2009届高三数学模拟试题二(理)

湖北省2009年高考数学模拟试题二数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3． 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 4． 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数12i z =+，223i z =-，则21z z ⋅等于 （ B ）A ．34i -B ．74i -C ．43i -D ．74i +2．要从其中含有40个黄球的800个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取60个进行质量检验，则应抽取黄球的个数为 （A ）A ．3个B ．5个C ．6个D ．9个3．设,,m n l 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是 （ D ） A ．若,m n 与l 所成的角相等，则//m n B ．若γ与α，β所成的角相等，则α//β C ．若,m n 与α所成的角相等，则//m n D ．若α//β，m ⊂ α, 则//m β4．函数1)21(-=xy 的图象与直线k y =的图象有一个公共点,则实数k 的取值范围是(C ) A.10<<k B.1≥k C.1≥k 或0=k D.R k ∈5．已知nx )12(+的展开式中，二项式系数和为a ，各项系数和为b ，则232323lim b a b a n +-∞→= （ C ）A.21B. 23-C. －3D. 36．设0A >，0ω>，02φπ≤<，函数()sin(),f x A x ωφ=+()sin(2),g x A x ωφ=+则函数()f x 在区间(,)32ππ内为增函数是函数()g x 在区间(,)64ππ内为增函数的 （D ）A ．既不充分也不必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分必要条件7．已知)()(x 、g x f 都是定义在R 上的函数, g (x )≠0,)()()()(''x g x f x g x f <, )()(x g a x f x =，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，在有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭( n =1,2,…,10）中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于1615的概率是（ D ）A ．51 B ．52 C ．54 D ．538．双曲线222x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点(),n n n P x y （1,2,3n = ）在其右支上，且满足121n n P F P F +=，1212PFF F ⊥，则2009x 的值是 （ C ）A ．B ．C ．4016D ．40159．已知函数()(0)xf x k k π>的图象上相邻的一个最大值点与最小值点恰好在圆222x y k +=上，则()f x 的最小正周期为（ D ） A ．1B ．2C ．3D ．410．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线px y 22=p (＞)0，弦AB 过焦点，△ABQ 为其阿基米德三角形，M 为AB 的中点，则△ABQ 的面积的最小值为（ D ）A ．PB ．2PC ．4PD ．P 2湖北省2009年高考数学模拟试题数 学（理科）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答．．题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．已知正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2cm ，E 为棱1CC 的中点．三棱锥A-BDE 的外接球的体积为29πcm 3． 12.P 是椭圆192522=+y x 上的一点,F 是椭圆的左焦点,且4),(21=+=OF OP OQ ,则点P 到该椭圆左准线的距离为25_______________ 13.在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中， ,E F 分别为棱AB 和1CC 的中点，则线段EF 被正方体的内切球球面截在球内的线段长为14．设直线:(0)l x my n n =+>过点A，若可行域00x my ny y <+⎧-≥≥⎩的外接圆直径为n 的值是_ 2或6_______15．在实数集R 中定义一种运算“＊”，具有性质：①对任意;,,a b b a R b a *=*∈②对任意;0,a a R a =*∈③对任意c c b c a ab c c b a R c b a 2)()()()(,,,-*+*+*=**∈，则=*21 5 ;函数x xx (1*＞)0的最小值为 3 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）设函数=)(x f ⋅p q ,其中向量, ()2cos ,cos sin x x x =-q ,x ∈R ,（I ）求)3(πf 的值及函数)(x f 的最大值；（II ）求函数)(x f 的单调递增区间.16.解答：（I ） ()sin ,cos sin x x x =+p ，()2cos ,cos sin x x x =-q ，∴=)(x f ⋅p q =()sin ,cos sin x x x + ·()2cos ,cos sin x x x -x x x x 22sin cos cos sin 2-+=x x 2cos 2sin +=∴)3(πf =213-. 又()f x =sin 2cos 2x x +=)42sin(2π+x ∴函数)(x f 的最大值为2.当且仅当8πx k π=+（∈k Z ）时，函数)(x f 取得最大值为2. （II ）由222 242πππk πx k π-++≤≤（∈k Z ），得388ππk πx k π-+≤≤ （∈k Z ）.∴函数)(x f 的单调递增区间为[8,83πk ππk π+-](∈k Z ). 17．（本小题满分12分）在直三棱柱111C B A ABC -中，,22,21===AA BC AC ∠ACB =90°,Ｍ是1AA 的中点，Ｎ是1BC 的中点。

