222对数函数及其性质(2)
2.2.2对数函数及其性质(二)
§2.2.2 对数函数及其性质(二)学习目标1.熟练掌握对数函数概念、图象、性质2.掌握对数函数定义域、值域的求法,判断其单调性※ 学习重点、难点：重点：对数函数单调性的应用难点：灵活运用对数函数的图象与性质学习过程(预习教材P 72,找出疑惑之处)一.课前导学※ 复习回顾复习1:对数函数的概念一般地,我们把函数 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义域是复习2:对数函数的图像与性质探究1:对数函数的图像及性质与底数间的规律问题1:在同一坐标系中,作出函数图象的草图2log y x =,12log y x =,3log y x =,13log y x =,4l g y o x =,14log y x=y0 x思考:在第一象限,底数对图象的影响？ 在第一象限,对数函数的图象,底数大的在 . 例1.下图是函数1log a y x =,2log ,a y x =3log a y x =,4log a y x =的图象,则底数之间的关系为 .二.课内探究※ 知识检测1.解对数方程3log )2(log )1(21221=-x x01)32(log )2(22=-++x x※ 能力达标2.求x 的范围 2log 21>x(1)2log 2>x (2)小结:注意考虑有意义的范围3.求下列函数的定义域(1) (2) (3))2(log +=x y x (4) y =x 2log 1小结:定义域的限制条件:4.对数函数的真数大于0 ※ 拓展提高4.求下列函数的定义域,值域小结:三.总结提升※ 学习小结2212(1)log (4)(2)log 1)y x y =+=2log a y x =log (4)a y x =-xy 3log )6(=）且（101log )3(≠>>a a x a x y 311log )5(7-=1.对数复合函数定义域,值域的求法四.课后作业1.下列函数中,定义域相同的一组是( )A.x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）B.y x =与y =C.lg y x =与y =D.2y x =与2lg y x =2.函数22log (1)y x x =+≥的值域为( )A. (2,)+∞B. (,2)-∞C. [)2,+∞D. [)3,+∞3.不等式的41log 2x >解集是( ) A.(2,)+∞ B.(0,2) C.1(,)2+∞ D.1(0,)24.的定义域是 ,值 域是 .5.求下列函数的定义域：（1）3log (36)y x =-（2）y （3）y =(4)33log 34y x =+ (5)(1)log (42)x y x -=-6.函数)1(log )1(log )(x x x f a a -++=, 判断函数的奇偶性y。
对数函数及其性质(2)教学设计
对数函数及其性质（2）教学设计延长县中学焦存江一、学情与教材分析对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。
学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y=log a x(a>0且a≠1)中，a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。
最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。
二、设计思想在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代关系的探索，引出对数函数的概念。
通过对底数a的分类讨论，探究总结出对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。
三、教学目标1、通过对对数函数概念的学习，培养学生实践能力，使学生理解对数函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2、通过对对数函数有关性质的研究，渗透数形结合、分类讨论的数学思想。
培养观察、分析、归纳的思维能力和交流能力，增强学习的积极性。
掌握对数函数的图象与性质，并会初步应用。
3、培养学生自主学习、数学交流能力和数学应用意识。
通过联系观点分析，解决两数比较大小的问题。
四、教学重点和难点重点：1、对数函数的定义、图象、性质。
2、对数函数的性质的初步应用。
难点：底数a对对数函数图象、性质的影响。
第二章 2.2.2 第2课时 对数函数及其性质(二)
第2课时 对数函数及其性质(二)学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.会解简单的对数不等式.3.了解反函数的概念及它们的图象特点.知识点一 不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a <1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x 轴. 知识点二 反函数的概念一般地，像y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)这样的两个函数互为反函数.(1)y ＝a x 的定义域R 就是y ＝log a x 的值域；而y ＝a x 的值域(0，＋∞)就是y ＝log a x 的定义域. (2)互为反函数的两个函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.但单调区间不一定相同.1.y ＝log 2x 2在(0，＋∞)上为增函数.( √ )2.212log y x 在(0，＋∞)上为增函数.( × )3.ln x <1的解集为(－∞，e).( × )4.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象相同.( √ )题型一 比较大小例1 (1)若a ＝log 0.23，b ＝log 0.22.5，c ＝log 0.20.3，则( ) A.a >b >c B.c >b >a C.a >c >b D.c >a >b答案 B解析 因为0.3<2.5<3，且y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是减函数，所以c >b >a . (2)比较下列各组数的大小：①log 534与log 543；②1135log 2log 2与；③log 23与log 54.解 ①方法一 对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.方法二 因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.②由于1321log 21log 3=，1521log 21log 5=，又对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且0<15<13<1，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以3151l 2log 2og <.③取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54. 反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.跟踪训练1 (1)设a ＝log 2π，12log πb =，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a 答案 C解析 a ＝log 2π>1，12log π0b <=，c ＝π－2∈(0,1)，所以a >c >b .(2)比较下列各组值的大小： ①2233log 0.5,log 0.6；②log 1.51.6，log 1.51.4；③log 0.57，log 0.67；④log 3π，log 20.8.解 ①因为函数23log y x =是减函数，且0.5<0.6，所以2233log 0.5log 0.6>.②因为函数y ＝log 1.5x 是增函数，且1.6>1.4， 所以log 1.51.6>log 1.51.4.③因为0>log 70.6>log 70.5，所以1log 70.6<1log 70.5，即log 0.67<log 0.57. ④因为log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，所以log 3π>log 20.8. 题型二 对数不等式的解法 例2 (1)7171lo lo g (g 4)x x >- ；(2)log a (2x －5)>log a (x －1). 解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}.(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4.当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4.综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <4. 反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况进行讨论.