函数列及其一致收敛性
一致收敛函数列与函数项级数的性质
1 n 1
12n
2
(2n 2n2x)dx
而
1
lim
0 n
1
1 0dx
n
fn (x)dx
1 2
0
不相等
(2) 定理的条件是充分的, 但不必要
例3 fn (x) nxenx n 1, 2,... 在区间[0,1]上讨论.
f
(x)
lim
n
fn (x)
lim nxenx
n
0
x [0,1]
但在[0,1]上, fn(x) nxenx n 1, 2,...不一致收敛. 事实上,
{ fn(x)}的每一项在[a,b]上有连续的导数, 且{ fn(x)}在[a,b]上一致收敛,
则
d dx
f
(x)
d (lim dx n
fn (x))
lim n
d dx
fn (x)
3. 可微性
定理13.10 设{ fn (x)}为定义在[a,b]上的函数列, x0 [a,b]为{ fn(x)}的收敛点,
f (x)
f (x0 )
lim lim
xx0 n
fn (x)
f (x0 )
又 lim n
fn (x0 )
f (x0 )
lim
x x0
fn (x)
fn (x0 )
lim lim
n xx0
fn (x)
f (x0 )
所以
lim lim
xx0 n
fn
(x)
lim
n
lim
x x0
fn (x)
★ 在一致收敛条件下, 关于x与n极限可以交换极限顺序
fn (x) nxenx 在[0,1]的最大值为:
函数列与函数项级数一致收敛性解析
第十三章函数列与函数项级数§1 一致收敛性(一) 教学目的：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(二) 教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．基本要求：1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。
3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判别及应用。
(三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．————————————————————一函数列及其一致收敛性对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。
使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。
若函数列})({x f n 在数集E D ⊂上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值)()(lim x f x f n n =∞→与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。
第1节一致收敛性
当x 1有 f n (1) f (1) 0 ,
f n ( x )在(1,1]上收敛, 且其极限函数为
0, f ( x) 1,
n
x 1 x 1
当 x 1, 有 x ( n ),
x 1, 有 1,1,1,发散 .
x n 在(1.,1]外均发散
( 2) nx(1 x )n
nx x f ( x) 解 : (1)x [0,1], 有 lim n 1 n x
nx 而 sup f n ( x ) f ( x ) sup x x[ 0 ,1] x[ 0 ,1] 1 n x
x(1 x ) 2 sup n x[ 0,1] 1 n x
而 ln(1 an )或 an收敛 lim an 0
n
ln(1 an ) lim 1, 由比较判别法知 ： n an
ln(1 a
n
)与 an同敛散 .
CH13.函数列与函数项级数
第一节 一致收敛性
第二节 一致收敛函数列与 函数项级数的性质
第一节 一致收敛性
2.若一致收敛， 则必收敛； 反之不真.
定理1 : (函数列的一致收敛性)函数列 f n 在数集D上
一致收敛 0, N 0, 使得n, m N
对于一切x D,均有 f n ( x ) f m ( x ) f ( n ), x D 证明 : (必要性)设 f n
1 且f n ( x ) n f ( x ) f ( x ) , 则函数列 f n ( x ) n 在[, ] (a, b)一致收敛于函数f ( x ).
证明： r (, b), x [, ], N1 0, n N1 , 有
一致收敛性
n xD n xD
数学分析选讲
多媒体教学课件
三、函数项级数的一致收敛性判别法 定理5(维尔斯特拉斯判别法)设函数项级数un(x)定义 在数集D上, Mn为收敛的正项级数,若对一切xD,有
n 1
由f(x)的连续性,
1 1 k lim f n( x) lim f( x ) f( x t) dt. 0 n n n k 0 n n 1
数学分析选讲
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n 1
| fn ( x)
1
0
1 1 k f ( x t )dt || f ( x ) f ( x t )dt | 0 n k 0 n
n n充分大时, x 2 n 2 单调递减收敛于0.故原级数为莱布
尼兹级数.且
n 1 1 | rn ( x ) || 2 , 2 x ( n 1) n 1
故原级数一致收敛.
