数学毕业论文范文模板组合数学论文1700字(一)：浅谈“组合数学”的研究性教学方法【摘要】组合数学是计算机相关专业的一门专业课程，其内容抽象，形式化程度高，如何提高该课程的教学水平，使学生真正学懂并不断提高逻辑思维和抽象思维能力是该课程教学研究和探讨的重点.【关键词】研究性教学；组合数学；启发式学习伴随着信息时代的来临，特别是计算机科学技术的迅猛发展，计算机相关专业课程的学习方法研究成为热点.组合数学作为一门应用性较强的数学分支，对于高校特别是计算机相关专业学生，培养他们运用组合数学方法分析和解决相关问题的能力已经成为必要.如何在教学过程中提高学生学习组合数学的兴趣，建立组合数学的逻辑思维并用于解决实际问题是教育工作者需要思考的问题.一、课程特点与现状分析组合数学在计算机科学、信息科学中具有重要的地位，是理科及工科院校的一门必修课，其发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面.组合数学主要研究符合一定条件的组态对象、计数及构造等方面的问题，主要内容包括排列与组合、容斥原理及其应用、递推关系、生成函数、鸽巢原理和Polya定理等.然而，組合数学课程中概念、定理、性质和证明非常多而且都比较抽象，形式化程度高，学生在学习、理解和应用时比较困难.因此，需要通过研究性教学方法来激发和增强学生的学习兴趣，从而培养和增强学生的抽象思维、逻辑思维和理论联系实际的综合能力.二、研究性教学改革与实践（一）研究性教学理念研究性教学是目前高等教育教学研究的一个热点方向[1]，它是一种教师指导下的以学生为主体的自主学习和实践过程，包含了教与学两个方面：前者以教师为主导，在课堂教学中创设一种类似科学研究的情境或途径，把凝结在知识点背后的思想、方法和创新过程揭示出来，在引导学生学习和掌握新知识的同时，又能受到知识创新和科学研究方法的熏陶和训练；后者指学生在教师指导下，以科学研究的方式查阅资料、搜集信息，并通过分组协作和讨论来完成指定项目或问题的一种主动的、独创性的学习活动[2].（二）教学改革的目标通过启发式教学方法进行组合数学教学，锻炼学生的论证能力，用组合数学的思想培养学生分析问题和解决问题的能力，使学生能得到严格的逻辑推理与抽象思维能力的锻炼，了解数学中的抽象思维、建立数学模型与计算机科学实践之间的内在联系，不仅提高专业开发能力，而且为其他课程的学习打好数学基础.（三）研究性教学改革的实施方案根据组合数学的课程要求，在整个教学改革过程中，按照教学内容分成三个层次来安排：1.第一层次为基础知识的学习在研究性教学改革中，对课程的教学内容进行凝练和概括，对学时分配进行了优化.对于基础知识的学习依然采用传统的教学方法，夯实基础.2.第二层次为综合应用知识的学习为了加强学生综合应用知识的能力，对学生进行了分组，让每组学生独立完成设置好的一些案例.通过这些案例的研究性教学和讨论，可以使学生明白学习的目标不只是为了记住结论、公式、定理，而是会运用知识解决问题，真正由“学会”变为“会学”，这才是研究性教学的根本所在.3.第三层次为创新知识的学习为了培养学生创新能力，设置多个创新性课题，旨在探索并建立以问题和课题为核心的教学模式，激发学生的创新思维和创新意识，逐渐掌握思考问题、解决问题的方法，提高其创新实践的能力.三、研究性教学效果分析在组合数学的研究性教学开展中，经过不懈努力，取得了一定成果和效果.1.教师方面：教育的观念变了，教师在教学过程中真正成为学生学习的组织者、参与者、帮助者、引导者和促进者，从备课到上课，先进的教学理论得以实施，教学案例也是新颖而且有价值的.2.学生方面：改变了学生学习的方式，一改“在听中学”的单一方式，创造“在做中学”“在尝试中学”等多种学习方式；二改学生被动的学习态度；三改学生接受式学习的习惯，大力开展研究性学习；四改学生机械模仿的习惯，帮助学生进行创造性的有意义的学习.学生接受了新的教学法，能够按要求撰写学案，懂得了要合作学习，分享成果，也明白探究过程对个人的发展起到了积极的作用.四、结论通过开展组合数学课程的研究性教学改革，不仅较好地激发了学生学习的兴趣，更重要的是使学生深刻认识和领会到严谨的逻辑思维和高度的抽象思维及形式化表示在计算机科学发展及应用计算机求解等一些复杂的深层次问题中的作用.组合数学毕业论文范文模板(二)：基于组合数学课程的小班化教学改革实践[摘要]小班化教学，也称“小班化教育”，是指减少班级人数、缩小班级规模、降低师生比例，以有利于教师提高教学质量。
