数列极限的性质和运算法则

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1.2 数列极限的性质和运算法则
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数列极限定义： 设数列 { xn } ， a 是实数。若对
0 , 总 正 整 数 N , 当 n N 时 , 便 有
x n a ，则称 { xn } 存在极限 a ，或者收敛于 a ．
记为
lim xn a, 或
n
x n a ( n ).
7 【数学分析课件】
1.2 数列极限的性质和运算法则
xn , 若N ,当n N时，有 注2. 对于数列 A xn B, 则称
xn 往后有界。往后有界必 有界，故在 N项之前只有有
限x1, x2 ,, xN , 设 min{x1 ,, xN }, max{x1 ,, xN },
若上述极限不存在，则称数列不存在极限（或发散）。
1.2 数列极限的性质和运算法则
xn
越来越 ，N越来越大！
小
a
a
n
N
1.2 数列极限的性质和运算法则
1.2.2. 数列极限的性质
性质 1（唯一性）若 { xn } 收敛，则其极限唯一。
唯一性说明上述两条直线是重合的！
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1.2 数列极限的性质和运算法则
8 【数学分析课件】
1.2 数列极限的性质和运算法则
1.2.2. 数列极限的性质
性质 2（有界性） 若 { xn } 收敛，则 { xn } 必有界，
即 M 0 ， n N , 有 xn M 。
思考：若数列有界，是否一定存在极限？
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1.2 数列极限的性质和运算法则
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1.2 数列极限的性质和运算法则
有界数列的定义
Def:
称xn 为有界数列 数A, B(设A B), 对n有
A xn B. A, B分别为其下界 , 上界 .
注1. 上、下界不是唯一的。 如上界 B, B 1, B 2, B
( 0);下界A, A 1, A ( 0).
数列极限的性质 和运算法则
1.2 数列极限的性质和运算法则
实数的性质
有序性 稠密性
可数和不可数
数学上的很多问题也与数有关
实数的运算法则（运算律）
数列极限的性质—问题的引入
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1.2 数列极限的性质和运算法则
数列极限的基本性质 唯一性 保序性 保号性 迫敛性 有界性
数列极限的运算法则
数列极限的性质—主要内容
推论 3 若 N N ， n N ，有 a bn cn , cn a , 则 lim bn a 。 且 lim n n
.
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1.2 数列极限的性质和运算法则
注意: 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
利用夹逼准则求极限关键是构造出 an 与 bn , 并且 an 与 bn都以a为极限，数列 性质4 设收敛数列 an 、
cn 满足：存在正数 N 0 ，当 n N0 时有
1.2 数列极限的性质和运算法则
an cn bn
则数列 cn 收敛，且
lim cn a
n
本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一 个计算数列极限的方法。
则 min(A, ) xn max(B, ), n 1,2,3,
注3. xn 是有界数列 M 0 s.t xn M (n 1,2,3,)
邻域O(0, M )
s.t
n有xn O(0, M ).
xn 无界 M 0, n0 s.t
xn0 M .
1n 例1 求数列 的极限。 { 2 }
n
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1.2 数列极限的性质和运算法则
课堂小结： 1、极限五个性质：保号性、保序性、唯一性、有界性、 迫敛性。 2、这五个性质的证明思路。
3、有界数列的定义。
4、会用这五个性质
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n
n
推论 2 若 lim x n a ，且 a b （或 a b ） ，
n
则 N N ， n N xn b （ xn b ） 。
xn a 0 (或 0) ，则 N N ， 保号性： 若 lim n
使得 n N 时，有 xn 0 ( 或xn 0 ) 。
1.2.2. 数列极限的性质
性质 3（保序性）若 lim xn a ， li m yn b ，且 a b ，
n
n
则 N N ， n N xn yn 。
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1.2 数列极限的性质和运算法则
推论 1 若 lim x n a ， l i m y n b ，且 xn yn ，则 a b 。