几种收敛函数的介绍
k均值聚类算法的收敛准则函数
k均值聚类算法的收敛准则函数
常见的收敛准则函数有两种：平均误差平方和（SSE）和轮廓系数。
1.平均误差平方和（SSE）：
平均误差平方和是一种度量聚类质量的准则函数。
它衡量了每个数据
点与其所属簇的质心之间的距离之和，表示了簇内离散程度的度量。
SSE
计算公式如下：
SSE = Σ(Σdist(xi, ci))^2
其中，xi表示第i个数据点，ci表示第i个数据点所属的簇的质心，dist(x, c)表示数据点x与质心c之间的距离。
2.轮廓系数：
轮廓系数是一种度量聚类结果的准则函数，用于评估聚类的紧密性和
区分度。
它通过度量簇内样本的紧密度和不同簇之间的分离度来刻画聚类
的质量。
轮廓系数的计算公式如下：
s(i) = (b(i) - a(i))/max(a(i), b(i))
其中，a(i)表示数据点i到同簇其他点的平均距离，b(i)表示数据点
i到其他簇的平均最短距离。
s(i)的取值范围在-1到1之间，值越接近1
表示聚类效果越好。
综上所述，k均值聚类算法的收敛准则函数是SSE和轮廓系数。
根据
具体的应用场景和需求，可以选择合适的准则函数来评估聚类的质量和判
断算法的收敛性。
几个常见的收敛,发散积分
几个常见的收敛,发散积分
收敛或发散积分是数学中常见的一种技术，用于计算函数的积分值。
它被广泛用于计算和估算各种积分的值以及计算其他数学公式的值，包括：对数函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、反余弦函数、反正弦函数等。
积分一般分为两类：收敛积分和发散积分。
收敛积分是指当函数的图像在某一点上发生改变时，它收敛到一个特定的点，而发散积分是指函数在某一点上发生改变时，它会发散到更高的水平。
收敛积分一般有三种形式：矩形收敛积分、梯形收敛积分和辛普森收敛积分。
矩形收敛积分是一种基本的收敛积分，它将函数的图形分成若干个矩形，每个矩形由一个左端点和一个右端点构成，积分值就是给定区域内所有矩形的面积之和。
梯形收敛积分和矩形收敛积分类似，区别只在于它将函数的图形分成若干个梯形，每个梯形由一个上端点、一个左端点和一个右端点构成，积分值就是给定区域内所有梯形面积之和。
最后，辛普森收敛积分是一种改进的收敛积分，它以一种更加精确的方式计算函数的积分值，它将函数的图形分成若干个辛普森三角形，每个三角形由一个顶点和两个底边构成，积分值就是给定区域内所有辛普森三角形的面积之和。
发散积分一般也有三种形式：拉格朗日发散积分、双曲发散积分和伽马发散积分。
拉格朗日发散积分是一种常见的发散积分，它通过划分不同的部分来进行发散积分，每个部分包含一个头部和一个尾部，每一部分的积分值就是从头部到尾部的积分值之和，最后积分值就是所有部分的积分值之和。
双曲发散积分和拉格朗日发散积分类似，也是划分不同的部分，每个部分由头部和尾部构成，不同的是，每部分的积分值不是从头部到尾部的积分值之和，而是经过特殊函数变换后的积分值之和。
几种收敛函数的介绍
概率论中的收敛-正文概率论中的极限定理和数理统计学中各种统计量的极限性质，都是按随机变量序列的各种不同的收敛性来研究的。
设{X n,n≥1}是概率空间(Ω,F,P)（见概率）上的随机变量序列，从随机变量作为可测函数看，常用的收敛概念有以下几种：以概率1收敛若,则称｛X n,n≥1｝以概率1收敛于X。
强大数律（见大数律）就是阐明事件发生的频率和样本观测值的算术平均分别以概率 1收敛于该事件的概率和总体的均值。
以概率 1收敛也常称为几乎必然（简记为α.s）收敛,它相当于测度论中的几乎处处（简记为α.e.）收敛。
依概率收敛若对任一正数ε,都有，则称{X n,n≥1}依概率收敛于X。
它表明随机变量X n与X发生较大偏差(≥ε)的概率随n无限增大而趋于零。
概率论中的伯努利大数律就是最早阐明随机试验中某事件 A发生的频率依概率收敛于其概率P(A)的。
依概率收敛相当于测度论中的依测度收敛。
r阶平均收敛对r≥1,若X n-X的r阶绝对矩(见矩)的极限,则称{X n,n≥1}r阶平均收敛于X。
特别，当r=1时，称为平均收敛；当r=2时,称为均方收敛，它在宽平稳过程（见平稳过程）理论中是一个常用的概念。
弱收敛设X n的均值都是有限的，若对任一有界随机变量Y都有,则称{X n,n≥1}弱收敛于X。
由平均收敛可以推出弱收敛。
从随机变量的分布函数（见概率分布）看，常用的有如下收敛概念。
分布弱收敛设F n、F分别表示随机变量X n、X的分布函数,若对F的每一个连续点x都有，则称X n的分布F n弱收敛于X的分布F,也称X n依分布收敛于X。
分布弱收敛还有各种等价条件，例如,对任一有界连续函数ƒ(x)，img src="image/254-6.gif" align="absmiddle">。