（１）求证：MN ∥平面111C B A ； （２）求点1C 到平面BMC 的距离； （３）求二面角A M C B --11的大小。

17.解答：（1）如图所示，取B 1C 1中点D ，连结ND 、A 1D ∴DN ∥BB 1∥AA 1 又DN ＝M A AA BB 1112121== ∴四边形A 1MND 为平行四边形。

∴MN ∥A 1 D 又 MN ⊄平面A 1B 1C 1 AD 1⊂平面A 1B 1C 1 ∴MN ∥平面111C B A(2)因三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱， ∴C 1 C ⊥BC ，又∠ACB =90° ∴BC ⊥平面A 1MC 1在平面ACC 1 A 1中，过C 1作C 1H ⊥CM ，又BC ⊥C 1H ，故C 1H 为C 1点到 平面BMC 的距离。

在等腰三角形CMC 1中，C 1 C =22,CM=C 1M=6 ∴33411=∙=CM AC CC H C . (3)在平面ACC 1A 1上作CE ⊥C 1M 交C 1M 于点E ，A 1C 1于点F,则CE 为BE 在 平面ACC 1A 1上的射影，∴BE ⊥C 1M, ∴∠BEF 为二面角B-C 1M-A 的平面角, 在等腰三角形CMC 1中，CE=C 1H=334,∴tan ∠BEC=23=CE BC ∴∠BEC=arctan23,∴∠BEF=π-arctan 23DNHE即二面角11A M C B --的大小为π-arctan23。

18．（本小题满分12分）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155,160、第二组[)160,165；…第八组[]190,195，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数； (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x y 、，求满足5x y -≤的事件概率．18.解答：(1)由频率分布直方图知,前五组频率为0.0080.0160.040.040.0650.82++++⨯=（）， 后三组频率为10.820.18-=，人数为0.18509⨯=人，这所学校高三男生身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为8000.18144⨯=人。