(2)形如log a x >b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式(b ＝log a a b )，再借助y ＝log a x 的单调性求解.(3)形如log f (x )a >log g (x )a (f (x )，g (x )>0且不等于1，a >0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.跟踪训练2 (1)求满足不等式log 3x <1的x 的取值集合； (2)若log a 25<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围.解 (1)因为log 3x <1＝log 33，所以x 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 3x <log 33，即0<x <3.所以x 的取值集合为{x |0<x <3}. (2)log a 25<1，即log a 25<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内是增函数， 所以log a 25<log a a 总成立；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 25<log a a ，得a <25，即0<a <25.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，25∪(1，＋∞).题型三 对数型复合函数的单调性命题角度1 求单调区间例3 求函数212log (1)y x =-的单调区间.解 要使212log (1)y x =-有意义，则1－x 2>0，所以x 2<1，所以－1<x <1， 因此函数的定义域为(－1,1). 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1).当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝12log t 减小.所以当x ∈(－1,0]时，212log (1)y x =-是减函数；同理可知，当x ∈[0,1)时，212log (1)y x =-是增函数.即函数212log (1)y x =-的单调递减区间是(－1,0]，单调递增区间为[0,1).反思感悟 求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域.(2)研究函数t ＝f (x )和函数y ＝log a t 在定义域上的单调性. (3)判断出函数的增减性求出单调区间.跟踪训练3 求函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调区间.解 因为1－2x >0，所以x <12.又设u ＝1－2x ，则y ＝log 2u 是(0，＋∞)上的增函数. 又u ＝1－2x ，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，12时，u (x )是减函数， 所以函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围例4 已知函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围.考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上是减函数，∵0<12<1，∴12log ()y g x =是减函数，而已知复合函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上单调递减，且g (x )>0在x ∈(－∞，2)上恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，g (2)＝(2)2－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，22＋2].反思感悟 若a >1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相同，若0<a <1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域. 跟踪训练4 若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.[3，＋∞) 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围 答案 B解析 函数由y ＝log a u ，u ＝6－ax 复合而成，因为a >0，所以u ＝6－ax 是减函数，那么函数y ＝log a u 就是增函数，所以a >1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x ＝2时，u ＝6－ax 取得最小值，所以6－2a >0，解得a <3，所以1<a <3.故选B.1.不等式log 2(x －1)>－1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >23 B.{x |x >2}C.{x |x >1}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32 答案 D解析 ∵log 2(x －1)>－1＝log 212，∴x －1>12，即x >32.2.函数f (x )＝－2x ＋5＋lg(2－x －1)的定义域为( )A.(－5，＋∞)B.[－5，＋∞)C.(－5,0)D.(－2,0) 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5>0，2－x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >－5，2－x >20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－5，x <0，∴－5<x <0，故选C.3.如果2121l log og 0x y <<，那么( )A.y <x <1B.x <y <1C.1<x <yD.1<y <x 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D4.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________. 考点 函数的反函数 题点 求函数的反函数 答案 log 2x5.函数f (x )＝ln x 2的单调减区间为____________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (－∞，0)1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.2.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象是相同的，只是为了适应习惯用x 表示自变量，y 表示因变量，把x ＝log a y 换成y ＝log a x ，y ＝log a x 才与y ＝a x 关于直线y ＝x 对称，因为点(a ，b )与点(b ，a )关于直线y ＝x 对称.一、选择题1.函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为( ) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 A解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)≥0，2x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥1，2x －1>0，∴x ≥1， ∴函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为[1，＋∞). 2.若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( ) A.0<a <b <1 B.0<b <a <1 C.a >b >1 D.b >a >1答案 B解析 因为log a 2<0，log b 2<0， 所以0<a <1,0<b <1， 又log a 2<log b 2， 所以a >b ， 故0<b <a <1.3.函数f (x )＝12log x 的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.(0,1] C.(0，＋∞) D.[1，＋∞)答案 D解析 f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞).4.函数y ＝15log (1－3x )的值域为( )A.RB.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(1，＋∞) 答案 C解析 因为3x >0，所以－3x <0， 所以1－3x <1.又y ＝15log t (t ＝1－3x )是关于t 的减函数，所以y ＝15log t >15log 1＝0.5.