随机变量序列的两种收敛性

§4.2随机变量序列的两种收敛性
在上一节中，我们从频率的稳定性出发，引入了
n η=∑=n i i n 1
1ξ−→−p a （n ∞→） 即随机变量序列{}n η依概率收敛于常数a 这么一个概念。

我们自然可以把所讨论的问题推广到a 不是一个常数，而是一个随机变量这样的情形，于是需要引入下面的定义。

定义4.2 设有一列随机变量1η，2η，3η，…，n η，如果对任意的ε>0,都有 lim ∞→n P ()εηη
<-n （4.6）
则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，并记作
lim ∞→n r η−→
−p η 或
n η−→
−p η （n ∞→） 由此可知，前一节中讨论过的大数定律只是上述依概率收敛的一种特殊情况。

我们已经知道
分布函数全面地描述了随机变量的统计规律，如果已知n η
−→−p η（n ∞→），那么它们相应的分布函数n F （x ）与F （x ）之间的关系会有什么样的关系呢?一个猜测是,对所有的x ，都有n F （x ）→ F （x ）（n ∞→）成立，这个猜测对不对呢?让我们看一个很简单的例子。

例4.2 设η，n η都是服从退化分布的随机变量，且P （η=0）=1,
P （n η=-
n 1）=1，n=1,2,… 于是对任给的ε>0，当n>ε
1时有 P （ηη-n ≥ε）=P （n η≥ε）=0
所以
n η−→
−p η （n ∞→） 成立。

又设η，n η的分布函数分别为F （x ），n F （x ），则
F （x ）=⎩
⎨⎧≤>0,20,1x x
F （x ）=⎪⎩
⎪⎨⎧-≤->n x n x 1,21,1 显然,当x ≠0时，
lim ∞→n n F （x ）= F （x ）
成立，当x=0时，
lim ∞→n n F （0）=lim ∞
→n 1=1≠0= F （0） 这个简单的例子表明，一个随机变量序列依概率收敛于某一个随机变量，相应的分布函数列不一定是在每一点上都收敛于这个随机变量的分布函数的。

但是，如果仔细观察一下这个例子，就会发现收敛关系不成立的点：x=0，恰好是F （x ）的不连续点。

如果我们撇开这些不
连续点而只考虑F （x ）的连续点。

那么在上述例子中，当n η
−→−p η（n ∞→）时，它们的分布函数之间就有
lim ∞→n n F （x ）= F （x ）
（x 是F （x ）的连续点）成立。

现在为把讨论引向一般的情形，有必要引入下述定义。

定义4.3 设F （x ），1F （x ），2F （x ），…，n F （x ）是一列分布函数，如果对F （x ）的每个连续点都x ，有
lim ∞→n n F （x ）= F （x ）
成立，则称分布函数列{})(x F n 弱收敛于分布函数F （x ），并记作
n F （x ）−→−w
F （x ） （4.7）
这里称呼“弱收敛”是自然的，因为它比在每一点上都收敛的要求在确是“弱”了些。

如果随机变量序列n η（η=1，2，3，…）的分布函数n F （x ）弱收敛于随机变量η的分布函数F （x ），也称n η按分布收敛于η，并记作 n η−→−
L q （n ∞→） 在例4.2中我们已经看到从n η−→−
p q （n ∞→）并不能推出相应的分布函数列n F （x ）在每一点上收敛于F （x ），而只是有n F （x ）−→−
w
F （x ）成立，现在自然要问，这个结果在一般情形下是否成立？也就是说，是否在任何情形下，都能从n η−→−p η推出相应的分布函数列n F （x ）−→−w F （x ）？回答是肯定的，这就是下面的定理。

定理4.4 若随机变量序列1η，2η，3η，…，n η依概率收敛于随机变量η，即
n η−→−
p q （n ∞→） 则相应的分布函数列1F （x ），2F （x ），…，n F （x ）弱收敛于分布函数F （x ），即
n F （x ）−→−
w F （x ） （n ∞→） 到这里，许多读者一定会问，这个定理的逆命题是否成立？
即是否能从分布函数列的弱收敛n F （x ）−→−
w
F （x ）推出相应的随机变量序列依概率收敛：n η−→−
p η？遗憾的是，一般说来这个的结论是不成立的，这只要研究一下下面的例子就可以明白了。

例4.3 抛掷一枚均匀的硬币，有两个可能结果：1ω=出现正面和2ω=出现反而，于
是有
P （1ω）=P （2ω）=2
1
令 η（ω）=⎩⎨
⎧=-=21,1,1ωωωω
则η（ω）是一个随机变量，基分布函数为 n F （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤<->1
,011,2
11,1x x x
这时，若ξ（ω）=-η（ω），则显然ξ（ω）与η（ω）有相同的分布函数F （x ）。

再令n η=η，n η的分布函数记作n F （x ），故n F （x ）=F （x ），于是对任意的x ∈R ，有
lim ∞→n n F （x ）= lim ∞
→n F （x ）= F （x ） 所以n F （x ）−→−
w F （x ）成立，而对任意的0<ε<2，恒有 P （ηη-n ≥
ε）=P （2η≥ε）=1≠0
即不可能有n η−→−p ξ成立。

在上述例子中，随机变量η与ξ在每次试验中取相反的两个数值，可是它们却有完全相同的分布函数。

由此可知，一般说来并不能从分布函数列的弱收敛肯定相应的随机变量序列依概率收敛。

但是在特殊情况，它却是成立的，那就是下面的定理。

定理4.5 随机变量序列n η−→
−p η=c （c 为常数）的充要条件是 n F （x ）
−→−w F （x ） 这是F （x ）是η≡c 的分布函数，也就是退化分布：
F （x ）=⎩
⎨⎧≤>c x c x ,0,1 我们知道大数定律所讨论的是随机变量序列依概率收敛于常数的问题，而定理4.5则把这个问题转化为讨论分布函数列弱收敛于退化分布的问题。

这样一转化，两个问题之间的关系就看得更清楚了。

由上述讨论可知分布函数列的弱收敛是一个很有用的概念。

但要直接判断一个分布函数的序列是否弱收敛，有时是很麻烦的，而判断相应的特征函数序列的收敛性却往往比较容易，在这种情形下，我们要用到下述的特征函数的连续性定理。

定理4.6 分布函数列{})(x F n 弱收敛于分布函数F （x ）的充要条件是相应的特征函数列{})(t n ϕ收敛于F （x ）的特征函数)(t ϕ。

在结束本节之前，我们顺便提一下斯鲁茨基定理：
设n 1ξ，n 2ξ，n 3ξ，…， kn ξ是k 个随机变量序列，并且
in ξ−→−p a i , （n ∞→,i=1,2, …,k）
又R （x 1, x 2,…, x k ）是k 元变量的有理函数，并且R （a 1,a 2,…,a k ）≠±∞,则有
R （n 1ξ，n 2ξ，…,kn ξ）−→−p R （a 1,a 2,…,a k ），n ∞→成立。