分布函数
分布函数
如 P { X ∈ ( a, b]} = P { X ∈ ( −∞ , b]} − P { X ∈ ( −∞ , a]}
= P { X ≤ b} − P { X ≤ a} = F (b) − F (a)
xk ≤ x
∑p ,
k
1 , − 1 ≤ x < 2, 4 即 F ( x) = 3 , 2 ≤ x < 3, 4 1, x ≥ 3.
x < −1, 0, P { X = −1}, − 1 ≤ x < 2, 得 F ( x) = P { X = −1} + P{ X = 2}, 2 ≤ x < 3, 1, x ≥ 3. 0, x < −1, F ( x)
a b
3. 例题Байду номын сангаас解
例1
设随机变量 X 的分布律为
X −1 2 3
pk
1 4
1 2
1 4
1 3 5 求 X 的分布函数 , 并求 P{ X ≤ }, P{ < X ≤ }, 2 2 2 P{ 2 ≤ X ≤ 3}. 解 由于 X 仅在 x = −1, 2, 3 处概率不为 0, 且
F ( x ) = P { X ≤ x } =
4. 小结
1.离散型随机变量分布律与分布函数的关系 离散型随机变量分布律与分布函数的关系 pk = P{ X = xk } 分布律 分布函数
F( x) = P{X ≤ x} =
∑ pk x ≤x
k
2. 连续型随机变量
F ( x ) = P{ X ≤ x } = ∫
x
常用分布函数
1常用分布函数11常用分布函数1.1均匀分布X∼U(a,b)U(x|a,b)=xa1b−adt(a≤x≤b),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=a+b 2Var(X)=(b−a)2121.2正态分布X∼N(µ,σ2)标准正态分布X∼N(0,1)：Φ(x)=x−∞φ(t)dt=1√2πx−∞e−t22dt其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=0Var(X)=1正态分布X∼N(µ,σ2)：F(x)=x−∞f(t)dt=1√2πσ2x−∞e−(t−µ)22σ2dt其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=µVar(X)=σ21常用分布函数2 1.3指数分布X∼e(µ,λ)E(x|µ,λ)=xµλe−λ(t−µ)dt(x≥µ)其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=µ+1λVar(X)=1λ21.4Gamma分布X∼Γ(a,b)G(x|a,b)=b aΓ(a)xt a−1e−bt dt(a>0,b>0;x≥0)其中，Γ(a)为Gamma函数：Γ(a)= ∞t a−1e−t dt,且期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=a bVar(X)=a b21.5Beta分布X∼β(a,b)I x(a,b)=1B(a,b)xt a−1(1−t)b−1dt其中，B(a,b)为Beta函数：B(a,b)=1t a−1(1−t)b−1dt=B(b,a)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)1.6χ2分布X∼χ2(n)H(x|n)=12n2Γn2(n为正整数;x>0)其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=nVar(X)=2n1常用分布函数3 1.7t分布X∼t(n)T(x|n)=1√nB12,n2X−∞1+t2n−n+12dt(n为正整数;−∞<x<∞),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=0(n>1时),Var(X)=nn−2(n>2时).1.8F分布X∼F(m,n)F(x|m,n)=mnm2Bm2,n2xt m2−11+mtn−m+n2dt (n,n为正整数;x>0),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=nn−2(n>2),Var(X)=2n2(m+n−2)m(n−2)2(n−4)(n>4).。
分布函数特点
分布函数特点
分布函数是描述一个随机变量取值概率分布的一个基本概念。
它
是经典概率论中的一种基础概念，我们可以通过它来描述随机事件发
生的概率。
分布函数是描述随机变量的性质和特征，透过分布函数，
我们可以得知随机变量在某个特定区间内的概率，从而对随机变量的
分布进行研究与分析。
分布函数的特点如下：
1. 单调性：分布函数是单调不减的。
即如果随机变量x1 < x2，则分布函数在x1和x2之间的值满足F(x1) ≤ F(x2)。
2. 右连续性：分布函数在每一个点都是右连续的，即F(x) = limF(xn)，其中xn是一个递增的数列，且xn→x。
