函数列一致收敛性三
函数的一致收敛性与一致连续性
函数的一致收敛性与一致连续性函数的一致收敛性和一致连续性是数学分析中重要的概念，它们对于函数的性质和性质的分析具有重要的作用。
本文将从定义、性质以及与其他概念之间的联系等多个方面对函数的一致收敛性和一致连续性进行探讨。
一、一致收敛性的定义与性质函数序列的一致收敛性是指对于给定函数序列{fn(x)}，当自变量x趋向于某个值a时，函数值fn(x)的极限也趋向于某个值f(x)，且这种趋向对序列中的每一个函数都成立。
更正式地说，对于任意ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，对于所有的x，有|fn(x)-f(x)|<ε成立。
函数序列的一致收敛性具有以下性质：1. 一致收敛性是逐点收敛性的强化。
如果函数序列一致收敛于f(x)，那么它也是逐点收敛的，即对于每个x，极限lim(n→∞)fn(x)=f(x)成立。
2. 一致收敛性是逐点收敛性的逆命题不成立的。
即逐点收敛的函数序列未必一致收敛。
3. 一致收敛性的极限函数是唯一的。
一致收敛序列的极限函数f(x)是唯一的，即若序列{fn(x)}和{gn(x)}一致收敛于f(x)，则它们极限相等。
4. 一致收敛的函数序列在有界集上一致有界。
若函数序列{fn(x)}一致收敛于f(x)，且对于每个x∈A，函数值fn(x)都有界，则极限函数f(x)在A上有界。
5. 一致收敛的函数序列在有界集上一致可积。
若函数序列{fn(x)}一致收敛于f(x)，且对于每个x∈A，函数值fn(x)都可积，则极限函数f(x)在A上可积。
二、一致连续性的定义与性质函数的一致连续性是指对于给定函数f(x)，当自变量x取值在某个区间上时，函数的变化量可以任意小，并且这种性质对区间上的所有点都成立。
更正式地说，对于任意ε>0，存在Δ>0，使得当|x1-x2|<Δ时，对于所有的x1和x2，有|f(x1)-f(x2)|<ε成立。
函数的一致连续性具有以下性质：1. 一致连续性是局部性质。
函数列及其一致收敛性
函数列 nx(1 x )n }在区间 0,1]非一致收敛. { [
函数列及其一致收敛性
2 sup | f n ( x ) f ( x ) | . 1 n x[0,1]
显然， sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0. lim{
n x[0,1]
nx 函 数 列 { }在 区 间0， 一 致 收 敛 [ 1] . 1 n x
2){nx(1 x)n }
1 n0 n0 1 | f n0 ( x0 ) f ( x0 ) | [( ) ] 0 . 3 3 即函数列x n }在区间0,1)非一致收敛 { [ .
1
1
函数列 f n ( x ) 一致收敛于 f ( x ) 的 y
y f ( x)
几何意义：
0, N N , 对于序号大于N
成 立 ， 解 得n
l n l n , 取N [ ] lnx lnx
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
1 , 证 明 其 在0,1)收 敛. ( 例2 设f n ( x ) n x 1 证 ：x (0,1), 有 lim 0, n n x
1 1 1 | f n ( x ) f ( x ) || 0| 0, 要使不等式 n x n x n
即 0, N N , n N , x I , 有 | f n ( x) f ( x) |
sup | f n ( x ) f ( x ) | .
xI
即lim{sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0.
n xI
充分性 lim{sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0.
