初等模型

奇偶校验
问题3：（囚徒问题）：设一所监狱有64 间囚室， 其排列类似8*8 棋盘，看守长告诉关押在一个角落 里的囚犯，只要他能够不重复地通过每间囚室到 达对角的囚室（所有相邻囚室间都有门相通）,他 将获释，问囚犯能否获得自由？
○
1.3 Ramsey数
问题1：（相识问题）：在6人的集会上，总会有3 人互相认识或互相不认识。
“公平”分配方法
若 p1/n1> p2/n2 ，定义
将绝对度量改为相对度量
p1 / n1 p2 / n2 rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
类似地定义 rB(n1,n2)
公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平
多步决策 问题
求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按 转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).
模型求解
• 穷举法 ~ 编程上机
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3;
x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
y 3 2 1
• 图解法
状态s=(x,y) ~ 16个格点 允许状态 ~ 10个 点 允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.
Q2
8h 1
模型应用
Q1 1 l , h Q2 8h 1 d
Q1/Q2 0.06
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03
即双层玻璃窗与同样多材 料的单层玻璃窗相比，可 减少97%的热量损失。
结果分析
0.03 0.02 0
2
4
6
h
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传 导系数 k2, 而这要求空气非常干燥、不流通。 房间通过天花板、墙壁… …损失的热量更多。 双层窗的功效不会如此之大
2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m)
即当总席位增加时， ni不应减少
“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！
2.3
双层玻璃窗的功效
室 内 T1
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 题 玻璃窗相比，减少多少热量损失 假 热量传播只有传导，没有对流 设 T1,T2不变，热传导过程处于稳态 建 模 Q ~单位时间单位面积传导的热量
推广：9个人的集会中一定有3个人互相认识或4个 人互相不认识。 14个人的集会中一定有3个人互相认识或者5 个人互相不认识。 r(3,3)=6 r(3,7)=23 r(4,4)=18 r(3,4)=9 r(3,5)=14 r(3,6)=18
r(3,8)=28 r(4,5)=25
r(3,9)=36
Ramsey数
对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 3.570 3 平 吗 21.000 21
“公平”分配方法
人数 A方 B方 p1 p2 席位 n1 n2
衡量公平分配的数量指标
当p1/n1= p2/n2 时，分配公平
若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
初等数学模型
1 有关自然数的几个模型 2 状态转移问题
3 比例与函数建模
y
1.1 鸽笼原理
•问题1：设有n个人聚会，如果没有 人认识所有的人，问是否有两个人， 他们认识的人一样多？
鸽笼 原理
• n+1只鸽子飞入 n个笼子里，则必有 一个笼子中至少有2只鸽子。
鸽笼原理
问题2：在一个边长为 1的正三角形内 最多能找到几个点，而使这些点彼此间 的距离大于 1/2.
Q值方法 分配结果
2
Q3最大，第 21席给丙系 公平吗？
甲系11席，乙系6席，丙系4席
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？
席位分配的理想化准则
已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)， ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm ) 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
3名随从
但是乘船渡河的方案由商人决定. 商人们怎样才能安全过河?
问题分析
多步决策过程
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河.
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数 sk=(xk , yk)~过程的状态 xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, S ~ 允许状态集合
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
系别 学生 比例 比 例 加 惯 例 甲 乙 103 51.5 63 31.5
20席的分配 结果 10 6 10.3 6.3
21席的分配
人数 （%） 比例
丙
34
17.0
100.0
3.4
20.0
4
20
总和 200
应讨论以下几种情况
初始 p1/n1> p2/n2
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A
2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rAห้องสมุดไป่ตู้n1, n2+1)
问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 第20席和第21席
1032 632 342 96.4, Q2 94.5, Q3 96.3 第20席 Q1 1011 67 3 4
Q1最大，第20席给甲系
103 80.4, Q2 , Q3 同上 第21席 Q1 1112
T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数 材料均匀，热传导系数为常数
d
l
d
室 外 T2
Q1
墙 室 内 T1 室 外 T2
2d
热传导定律
T Qk d
Q2
墙
建模 记双层玻璃窗传导的热量Q1
Ta~内层玻璃的外侧温度
Tb~外层玻璃的内侧温度
室 内 T1
Ta d l
Tb
d
室 外 T2
k1~玻璃的热传导系数
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则：
记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整. 1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一
奇偶校验
问题2：（菱形十二面体上的H路径问题）：沿一 菱形十二面体各棱行走，要寻找一条这样的路径 它通过各顶点恰好一次，该问题被称为Hamilton 路径问题。
Hamilton路径必是3 度 与 4度顶点交错，故若 存在Hamilton 路径， 则 3度顶点个数与 4度 顶点个数要么相等，要 么相差1 。菱形十二面 体中，有3 度顶点8 个， 4 度顶点 6个.
3、渡河方案不止一种？最快的方案？
2.2 人、狗、鸡、米问题
人、狗、鸡、米均要过河，船上除1人划船外，最 多还能运载一物，而人不在场时，狗要吃鸡，鸡 要吃米，问人，狗、鸡、米应如和过河？
3.1 席位分配模型
问 题
三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对 不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1– p2/n2=5
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
k2~空气的热传导系数
墙
Q1
T1 Ta Ta Tb Tb T2 Q1 k1 k2 k1 d l d
T1 T2 k1 l Q1 k1 , sh , h d ( s 2) k2 d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 T1 T2 T1 T2 Q1 k1 Q2 k1 d ( s 2) 2d
s1
d1
d1, d11给出安全渡河方案
d11
0
sn+1
1
2
3
x
评注和思考
规格化方法,易于推广 1、考虑4名商人各带一随从的情况 2、夫妻过河问题：有3对夫妻过河，船最 多能载2人，条件是任一女子不能在其丈夫 不在的情况下与其他男子在一起，如何安 排三对夫妻过河？若船最多能载3人，5对 夫妻能否过河？
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
uk~第k次渡船上的商人数