分布弱收敛是概率论和数理统计中经常用到的一种收敛性。
中心极限定理就是讨论随机变量序列的标准化部分和依分布收敛于正态随机变量的定理。
函数列收敛之间的关系
(x)
=
⎪⎪1 ⎨
⎪0
⎪⎩
x
∈
⎛ ⎜
⎝
j −1 ,
2n
j 2n
⎥⎦⎤,
x ∉ ⎜⎛ ⎝
j −1 ,
2n
j 2n
⎥⎦⎤,
( j = 1,2,⋯,2n )
{ } 把
f
( j
n)
,
j
=
1,2,⋯,2 n
先按 n 后按 j 的顺序逐个地排成一列：
f (1) 1
(
x)
，
f
( 1
2)
(
x),⋯,
f1(n) (x) ，
(x)
是从左边数起的第
i
个小区间上恒等于
1，而在其他地方恒等
于 0。
一般地，将 [0,1]分为 k 等分，定义第 k 组的第 i 个函数为，令
f1(x) =
f (1) 1
(
x)
，
f 2 (x) = f1(2) (x)
，
f3 (x) =
f
(2) 2
(
x)
，
f4 (x) =
f (3) 1
(
x)
，
f5 (x) =
>
0，
{ } lim mE
n→∞
x
fn (x) −
f (x)
≥σ
= 0 ，所以 fn (x) ⇒ f (x) = 0 ， x ∈ [0,1]。但是若取
g(x) = 1， x ∈ [0,1]，则 g(x) ∈ Lp (E) 。而
1
1
1
∫ ∫ ∫ lim
n→∞
0
fn (x)g(x)dx
=
三大收敛定理
三大收敛定理引言在数学领域，收敛是一个重要的概念。
当一个数列或函数的值越来越接近一个确定的极限值时，我们称之为收敛。
收敛定理是指一系列定理，用于判断数列或函数是否收敛以及极限的性质。
本文将介绍三大收敛定理，分别是柯西收敛准则、夹逼定理和单调有界数列定理。
这些定理是数学分析中最重要的基本定理之一。
一、柯西收敛准则柯西收敛准则是判断数列是否收敛的一种重要方法。
柯西收敛准则的基本思想是：如果对于任意给定的正数ε，存在一个自然数N，使得当n和m大于等于N时，数列的前n个元素和前m个元素之差的绝对值小于ε，则该数列是收敛的。
表达式表示如下：对于任意给定的ε>0，存在自然数N，对于任意n,m>N，有|an - am| < ε。
二、夹逼定理夹逼定理是用来判断函数极限的一种重要方法。
夹逼定理的基本思想是：如果一个函数在某个区间上的两个函数夹住，且两个函数的极限相等，则这个函数的极限也相等。
具体的说：假设函数f(x)、g(x)和h(x)在区间[a, b]内定义，并且当x在这个区间上时，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
如果当x趋于某个值c时，有lim(g(x)) = lim(h(x)) = L，则lim(f(x))也等于L。
三、单调有界数列定理单调有界数列定理是判断数列是否收敛的一种常用方法。
该定理分为两部分：单调有上界的数列必有极限，以及单调有下界的数列必有极限。
单调有上界的数列必有极限可以表述为：如果一个实数数列递增且有上界，那么这个数列是收敛的。
同理，单调有下界的数列必有极限可以表述为：如果一个实数数列递减且有下界，那么这个数列也是收敛的。
实例应用下面我们通过一个实例来应用上述三大收敛定理。
例：判断数列{(-1)^n/n}是否收敛。
首先，我们可以通过柯西收敛准则来判断数列是否收敛。
对于任意给定的ε>0，我们有：|an - am| = |(-1)^n/n - (-1)^m/m| ≤ 2/n ≤ ε。
可测函数列常见的几种收敛
可测函数列常见的几种收敛摘 要：本文介绍了可测函数列常见的几种收敛：一致收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系．关键字：可测函数列；一致收敛；几乎一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛前言在数学分析中我们知道一致收敛是函数列很重要的性质，比如它能保证函数列的极限过程和(R)积分过程可交换次序等．可是一般而言函数列的一致收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也不一定是一致收敛的，如文中所给的例2函数()f x 在收敛域[0,1]内不一致收敛，但对于一个0δ>当0δ→时在[0,]δ内一致收敛，这不见说明了一致收敛的特殊性，也验证了我们平时常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相联系的、相辅相成的”[1]1 可测函数列几种收敛的定义1.1 一致收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集E 上的实值函数．