依分布收敛与依概率收敛
依分布收敛与依概率收敛
以依分布收敛与依概率收敛为标题，我们来探讨一下这两个重要的收敛概念。
我们先介绍一下什么是依分布收敛。
在概率论中，我们经常会遇到一系列随机变量的序列，通常用{X_n}来表示，其中n是序列中的第n个变量。
如果存在一个随机变量X，使得对于任意的实数x，都有P(X_n≤x)收敛到P(X≤x)，那么我们就说{X_n}依分布收敛于X。
简单来说，依分布收敛就是指随着随机变量序列的不断增加，其分布函数逐渐趋近于某个极限分布函数。
这个极限分布函数即为随机变量的极限分布。
接下来，我们再来看一下什么是依概率收敛。
依概率收敛是指对于任意的正数ε，随着n的增加，当n足够大时，P(|X_n-X|>ε)趋近于0。
简单来说，依概率收敛就是指随机变量序列的概率逐渐趋近于0。
这个收敛的过程并不要求随机变量的极限分布存在。
依分布收敛和依概率收敛这两个概念在概率论和数理统计中扮演着非常重要的角色。
它们分别用于描述随机变量序列的极限行为。
依分布收敛就是说随着随机变量序列的增加，其分布函数逐渐趋近于某个极限分布函数。
而依概率收敛则是说随机变量序列的概率逐渐趋近于0。
这两个概念在理论证明和实际应用中都有着广泛的应用。
在实际应用中，我们经常需要根据样本来推断总体的性质。
而依分
布收敛和依概率收敛的概念正是为了帮助我们理解样本和总体之间的关系。
当我们从总体中抽取一组样本时，样本的分布函数往往会逐渐趋近于总体的分布函数。
而当样本的大小足够大时，样本的概率也会逐渐趋近于总体的概率。
这就是依分布收敛和依概率收敛的含义。
依分布收敛和依概率收敛的概念和定理在概率论和数理统计的研究中起着重要的作用。
它们不仅帮助我们理解随机变量序列的极限行为，还为我们提供了一种分析和推断总体性质的方法。
通过研究随机变量序列的依分布收敛和依概率收敛，我们可以更好地理解和应用概率论和数理统计的知识。
依分布收敛和依概率收敛是概率论和数理统计中非常重要的概念。
依分布收敛描述了随机变量序列的分布函数逐渐趋近于某个极限分布函数，而依概率收敛描述了随机变量序列的概率逐渐趋近于0。
这两个概念在理论研究和实际应用中都有着广泛的应用，对于理解和分析随机事件的极限行为非常有帮助。
通过深入学习和理解这两个概念，我们可以更好地应用概率论和数理统计的知识，为实际问题的研究和解决提供有力的支持。
第五章_大数定律和中心极限定理 例题与解析
V 20 5 100 / 12 20
105 20 5 100 / 12 20
V 100 V 100 P 0 . 39 1 P 0 . 39 12 ) 20 12 ) 20 ( 10 ( 10
1 ( 0 . 39 ) 1 0 . 6517 0 . 3483
lim F n ( x ) F ( x )
W 则称{ F n ( x )} 弱收敛于F(x)，记为 Fn ( x) F ( x)。 L { 称 }依分布收敛于，记为 。
n
n
n
定理5.2 (几种收敛之间的关系) P ，则 L 。 1. 若
n
L P 2. 设为常数，则 n 当且仅当 n 。 a.s. P n ，则 n 。 3. 若
设随机变量 1， 2， ， n 相互独立且服从同一分布，且 具有相同的数学期望和方差：
E ( i ) ，D ( i ) ， i 1，， ， n ， 2
2
则随机变量
n
i 1
n
i
n
n
n
L N ( 0， ， 1)
即 n 的分布函数 F n ( x ) 对任何x满足
lim P (
n
n np
np (1 p )
x
x)
1 2
t
2
e
2
dt .