高中数学论文：排列组合问题的建模
排列组合问题的建模排列组合是中学数学中相对独立的内容，由于解题方法独特，结果不易验证，思维比较抽象灵活，在解题过程中，学生往往缺乏自信心，因此在课堂教学中如果我们能把一些常见的排列、组合问题归纳、类比到一组单一的学生能掌握且比较熟悉的模型上，无疑对解题是有益的。
在此笔者谈谈把球放入盒子问题的几种模型。
1 、把5个不同的小球放入5个不同的盒子（不限制盒子放球数，每盒最多可放5个）有几种不同的放法？分析：5个小球分5次放（5步），每一个小球有5种放法。
解：有分步计数原理得55N =评述：本题是利用分步原理求解，模型为n 个不同的球放入m 个不同的盒子中（每盒可以放n 个）有m n2、把5个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子只能放一个，有几种不同的放法？分析：本题就是5个不同的元素按一定顺序排列的排列个数，是一个典型全排列问题。
解：55120N A == 3、把3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子只能放一个，有几种不同的放法？解：3560N A ==或3335A C N =评述：本题是球少盒子多(元素少，位置多)，可以理解为从5个不同盒子中先取出3个盒子然后将3个小球一对一的放入每个盒子即为全排列33A模型：把m 个不同的元素放入n 个不同的对象（m n ≤）（每一个对象只能放一个元素）其排列数为m n A ，其实就是对排列概念的真正理解。
4、把7个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至少放一个，有几种不同的放法？分析：先把7个小球分成5组，再把5组（5个元素）进行全排列，分组有两类：1、1、1、1、3或1、1、1、2、2各组的组数分别为37C ，222527A C C 因此：N=552225275537A A C C A C 评述：本题是球多盒子少（元素多，位置少），且要求每个盒子至少放一个球，因此要先分组（把这些元素分成与位置一样的组）后排列；要注意写出有几类不同的分组，同时分组要注意平均分组和局部平均分组的计算方法。
第四届丘成桐中学数学奖获奖论文-组合数学的若干结论
m ⎛ m + i +1 ⎞ + − k 1 ( ) ∑ ⎜ ∑ ⎟ , ak ⎠ + ak = m −i +1 ⎝ 2i, a2 , i = 0 a2 +
∑
⎛ m + i +1 ⎞ ⎜ ⎟ , ak ⎠ + ak = m −i ⎝ 2i + 1, a2 ,
m +1 ⎛ m + i +1 ⎞ = ∑⎜ ⎟ i = 0 ⎝ m − i + 1, 2i ⎠ a2 +
∑ A ( n, k ) x k = x∑ k ! S ( n, k )( x − 1)
k =1 k =1
n
n
n−k
= ∑ k ! S ( n + 1, k + 1)( x − 1)
k =1
n
n−k
N\K 1 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1
2 1 3 7
3 1 6
4 1
5 -
6 -
1110011111221mmmi?mi?iimimi?mimii?kki??????????????1011111221mmi?imimi?mimii?ki???????????????????111002i2i111121121mmmi?mi?iimi?mi?kkmimi??????????????比较两式即有211nnnaak?an