数学分析选讲
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例4 证明函数列
x f n ( x ) n ln(1 )( n 1, 2,) n
k 1 n k n
k | f ( x ) f ( x t ) | dt | n
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由于
k k 1 t [ , ] n n
所以
k k 1 | x ( x t ) || t | , n n n
故取n 充分大,使1/ n <,则
k | f ( x ) f ( x t ) | . n
n 1
在[a, b]上一致收敛.
数学分析选讲
判断函数收敛发散的方法总结
判断函数收敛发散的方法总结
判断函数收敛发散的方法可以总结如下：
1.极限存在性：判断函数在某点处的极限是否存在，如果存在，则函数在该点处收敛，反之则发散。
2.数列收敛性：利用数列与函数之间的关系来判断函数的收敛发散性。
例如，通过取函数在某点处的数列极限，判断该极限是否存在、唯一以及与函数在该点处的函数值是否相等，如果满足条件，则函数在该点处收敛。
3. Cauchy收敛准则：对于实数函数，如果对于任意正实数ε，存在正实数δ，使得当两个自变量值的差小于δ时，函数值之差的绝对值小于ε，那么该函数是Cauchy收敛的，即可认为函数在该点处收敛。
4.一致收敛性：如果函数在其定义域上任意一个区间内均收敛，则称该函数在该定义域上一致收敛。
5.瑕点收敛性：对于一个拓展实数域上的函数，在其定义域上的一切点除了有限极点外，均有极限，那么该函数在其定义域上就是瑕点收敛的。
dini定理证明函数列一致收敛
dini定理证明函数列一致收敛1.引言在实际问题中，许多数学模型和现象都涉及到一系列函数，例如傅里叶级数、泰勒级数、广义傅里叶级数等等。
要研究这些函数列的性质，我们需要了解函数列的收敛性质。
函数列一致收敛是函数分析中常常被研究的问题。
本文将介绍Dini定理，该定理是一种判定函数列一致收敛的方法。
2.函数列的一致收敛一般地，如果函数列$\{f_n(x)\}$在定义域$D$上的每一点$x$都有极限$f(x)$，那么我们称$\{f_n(x)\}$在$D$上收敛于函数$f(x)$。
另外，如果对于任意的$\epsilon>0$，存在$N$，使得对于任意的$n>N$和$x\in D$，都有$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$，那么我们称函数列$\{f_n(x)\}$在$D$上一致收敛于函数$f(x)$。
一致收敛是强收敛的一种形式，它要求在整个定义域上，函数列中的函数都以同样的速度趋于极限函数。
柯西收敛准则和魏尔斯特拉斯判别法都可以用来判断函数列的一致收敛性。
3.Dini定理Dini定理是函数分析中的一条著名定理，它提供了一种判定函数列一致收敛的方法。
首先，我们来看一下Dini定理的表述：Dini定理：若函数列$\{f_n(x)\}$在定义域$[a,b]$上单调增加（或单调递减），并且收敛于$f(x)$，那么该函数列在$[a,b]$上一致收敛于$f(x)$。
以上定理意味着单调收敛的函数列一定可以保证一致收敛性。
也就是说，如果我们能够找到一严格递增或递减的函数列，使得它们都收敛于同一个函数，那么该函数列就能够保证一致收敛。
现在，我们来证明一下Dini定理。
4.证明为了方便，我们令$f_n(x)$单调递减，$f_n(x)$收敛于$f(x)$。
假设该函数列不一致收敛。
那么，我们可以找到一个$\epsilon>0$，以及任意的$n$和$x_n\in[a,b]$，使得$|f_n(x_n)-f(x_n)|\geq\epsilon$。
§13..2一致收敛性质
例1 设函数
1 2 n x , 0 x , n 2n 1 1 f n ( x ) 2 n 2n n x , x , 2n n 1 x 1, 0, n
y
n 1, 2, .