例2 (2002年数学四考研试题)
设随机变量 X 1， X 2， ， X n 相互独立，S n
n
X i.
i 1
则根据列维-林德贝格中心极限定理，当n充分大时，S n 近似
中国科学院大学-2019年-硕士研究生入学考试大纲-803概率论与数理统计
中国科学院大学硕士研究生入学考试
《概率论与数理统计》考试大纲
本《概率论与数理统计》考试大纲适用于中国科学院大学非数学类的硕士研究生入学考试。
概率统计是现代数学的重要分支，在物理、化学、生物、计算机科学等学科有着广泛的应用。
考试的主要内容有以下几个部分：
概率统计中的基本概念
随机变量及其分布
随机变量的数学特征及特征函数
独立随机变量和的中心极限定理及大数定律
假设检验
点估计及区间估计
简单线性回归模型
要求考生对基本概念有深入的理解，能计算一些常见分布的期望、方差，了解假设检验、点估计及区间估计的统计意义，能解决一些经典模型的检验问题、区间估计及点估计。
最后，能理解大数定律及中心极限定理。
一、考试内容
（一）基本概念
1．样本、样本观测值
2．统计数据的直观描述方法：如干叶法、直方图
3．统计数据的数字描述：样本均值、样本方差、中位数事件的独立性、样本空间、事件
4．概率、条件概率、Bayes公式
5．古典概型
（二）离散随机变量
1．离散随机变量的定义
2．经典的离散随机变量的分布
a.二项分布
b.几何分布
c.泊松分布
d.超几何分布
3．离散随机变量的期望、公差
4．离散随机变量的特征函数
5．离散随机变量相互独立的概念
6．二维离散随机变量的联合分布、条件分布、边缘分布及二个离散随机变量的相关系数
（三）连续随机变量
1．连续随机变量的概念
2．密度函数
3．分布函数
4．常见的连续分布
a.正态分布。
李贤平-概率论基础-Chap5
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(2)
若对一切 n ,令 n ( ) ( ),显然 n ( )的分布列也是 (2) L ( ) 。 ，因此 n ( )
但是, 对任意的 0 2 ，因
P{| n ( ) ( ) | } P() 1
当然，当F(x) 是一个分布函数时,分布函数的左连续 性保证了 F 在不连续点上的值完全由它在连续点集 CF 上的值唯一确定，因此此时分布函数列的弱收敛极限是 唯一的.
以下我们研究一个分布函数序列弱收敛到一个分布 函数的充要条件，为此先建立一些重要的分析结果。
引理. 设{ Fn ( x )}是实变量x 的非降函数序列，D是R上的 稠密集. 若对于D中的所有点, 序列 { Fn ( x )}收敛于F(x),
所以，我们有
F ( x) Fn ( x) P{n x, x}
因为 { n } 依概率收敛于 ，则
P{n x, x} P{| n | x x} 0
因而有
F ( x) lim Fn ( x)
n
同理，对 x x,
i 1 i , 1, ki ( ) k k , i 1, 2, 0, otherwise
取 P 为勒贝格测度，则
, k.
1 0, P (| ki ( ) | ) , i 1, 2, k
, k . (*)
将 ki 依次记为 n , 如图:
n
则称 {n ( )}依概率收敛于 ( ) ，并记为
n ( ) ( )
P
定义3 (r阶矩收敛) 设对随机变量 n 及 有E | n |r , E | |r ， 其中 r 0 为常数，如果
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4~5章【圣才出品】
（1）|φ （t）|≤φ （0）＝1．
——————
——————
（2）φ （－t）＝φ （t），其中φ （t）表示 φ （t）的共轭．
（3）若 y＝aX＋b，其中 a，b 是常数，则 φ Y（t）＝eibtφ X（at）．
（4）独立随机变量和的特征函数为每个随机变量的特征函数的积．即设 X 与 Y 相互独
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P
Xn a
P
Yn b
则有 ①
P
X n Yn a b
②
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P
X n Yn a b