3. 边界条件：当随机变量x → −∞时，分布函数F(x) → 0；
当随机变量x → +∞时，分布函数F(x) → 1。
4. 可逆性：对于给定的分布函数F(x)，我们可以通过对其求导
得到密度函数f(x)，反之亦然。
即F(x)和f(x)可以互相转化。
但是，并不是每个f(x)都有对应的F(x)，也不是每个F(x)都有对应的f(x)。
5. 分段性：对于离散的随机变量，分布函数是分段常函数的形式；对于连续的随机变量，分布函数是连续的。
同时，如果含有离散点，分布函数在离散点处也会跳跃。
上述特点是分布函数的基本特性，通过它们，我们可以有效地描
述随机事件发生的概率分布情况。
分布函数在统计分析、金融、物理
学等领域都有着重要的应用。
它是随机变量分析的基础，深入了解分
布函数的特点，能够对随机变量的分布做出更加准确的判断和预测。
怎样理解分布函数
怎样理解分布函数概率论中一个非常重要的函数就是分布函数，知道了随机变量的分布函数，就知道了它的概率分布，也就可以计算概率了一、理解好分布函数的定义：F(x)=P(X < x),所以分布函数在任意一点x的值，表示随机变量落在x点左边(XVx)的概率它的定义域是(-8, +8),值域是[0,1].二、掌握好分布函数的性质：(1) 0< F(x) < 1 ;(2) F(+8)=1,F( - 8)=0；可以利用这条性质确定分布函数中的参数，例如：设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,求常数A与B.就应利用本性质计算出A=1/2,B=1/兀.(3) 单调不减；(4) 右连续性。
三、会利用分布函数求概率在利用分布函数求概率时，以下公式经常利用。
(1) P( a<Xw b)=F( b)-F( a);(2) P( a< Xw b)=F( b)-F (a-0);(3) P( a< X<b)=F( b-0)-F( a-0);(4) P( a<X<b)=F( b-0)-F( a);(5) P( X=a)=F( a)-F( a-0).以上公式的规律是:对丁左端点a,不包括它时，用函数值F(a),包括它时，用右极限F(a-0)；对丁右端点b,不包括它时，用右极限F(b-0),包括它时，用函数值F(b).四、会利用分布列或密度函数求分布函数根据分布列求分布函数时，先将RVX的取值从小到大排好，X1<X2<... X n, 则分布函数是一个n+1段的分段函数：当X i <X<x(i+1)时,F(X)=P I+P2+...+ p i,( i =1,2,..., n)当X<X1时，F(X)=0.根据分布密度求分布函数时，先考虑密度函数是几段的，如果它被X1<X2<... X n分成n+1 段的，贝u F(X)也被X1<X2<...< X n分成n+1 段的。
分布函数
F () lim F ( x) 1, F () lim F ( x) 0
x
x
(3) 右连续性：F(x)是右连续函数，即对任意的x0，有
lim
x
x
0F(x)F来自(x0)
➢这三个基本性质是判别分布函数的充要条件。
2
§ 2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的分布函数
➢
例1
证明F ( x) 1 [arctan x ], x
2
➢是一个分布函数。
证 显然F(x)在整个数轴上是连续、单调严增函数，且
F () lim F ( x) 1, F () lim F ( x) 0
x
x
因此它满足分布函数的三条基本性质，故F(x)是一个分布 函数。
该函数称为柯西分布函数。
3
§2.1 随机变量及其分布函数
例2 设随机变量的分布函数为：
A Bex x 0 F(x)
0 x0
其中 0 是常数。 求 A, B。
解 因为分布函数右连续，故
又由F () 1得A 1, 从而B 1
§2.1 随机变量及其分布函数
二、用分布函数求事件的概率
随机变量X 的分布函数F(x)=P{Xx}本身就是事件的概率。
容易得到 P{X a} F (a) F (a 0) 前面已得到 P{a X b} F (b) F (a)
P{a X b}
F(b) F(a)
1
二、随机变量的分布函数
2、分布函数的性质
F(x) P{X x}
容易证明分布函数F(x)具有以下三条基本性质：
(1) 单调性：F(x)是定义在整个实数轴(–，+)上的单调 非减函数，即对任意的x1 < x2，有 F(x1) F(x2)；
分布函数
5 2 5 F P X 2 3 2
5 1 5 1 21 1 P X F F 2 2 2 2 3 6 2
12
X为离散型随机变量分布函数 F x 与概率函数
pk 的关系。
设离散型X 的分布列是
X pk
x1 p1
x 2 xk xn p2 pk pn
k 1, 2, 3,
xk x k
F x
P X xk pk
xk x k
p P X x
由于 F x 是X 取 x 的诸值 k x 的概率之和，故又称
F x 为累积概率函数.