函数列一致收敛性定理
函数列一致收敛性定理《函数列一致收敛性定理》是数学分析中一个重要的概念，它的重要性在于它能有效限制函数在某些情况下的收敛特性。
它可以提供有关函数的收敛性的关键信息，可以用来证明某些定理。
函数列一致收敛性定理定义如下：设{f_n}是一个函数列，当n→∞时，若对每一个记号n0，对于所有n≥n0，都有f_n(x)→f(x)，则称 {f_n}在x处一致收敛。
函数列一致收敛性定理可以用来证明某些函数数列具有特定收敛性特征。
例如，如果一个函数序列的每一个函数都是正定函数，而且它们的对偶列也具有正定性，那么这个序列必然具有一致收敛性特征。
此外，如果一个序列的函数都具有收敛和可积性，那么这个序列必须具有一致收敛性特征。
函数列一致收敛性定理也可以用来证明函数连续性的概念。
如果一个函数序列的收敛到某一极限，那么就可以利用函数列一致收敛性定理证明其到达的极限是连续的。
函数列一致收敛性定理也可以用来证明一些无穷级数的收敛性性质。
例如，如果一个无穷级数的函数序列具有一致收敛性，则该级数一定收敛，而收敛的极限就是函数序列的极限。
此外，函数列一致收敛性定理还可以用来证明一些积分性质。
例如，如果一个函数序列具有一致收敛性，则可以证明该函数序列的积分是收敛的，而其极限就是函数序列的积分极限。
最后，函数列一致收敛性定理也可以用来验证一些重型定理。
例如，有一些重型定理可以证明一些函数序列的收敛性，这些定理需要利用函数列一致收敛性定理的收敛性性质来验证。
由此可见，函数列一致收敛性定理在数学分析中非常重要，它可以用来证明某些定理，也可以用来验证一些重要定理。
因此，学习并理解函数列一致收敛性定理对于我们的数学学习十分有益。
函数序列和函数项级数的一致收敛性
u n
(
x
)在I上一致收敛于S
(
x
)
0,N ( ),
n1
当n N ( )时, x I ,p N * , u ( x) u ( x) .
时,
fn(x)
f
(x)
nx 1 n2x2
nx n2 x2
1 nx
1 n
n
sup
x(1,)
fn(x)
f (x)
1 n
0
一致收敛
而n sup fn ( x)
x( 0 ,1)
f (x)
f
n
(
1 n
)
0
1 1
1
1, 2
不 0, 故在(0,1)上不一致收敛.
定理2.2 (Cauchy收敛原理)
设f ( x )定义于I, n
f ( x )在I上一致收敛 n
0,N ( ),当n N ( )时,x I ,p N * ,
都有 fn p ( x) fn ( x) .
证明:
由于{ f ( x)}在I上一致收敛于f ( x),
p N * , 都有 fn p ( x) fn ( x) .
x I , fn( x)是Cauchy列,收敛.
设
lim
n
fn(x)
f ( x),
在 fn p ( x) fn ( x) 中令p ,
则对 x I ,有 f ( x) fn ( x) .
则称 fn(x)在I上一致收敛于f (x).
一致收敛性
n xD n xD
数学分析选讲
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三、函数项级数的一致收敛性判别法 定理5(维尔斯特拉斯判别法)设函数项级数un(x)定义 在数集D上, Mn为收敛的正项级数,若对一切xD,有
n 1
由f(x)的连续性,
1 1 k lim f n( x) lim f( x ) f( x t) dt. 0 n n n k 0 n n 1
数学分析选讲
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n 1
| fn ( x)
1
0
1 1 k f ( x t )dt || f ( x ) f ( x t )dt | 0 n k 0 n
n n充分大时, x 2 n 2 单调递减收敛于0.故原级数为莱布
尼兹级数.且
n 1 1 | rn ( x ) || 2 , 2 x ( n 1) n 1
故原级数一致收敛.
数学分析选讲
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例4 证明函数列
x f n ( x ) n ln(1 )( n 1, 2,) n
k 1 n k n
k | f ( x ) f ( x t ) | dt | n
数学分析选讲
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由于
k k 1 t [ , ] n n
所以
k k 1 | x ( x t ) || t | , n n n
故取n 充分大,使1/ n <,则
k | f ( x ) f ( x t ) | . n
n 1
在[a, b]上一致收敛.
数学分析选讲
函数列及其一致收敛性
对每一个x I， 0，N N ,n N , 有 | fn ( x) f ( x) | .
例1 设fn ( x) xn , 证明其在(0,1)收敛.
证：x (0,1),有 lim xn 0, n 0,要使不等式
| fn ( x) f ( x) || xn 0 | xn
成立， 解得n ln , 取N [ ln ]
lim{sup |
n xI
fn(x)
f
( x) |} 0.
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
证：必要性 函数列{ fn ( x)}在区间I一致收敛于极限函数f ( x)
即 0, N N ,n N ,x I , 有 | fn ( x) f ( x) |
sup | fn( x) f ( x) | .