③
P
Xn Yn a b(b 0)
2．按分布收敛、弱收敛
（1）按分布收敛
设随机变量 X，X1，X2，…的分布函数分别为 F（X），F1（X），F2（X），…．若对 F（x）
p(x) x e n/21 x/2 ，x 0 Γ (n / 2)2n/2
exp
it
2t 2
2
(1 it )1
(1 it )
(1 2it )n / 2
贝塔分布
Be(a，b)
p(x) Γ (a b) xa1 (1 x)b1，0 x 1 Γ (a)Γ (b)
Γ (a b)
(it)k Γ (a k)
P
Xn x
或者说，绝对偏差|Xn－x|小于任一给定量的可能性将随着 n 增大而愈来愈接近于 1， 即等价于 P（|Xn－x|＜ε）→1（n→∞）．
特别当 x 为退化分布时，即 P（X－c）＝1，则称序列{Xn}依概率收敛于 C． （2）依概率收敛于常数的四则运算性质如下： 设{Xn}，{Yn}是两个随机变量序列，a，b 是两个常数．如果
大数定律的四种证法
对于一般人来说，大数定律的非严格表述是这样的：X_1,...,X_n是独立同分布随机变量序列，均值为u，S_n=X_1+...+X_n，则S_n/n收敛到u.如果说“弱大数定律”，上述收敛是指依概率收敛(in probability)，如果说“强大数定律”，上述收敛是指几乎必然收敛(almost surely/with probability one)。
大数定律通俗一点来讲，就是样本数量很大的时候，样本均值和真实均值充分接近。
这一结论与中心极限定理一起，成为现代概率论、统计学、理论科学和社会科学的基石之一，重要性在本人看来甚至不弱于微积分。
（有趣的是，虽然大数定律的表述和证明都依赖现代数学知识，但其结论最早出现在微积分出现之前。
而且在生活中，即使没有微积分的知识也可以应用。
例如，没有学过微积分的学生也可以轻松利用excel或计算器计算样本均值等统计量，从而应用于社会科学。
）最早的大数定律的表述可以追朔到公元1500年左右的意大利数学家Cardano。
1713年，著名数学家James (Jacob) Bernouli正式提出并证明了最初的大数定律。
不过当时现代概率论还没有建立起来，测度论、实分析的工具还没有出现，因此当时的大数定律是以“独立事件的概率”作为对象的。
后来，历代数学家如Poisson（“大数定律”的名字来自于他）、Chebyshev、Markov、Khinchin（“强大数定律”的名字来自于他）、Borel、Cantelli等都对大数定律的发展做出了贡献。
直到1930年，现代概率论奠基人、数学大师Kolgomorov才真正证明了最后的强大数定律。
下面均假设X, X_1,...,X_n是独立同分布随机变量序列，均值为u。
独立同分布随机变量和的大数定律常有的表现形式有以下几种。
初等概率论(1). 带方差的弱大数定律：若E(X^2)小于无穷，则S_n/n-u依概率收敛到0。
证明方法：Chebyshev不等式即可得到。
大数定律与中心极限定理
⼤数定律与中⼼极限定理⽬录随机变量序列的两种收敛性依概率收敛：设{X n}为⼀随机变量序列，X为⼀随机变量，若对于任意ϵ>0,有P(|X n−X|≥ϵ)→0(n→∞)则称序列{X n}依概率收敛于X，记作X n P →X依概率收敛的性质：若X n P →aY n P →b则：X n±Y n P→a±bX n Y n P→abX n÷Y n P→a÷b弱收敛（按分布收敛）：随机变量X,X1,X2…的分布函数为F(x),F1(x),F2(x)…，若对于F(x)的任意⼀个连续点x，有lim n→∞F n(x)=F(x)则称分布函数序列{F n(x)}弱收敛于F(x),记作F n(x)W→F(x)也称{X n}按分布收敛于X,记作X n L →X特征函数特征函数：设X是⼀个随机变量，则φ(t)=E(e itX)为X的特征函数。