An +1 + ( k − 1) An
= =∑
m +1 i = 0 a2 +
a1 + 2 a2 +
∑
⎛ a1 + a2 + + ak ⎞ ⎛ a1 + a2 + + ak ⎞ ∑ ⎜ ⎟ + ( k − 1) ⎜ ⎟ a1 , a2 , , ak ⎠ a1 , a2 , , ak ⎠ a1 + 2 a2 + + 2 ak = n ⎝ + 2 ak = n +1 ⎝
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生活中的组合数学摘要:组合数学在基础理论方面和生活应用方面都发挥着越来越重要的作用,组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。
如果说微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础，那么组合数学的发展则是奠定了21世纪计算机革命的基础。
因此随着计算机科学和其它许多新兴应用学科的发展,组合数学在基础理论方面和生活应用方面都发挥着越来越重要的作用,进而需要我们对其进行更加深层次的研究.关键词:组合数学;鸽巢原理;数学游戏引言随着计算机的普及推广,组合数学这门古老的学科焕发出蓬勃的生机.组合数学是一门研究内容丰富、应用广泛的学科,同时它也是一门讲究方法,讲究技巧的学科.组合数学的魅力在于找到巧妙的解法来完善的解决一个组合数学问题,计算机强大的计算能力为寻求组合数学问题的巧妙解法提供了无限的可能,同时组合数学也反过来有效地推动了计算机科学的发展.组合数学在国外已有较快发展,在很多大学已设立组合数学与优化理论专业来培养专门人才.我国对组合数学的研究具有一定的基础,特别是图论研究和区组设计等方面已取得一定的成果.组合数学的发展显然已经改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面,奠定了本世纪的计算机革命的基础.因此需要对其进行更加深入的理论探讨和实践.本文正是基于这种思想,希望借以简单的阐述引起人们对组合数学的更深层次的理解,并能够将其灵活应用于生活中.所以我想通过一些实例和数学史上的一些故事和难题,介绍了组合数学是如何在生活中应用的.在研究了一些典型的例子和趣味性的故事的基础上,系统的查阅了相关文献，并结合生活中涉及组合数学的相关知识进行阐述,具体说明了组合数学的基本方法及其在生活中的应用.这样就使得晦涩的组合数学显得更加形象,也使抽象的理论概念变得浅显具体,更易被初学者理解和接受,以至于可以激发人们在生活中应用组合数学的意识.1.组合数学的基本内容1.1概念伴随着计算机科学的高速发展,近年来,组合数学已渐渐成为一门新兴起来的边缘性、综合性学科.关于组合数学到底是什么,数学界有许多种的看法.Richard A.Brualdi在其所著的《Introductory Combinatorics》一书中提到组合数学研究的是事物按照一定的规则安排,其中包括:对已知安排问题的研究，计数性问题,存在性问题.在《Basic Techniques of Combinatorial Theory》中有如此描述: 组合数学即为对已给定描述事物的研究有多少种或者是对某事物发生的途径有多少种.综上所述,组合数学主要研究的就是事物安排中所涉及的有关数学问题[]1.组合数学是研究任意一组离散性事物按照一定规则安排或配置的数学.特别是当指定的规则较简单时,计算一切可能的安排或配置的方法数,就成为它研究的主要问题.现代组合数学有两个主要特点:其一,它大量应用了抽象代数学工具和矩阵工具促使问题的提法和处理方法表现出极大的普遍性;其二,为了适应计算机科学的发展,它很注重对方法的能行性和程序化问题进行研究.这样,它又派生出算法组合学和组合算法等新的亚分支学科.1.2主要内容组合数学最早是同数论和概率论交叉在一起的.本世纪五十年代以来,特别是由于计算机科学的巨大发展,促使组合数学成为一支富有生命力的新兴数学分支.