若对于0,ε∀>存在,K N +∈使得对于,k K x E ∀≥∀∈都有()()k f x f x ε-<则称}{()k f x 在E 上一致收敛到()f x ．记作： u k f f −−→(其中u 表示一致uniform)．1.2 点点收敛若函数列12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 在点集D E ⊂上每一点都收敛，则称它在D 上点点收敛．例1 定义在[0,1]E =上的函数列1(),1k f x kx=+则()k f x 在E 上点点收敛到函数 1,0,()0,0 1.x f x x =⎧=⎨<≤⎩ 而且还能看出{()}k f x 在[]0,1上不一致收敛到()f x ，但对于0,{()}k f x δ∀>在[,1]δ上一致收敛到()f x ．1.3 几乎一致收敛[3]设E 是可测集，若0,,E E δδ∀>∃⊂使得(\),m E E δδ<在E δ上有u k f f −−→则称{()}k f x 在E 上几乎一致收敛与()f x ，并记作...a u k f f −−→(其中a.u ．表示几乎一致almost uniform) ．例2 定义在[]0,1E =上的函数()k k f x x =在[]0,1上收敛却不一致收敛．但是只要从[]0,1的右端点去掉任一小的一段使之成为[]()0,10,0δδδ->→则{()}k f x 在此区间上就一致收敛，像这样的收敛我们就可以称之为在[]0,1E =上几乎一致收敛与0．1.4 几乎处处收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集n E R ⊂上的广义实值函数．若存在E 中点集Z ，有()0,m Z =及对于每一个元素\x E Z ∈，有lim ()()k x f x f x →∞= 则称{()}k f x 在E 上几乎处处收敛与()f x ，并简记为,.[]k f f a e E →或..a e k f f −−→若上文的例1也可以称之为在[]0,1上几乎处处收敛与()f x ．1.5 依测度收敛例3在[0,1)上构造函数列{()}k f x 如下：对于k N +∈，存在唯一的自然数i 和j ，使得2,i k j =+其中02,i j ≤≤令1[,)22()(),1,2,,[0,1).i i k j j f x x k x χ+==∈任意给定的0[0,1),x ∈对于每一个自然数i ，有且仅有一个j ，使得01[,)22i i j j x +∈．数列0{()}f x 中有无穷多项为1，有无穷多项为0．由此可知，函数列{()}k f x 在[0,1)上点点不收敛．因此仅考虑点收敛将得不到任何信息．然而仔细观察数列0{()}k f x 虽然有无穷多个1出现，但是在“频率”意义下，0却也大量出现．这一事实可以用点集测度语言来刻画．只要k 足够大，对于01,ε<≤点集{[0,1)()0}{[0,1)()1}1[,)22k k i ix f x x f x j j ε∈-≥=∈=+= 的测度非常小．事实上 1({[0,1)()0})2k i m x f x ε∈-≥=． 这样对于任给的0,δ>总可以取到0,k 也就是取到0,i 使得当0k k >时，有({[0,1)()0})1k m x f x εδ∈-<>-其中02i δ-<．这个不等式说明，对于充分大的h ，出现0的“频率”接近1．我们将把这样一种现象称为函数列{()}k f x 在区间[0,1)上依测度收敛到零函数，并将抽象出以下定义[3]：设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是可测集E 上几乎处处有限的可测函数．若对于任意给定的0,ε>有lim (())0,k x m E f f ε→∞->= 则称{()}k f x 在E 上依测度收敛到函数()f x ，记为.m k f f −−→2 可测函数列几种收敛的关系2.1 点点收敛与一致收敛的关系由上述定义我们可以知道u k f f −−→，必有{()}k f x 点点收敛于()f x ．如例1．反之则不一定成立，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则()f x 也是可测函数．2.2 几乎处处收敛与一致收敛的关系由定义可知有一致收敛必几乎处处收敛....()a u a e k k f f f f −−→⇒−−→．反之则不然，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则极限函数()f x 也是可测函数．应用：从数学分析我们知道一致收敛的函数列对于求极限运算和(R)积分运算、微分运算与(R)积分运算等可以交换次序．