F x 的定义域：
,
10
X pk
1 1 6
2 1 2
3 1 3
x 1 0 1 / 6 1 x 2 F ( x) 2/3 2 x 3 1 x3
13
O
分布函数图形
F (x )
1
1 2
O
16
1
O
12 13 16
0
1
2
3
x
F 不难看出， x 的图形是阶梯状的图形，在 x 1, 2, 3
且右连续。 处有跳跃，
11
分布函数
x 1 0 1 / 6 1 x 2 F x P X x 2/3 2 x 3 1 x3
对应规律： 函数值 F(x) 取落在 , x 上的概率值。
由此例可见：
1 1 1 F P X 2 6 2
13
F x 为累积概率函数.
F x 1
pk p3
分布函数
分布函数分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。
1.伯努利分布?伯努利分布(Bernoulli distribution)又叫做两点分布或者0-1分布，是一个离散型概率分布，若伯努利实验成功，则伯努利随机变量取值为1，如果失败，则伯努利随机变量取值为0。
并记成功的概率为p，那么失败的概率就是1p-，概率p p-，则数学期望为p，方差为(1)密度函数为2.二项分布二项分布即重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
假设每次试验的成功概率为p，则二项分布的密度函数为：二项分布函数的数学期望为np，方差为(1)X B n p。
概率密度分布图如下所np p-，记为~(,)示。
3.正态分布正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），若随机变量X 服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：X~N(μ,σ2),则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
分布曲线特征：图形特征集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。
即频率的总和为100%。
关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
你对分布函数和概率密度函数的理解
你对分布函数和概率密度函数的理解分布函数和概率密度函数是概率论与数理统计中重要的概念。
它们是描述随机变量取值分布情况的方法，是许多统计问题的基础。
本文将从以下几个方面介绍分布函数和概率密度函数的含义和应用。
一、分布函数的定义和性质分布函数是描述随机变量X不大于某个值x的概率的函数，通常记作F(x)，即F(x)=P(X≤x)。
其中，P表示概率。
分布函数具有以下性质：1、F(x)是一个单调不减函数，即对于任意的x1<x2，有F(x1)≤F(x2)。
2、F(x)的取值范围在[0,1]之间，即0≤F(x)≤1。
3、当x趋近于负无穷时，F(x)趋近于0；当x趋近于正无穷时，F(x)趋近于1。
二、概率密度函数的定义和性质概率密度函数是描述随机变量X在某个区间内取值的概率密度的函数，通常记作f(x)，即f(x)=dF(x)/dx。
其中，dF(x)表示F(x)的微分。
概率密度函数具有以下性质：1、f(x)是一个非负函数，即f(x)≥0。
2、概率密度函数的积分在全域内等于1，即∫f(x)dx=1。
3、概率密度函数与分布函数之间有以下关系：F(x)=∫f(t)dt，其中积分区间为(-∞, x]。
三、分布函数和概率密度函数的应用1、求概率分布函数和概率密度函数可以用来求随机变量X在某个区间内取值的概率。
如果已知概率密度函数f(x)，则可以根据积分公式求出分布函数F(x)，然后用F(x)的差值求出概率。
例如，求X在[0,1]区间内取值的概率，可以用P(X≤1)-P(X≤0)=F(1)-F(0)来计算。
2、求期望和方差分布函数和概率密度函数还可以用来求随机变量X的期望和方差。
期望是随机变量取值的平均值，可以用积分公式E(X)=∫xf(x)dx来计算。
方差是随机变量取值与期望之差的平方的期望，可以用积分公式Var(X)=E((X-E(X))^2)=∫(x-E(X))^2f(x)dx来计算。
3、拟合分布分布函数和概率密度函数还可以用来拟合实际数据的分布情况。
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分布函数
分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。
1.伯努利分布
伯努利分布(Bernoulli distribution)又叫做两点分布或者0-1分布，是一个离散型概率分布，若伯努利实验成功，则伯努利随机变量取值为1，如果失败，则伯努利随机变量取值为0。
并记成功的概率为p，那么失败的概率就是1p
-，则数学期望为p，方差为(1)
p p
-，概率密度函数为
2.二项分布
二项分布即重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
假设每次试验的成功概率为p，则二项分布的密度函数为：
二项分布函数的数学期望为np，方差为(1)
np p
-，记为~(,)
X B n p。
概率密度分布图如下所示。
3.正态分布
正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：X~N(μ,σ2),则其概率密度函数为
正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
分布曲线特征：
图形特征
集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。
即频率的总和为100%。
关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
⏹参数含义
正态分布有两个参数，即期望（均数）μ和标准差σ，σ^2为方差。
