第九讲 一致收敛函数列的性质2
§13..2一致收敛性质.
注 由于连续性是函数的一种局部性质，因此连续函数列 {fn(x)}）在区间 I 上内闭一致收敛于 f(x)，就足以保证 f(x) 在 I 上连续。
推论 若连续函数列{fn(x)}）在区间 I 上内闭一致收敛于 f(x)，
则 f(x)在 I 上连续。
2019年5月12日星期日
8
3.可积性
定理13.10 若 fn( x)
(x)
lim
n
a
n
.
即 fn ( x)
f (x)
则 lim lim x x0 n
fn ( x)
lim lim
n x x0
fn ( x)
证 (1)
证明lim n
an存在。
因为 fn( x)
f ( x) 0,N 0,
p N ,x D,都有| fn (x) fn p (x) | .
nx fn(x) 1 n2 x2
f ( x) 0, x [0,1]
但f ( x) 0在[0，1]连续、可积，且 1 f ( x)dx 0, 0
而
1
0 fn( x)dx
1 nx 0 1 n2 x2 dx
1 ln(1 n2 ) 0
1
f ( x)dx.
f ( x) lim n
fn( x0 )
f ( x0 ),
即f(x)在x0也连续。即有：
2.连续性
定理13.9 若 fn( x)
f (x) x I,
且n, f n ( x)在I连续，则f ( x)也在I上连续.
2019年5月12日星期日
6
定理13.9的逆否命题：
若fn(x)的极限函数f(x)在I上不连续，则
函数的一致收敛性与一致连续性
函数的一致收敛性与一致连续性函数的一致收敛性和一致连续性是数学分析中重要的概念，它们对于函数的性质和性质的分析具有重要的作用。
本文将从定义、性质以及与其他概念之间的联系等多个方面对函数的一致收敛性和一致连续性进行探讨。
一、一致收敛性的定义与性质函数序列的一致收敛性是指对于给定函数序列{fn(x)}，当自变量x趋向于某个值a时，函数值fn(x)的极限也趋向于某个值f(x)，且这种趋向对序列中的每一个函数都成立。
更正式地说，对于任意ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，对于所有的x，有|fn(x)-f(x)|<ε成立。
函数序列的一致收敛性具有以下性质：1. 一致收敛性是逐点收敛性的强化。
如果函数序列一致收敛于f(x)，那么它也是逐点收敛的，即对于每个x，极限lim(n→∞)fn(x)=f(x)成立。
2. 一致收敛性是逐点收敛性的逆命题不成立的。
即逐点收敛的函数序列未必一致收敛。
3. 一致收敛性的极限函数是唯一的。
一致收敛序列的极限函数f(x)是唯一的，即若序列{fn(x)}和{gn(x)}一致收敛于f(x)，则它们极限相等。
4. 一致收敛的函数序列在有界集上一致有界。
若函数序列{fn(x)}一致收敛于f(x)，且对于每个x∈A，函数值fn(x)都有界，则极限函数f(x)在A上有界。
5. 一致收敛的函数序列在有界集上一致可积。
若函数序列{fn(x)}一致收敛于f(x)，且对于每个x∈A，函数值fn(x)都可积，则极限函数f(x)在A上可积。
二、一致连续性的定义与性质函数的一致连续性是指对于给定函数f(x)，当自变量x取值在某个区间上时，函数的变化量可以任意小，并且这种性质对区间上的所有点都成立。
更正式地说，对于任意ε>0，存在Δ>0，使得当|x1-x2|<Δ时，对于所有的x1和x2，有|f(x1)-f(x2)|<ε成立。
函数的一致连续性具有以下性质：1. 一致连续性是局部性质。
一致收敛函数列与函数项级数的性质
1 n 1
12n
2
(2n 2n2x)dx
而
1
lim
0 n
1
1 0dx
n
fn (x)dx
1 2
0
不相等
(2) 定理的条件是充分的, 但不必要
例3 fn (x) nxenx n 1, 2,... 在区间[0,1]上讨论.