与传统的数学课程相比,组合数学研究的主要是一些离散事物之间所存在的某些数学关系,包括计数性问题、存在性问题、最优化问题以及构造性问题等,其内容主要是枚举和计数.组合学中研究最多的主要是计数问题,该问题通常出现在所有的数学分支之中.计算机科学通常需要研究有关算法的内容,就必须估计出算法所需的存储单元和运算量,即分析算法的空间复杂性和时间复杂性[]2.综上,组合数学主要研究:排列组合、递推关系和生成函数、鸽巢原理和容斥原理、贝恩赛特引理与波利亚定理以及区组设计与编码等等.2.组合数学的基本解题方法组合数学是离散数学的一个分支,其内容零散,思想方法繁多,对于长期接受连续性数学学习的我们来说,通常感到很难抓住其要领,无从下手,尤其是对新颖繁多的各种组合方法感到有些茫然.组合数学的方法很多,如加乘法则,抽屉法则,母函数法,逐步淘汰法等等,了解这些方法有助于培养我们学生的组合思维。
3.组合数学在生活中的应用举例组合数学是十分贴近于人们的生活的，因此组合问题在生活中非常常见。
例如，求n个球队参加比赛，每队只和其他队比赛一次的总比赛场数。
例如，在纸上画一个网络，用铅笔沿着网络的线路揍，在笔不离开纸面而且不重复线路的条件下，一笔画出网络图。
又例如这样一个简单的组合数学问题：一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。
而当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的一个，问人怎样才能把三者都运过河。
下面介绍几种组合数学中的著名问题。
1.地图着色为题：对世界地图着色，每一个国家使用一种颜色。
如果要求相邻国家的颜色相异，是否总共只需四种颜色？四色定理是一个著名的数学定理。
它指出，如果将平面分成一些邻接的区域，那么可以用不多于四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样。
另一个通俗的说法是：每个（无飞地的）地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
被称为邻接的两个区域是指它们有一段公共的边界，而不仅仅是一个公共的交点。
例如右图左下角的四色圆盘中，红色部分和绿色部分是邻接的区域，而黄色部分和红色部分则不是临界区域。
尽管四色定理最初提出是和地图染色工作有关，但四色定理本身对地图着色工作并没有特别的意义。
据凯尼斯·梅在一篇文章中所言：“（实际中）用四种颜色着色的地图是不多见的，而且这些地图往往最少只需要三种颜色来染色。
制图学和地图制图史相关的书籍也没有四色定理的记载。
”一些简单的地图只需要三种颜色就够了，但有时候第四种颜色也是必须的。
比如说当一个区域被三个区域包围，而这三个区域又两两相邻时，就得用四种颜色才行了。
“是否只用四种颜色就能为所有地图染色”的问题最早是由一位英国制图员在1852年提出的，被称为“四色问题”。
人们发现，要证明宽松一点的“五定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但四色问题却出人意料地异常困难。
曾经有许多人发表了四色问题的证明或反例，但都被证实是错误的。
1977年，数学家凯尼斯·阿佩尔（英语：Kenneth Appl）和沃夫冈·哈肯（英语：Wolfgang Haken）借助电子计算机首次得到了一个完全的证明，四色问题也终于成为了四色定理。
这是首个主要由计算机证明的定理。
这个证明一开始并不为许多数学家接受，因为不少人认为这个证明无法用人手直接验证。
尽管随着计算机的普及，数学界对计算机辅助证明更能接受，但仍有数学家对四色定理的证明存疑。
船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。
只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊。
船夫的船每次只能运送一种东西。