(其图象如图13－6所示). 显然 { f n ( x )}是 [0, 1] 上的 连续函数列, 且对任意
O
1 2n
1 n
1
x
因此, { f n ( x )} 在 [0, 1] 上一致 收敛于 0 的充要条件是 n 0( n ) .
2015年11月23日星期一
13
fn ( x)
f ( x ) 当且仅当 lim n 0.
n
1
0
f n ( x )dx
n
2n
,
0
1
f n ( x )dx f ( x )dx 0 当且仅当 l i m n 0. 0 n
如
I
f(x).
f n ( x ) x n , x ( 1,1],
0, x 1, 其极限函数：f ( x ) 1, x 1.
所以 在x=1不连续，
fn ( x)
I
f(x).
7
2015年11月23日星期一
定理13.9
若 fn ( x)
f ( x)
x I,
则f ( x)也在I上连续 . 且n, f n ( x )在I连续，
即极限号与求导符号可交换。 注：在本定理条件下，可推出
fn ( x)
f ( x)
15
2015年11月23日星期一
证
设f n ( x0 ) A,
函数序列一致收敛性的分析与证明
函数序列一致收敛性的分析与证明
函数序列的收敛性是数学分析中一个重要的概念，它指的是一系列函数的值在某一点上收敛到一个特定的值。
函数序列的收敛性可以用来分析函数的性质，以及函数的极限行为。
函数序列的收敛性可以用数学证明的方法来分析。
首先，我们需要定义一个函数序列，它是一系列函数的集合，每个函数都有一个参数，这个参数可以是实数或者复数。
然后，我们需要证明这个函数序列在某一点上收敛到一个特定的值。
为了证明函数序列的收敛性，我们需要使用数学归纳法。
首先，我们需要证明函数序列的第一个函数收敛到一个特定的值。
然后，我们需要证明函数序列的第二个函数也收敛到这个特定的值。
最后，我们需要证明函数序列的第n个函数也收敛到这个特定的值。
如果我们能够证明这一点，那么我们就可以证明函数序列的收敛性。
总之，函数序列的收敛性是一个重要的概念，它可以用数学证明的方法来分析。
通过使用数学归纳法，我们可以证明函数序列在某一点上收敛到一个特定的值，从而分析函数的性质和极限行为。
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对每一个x I， 0，N N ,n N , 有 | fn ( x) f ( x) | .
例1 设fn ( x) xn , 证明其在(0,1)收敛.
证：x (0,1),有 lim xn 0, n 0,要使不等式
| fn ( x) f ( x) || xn 0 | xn
成立， 解得n ln , 取N [ ln ]
lim{sup |
n xI
fn(x)
f
( x) |} 0.
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
证：必要性 函数列{ fn ( x)}在区间I一致收敛于极限函数f ( x)
即 0, N N ,n N ,x I , 有 | fn ( x) f ( x) |
sup | fn( x) f ( x) | .
的所有曲线 y fn( x) (n N ),
都落在曲线 y f ( x) 与
y f (x) 所夹的带状区域内. O
y f (x) y f (x)
a
y f (x) y fn(x)
bx
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
定理1 (函数列的柯西一致收敛准则) 函数列{ fn( x)}
2) 0
1 3
0, N
N , n0
N , x0
(
1
)
1 n0
3
[0,1), 有
|
fn0 ( x0 )
f
(
x0
)
|
[(
1 3
)
1 n0
]n0
1 3
0.
即函数列{ xn }在区间[0,1)非一致收敛.
函数列 fn( x) 一致收敛于 f ( x) 的 y
几何意义：
0, N N , 对于序号大于N
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
函数列{ fn( x)}在区间I非一致收敛于极限函数f ( x)
lim{sup |
n xI
fn(x)
f
( x) |}
0.