f
(x)
lim
n
fn (x)
lim nxenx
n
0
x [0,1]
但在[0,1]上, fn(x) nxenx n 1, 2,...不一致收敛. 事实上,
{ fn(x)}的每一项在[a,b]上有连续的导数, 且{ fn(x)}在[a,b]上一致收敛,
则
d dx
f
(x)
d (lim dx n
fn (x))
lim n
d dx
fn (x)
3. 可微性
定理13.10 设{ fn (x)}为定义在[a,b]上的函数列, x0 [a,b]为{ fn(x)}的收敛点,
f (x)
f (x0 )
lim lim
xx0 n
fn (x)
f (x0 )
又 lim n
fn (x0 )
f (x0 )
lim
x x0
fn (x)
fn (x0 )
lim lim
n xx0
fn (x)
f (x0 )
所以
lim lim
xx0 n
fn
(x)
lim
n
lim
x x0
fn (x)
★ 在一致收敛条件下, 关于x与n极限可以交换极限顺序
fn (x) nxenx 在[0,1]的最大值为:
13.2一致收敛函数列与函数项级数级数的性质
因为函数列 { fn } 在 [a , b]上一致收敛于 f ，所以
对任给的ε> 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对一切
x ∈ [a , b]，
都有
| fn ( x ) － f ( x ) | < ε
b
于是当 n > N 时有
| f n ( x ) dx f ( x ) dx |
由柯西准则知数列 { an } 收敛．
设
lim a n A ,
n
x x0
下面证明： lim f ( x ) A . 因为{ fn } 一致收敛于 f ，数列 { an } 收敛于 A ， 因此对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时， 对任何 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有 | fn(x) – f (x) | <ε/3 和 | an – A | <ε/3 同时成立．特别取 n = N +1，有 | fN+1(x) – f (x) | <ε/3 和 | aN+1 – A | <ε/3
n
( iii ) lim f n ( a ) 不存在，
n
则{ f n ( x )} 在 ( a , b )内不一致收敛
定理 13.9（连续性） 设函数列 { fn } 在区间 I 上一致收敛于 f ，且 fn ( n = 1, 2, . . . ) 在 I 上连续， 则 f在 I 上也连续．
证 要证：对任何 x0 ∈I , lim f ( x ) f ( x 0 ) .
x x0
由定理 13.8， lim lim lim f ( x ) x x lim f n ( x ) lim x x f n ( x ) n n
函数列及其一致收敛性
函数列 nx(1 x )n }在区间 0,1]非一致收敛. { [
函数列及其一致收敛性
2 sup | f n ( x ) f ( x ) | . 1 n x[0,1]
显然， sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0. lim{
n x[0,1]
nx 函 数 列 { }在 区 间0， 一 致 收 敛 [ 1] . 1 n x
2){nx(1 x)n }
1 n0 n0 1 | f n0 ( x0 ) f ( x0 ) | [( ) ] 0 . 3 3 即函数列x n }在区间0,1)非一致收敛 { [ .
1
1
函数列 f n ( x ) 一致收敛于 f ( x ) 的 y
y f ( x)
几何意义：
0, N N , 对于序号大于N
成 立 ， 解 得n
l n l n , 取N [ ] lnx lnx
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
1 , 证 明 其 在0,1)收 敛. ( 例2 设f n ( x ) n x 1 证 ：x (0,1), 有 lim 0, n n x
1 1 1 | f n ( x ) f ( x ) || 0| 0, 要使不等式 n x n x n
即 0, N N , n N , x I , 有 | f n ( x) f ( x) |
sup | f n ( x ) f ( x ) | .
xI
即lim{sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0.
n xI
充分性 lim{sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0.
数学分析课件一致收敛函数列与函数项级数的性质
对于一致收敛的函数列或函数项级数 ，在每个点的某个邻域内，函数列或 级数的每一项都是有界的。这意味着 在每个点的附近，函数列或级数的变 化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函 数项级数在每个点的邻域内都是连续的 。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在 每个点的某个邻域内，函数列或级数的每 一项都是连续的。这意味着在每个点的附 近，函数列或级数的值是平滑变化的，没 有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项 级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列 或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中， 一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微 性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好 地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分 学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表 明实数具有某些理想的完备性。利用一致收 敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要 定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套 定理等。这些定理在实数理论中起着至关重 要的作用，为实数性质的研究提供了重要的 理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项 级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。
一致收敛函数列与函数项级数级数的性质.ppt
又
lim
x x0
fN1( x) aN1
,
所以存在δ > 0 , 当0 < | x – x0 | <δ时，
| fN+1(x) – aN+1 | <ε/3
这样当0 < | x – x0 | <δ时，
| f (x) A|
| f ( x) f N 1( x) | | f N 1( x) aN 1 | | aN 1 A |
? lim
x x0
n1
un ( x)
n1
lim
x x0
un
(
x)
注：对函数序列{Sn ( x)}而言，应为
? lim
x x0
lim
n
Sn
(
x
)
lim
n
lim
x x0
Sn
(
x)
2.求导运算与无限求和运算交换次序问题
? d
dx n1 un ( x)
d n1 dx un ( x)
lim lim
x x0 n
fn
(
x)
lim
n
lim
x x0
fn(x) .
