高等数学总复习指导(1)_3

高等数学总复习指导（1）
本学期高等数学课程的内容是一元函数微积分、级数和常微分方程，共8章内容。

同学们学习时应抓住重点，围绕基本概念和基本方法进行训练和学习，下面逐章指出各章的重点，并结合重点给出相应的典型例题，希望能对大家的学习提供一定的帮助。

第一章 函数
本章重点：
1．函数概念及其性质
理解函数的概念，了解决定函数的要素是定义域和对应关系，能根据这两个要素判别两个函数是否相等。

能熟练地求出函数的定义域和函数值。

了解函数的周期性、奇偶性、单调性、和有界性，特别是要会判断函数的奇偶性。

例1 求下列函数的定义域
（1）43)
1ln(1-+--=x x x y （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=2ln 221x x x x y
解 （1）函数的定义域是
⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠->-0430)1ln(01x x x 解得 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥≠>3421x x x
即函数的定义域是3
4≥x 且 2≠x 。

（2）分段函数的定义域是所有定义区间的并集，此分段函数的定义域是2>x 或2≤x ，但x ln 的定义域是0>x ，故综合起来可知所求函数的定义域是0>x 。

例2 若函数x x f 2sin )2(=+，求)0(),1(),(f x
f x f 。

解 已知x x f 2sin )2(=+，即)22(2sin )2(-+=+x x f
根据函数概念可知 )2(2sin )(-=x x f ，（即下划线的部分替换成x ）
)21(2sin )1(-=x x f ，（即下划线的部分替换成x
1） )20(2sin )0(-=f ＝4sin -，（即下划线的部分替换成0）
规范以上的做法就是：设t x =+2，则2-=t x
将2-=t x 代入x x f 2sin )2(=+中，即有
)2(2sin )(-=t t f ，
令x t =，则有)2(2sin )(-=x x f 令x
t 1=，则有)21(2sin )1(-=x x f 令0=t ，则有)20(2sin )0(-=f ＝4sin -
例3 （1）下列函数对中，哪一对函数表示的是同一个函数？
A ．2
ln )(,ln 2)(x x g x x f ==
B ．1
2ln )(+-=x x x f ，)1ln()2ln()(+--=x x x g C ．x e x x g x
e x x x
f x
x -=-=)(,)()(2 D ．1)(,1
1)(2-=+-=x x g x x x f （2）下列函数中，哪个函数是奇函数？
A ．)12sin()(++=x x x f
B ．)1ln()(2++=x x x f
C ．x
e x x
f x
-=)( D ．x x
x x f sin 1)(2⋅-= 解 （1）A,B,D 中两个函数的定义域都不相同，故它们不是同一函数，C 中函数2)()(x
e x x x
f x -=的定义域是0≠x ，对应关系可化为
)()()(2x g x e x x
e x x x
f x
x =-=-= 故这两个函数是相同的函数。

（2）由奇函数的定义验证A,C 可知它们都不满足)()(x f x f -=-，
D 满足)()(x f x f =-，即它为偶函数
验证B )1)(()1)((ln )1)(ln()(22
222x x x x x x x f ++--+-=+-+-=-
)()1ln(11
ln 22x f x x x x -=++-=++=
故此函数是奇函数。

2．基本初等函数
熟练掌握六类基本初等函数的定义域、性质和图形。

这些内容在今后的学习过程中，要经常用到。

3．复合函数和初等函数的概念
了解复合函数、初等函数的概念，会分析复合函数的复合过程，能把一个复合函数分解成几个简单函数。

这在学习第三章导数与微分内容时要用到。

例4 将函数)]1ln(21cos[2
++=x y 分解成几个简单函数。

解 u y c o s
=，v u +=1，w v 2=，s w ln =，12+=x s 。

第二章 极限与连续
本章重点：
1．极限的计算
了解极限的概念，知道左右极限的概念，知道函数在点0x 处存在极限的充分必要条件是)(x f 在0x 处的左右极限存在且相等。