常⽤分布的特征函数0-1分布：φ(t)=pe it+q泊松分布:φ(t)=∑e itx λk e−λk!=e−λ∑(λe it)kk!=eλ(e it−1)均匀分布:φ(t)=∫b ae itxb−a dx=e itb−e itait(b−a)标准正态分布:φ(t)=e−1 2t2证明：φ(t)=∫∞−∞e itx1√2πe−12x2dx=1√2π∫∞−∞∞∑n=0(itx)nn!e−12x2dx=∞∑n=0(it)nn![∫∞−∞x n1√2πe−12x2]dx=∞∑n=0(it)nn!E(X n)当n为奇数时，E(X n)=∫∞−∞x n1√2πe−12x2dx=0当n为偶数时，E(X n)=E(X2m)=∫∞−∞x2m1√2πe−12x2dx=1√2π∫∞−∞−x2m−1d(e−12x2)=1√2π(2m−1)∫∞−∞x2m−2e−12x2dx=(2m−1)(2m−3)…1∫∞−∞1√2πe−12x2dx=(2m−1)!!=2m!2m(m−1)!故φ(t)=∞∑m=0(it)2m(2m)!E(X2m)=∞∑m=0(it)2m(2m)!2m!2m(m−1)!=∞∑m=0(−t22)mm!=e−1 2t2指数分布的特征函数:φ(t)=(1−it λ)−1证明：φ(t)=∫∞0e itxλe−λx dx=λ[∫∞0cos(tx)e−λx dx+i∫∞0sin(tx)e−λx dx]I=∫∞0cos(tx)e−λx dx=∫∞01t e−λx dsin(tx)=λt∫∞sin(tx)e−λx dx=−λt2[−1+λ∫∞cos(tx)e−λx dx]=−λ2t2I+λt2故I=λλ2+t2φ(t)=λ(λλ2+t2+itλ2+t2)=λλ2+t2(λ+it)=λλ−it=(1−it λ)−1特征函数的性质|φ(t)|≤φ(0)=1证明:|φ(t)|=|∫e itx f(x)dx|≤∫|e itx|f(x)dx=1若Y=aX+b，则φY(t)=e ibtφX(at)证明：φY(t)=∫e it(ax+b)f(x)dx=e itb∫e itax f(x)dx=e ibtφX(at)若X和Y相互独⽴，则有φX+Y(t)=φX(t)φY(t)证明：E(e it(X+Y))=E(e itx e ity)=E(e itx)E(e ity)=φX(t)φY(t)若E(X l)存在，则X的特征函数l次可导，且对1≤k≤l有φ(k)(0)=i k E(X k)证明：φ(k)(t)=∫i k x k e ixt f(x)dx将t=0代⼊得φ(k)(0)=i k∫x k f(x)dx=i k E(X k)⼤数定律 概率是频率的稳定值，其中稳定是什么意思？⼤数定律详细的描述了这个问题。
依概率收敛
2：定理， X n P X X n L X （或 Fn x W F (x) ）
证明：往证
F
x
0
lim
n
Fn
(x)
lim
n
Fn
(x)
F
x
0
：
先令 x' x
X x' X x'，X n x X n x X x'，X n x X x'，X n x
因此 PX x' PX x'，X n x X x'，X n x
对于随机变量序列X i ,i 1,2,...和某个随机变量 X ，假定 X 的 cdf 为 Fx ，
若，对于 Fx 得任何连续点 x ，都成立 PX i x n PX x，即
Fi x n F x ，则称随机变量序列 X i ,i 1,2,...依分布收敛到随机变量 X 。
也可以说，cdfs Fi x,i 1,2,....弱收敛到 Fx
P Xn 1 1, n
则他的分布函数：
n=1,2,3........
Fn
x
0
1
x1 n
x1 n
在点点都收敛的情况下 Fnx 的极限函数是：
注意极限函数后面限制中的 x 与分布函数是同等地位的 第一段：当n 时，即极限函数中x lim 1 0,而分布函数中的第一段
n n x 1 , (n 1,2) 包含了x 0的情形，所以：
F(x') PX x' PX x'，X n x PX x'，X n x Fn (x) PX x'，X n x
Fn (x) PX n X x x' Fn (x) P X n X x x'
高级计量分析第三讲
第三讲 渐近理论初步（Basic elements of asymptotic theory ）在计量经济学研究中，对总体参数的推断、估计和检验是通过一个样本来进行的，而样本统计量如何随着样本发生改变也是我们所感兴趣的问题，特别是所构造的参数估计量是否会随着样本容量趋向无穷大而收敛于总体参数。
在前面的讲述中，我们讨论了OLS 估计量的有限样本特性，或称小样本特性，并证明了OLS 估计量具有无偏性、有效性，是总体参数的最佳线性无偏估计量，同时还证明了估计量服从精确的分布，并据以进行统计推断。