这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序．
证 先证数列 { an } 收敛．因为{ fn } 一致收敛，
故对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对任何 正整数 p ，对一切 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有
| fn(x) – f n+p(x) | <ε
从而
lim
x x0
|
一致收敛性
n xD n xD
数学分析选讲
多媒体教学课件
三、函数项级数的一致收敛性判别法 定理5(维尔斯特拉斯判别法)设函数项级数un(x)定义 在数集D上, Mn为收敛的正项级数,若对一切xD,有
n 1
由f(x)的连续性,
1 1 k lim f n( x) lim f( x ) f( x t) dt. 0 n n n k 0 n n 1
数学分析选讲
多媒体教学课件
n 1
| fn ( x)
1
0
1 1 k f ( x t )dt || f ( x ) f ( x t )dt | 0 n k 0 n
n n充分大时, x 2 n 2 单调递减收敛于0.故原级数为莱布
尼兹级数.且
n 1 1 | rn ( x ) || 2 , 2 x ( n 1) n 1
故原级数一致收敛.
数学分析选讲
多媒体教学课件
例4 证明函数列
x f n ( x ) n ln(1 )( n 1, 2,) n
k 1 n k n
k | f ( x ) f ( x t ) | dt | n
数学分析选讲
多媒体教学课件
由于
k k 1 t [ , ] n n
所以
k k 1 | x ( x t ) || t | , n n n
故取n 充分大,使1/ n <,则
k | f ( x ) f ( x t ) | . n
n 1
在[a, b]上一致收敛.
数学分析选讲
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学分析第十三章函数列与函数项级数
一致收敛函数列的性质2
第九讲
数学分析第十三章
函数列与函数项级数
定理13.10（可积性）
{}n f 若函数列在[a, b ]上一致收敛,且每一项都连续, 则
lim ()d lim ()d .
(3)
b
b
n n a
a n n f x x f x x →∞
→∞
=⎰⎰{}n f 证设f 为函数列在[a, b ]上的极限函数，(1,2,)n f n =从而 与f 在[a, b ]上都可积. lim ()d ()d .
(3)
b
b
n a
a
n f x x f x x →∞
'=⎰⎰于是(3)变为
13.9知f 在[a, b ]上连续,由定理
数学分析第十三章函数列与函数项级数
定理13.11（可微性）
{}n f 设为定义在[a, b ]上的函数列, 的收敛点，
0[,]x a b ∈若为{}
n f (
)
lim ()lim ().(4)
n n n n f x f x →∞
→∞
'
'=则在[a, b ]上有
{}[,]n f a b 的每一项在上有连续的导数{}n f '，且在[a, b ]上一致收敛,{}n f '0lim (),n n f x A →∞
=设{}[,]n g f a b '为在上的极限函数，
00()()()d .
x
n n n x f x f x f t t '=+⎰由定理条件, 对任一[,]x a b ∈，证总有
数学分析第十三章函数列与函数项级数
,于是
f 所以上式左边极限存在, 记为0()lim ()()d .
x
n x n f x f x A g t t →∞
==+⎰由g 的连续性及微积分学基本定理得
.
f g '=这就证明了等式：00()()()d .
x
n n n x f x f x f t t '=+⎰(lim ())()lim ().n n n n f x g x f x →∞→∞
''==,,n A →∞→当时右边第一项→第二项0
()d .
x
x
g t t ⎰
数学分析第十三章
函数列与函数项级数
0x {}n f 注请注意定理中的条件为的收敛点的作用.[,]a b {}n f 在定理的条件下, 还可推出在上函数列一致收敛于f ,请读者自己证明.
与前面两个定理一样, 运算交换的充分条件, 而不是必要条件, 请看例2.
一致收敛是极限运算与求导推论
0{}{}n n f I x I f 设函数列定义在区间上,若为的收敛
∈{}n
f I '在上内闭一致收敛，(
)
lim ()lim ().
n n n n f x f x →∞
→∞
'
'=I 则在上有点,
数学分析第十三章函数列与函数项级数
在上述三个定理中, 我们都可举出函数列不一致收敛但定理结论成立的例子. (如实变函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件, 但在目前情况下, 只有满足一致收敛的条件, 才能保证定理结论的成立.
在今后的进一步学习中。