的所有曲线 y fn( x) (n N ),
都落在曲线 y f ( x) 与
y f (x) 所夹的带状区域内. O
y f (x) y f (x)
a
y f (x) y fn(x)
bx
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
定理1 (函数列的柯西一致收敛准则) 函数列{ fn( x)}
2) 0
1 3
0, N
N , n0
N , x0
(
1
)
1 n0
3
[0,1), 有
|
fn0 ( x0 )
f
(
x0
)
|
[(
1 3
)
1 n0
]n0
1 3
0.
即函数列{ xn }在区间[0,1)非一致收敛.
函数列 fn( x) 一致收敛于 f ( x) 的 y
数学分析复习3一致收敛
数学分析复习3一致收敛一致收敛是数学分析中一个非常重要的概念，也是许多数学理论和方法的基础。
在数学分析课程中，一致收敛通常是在函数序列或者函数级数中讨论的，它涉及到函数序列或者函数级数对于每个自变量取值的收敛性以及收敛速度。
下面我们将对一致收敛的概念进行详细的复习。
1.函数序列的一致收敛：考虑函数序列{fn(x)}，其中n表示序列中的第n个函数，x表示自变量的取值。
函数序列{fn(x)}在区间[a, b]上一致收敛到f(x)，表示对于任意给定的ε>0，存在一个正整数N，当n>N且x∈[a,b]时，有，fn(x)-f(x)，<ε恒成立。
一致收敛的定义中要求对于任意给定的ε，只要取到足够大的函数序列中的序号N，那么在定义域内的所有自变量x对应的函数值都会在ε的邻域内，与极限函数f(x)的函数值很接近。
这种函数序列的收敛性不受自变量取值的影响，而是更多地侧重于序列中函数与极限函数函数值的接近程度。
2.函数级数的一致收敛：考虑函数级数Σfn(x)，其中n表示级数中的第n个函数，x表示自变量的取值。
函数级数Σfn(x)在区间[a, b]上一致收敛到f(x)，表示对任意给定的ε>0，存在一个正整数N，当n>N且x∈[a,b]时，有，Σfn(x)-f(x)，<ε恒成立。
函数级数的一致收敛与函数序列的一致收敛类似，都是通过控制级数或者序列中函数与其极限函数之间的差距来定义收敛性。
函数级数的一致收敛还要求对于自变量x的每一个取值都满足一致收敛的条件。
3.一致收敛的性质一致收敛具有一些重要的性质和定理，这些性质在数学分析和实际问题的分析中都有重要的应用。
以下是一些常见的一致收敛性质：（1）函数序列或者函数级数的极限函数是唯一的。
（2）一致收敛的函数序列或者函数级数的极限函数仍然是连续的。
（3）一致收敛的函数序列或者函数级数可以逐项积分、逐项求导。
（4）一致收敛的函数序列或者函数级数可以逐项地与其他函数进行运算，如加、减、乘、除等。
数学分析复习3一致收敛
n1
⒈ u C [a , b], ⒉ ⒊
u ( x )在[a, b]上一致收敛于g( x ), u ( x )至少一点x 处收敛,
n1 n 0 n1 ' n
' n
则un ( x)在[a, b]一致收敛, 其和S ( x) C[a, b],
一、连续性 ⒈ 定理1. f n ( x )在I上连续, 且f n ( x )一致收敛于f ( x ),
则f ( x )在I上连续.
定理1′ 若un ( x ) C I , 则S ( x ) C I .
u ( x )在I上一致收敛于S ( x ),
n1 n
若un ( x ) C I , 则S ( x ) C I .