不过这些结论在满足经典假设条件下导出，而这些假设常常在实际中很难满足。
我们寻求样本容量趋于无穷大情况，估计量的统计特性及其渐近分布。
这就是本讲中要考虑的问题。
欲了解现代计量经济理论，首先要学习一些统计渐近理论，更进一步就是要对概率极限理论有一定的理解。
前苏联的概率论大师柯尔莫哥洛夫和格涅坚科曾如是说：“概率论的认识论价值只有通过极限定理才能被揭示，没有极限定理就不可能去理解概率论的基本概念的真正含义。
”简单可以将概率极限定理分成三种类型：（1）弱大数定律（WLLN ）、（2）强大数定律（SLLN ）、（3）中心极限定律（CLT ）。
计量经济学中的渐近理论内容非常广博，我们只在本讲中介绍其最基本的一些内容。
对于想深入了解渐近理论的同学推荐阅读White （2003）和Davidson （1994）的经典著作。
1四种随机收敛的概念及性质1.1依概率收敛（convergence in probability ）（1）定义对于随机变量序列 ,,,,21n X X X ，如果存在X 满足：0>∀ε，0}{lim =<-∞→εX X P n n就称序列},2,1,{ =n X n 依概率收敛于X 。
记作：X X Pn →，或X X P n n =∞→lim 。
我们将X 称为序列},2,1,{ =n X n 的概率极限。
依分布收敛与依概率收敛
依分布收敛与依概率收敛
依分布收敛与依概率收敛是概率论和统计学中的两个重要概念，常
用于描述随机变量序列的收敛性质。
下面分别介绍这两种收敛的定义
和特点。
依分布收敛：
所谓依分布收敛，是指随机变量序列逐渐趋向于某个分布的过程。
具
体而言，对于一组随机变量序列{Xi}和分布函数F(x)，如果对于任意
的x，当n趋向于无穷大时，有Fn(x)都趋向于F(x)，则称{Xi}依分布
收敛于分布函数F(x)，记作Xi~F(x)。
依分布收敛的特点是：
1. 收敛的结果是一个分布函数，可以通过累加分布函数来计算概率值。
2. 收敛的充分条件是连续的性质，具有普遍性。
3. 各种随机变量均可以进行依分布收敛。
依概率收敛：
依概率收敛是指随机变量序列以大概率趋近于某一常数的过程。
具体
而言，对于一组随机变量序列{Xi}和常数a，如果对于任意的小于等于ε（ε>0），有lim P(|Xi-a|>ε)=0，则称{Xi}依概率收敛于a，记作Xi→a （p）。
依概率收敛的特点是：
1. 收敛的结果是一个确定值，其概率趋向于1。
2. 收敛的充分条件是可测性的性质，具有更弱的条件限制。
3. 仅限于实数的随机变量序列（也可以进行有限维的推广）。
以上是依分布收敛与依概率收敛的定义和特点，两者之间存在差异，但都是表示随机变量序列逐渐趋向于某一结果的重要方法。
在实际应用中，需要根据具体问题和需求选择适合的方法进行处理。
概率论课件 第4章第2讲随机变量序列的两种收敛性
0,当( x a)2 ( y b)2 2时有
| f ( x, y) f (a, b) |
于是 {| f (k ,k ) f (a, b) | } {( a)2 ( b)2 2 }
辛钦k 1n Nhomakorabeak
a | } 1
证明: {n } 同分布, 它们有相同的特征函数, 这个相同的特征函数记为 (t )
1 n 记 n k n k 1
a E ( k )
(0)
i
(t ) (0) (0)t o(t ) 1 iat o(t )
的分布函数Fn ( x) F ( x).
显然有 lim Fn ( x) F ( x)
n
L Xn Y
但对任意的0<ε<2,恒有
P{| n | } P{2 | | } 1
即不可能有{n }依概率收敛于
所以:依分布收敛依概率收敛不真
定理:随机变量序列依概率收敛于常数C 的充要条件是依分布收敛于常数C 证明:必要性已证,下面只证充分性
§4.2 随机变量序列的两种收敛性 上一节我们由大数定理可得,在贝努里试验中, 事件发生的频率稳定于概率,即
lim P{
n
n
n
P } 1
自然想到的是, 随机变量序列是否依 这种方式能稳定于一个随机变量呢 ?
这就是我们要讲的依概率收敛问题.
1
依概率收敛 定义：设{ n }是随机变量序列,若存在随机 变量 (或常数),对于任意ε>0,有
x x
令y x, z x,由x为F ( x)的连续点, 有