关于极限的计算，要熟练掌握以下几种常用方法：
（1）极限的四则运算法则：运用时要注意法则的条件是各个部分的极限都存在，且分母不
为0。

当所求极限不满足条件时，常根据函数的具体情况进行分解因式（以消去零因子）、或无理式的有理化、或三角函数变换、
或分子分母同时除以n x （分子分母同趋于无穷大时）等变形手段，以使函数满足四则运算法则的条件。

（2）两个重要极限：熟记e x
x x x x x =+=∞→→)11(lim ,1sin lim 0，要注意这两个公式自变量的 变化趋势以及相应的函数表达式，同时要熟悉它们的变形形式：e x x
x x x x =+=→∞→10)1(lim ,11sin lim 。

（3）利用无穷小的性质计算：无穷小量是指极限为0 的量，有限个无穷小量之和、积都
是无穷小量，有界变量与无穷小量之和还是无穷小量。

（4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。

（5）利用洛必塔法则计算：参看第四章的有关内容。

例1 求下列极限
（1）10028
72)43()12()1(lim --+∞→x x x x （2）1
1cos 1lim 20-+-→x x x （3）x x x 1sin lim 20→ （4）x x x 1
0)21(lim -→+
（5）)ctg sin cos (lim 220x x
x x -→ （6）)3(lim 22x x x x x --++∞→ 解 （1）分子、分母同除以100x
，则 1002872)43()12()1(lim --+∞→x x x x ＝100
28
72)43()12()11(lim x
x x x --+∞→ ＝10028
72)43(lim )12(lim )11(lim x
x x x x x --+∞→∞→∞→＝1002832 （2）首先将分母有理化，然后在利用重要极限计算
11cos 1lim 20-+-→x x x ＝)
11)(11()11)(cos 1(lim 2220++-+++-→x x x x x ＝1)1()
11)(cos 1(lim 2220-+++-→x x x x ＝)11(lim )cos 1(lim 2020++-→→x x
x x x ＝)11(lim 2sin 2lim 20
22
0++→→x x x x x ＝1221=⨯ （3）由于0→x 时，有02→x ，11sin ≤x ，因此x x 1sin 2还是无穷小量，故 01sin lim 20=→x
x x （4）x x x 1
0)21(lim -→+＝2210])21(lim[x x x -→+＝2e
（5）)ctg sin cos (lim 220x x x x -→＝x
x x x 220sin cos cos lim -→＝x x x x 20sin )cos 1(cos lim -→ ＝x
x x x x x 22
20sin cos 1cos lim ⋅-⋅→＝211211=⨯⨯
（6）)3(lim 22x x x x x --++∞→ ＝x x x x x x x x x x x x x -++-++--++∞
→2222223)
3)(3(lim ＝x x x x x
x -+++∞→2234lim ＝x x x 11314lim 2-+++∞→ ＝21
14=+ 2．函数连续
理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义①)(x f 在0x 的一个邻域内有定义；②)(x f 在0x 处存在极限；③极限值等于)(x f 在0x 处的函数值，这三点缺一不可。

若函数)(x f 在0x 至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的，会求函数的间断点。

了解函数在区间上连续的概念，由函数在一点连续的定义，会讨论分段函数的连续性。

知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，两个连续函数的复合仍为连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。

知道闭区间上连续函数的性质（最大最小值存在定理、零点定理、介值定理）。

例2 讨论函数
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=0
sin 100
01sin )(x x x
x x x x x f 在0=x 处的连续性。

解 )(x f 的定义域为),(+∞-∞
01s i n l i m )(l i m 00==--→→x
x x f x x 1s i n 1l i m )(l i m 00==++→→x x
x f x x 由于)(x f 在0=x 点处的左右极限不相等，故极限不存在，因此函数)(x f 在0=x 点间断。

（补充说明：由于0)0(=f ，所以)(x f 在0=x 点左连续，它的连续区间应为为]0,(-∞，),0(+∞。

）。