（2）由频率分布直方图得第八组频率为0.00850.04⨯=，人数为0.04502⨯=人，设第六组人数为m ，则第七组人数为927m m --=-,又()227m m +=-,所以4m =,即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.080.06，， 频率除以组距分别等于0.0160.012，，见图 （3）由（2）知身高在[]180185，内的人数为4人，设为,,,a b c d .身高在[]190195，的人数为2人，设为,A B . 若[],180,185x y ∈时，有,,,,,ab ac ad bc bd cd 共六种情况． 若[],190,195x y ∈时，有AB 共一种情况．若,x y 分别在[]180,185，[]190,195内时，有,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB 共8种情况 所以基本事件的总数为68115++=种，事件5x y -≤所包含的基本事件个数有617+=种，故7(5)15P x y -≤=. 19．（本小题满分12分）已知x =1是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，,m n R ∈且m <0 （1）求m 与n 的关系表达式； （2）若f (x )的单调区间；（3）当[1,1]x ∈-时，函数y = f (x )的的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围． 19.【解析】（1）∵x =1是函数f (x )的一个极值点，∴2'()36(1)f x mx m x n =-++在x =1处的值为0, 即36(1)0m m n -++= ∴36n m =+ (0)m < ……3分（2）2'()36(1)36f x mx m x m =-+++,令'()0f x >，∴22(1)(2)0mx m x m -+++> 即(1)[(2)]0x mx m --+>， ∵m <0, ∴2(1)()0m x x m +--<，∴211x m +<<, ∴()f x 的增区间为2[1,1]m +，减区间为2(,1],[1,)m-∞++∞…… 6分 （3）∵曲线在点（x ,y ）处切线的斜率'()k f x =，∴236(1)363mx m x m m -+++> [1,1]x ∈-恒成立即22(1)20mx m x -++> [1,1]x ∈-恒成立，令2()2(1)2,g x mx m x =-++此抛物线顶点横坐标为11m +， ∵m <0 , ∴11m+<1, 当1011m ≤+<时，即1m ≤-时，min ()(1)34g x g m =-=+，∴3m +4>0 ,即43m >- ∴413m -<≤-当11m+<0，即m >-1 时，min ()(1)g x g m ==-，∴0m ->，即0m < ∴10m -<< 综上可知，m 的取值范围为4(,0)3-20．（本小题满分13分）已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，O 为坐标原点，点(1,2P -在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足20PM F M +=（1）求椭圆的标准方程（2）O 是以12F F 为直径的圆，一直线l ：y kx m =+与O 相切，并与椭圆交于不同的两点A,B ．当OA OB λ⋅= 且满足2334λ≤≤时，求AOB ∆面积S 的取值范围.20.解答：（1）2212x y +=（2）O 与直线l 相切，221m k ∴=+由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩222(12)4220k x kmx m ⇒+++-= 又直线l 与椭圆相交于不同两点，222202110k m k k ∴∆>⇒+>=+⇒>设1122(,),(,)A x y B x y 则212122112k OA OB x x y y k +⋅=+=+ 22112k k λ+∴=+， 又2334λ≤≤ 2112k ∴≤≤12112s AB x ∴=⋅=-=设42u k k =+， 则324u ≤≤s ∴== s 关于u 在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且3()44s =2(2)3s =23s ≤≤23s ⎤∴∈⎥⎣⎦. 21．（本小题满分14分）设函数()g x 对任意的(),0,x y ∈+∞，都有()()()g x y g x g y ⋅=+成立，又()21g =；已知点(),n n n P a b ()n N *∈都在直线:22l y x =+上，1P 为直线l 与x 轴的交点，数列{}n b 满足2n ≥时，0n b >，且()()()22n n n g s g b g b =++-,()n N *∈，其中n S 是数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若()n n a n f n b n ⎧=⎨⎩，（为奇数），（为偶数）,是否存在k N *∈，使得()()522f k f k +=-成立？若k 存在，求出k 值；若不存在，说明理由；（3）求证：2221311211125nPP PP P P ++⋅⋅⋅+<．()2,n n N *≥∈ 解（1）()111,P a b 为直线22y x =+与x 轴交点，则11a =-，10b = 由已知x 、y ∈（0，+∞），都有()()()g x y g x g y ⋅=+成立，又()21g =，得()()()()422222g g g g =⨯=+=，因为2n ≥时，0n b >，且()()()22n n n g S g b g b =++-,()n N *∈所以()()()22n n n g S g b g b +=++，即()()()()42n n n g g S g b g b +=++．所以()42n n n S b b =+⇒22b =,212b b -=；由()42n n n S b b =+及()11142n n n S b b +++=+⇒12n n b b +-= 所以{}n b 是以0为首项，2为公差的等差数列，∴22n b n =-因为(),n n n P a b ()n N *∈在直线22y x =+上，则22n n b a =+，∴2n a n =-. （2）k 为偶数时，()553k f k a k ++==+，()()22222246f k k k -=--=- 由346k k +=-⇒3k =，与k 为偶数矛盾，k 为奇数时，()5528k f k b k ++==+，()2226f k k -=-由2826k k +=-得k 不存在．故满足条件的k 不存在． （3）()()()()2222112251,2nPP n n n n =-+-=-≥,()222222121311111111......| P || P || P |5121n P P P n ⎡⎤+++=+++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()()211111...51122321n n ⎡⎤≤++++⎢⎥⨯⨯--⎣⎦11112(11)(2)51515n n =+-=-<--.∴++231221|P |1|P |1P P … + )2(52|P |1*21N n n P n ∈≥<，，。