怎样把所有东西都运过河？这是线性规划的问题。
中国邮差问题：由中国组合数学家管梅谷教授提出。
邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是一个NP完全问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然后再用欧拉路径算法求解。
河洛图：我国古代的河洛图上记载了三阶幻方，即把从一到九这九个数按三行三列的队行排列，使得每行，每列，以及两条对角线上的三个数之和都是一十五。
组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。
1977年美国旅行者1号、2号宇宙飞船就带上了幻方以作为人类智慧的信号。
装箱问题：当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的事，你往往需要做些调整。
从理论上讲，装箱问题是一个很难的组合数学问题，即使用计算机也是不容易解决的。
是否存在稳定婚姻的问题：假如能找到两对夫妇（如张（男）--李（女）和赵（男）--王（女）），如果张（男）更喜欢王（女），而王（女）也更喜欢张（男），那么这样就可能有潜在的不稳定性。
组合数学的方法可以找到一种婚姻的安排方法，使得没有上述的不稳定情况出现（当然这只是理论上的结论）。
这种组合数学的方法却有一个实际的用途：美国的医院在确定录取住院医生时，他们将考虑申请者的志愿的先后次序，同时也给申请排序。
按这样的次序考虑出的总的方案将没有医院和申请者两者同时后悔的情况。
实际上，高考学生的最后录取方案也可以用这种方法。
管理调度问题：我们还会遇到更复杂的调度和安排问题。
例如，在生产原子弹的曼哈顿计划中，涉及到很多工序，许多人员的安排，很多元件的生产，怎样安排各种人员的工作，以及各种工序间的衔接，从而使整个工期的时间尽可能短？这些都是组合数学典型例子。
又比如，假日饭店的管理中，也严格规定了有关的工序，如清洁工的第一步是换什么，清洗什么，第二步又做什么，总之，他进出房间的次数应该最少。
既然，这样一个简单的工作都需要讲究工序，那么一个复杂的工程就更不用说了。
铺地砖问题：我们知道，用形状相同的方型砖块可以把一个地面铺满（不考虑边缘的情况），但是如果用不同形状，而又非方型的砖块来铺一个地面，能否铺满呢？这不仅是一个与实际相关的问题，也涉及到很深的组合数学问题。
组合数学还可用于金融分析：组合数学还可用于金融分析，投资方案的确定，怎样找出好的投资组合以降低投资风险。
南开大学组合数学研究中心开发出了"金沙股市风险分析系统"现已投放市场，为短线投资者提供了有效的风险防范工具。
总之，组合数学无处不在，它的主要应用就是在各种复杂关系中找出最优的方案。
所以组合数学完全可以看成是一门量化的关系学，一门量化了的运筹学，一门量化了的管理学。
3.1 乘法原则与加法原则的应用举例下面看看组合数学在生活中的实际应用.（以下假设A 和B 是两类互不关联、互不相同的事件.）组合数学问题在生活中非常常见。
例如，求n 个球队参加比赛，每队只和其他队比赛一次的总比赛场数。
例如，在纸上画一个网络，用铅笔沿着网络的线路揍，在笔不离开纸面而且不重复线路的条件下，一笔画出网络图。
又例如这样一个简单的组合数学问题：一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。
而当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的一个，问人怎样才能把三者都运过河。