都有 un ( x ) a n ,
则 un ( x )在I上一致收敛.
a 称为是 u ( x )的优级数,强级数,控制级数
n1 n n1 n
2.Dirichlet和Abel判别法
a
n1
n
( x )bn ( x )
Dirichlet判别法
a
n1 n
n
( x )bn ( x )
cos nx 在（ ， ）一致收敛， 例1. Ⅰ.n 2 1 n S ( x )在(,)连续
xn Ⅱ. S ( x ) n cos nx 2 ,求 lim S ( x ) x 1 n 0 3 n x un ( x ) , 3 n 2 x 2时, | un ( x ) | , 在[2,2]一致收敛. 3
S ( x ), un ( x ) R[a , b], 定理3' 设 un ( x ) 一致收敛
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一、点态收敛的概念 二、一致收敛性及其判别法 三、一致收敛的函数列 与函数项级数的性质
§1 一致收敛性
一、函数列与函数项级数 二、函数列一致收敛性 三、函数项级数一致收敛性
一、函数列与函数项级数的的概念
收敛数列(数项级数)可表示、定义一个数； 试用函数列、函数项级数来表示、定义一个函数。
进一步讨论和函数的性质只在收敛条件下进行不够。
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又如：若 un ( x )的部分和{ sn ( x ) 2n xe
2 n1
n2 x 2
}, x (0,1]
s( x) 0, x (0,1] 连续, 可积,
由于 0 uk ( x )dx [0 uk ( x )dx]
即 lim f n ( x ) f ( x ) " N"定义 n x D, 0, N ( , x) N,当n N有 f n ( x ) f ( x ) (4) 定义4 函数列{ f n ( x )}收敛点的全体集合 , 称为{ f n ( x )}的收敛域.
f n ( x ) 在D上不一致收敛于f ( x ),(n ). fn ( x) f ( x ),(n ), x D 0 0,N N, n0 N , x0 D,有 fn0 ( x0 ) f ( x0 ) 0
例3 判断下列函数列在给定的区间上的一致收敛性 sin nx (1) f n ( x ) , n 1,2, x (,) 0, 1 n 取N [ ]即可. f n ( x ) f ( x ) 0, x ( ,) 解 lim n sin nx 0, x R sin nx 1 fn ( x) f ( x) ,n N, n n n 上页 下页 返回
n1
级数 un ( x )收敛点的全体集合 , 称为 un ( x )的收敛域.
n1 n1
{ sn ( x )}的收敛域. un ( x )的收敛域本质上是
可通过部分和函数列讨论级数的收敛域与和函数.
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例2 试求下列级数的收敛域与和函数
(1) x n , x (,) n1 n n x ( 1 x ) k x (,) 解 sn ( x ) x 1 x k 1 x n , x 1 x ( 1 x ) 1 x lim sn ( x ) lim n n 1 x 发散, x 1 x n 在( 1,1)内 x 收敛于 1 x n 1 (2) un ( x ) x ( x 2 x ) ( x n x n1 ) , x (,)
(2) f n ( x ) x n , n 1,2, x (1,1] 0,| x | 1 解 由前知 f n ( x) f ( x) 1, x 1, x (1,1] 当x 0时,| f n ( x ) f ( x ) || x |n 1 n10 故对n0 2, n0 N, x0 (1 ) 0 n0 | f n0 ( x0 ) f ( x0 ) || x0 |n0 (1 1 ) 1 n0 2 1 1 n10 即 0 , N N, 取n0 max{2, N }, x0 (1 ) , 2 n0 有 fn0 ( x0 ) f ( x0 ) 0
0,| x | 1 从而 f n ( x ) f ( x) , x (1,1] 1, x 1 fn ( x) f ( x ),(n ), x D 0 0,N N, n0 N , x0 D,有 fn0 ( x0 ) f ( x0 ) 0
当 un ( x0 )发散,则称x0为 un ( x )发散点.