2.3 几乎处处收敛与一致收敛的关系叶果洛夫(E ΓopoB )定理[5]：设(),{}n m E f <∞是E 上一列a.e ．收敛于一个a.e ．有限的函数f 的可测函数，则对于任意的0δ>，存在子集E E δ⊂，使{}n f 在E δ上一致收敛，且(\)m E E δδ<．注 定理中“()m E <∞”不可去掉如：例4定义在(0,)E =+∞的函数列1,(0,]()(1,2,).0,(,)m x m x m x m f ∈⎧==⎨∈+∞⎩ 则m f 在(0,)+∞上处处收敛于1，但对于任何正数δ及任何可测集E δ，当时(\)m E E δδ<时，m f 在E δ上不一致收敛于1．这是因为，当时(\)m E E δδ<时，E δ不能全部含于(0,]m 中，必有(,)m E m x δ∈+∞ ，于是有()0m m x f =．sup ()1()11m m m x E f x f x δ∈-≥-=所以()m x f 在E δ上不一致收敛与1，也即定理中“()m E <∞”不可去掉[4]．由定义我们知道一致收敛必是几乎处处收敛的，反之则不成立．但它们又有密切的关系，即使上述定理告诉我们几乎处处收敛“基本上”是一致收敛的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．应用 由上述定理我们还可以得到“鲁津定理”：设()f x 是E 上a.e ．有限的可测函数，则对于任意的0δ>，存在闭子集E F δ⊂，使()f x 在F δ上是连续函数，且(\)m E F δδ<．也就是说：在E 上a.e ．有限的可测函数“基本上”是连续的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．也即我们可以用连续函数来逼近a.e ．有限的可测函数．2.4几乎处处收敛与依测度收敛的关系例5 取(0,1]E =，将E 等分，定义两个函数：(1)111,(0,]2()10,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩， (1)210,(0,]2()11,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩． 然后将(0,1]四等分、八等分等等．一般的，对于每个n ，作2n 个函数：()11,(,]22()1,2,,2.10,(,]22n n n n j n j j x x j j j x f -⎧∈⎪⎪==⎨-⎪∉⎪⎩ ．我们把(),1,2,,2{}n j x j f = ，先n 按后按j 的顺序逐个的排成一列：(1)(1)()()()12122(),(),,(),(),,(),n n n n x f x f x f x f x f (1)()()n j x f 在这个序列中是第22n j N -+=个函数．可以证明这个函数列是依测度收敛于零的．这是因为对于任何的0σ>，()0[]n j f E σ-≥或是空集(当1σ>)，或是1,22(]n n j j - (当01σ<≤)，所以 ()102([])n j n f m E σ-≥≤ (当时1σ>时，左端为0)．由于当2(1,2,,2.)2n n j j N -+== 趋于∞时n →∞，由此可见()([0])0lim n j N m E f σ→∞-≥=， 也即()()0m n j x f −−→．但是函数列(1)在上的任何一点都不收敛．事实上，对于任何点0(0,1]x ∈，无论n 多么大，总存在j ，使01(,]22n n j j x -∈，因而()0()1n j x f =，然而()10()0n j x f +=或()10()0n j x f -=，换言之，对于任何0(0,1]x ∈，在()0(){}n j x f 中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为0．所以序列(1)在(0,1]上任何点都是发散的．这也就说明依测度收敛的函数列不一定处处收敛，也就是说依测度收敛不能包含几乎处处收敛，但仍有：黎斯(F ．Riesz) [5] 设在E 上{}n f 测度收敛于f ，则存在子列{}i n f 在E 上a.e ．收敛于f ．例6 如例4，当()1()m x n f →→∞当x E ∈．但是当01σ<<时，1[](,)m f E m σ-≥=+∞且(,)m m +∞=∞．这说明}{n f 不依测度收敛于1．这个例子又说明了几乎处处收敛也不包含依测度收敛，但是有下述关系： 勒贝格(Lebesgue) [5] 设mE <∞，{}n f 是E 上a.e ．有限的可测函数列， {}n f 在E 上a.e ．收敛于a.e ．有限的函数f ，则()()m n x f x f −−→．