第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。
概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小。
正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。
正态分布的期望、均数、中位数、众数相同，均等于μ。
第二个参数σ^2是此随机变量的方差，σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。
也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。
⏹面积分布
实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。
4.指数分布
指数分布（exponential distribution）的图形表面上看与幂律分布很相似，实际两者有极大不同，指数分布的收敛速度远快过幂律分布。
指数分布的参数为λ，则指数分布的期望为，方差为，概率密度函数为：
其中λ > 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）。
即每单位时间内发生某事件的次数。
指数分布的区间是[0,∞)。
如果一个随机变量X呈指数分布，则可以写作：X~ E（λ）。
下图是指数的概率密度函数：
⏹指数分布的性质
无记忆性：指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。
这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。
即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。
5.拉普拉斯分布
拉普拉斯分布（Laplace distribution）的概率密度函数为：
如果随机变量X服从拉普拉斯分布记为~(,)
，其中，μ是位置参数，
X Laplace b
b>0 是尺度参数。
如果μ = 0，那么，正半部分恰好是尺度为1/b的指数分布的一半。
数学期望为μ，方差2
2b。
概率密度函数如下图所示：
6.泊松分布
泊松分布为二项分布的特例，如果某些现象的发生率很小，而样本例数较大，则二项分布逼近Poisson分布。
泊松分布（poisson distribution）适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。
如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等。
泊松分布的概率函数为：
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为
⏹泊松分布的性质
●Poisson分布的总体均值和方差相等：即2
λσ
=
●当λ增大时，Poisson分布逐渐近正态分布；当20
λ≥时Poisson分布资料可作为正态分布处理
●Poisson分布具有可加性
⏹泊松分布的图形
●泊松分布的特征只决定于平均数λ，不同的参数λ对应不同的Poisson分布，
即λ的大小决定了Poisson分布的图形特性；
●当平均数很小时是很偏态的，担当平均数增大时则逐渐趋向正态，这种趋向正
态的“速度”是很快的
7.伽玛分布
在地震序列的有序性、地震发生率的齐次性、计数特征具有独立增量和平稳增量情况下,可以导出地震发生i次时间的概率密度为伽马密度函数(亦称为伽马分布，Gamma Distribution)
伽玛分布是统计学的一种连续概率函数。
Gamma分布中的参数α称为形状参数（shape parameter），β称为尺度参数（scale parameter）。
假设随机变量X为等到第α件事发生所需之等候时间, 密度函数为
其中，称为伽玛函数，伽玛函数是阶乘在实数上的泛化，满足性质。
下图为概率密度函数（图中a为形状参数、b为尺度参数）：
当α为正整数时，分布可看作α个独立的指数分布之和，当α趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。
⏹ 伽马分布的性质
● 伽马的分布期望为EX αβ=，方差为2()Var x αβ=，中数为1αβ
- ● 伽马的加成性：当两随机变量服从gamma 分配、相互独立、且单位时间内频
率相同时，gamma 分配具有加成性，即如果 ，那
么 8. 多项式分布
多项式分布（Multinomial Distribution ）是二项式分布的推广。
把二项分布推广至多个（大于2）互斥事件的发生次数，就得到了多项分布。
二项分布的典型例子是扔硬币，硬币正面朝上概率为p, 重复扔n 次硬币，k 次为正面的概率即为一个二项分布概率。
把二项扩展为多项就得到了多项分布。
比如扔骰子，不同于扔硬币，骰子有6个面对应6个不同的点数，那么1出现k 1次，2出现k 2次，3出现k 3次的概率服从多项分布。
如果有k 个可能结局A 1、A 2、…、A k ，分别将他们的出现次数记为随机变量X 1、X 2、…、X k ，它们的概率分布分别是p 1，p 2，…，p k ，那么在n 次采样的总结果中，A 1出现n 1次、A 2出现n 2次、…、A k 出现n k 次的这种事件的出现概率P 有下面公式：
用另一种形式写为：
若离散型随机变量X=(X 1,X 2,…,X k )的概率分布满足上式，则称X 服从参数为n ，p 1，p 2，…，p k 的多项分布，记为1~(,,,)k X M n p p L ，其数学期望为
11(,,)(,,)k k E X X np np =L L ，随机变量,1,,i X i k =L 的方差为()(1),1,,i i i Var X np p i k =-=L 。
多项分布1~(,,,)k X M n p p L 关于i X 的边缘分布是二项分布(,),1,2,,i B n p i k =L 。