加法原则可定义为:设事件A 有m 种选择方式,事件B 有n 种选择方式,则选A 或B 共有n m +种方式.例如,大于1小于9的的奇数有3个,分别为3,5,7,9;大于1小于9的偶数有4个,分别为2,4,6,8.则大于1小于9的整数有7个,即2,3,4,5,6,7,8.这里事件A 为大于1小于9的奇数,事件B 为大于1小于9的偶数.而大于1小于9的整数即是属于A 或者属于B .乘法原则可以定义为:设事件A 有m 种选取方式,事件B 有n 种选取方式,那么选取A 以后再选取B 共有n m ⋅种方式.例如,从3个黑人、5个白人、9个黄种人中各选出1位的方式有359135⨯⨯=种方式.而从中共选出一人的方式有35917++=种方式.下面再用一个实例看看这两个法则是如何应用的.例5 某旅行社开辟了从北京去长白山和天山2条旅游线路,称为北线；从北京去西湖、黄山、峨眉山3条旅游线路,称为南线.问该社共有多少条不同的线路？如某人选定了从北京去四川,先要在西安中转,北京到西安有3种航班可选,西安到四川又有2种航班可选,问共有多少种不同的航班配置方式？分析 由所学的概率知识可知,互不相容事件21A A 、,则其和的概率等于各自概率之和,即()()2121)(A P A P A A P +=+;同理,二个独立事件同时发生的概率()()()2121A P A P A A P ⋅=⋅.解 由加法原理可知,该社共有的线路条数5321=+=P 条.由乘法原理可知,共有的航班配置方式6232=⨯=P 种.3.2 Ramsey 定理的应用举例首先是抽屉原理,大家也许早就听说过这样的智力问题:“从10双鞋子中随便拿几只能保证有一双相配的鞋?”答案显然是至少3只.大家不难根据同样的原理编造出许多新问题.这个原理本身可以很形象的表述为:“把多于n 个东西任意放进n 个抽屉,那么一定有一个抽屉放进了不止一个东西”.因为19世纪德国数学家狄利克雷曾用这个原理证明过数学命题,所以把它叫做狄氏抽屉原理,或简称抽屉原理.它虽然简单,但利用它可以证明不少并不简单的结论.其次是鸽巢原理.鸽巢原理是组合数学中最简单最基本的原理,和抽屉原理其实是异曲同工.鸽巢原理可简单的描述为:“若有n 个鸽巢,而鸽子多余n 只,若每只鸽子必须进巢,则至少有一个鸽巢内的鸽子多于一只.”下面简要举一个用鸽巢原理解决实际问题的例子.例6 一间屋内有10个人,他们当中没有人超过60岁（年龄只以整数给出）但又至少不低于1岁.试证明:总能找出两组人（两组不含相同的人）,各组的年龄和是相同的.解 设{}1021,,,y y y Y ⋅⋅⋅=为屋内10个人的年龄构成的集合,集合Y 的所有k 个不同元素之和共有k C 10,则所有可能的不同元素之和有12101010210110-=+⋅⋅⋅++C C C 种,记这些和为{}102321,,,s s s S ⋅⋅⋅=,由题设条件可知:1023,,2,1,601⋅⋅⋅=≤≤i s i .因此,由鸽巢原理原理可知S 中至少有两个元素是相同的,设为j i s s =.如果年龄和j i s s 和的人中有相同的人,则把这些相同的人去掉,即为要找的两组年龄和相同的人.最后就是集会问题.这也是一个广为流传的趣味数学问题:“证明在至少有6个人参加的集会上,与会者中或者有3个人以前互相认识,或者有3个人以前彼此都不认识.”因为6人集会中成员间的情况共有32728215=种.下面就针对这个问题给予简单证明.例7[]7 试证明6个人中一定有3个人相互认识或相互不认识.证明 先考虑6个人中的任意一个人,不妨把这个人称作p.则其他的5个人可以分为下面的两个集合F 和S.其中F 表示与p 相识的人的集合,S 表示与p 不相识的人的集合.由鸽巢原理知,这两个集合中至少有一个集合包含有3个人.若F 包含有3个人,则这3个人或者彼此不相识,或者有两个人彼此相识.如果F 中有3个人彼此不相识,则结论成立.如果F 中有2人相识,则由于这两个人都与p 相识,因此有3人彼此相识,故定理结论成立.类似的,如果S 包含3个人,则这3个人或者彼此相识,或者有两个人彼此不相识.如果这3个人彼此相识,则结论成立.如果有两个人彼此不相识,则由于这两个人都与p 也不相识,因此有3个人彼此不相识,故定理结论成立.3.3 线性规划法的应用实例线性规划是最简单,应用最广泛的一种数学规划方法,也是使用最早的一种 优化方法.在组合数学中,线性规划问题可以归结为一类条件极值问题.