此定理中的“mE <∞”不可去掉，原因参看例1．定理也说明在的在的条件mE <∞下，依测度收敛弱于几乎处处收敛．有以上定理黎斯又给出了一个用几乎处处收敛来判断依测度收敛的充要条件： 设mE <∞，{}n f 是E 上的可测函数列，那么{}n f 依测度收敛于f 的充要条件是：{}n f 的任何子列{}k n f 中必可找到一个几乎处处收敛于f 的子序列．证明（必要性） 由于{}n f 依测度收敛于f ，由定义知道这时{}n f 的的任何子序列{}k n f 必也依测度收敛于f ，由黎斯定理可知{}k n f 中必存在几乎处处收敛于f 的子序列．（充分性） 如果{}n f 不依测度收敛于f ，即存在一个0σ>，使得()n f f m E σ-≥不趋于0．因此必有子序列{}k n f ，使得(())0.lim kn k m E f f a σ→∞-≥=> 这样{}k n f 就不可能再有子序列几乎处处收敛于f 了，否则由勒贝格定理知将有{}k n f 依测度收敛于f ，即(())0.lim kn k m E f f σ→∞-≥= 这与上式矛盾，所以{}n f 依测度收敛于f ．应用 依测度收敛在概率统计中有重要的意义，如例3；它也是证明中心极限定理的重要依据，由中心极限定理我们可以知道用一个正态分布来模拟一个样本容量较大的样本的概率分布， 从而简化了大样本概率分布的处理和计算[7]．结束语：上述定义中的各种收敛的极限函数都是唯一的，而且从本文还可以知道一致收敛是最强的收敛，它蕴含了点点收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等上述几种收敛．各种收敛都有不同的意义，在各种实践中作用也各不同．参考文献：[1]马克思主义基本原理概论教材编写课题组．马克思主义基本原理概论[M]．高等教育出版社，2009,7[2] 华东师范大学数学系．数学分析(第三版)[M]．高等教育出版社，2001,6．[3] 郭懋正．实变函数与泛函分析[M]．北京大学出版社，2005,2[4] 柳藩，钱佩玲．实变函数论与泛函分析[M]．北京师范大学出版社，1987．[5] 程其襄，张奠宙，魏国强等．实变函数与泛函分析既基础[M]．高等教育出版社，2003,7．[6] 夏道行，严绍宗等复旦大学数学系主编．实变函数与应用泛函分析基础[M]．上海科学技术出版社．1987．[7] 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程[M]．高等教育出版社，2004,7．。
可测函数列常见的几种收敛
可测函数列稀有的几种收敛之相礼和热创作择要：本文引见了可测函数列稀有的几种收敛：同等收敛、几乎同等收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系．关键字：可测函数列；同等收敛；几乎同等收敛；几乎处处收敛；依测度收敛前言在数学分析中我们晓得同等收敛是函数列很紧张的性子，比方它能包管函数列的极限过程和(R)积分过程可交换次序等．可是一样平常而言函数列的同等收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也纷歧定是同等收敛的，如文中所给的例2函数()f x 在收敛域[0,1]内纷歧致收敛，但对于一个0δ>当0δ→时在[0,]δ内同等收敛，这不见阐明了同等收敛的特殊性，也验证了我们平常常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相联系的、相反相成的”[1]1可测函数列几种收敛的定义1.1同等收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集E 上的实值函数．若对于0,ε∀>存在,K N +∈使得对于,k K x E ∀≥∀∈都有则称}{()k f x 在E 上同等收敛到()f x ．记作：u k f f −−→(其中u 暗示同等uniform)．1.2点点收敛若函数列12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 在点集D E ⊂上每一点都收敛，则称它在D 上点点收敛． 例1定义在[0,1]E =上的函数列1(),1k f x kx =+则()k f x 在E 上点点收敛到函数 而且还能看出{()}k f x 在[]0,1上纷歧致收敛到()f x ，但对于0,{()}k f x δ∀>在[,1]δ上同等收敛到()f x ． 1.3几乎同等收敛[3]设E 是可测集，若0,,E E δδ∀>∃⊂使得(\),m E E δδ<在E δ上有u k f f −−→则称{()}k f x 在E 上几乎同等收敛与()f x ，并记作...a u k f f −−→(其中a.u ．