方法：先求极限函数，一般将| fn ( x) f ( x) | 放大，即放大到
只含有n且容易求极限的时候，当不容易放大时，可转而
求最大值.
例4、判别下列函数列在区间[0，1]的一致收敛性：
nx
1){
}
1n x
解：x [0,1],有 lim nx x
n 1 n x 即极限函数f ( x) x.
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
|
fn( x)
f ( x) || nx x | 1n x
x(1 x) 1n x
2 1 n
n0 N , x0 I , 有 | fn0 ( x0 ) f ( x0 ) | 0 .
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
例3 证明：函数列 fn( x) xn
1)在区间[0, ](0 1)一致收敛；
2)在区间[0,1)非一致收敛.
证：x [0,1),有 lim xn 0, n 即函数列 {xn}在[0,1)的极限函数f ( x) 0. 1) 0,x [0, ], 要使不等式
在区间I一致收敛 0, N N ,n N ,p N ,x I ,
有 | fn p( x) fn( x) | .
注 柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么, 只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致 收敛.
定理2 函数列{ fn ( x)}在区间I一致收敛于极限函数f ( x)
xI
即lim{sup | n xI
fn(x)
f ( x) |} 0.
充分性
lim{sup |
n xI
fn(x)
f
( x) |}
0.
即 0, N N ,n N ,x I , 有 sup| fn( x) f ( x) |
xI
x I , 有 | fn( x) f ( x) |
函数列{ fn ( x)}在区间I一致收敛于极限函数f ( x)
f1( x0 ), f2( x0 ), , fn( x0 ), . 若此数列收敛，则称{ fn ( x)}在x0收敛，x0为{ fn( x)}的 收敛点； 若此数列发散，则称{ fn ( x)}在x0发散，x0为{ fn( x)}的 发散点；
若{ fn( x)}在数集E上每一点都收敛，则称{ fn( x)}在数集E上收敛.
设函数列{ fn ( x)}在区间I收敛于极限函数f ( x)，若 0,
N N ,n N ,x I , 有 | fn ( x) f ( x) | .
则称函数列{ fn ( x)}在区间I一致收敛于极限函数f ( x).
{ fn ( x)}在区间I非一致收敛于极限函数f ( x) 0 0，N N ,
§9.2 函数项级数
一、函数列及其一致收敛性
1、定义： 设f1( x), f2( x), , fn( x), 是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E上的函数列.
记为{ fn( x)} 或 fn( x), n 1, 2, . 2、函数列的收敛
设x0 E，以x 0代入{ fn ( x)}得数列：
ln x
ln x
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
例2
设fn ( x)
1 n
, 证明其在(0,1)收敛. x
证：x (0,1),有 lim 1 0,
n n x
0, 要使不等式
|
fn( x)
f ( x) ||
1 n
x
0|
1 n
x
1 n
成立， 解得n 1 , 取N [ 1 ]
4、函数列的一致收敛
sup |
x[ 0 ,1]
fn(x)
f
( x) |
2. 1n
显然，lim{ sup | n x[0,1]fn(x) f
( x) |}
0.
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
使{ fn( x)}收敛的全体收敛点的集合，称为{ fn( x)}的收敛域.
3、函数列的极限
若对每一个x
I, 有 lim n
fn(
x)
f ( x),则称f ( x)为{ fn( x)}的
极限函数，或称{ fn ( x)}在区间I收敛于f ( x).
{ fn ( x)}在区间I收敛于f ( x)
| fn ( x) f ( x) || xn 0 | xn n
成立，
解 得n
ln
, 取N
ln
[
]
ln
ln
于 是 ，
0, N
ln
[
ln
]
N ,n
N ,x [0,
],有 |
xn
0 |
.
即函数列{ xn }在区间[0, ](0 1)一致收敛.
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数