例8 某电视机厂有100台彩电的订单要在三周内交货,在第一,第一和第三周生产x 台彩电的费用分别是225.1,2.1,120x x x .求每周生产彩电的数目的最优策略.解 假设()3,2,1=i x i 表示在第i 周生产的彩电数,()i i x f 表示第i 周生产i x 台彩电的费用,则此问题的数学模型为min ()()()232213322115.12.1120x x x x f x f x f y ++=++=,s.t. 100321=++x x x ,3,2,1,0=≥i x i .假设()x F k 表示在前k 周生产x 台彩电所得到的最小费用,则由最优原理可得出如下的递归方程()()x f x F 11=,()()(){}3,2,min 10=-+=-≤≤k x x F x f x F k k k k xx k k , 1000≤≤x .原问题的解就是）（1003F . 由上式可知()()x f x F 11==120x ,()()(){}2122022min x x F x f x F xx -+=≤≤, ()()(){}333033min x x F x f x F xx -+=≤≤. 解上面的递归方程,可得当40,50,10321===x x x 时有最小值()66001003=F .即第一周生产10台彩电,第二周生产50台彩电,第三周生产40台彩电,可获得最小费用6600.3.4 游戏中的组合数学3.4.1哥尼斯堡七桥问题18世纪初在东普鲁土有这样一个问题:某条河上有两个岛屿,城市中的四部分可以由七个桥来连接起来．那么可否经过每个桥并且每个桥只能走一次？（如图1上图所示）．图1在18世纪中期,欧拉成功论证了该问题,也即是合适的方案并没有,不可能每座桥走过且仅走过一次．欧拉把该实际问题形象地简化成同一平面上线与点的组合问题,将每一座桥看成一条线,每座桥所连接的地方看作点.因此,从某一点出发再回到这一点的问题,可转化成一个一笔画的问题[]8.欧拉采用概念映像法来解决该类问题,亦即抽象分析法.将七桥问题中的桥与陆地之间的关系结构用S 表示,用x 表示一次可否同时走过此七座桥的问题.欧拉使用了一种方法,即用概念映像ϕ将桥视为几何线,将连接的地点视为几何点,则在ϕ映像下可得到(S;x )→(n S ;n x ).如此,S n 则可表示如图1下图的点线图.之前的问题x 便对应变成能否一笔画出如图1下图所示的平面图问题n x .也即n x 就是关于上述点线图的一笔画问题.欧拉的这种方法就是组合数学中后来的关系映像反演方法的最早体现．3.4.2“三同六变”的问题中国的王文紊在其所著的《算学宝鉴》一书中详细记载了一个名为“三同六变”的题目:“假令二十四老人,长者寿高一百,次者递减一岁,止于七十七．共积总寿二千一百二十有四．卜(疑为‘赴’)会三社,八老相会,七百八岁,盖因人情逸顺,散而复会,共换六次,其积(即和)仍均七百有八,屯(疑为‘求’)见连用之道．”[]8它的意思也即是说:有24位老人,每8人一起,分三处赴会,每处年龄之和均为708岁,并且年龄从100岁到77岁,依次递减1岁．那么如何分配,分配方法有多少种?在该书当中共列出了6种解答,并且作了注释,“其变尤多,不及备述”．对这个问题加以推广,便可得到一类 “n 同k 聚”的问题:在自然数集合N 内,任意选取nk (k =2,3,4, …)个连续自然数作为集合M,将M 任意划分为n 个互不相交子集123,,,,n M M M M ,而每个子集均有k 个元素,并且各个子集元素之和相等,求123,,,,n M M M M ．这个问题为中国传统数学中的浑圆图给出了另一解释. 结束语这篇论文只是介绍了组合数学在生活中的应用的一小部分,希望借此论文可以激起我们对组合数学的关注,学会在生活中运用组合数学来解决具体的问题.组合数学这个富有生命力的数学分支,涉及生活中的各个领域, 作为计算机专业的学生，我们必须把组合数学的学习放在一个重要的位置上来，掌握基本的组合数学原理，培养专业的数学思维，这样才能在以后的工作学习中掌握主动和先机。