暗示几乎同等almost uniform)．例2定义在[]0,1E =上的函数在[]0,1上收敛却纷歧致收敛．但是只需从[]0,1的右端点往掉任一小的一段使之成为[]()0,10,0δδδ->→则{()}k f x 在此区间上就同等收敛，像这样的收敛我们就可以称之为在[]0,1E =上几乎同等收敛与0．1.4几乎处处收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集n E R ⊂上的广义实值函数．若存在E 中点集Z ，有()0,m Z =及对于每一个元素\x E Z ∈，有 则称{()}k f x 在E 上几乎处处收敛与()f x ，并简记为,.[]k f f a e E →或..a e k f f −−→ 若上文的例1也可以称之为在[]0,1上几乎处处收敛与()f x ．1.5依测度收敛例3在[0,1)上构造函数列{()}k f x 如下：对于k N +∈，存在独一的自然数i 和j ，使得2,i k j =+其中02,i j ≤≤令 恣意给定的0[0,1),x ∈对于每一个自然数i ，有且仅有一个j ，使得01[,)22i i j j x +∈．数列0{()}f x 中有无量多项为1，有无量多项为0．由此可知，函数列{()}k f x 在[0,1)上点点不收敛．因此仅考虑点收敛将得不到任何信息．但是细致观察数列0{()}k f x 虽然有无量多个1出现，但是在“频率”意义下，0却也大量出现．这一现实可以用点集测度言语来刻画．只需k 充足大，对于01,ε<≤点集的测度非常小．现实上1({[0,1)()0})2k i m x f x ε∈-≥=．这样对于任给的0,δ>总可以取到0,k 也就是取到0,i 使得当0k k >时，有其中02i δ-<．这个不等式阐明，对于充分大的h ，出现0的“频率”接近1．我们将把这样一种征象称为函数列{()}k f x 在区间[0,1)上依测度收敛到零函数，并将笼统出以下定义[3]： 设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是可测集E 上几乎处处无限的可测函数．若对于恣意给定的0,ε>有则称{()}k f x 在E 上依测度收敛到函数()f x ，记为.m k f f −−→2可测函数列几种收敛的关系2.1点点收敛与同等收敛的关系由上述定义我们可以晓得u k f f −−→，必有{()}k f x 点点收敛于()f x ．如例1．反之则纷歧定成立，如例2．而且还可以得到假如{()}k f x 可测集E 上的可测函数列，则()f x 也是可测函数．2.2几乎处处收敛与同等收敛的关系由定义可知有同等收敛必几乎处处收敛....()a u a e k k f f f f −−→⇒−−→．反之则否则，如例2．而且还可以得到假如{()}k f x 可测集E 上的可测函数列，则极限函数()f x 也是可测函数．使用：从数学分析我们晓得同等收敛的函数列对于求极限运算和(R)积分运算、微分运算与(R)积分运算等可以交换次序．2.3几乎处处收敛与同等收敛的关系叶果洛夫(E ΓopoB)定理[5]：设(),{}n m E f <∞是E 上一列a.e ．收敛于一个a.e ．无限的函数f 的可测函数，则对于恣意的0δ>，存在子集E E δ⊂，使{}n f 在E δ上同等收敛，且(\)m E E δδ<．注定理中“()m E <∞”不成往掉如：例4定义在(0,)E =+∞的函数列则m f 在(0,)+∞上处处收敛于1，但对于任何负数δ及任何可测集E δ，当时(\)m E E δδ<时，m f 在E δ上纷歧致收敛于1．这是由于，当时(\)m E E δδ<时，E δ不克不及全部含于(0,]m 中，必有(,)m E m x δ∈+∞，于是有()0m m x f =．以是()m x f 在E δ上纷歧致收敛与1，也即定理中“()m E <∞”不成往掉[4]．由定义我们晓得同等收敛必是几乎处处收敛的，反之则不成立．但它们又有紧密的关系，即便上述定理告诉我们几乎处处收敛“基本上”是同等收敛的(在除往一个测度为恣意小集合的子集上)．使用由上述定理我们还可以得到“鲁津定理”：设()f x 是E 上a.e ．无限的可测函数，则对于恣意的0δ>，存在闭子集E F δ⊂，使()f x 在F δ上是连续函数，且(\)m E F δδ<．也就是说：在E 上a.e ．无限的可测函数“基本上”是连续的(在除往一个测度为恣意小集合的子集上)．也即我们可以用连续函数来逼近a.e ．无限的可测函数．