n1 n1
即 lim sn ( x0 ) lim ui ( x0 )存在. n n
i 1
n1
n
n1
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(3) 定义7 若级数 un ( x )在D上收敛,则可确定一个新的
函数s( x ),x D. 则称s( x )为函数列 un ( x )的和函数. n1 记为: un ( x ) s( x ), x D
对无限个连续、可积、可导函数的和仍相应是 连续、可积、可导？
由上例(2)知
n1
un ( x) x ( x x) ( x x
2 n
n1
0,| x | 1 ) f ( x) 1, x 1
0,| x | 1 f ( x) 在其收敛域上不连续 . 1 , x 1
即 lim sn ( x ) s( x ) " N"定义 n x D, 0, N ( , x) N,当n N有 sn ( x ) s( x)
n1 n1
若 un ( x )收敛与s( x ), x D
n1
余项 Rn ( x ) s( x ) sn ( x ) un i ( x ) i 1 (4) 定义8
0,| x | 1 如： lim x f ( x) f ( x )在x 1处不连续. n 1, x 1 因此，保持连续性只有收敛的条件是不够的。
n
问题：(1) 函数列{ f n ( x )}收敛域的判别 ; (2) 极限函数f ( x )的分析性质(连续、可积、可导 ). 是不是所有的连续函数列的极限函数 在其收敛域上也连续。 即x lim f ( x) ？ f ( x0 ) lim f n ( x0 ) 结论是：不一定 x n
k 1 k 1 1 n n 1
1 un ( x )dx 0[lim u ( x ) ] dx 0 n s k 0[lim n ( x )]dx n k 1 1 n
1
1
n
uk ( x )dx lim [0 uk ( x )dx] [0 un ( x )dx] lim 0 n n n1
结论：即使和函数可积，求和函数的积分时也不能先 对每个函数积分后，再和. 上页 下页 返回
二、函数列的一致收敛
回顾： 函数f ( x )在数集E上连续 x E , f ( x )在x处连续 x E , 0, ( x, ) 0,当x U ( x, )有 | f ( x) f ( x ) | 函数f ( x )在数集E上一致连续 0, ( ) 0, x, x E ,当 | x x | 时, 有 | f ( x) f ( x) | lim fn ( x) f ( x) n x D, 0, N( , x) N,当n N有 f n ( x ) f ( x ) 1 定义9 设D上函数列{ f n ( x )}, f ( x ),满足 0, N( ) N,当n N , x D, 有 f n ( x ) f ( x ) 则称函数列 { f n ( x )}在D上一致收敛于f ( x )
(2) 定义2 若数列{ f n ( x0 )}收敛,则称{ f n ( x )}在x0点收敛, 也称x0为{ f n ( x )}的收敛点. 若数列{ f n ( x0 )}发散,则称{ f n ( x )}在x0点发散.
若数列{ f n ( x )}在D上的每一点均收敛 , 则称{ f n ( x )}在D上收敛. 上 页
n1
解 sn ( x ) x n
x (,) n 0,| x | 1 lim s ( x ) lim x n n n 1, x 1 0,| x | 1 和函数 f ( x) 1, x 1
收敛域 (1,1]
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问题：(1) 函数项级数的收敛域与和函数； (2) 和函数的分析性质。 对有限个连续、可积、可导函数的和仍相应是 连续、可积、可导,有很好的运算法则.
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(3) 定义3 若{ f n ( x )}在D上收敛,则可确定一个新的 函数f ( x ),x D. 则称f ( x )为函数列{ f n ( x )}的极限函数. 记为: lim f n ( x ) f ( x ), x D或x D, f n ( x ) f ( x ), n n
例1 试求下列函数列的收敛域与极限函数 (1) f n ( x ) x n , n 1,2, x (,) n n x 0 解 显然 x 1时, lim { x }收敛域为 (1,1] n n lim x x 1时, n 不存在, 极限函数 0,| x | 1 n x 1 x 1时, lim f ( x) n 1, x 1 n x 不存在 , x 1时, lim n 上页 下页 返回
记为: f n ( x ) f ( x ),(n ), x D
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(1) 若f n ( x ) f ( x ),(n ), x D 命题： 则 f n ( x ) f ( x ),(n ), x D
由定义显然可得. (2) 反之不真. 即 若f n ( x ) f ( x ),(n ), x D f n ( x ) 在D上不一定一致收敛于 f ( x ),(n ).
0
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2. 函数项级数的概念 (1) 定义5 设E上的函数列 {un ( x )}, 对其各项依次用“+”连接起来的表达式 记为 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) u3 ( x ) un ( x )
nபைடு நூலகம்1
称为E上的函数项无穷级数或简称为级数。 同时称 n sn ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) ui ( x ) 部分和. i 1 部分和实际是一个函数列. 特别地, x0 E ,函数项级数 un ( x0 )实际为一个数项级数 . n1 (2) 定义6 当x0 E ,级数 un ( x0 )收敛,则称x0为 un ( x )收敛点.