2.4几乎处处收敛与依测度收敛的关系例5取(0,1]E =，将E 等分，定义两个函数：(1)111,(0,]2()10,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，(1)210,(0,]2()11,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩．然后将(0,1]四等分、八等分等等．一样平常的，对于每个n ，作2n 个函数：()11,(,]22()1,2,,2.10,(,]22n n n n j n j j x x j j j x f -⎧∈⎪⎪==⎨-⎪∉⎪⎩．我们把(),1,2,,2{}n j x j f =，先n 按后按j 的顺序逐一的排成一列： ()()n j x f 在这个序列中是第22n j N -+=个函数．可以证明这个函数列是依测度收敛于零的．这是由于对于任何的0σ>，或是空集(当1σ>)，或是1,22(]n n j j -(当01σ<≤)，以是(当时1σ>时，左端为0)．由于当2(1,2,,2.)2n n j j N -+==趋于∞时n →∞，由此可见 ()([0])0lim n j N m E f σ→∞-≥=，也即()()0m n j x f −−→．但是函数列(1)在上的任何一点都不收敛．现实上，对于任何点0(0,1]x ∈，无论n 多么大，总存在j ，使01(,]22n n j j x -∈，因此()0()1n j x f =，但是()10()0n j x f +=或()10()0n j x f -=，换言之，对于任何0(0,1]x ∈，在()0(){}n j x f 中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为0．以是序列(1)在(0,1]上任何点都是发散的．这也就阐明依测度收敛的函数列纷歧定处处收敛，也就是说依测度收敛不克不及包含几乎处处收敛，但仍有：黎斯(F ．Riesz)[5]设在E 上{}n f 测度收敛于f ，则存在子列{}in f 在E 上a.e ．收敛于f ． 例6 如例4，当()1()m x n f →→∞当x E ∈．但是当01σ<<时，且(,)m m +∞=∞．这阐明}{n f 不依测度收敛于1．这个例子又阐明了几乎处处收敛也不包含依测度收敛，但是有下述关系：勒贝格(Lebesgue)[5]设mE <∞，{}n f 是E 上 a.e ．无限的可测函数列，{}n f 在E 上a.e ．收敛于a.e ．无限的函数f ，则()()m n x f x f −−→．此定理中的“mE <∞”不成往掉，缘故原由参看例1．定理也阐明在的在的条件mE <∞下，依测度收敛弱于几乎处处收敛．有以上定理黎斯又给出了一个用几乎处处收敛来判别依测度收敛的充要条件：设mE <∞，{}n f 是E 上的可测函数列，那么{}n f 依测度收敛于f 的充要条件是：{}n f 的任何子列{}kn f 中必可找到一个几乎处处收敛于f 的子序列．证明（必要性） 由于{}n f 依测度收敛于f ，由定义晓得这时{}n f 的的任何子序列{}kn f 必也依测度收敛于f ，由黎斯定理可知{}kn f 中必存在几乎处处收敛于f 的子序列． （充分性）假如{}n f 不依测度收敛于f ，即存在一个0σ>，使得不趋于0．因此必有子序列{}kn f ，使得 这样{}kn f 就不成能再有子序列几乎处处收敛于f 了，否则由勒贝格定理知将有{}kn f 依测度收敛于f ，即这与上式矛盾，以是{}n f依测度收敛于f．使用依测度收敛在概率统计中有紧张的意义，如例3；它也是证明中心极限定理的紧张根据，由中心极限定理我们可以晓得用一个正态分布来模仿一个样本容量较大的样本的概率分布，从而简化了大样本概率分布的处理和计算[7]．结束语：上述定义中的各种收敛的极限函数都是独一的，而且从本文还可以晓得同等收敛是最强的收敛，它包含了点点收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等上述几种收敛．各种收敛都有分歧的意义，在各种理论中作用也各分歧．参考文献：[1]马克思主义基来源根基理概论教材编写课题组．马克思主义基来源根基理概论[M]．高等教育出版社，2009,7[2]华东师范大学数学系．数学分析(第三版)[M]．高等教育出版社，2001,6．[3]郭懋正．实变函数与泛函分析[M]．北京大学出版社，2005,2[4]柳藩，钱佩玲．实变函数论与泛函分析[M]．北京师范大学出版社，1987．[5]程其襄，张奠宙，魏国强等．实变函数与泛函分析既根底[M]．高等教育出版社，2003,7．[6]夏道行，严绍宗等复旦大学数学系主编．实变函数与使用泛函分析根底[M]．上海科学技术出版社．1987．[7]茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程[M]．高等教育出版社，2004,7．。
常见收敛发散级数表
常见收敛发散级数表常见收敛发散级数表收敛和发散是微积分中非常重要的概念，通过研究不同级数的收敛性质，我们可以更好地理解数学中的数列和级数。
本文将介绍一些常见的收敛和发散级数。
1. 调和级数：调和级数是最简单的级数之一，它的一般形式为：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...调和级数是发散的，也就是说，它的和无穷大。
这个结论是由数学家埃德马·费马在17世纪证明的。
2. 几何级数：几何级数是一种形如a + ar + ar^2 + ar^3 + ...的级数，其中a为首项，r为公比。
当|r| < 1时，几何级数收敛，其和为a/(1-r)。
当|r| ≥ 1时，几何级数发散。
3. 幂级数：幂级数是形如∑(n=0到无穷) [an(x-c)^n]的级数，其中an是系数，c是常数。
幂级数的收敛半径R可以通过求解极限lim(n→∞) |an/an+1|来确定。
当|x-c| < R时，幂级数收敛；当|x-c| > R时，幂级数发散。
4. 斯特林级数：斯特林级数是一个近似级数，用于估算阶乘的近似值。
斯特林级数的一般形式为：n! ≈√(2πn) (n/e)^n该级数是收敛的，但是注意，它只是对阶乘的估算，并不精确。
5. Fourier级数：Fourier级数是用一组三角函数的无穷级数来表示周期函数的方法。
Fourier级数的收敛性和周期函数的光滑性相关。
对于光滑的函数，其Fourier级数收敛于函数本身。
然而，对于非光滑的函数，Fourier级数可能会发散或者收敛到函数的不同形式。
总结：本文介绍了一些常见的收敛和发散级数。
调和级数是发散的，几何级数在公比小于1时收敛，幂级数在一定条件下收敛，斯特林级数是对阶乘的近似，而Fourier级数用于表示周期函数。
级数的收敛性质是数学研究中的重要内容，对深入理解微积分等数学领域起到了关键作用。
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概率论中的收敛-正文
概率论中的极限定理和数理统计学中各种统计量的极限性质，都是按随机变量序列的各种不同的收敛性来研究的。
设{X n,n≥1}是概率空间(Ω,F,P)（见概率）上的随机变量序列，从随机变量作为可测函数看，常用的收敛概念有以下几种：
以概率1收敛若,则称｛X n,n≥1｝以概率1收敛于X。
强大数律（见大数律）就是阐明事件发生的频率和样本观测值的算术平均分别以概率 1收敛于该事件的概率和总体的均值。
以概率 1收敛也常称为几乎必然（简记为α.s）收敛,它相当于测度论中的几乎处处（简记为α.e.）收敛。
依概率收敛若对任一正数ε,都有，则称{X n,n≥1}依概率收敛于X。
它表明随机变量X n与X发生较大偏差(≥ε)的概率随n无限增大而趋于零。
概率论中的伯努利大数律就是最早阐明随机试验中某事件 A发生的频率依概率收敛于其概率P(A)的。
依概率收敛相当于测度论中的依测度收敛。
r阶平均收敛对r≥1,若X n-X的r阶绝对矩(见矩)的极限,则称{X n,n≥1}r阶平均收敛于X。
特别，当r=1时，称为平均收敛；当r=2时,称为均方收敛，它在宽平稳过程（见平稳过程）理论中是一个常用的概念。
弱收敛设X n的均值都是有限的，若对任一有界随机变量Y都有,则称{X n,n≥1}弱收敛于X。
由平均收敛可以推出弱收敛。
从随机变量的分布函数（见概率分布）看，常用的有如下收敛概念。
分布弱收敛设F n、F分别表示随机变量X n、X的分布函数,若对F的每一个连续点x都有，则称X n的分布F n弱收敛于X的分布F,也称X n依分布收敛于X。
分布弱收敛还有各种等价条件，例如,对任一有界连续函数ƒ(x)，
img src="image/254-6.gif" align="absmiddle">。
分布弱收敛是概率论和数理统计中经常用到的一种收敛性。
中心极限定理就是讨论随机变量序列的标准化部分和依分布收敛于正态随机变量的定理。
大样本统计中也要讨论各种统计量依分布收敛的问题。
分布淡收敛设{F n(x)，n≥1}为分布函数列，而F(x)为一非降右连续函数（不一定是分布函数），若对F(x)的每一个连续点x都有
，则称F n淡收敛于F。
上述各种收敛之间有如下蕴含关系（A崊B表示由A可推出B）,若r′≥r≥1,则有:。
此外，依概率收敛于常数与依分布收敛于常数是等价的。
当是独立随机变量序列{Y j,j≥1}的部分和时，X n依分布收敛、依概率收敛和以概率1收敛三者是等价的。
随着概率论的发展，上述收敛概念还推广到取值于一般可测空间（见测度论）的随机元（见随机过程）序列的各种收敛性。
例如随机过程序列的分布弱收敛（见随机过程的极限定理），巴拿赫空间随机元序列的收敛等。