已知log a 12<2，那么a 的取值范围是( )A.0<a <22B.a >22C.22<a <1 D.0<a <22或a >1 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D解析 当a >1时，由log a 12<log a a 2得a 2>12，故a >1；当0<a <1时，由log a 12<log a a 2得0<a 2<12，故0<a <22. 综上可知，a 的取值范围是0<a <22或a >1. 6.函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间是( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(1,2)D.(2,3) 答案 D解析 由－3＋4x －x 2>0，得x 2－4x ＋3<0，得1<x <3. 设t ＝－3＋4x －x 2，其图象的对称轴为x ＝2. ∵函数y ＝13log t 为减函数，∴要求函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间，即求函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间， ∵函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间是(2,3)，∴函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间为(2,3)，故选D.7.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围为( ) A.(－∞，4] B.[4，＋∞ ) C.[－4,4] D.(－4,4] 答案 D解析 令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减， ∴函数g (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，且恒大于0， ∴12a ≤2且g (2)>0， ∴a ≤4且4＋a >0，∴－4<a ≤4， 故选D.8.已知指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫1a x，当x ∈(0，＋∞)时，有y >1，则关于x 的不等式log a (x －1)≤log a (6－x )的解集为( ) A.⎣⎡⎭⎫72，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，72 C.⎝⎛⎦⎤1，72 D.⎣⎡⎭⎫72，6答案 D解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫1a x 在x ∈(0，＋∞)时，有y >1， ∴1a>1，∴0<a <1. 于是由log a (x －1)≤log a (6－x )， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥6－x ，x －1>0，6－x >0，解得72≤x <6，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪72≤x <6.故选D. 二、填空题9.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点⎝⎛⎭⎫32，23，则a ＝________. 考点 函数的反函数 题点 反函数的图象与性质 答案2解析 因为点⎝⎛⎭⎫32，23在y ＝f (x )的图象上，所以点⎝⎛⎭⎫23，32在y ＝a x 的图象上，则有32＝23a ， 即a 2＝2，又因为a >0，所以a ＝ 2. 10.函数y ＝log 2(x 2－1)的增区间为________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (1，＋∞)解析 由x 2－1>0得函数的定义域为{x |x <－1或x >1}，又y ＝log 2x 在定义域上单调递增，y ＝x 2－1在(1，＋∞)上单调递增，∴函数的增区间为(1，＋∞).11.若函数f (x )＝log a x (其中a 为常数，且a >0，a ≠1)满足f (2)>f (3)，则f (2x －1)<f (2－x )的解集是________. 答案 {x |1<x <2} 解析 ∵f (2)>f (3)， ∴f (x )＝log a x 是减函数，由f (2x －1)<f (2－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2－x >0，2x －1>2－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x <2，x >1，∴1<x <2. 三、解答题12.已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2. (1)若f (x )>0，求x 的取值范围； (2)若x ∈(－1,3]，求f (x )的值域. 解 (1)函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2， ∵f (x )>0，即log 2(x ＋1)－2>0， ∴log 2(x ＋1)>2，∴x ＋1>4，∴x >3. 故x 的取值范围是x >3. (2)∵x ∈(－1,3]， ∴x ＋1∈(0,4]，∴log 2(x ＋1)∈(－∞，2]， ∴log 2(x ＋1)－2∈(－∞，0]， 故f (x )的值域为(－∞，0]. 13.已知f (x )＝12log (x 2－ax －a ).(1)当a ＝－1时，求f (x )的单调区间及值域；(2)若f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为增函数，求实数a 的取值范围. 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12log (x 2＋x ＋1)，∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴12log (x 2＋x ＋1)≤123log 4＝2－log 23， ∴f (x )的值域为(－∞，2－log 23].∵y ＝x 2＋x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，－12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，y ＝12log x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12， 单调减区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. (2)令u (x )＝x 2－ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24－a ， ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调增函数， 又∵y ＝12log u (x )为单调减函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调减函数，且u (x )＞0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立. ⎝⎛⎭⎫提示：⎝⎛⎭⎫－∞，－12⊆⎝⎛⎭⎫－∞，a 2 因此⎩⎨⎧ a 2≥－12，u ⎝⎛⎭⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a 2－a ≥0， 解得－1≤a ≤12. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12.14.若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________.考点 对数函数的综合问题题点 与单调性有关的对数函数综合问题答案 12解析 当a >1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝a ＋log a 2，f (x )min ＝a 0＋log a 1＝1，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴log a 2＝－1，a ＝12(舍去)； 当0<a <1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝a 0＋log a (0＋1)＝1，f (x )min ＝a ＋log a 2，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴a ＝12. 综上所述，a ＝12. 15.已知函数f (x )＝lg(1＋x )－lg(1－x ).(1)求函数f (x )的定义域，并证明f (x )是定义域上的奇函数；(2)用定义证明f (x )在定义域上是增函数；(3)求不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0的解集.(1)解 由对数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，1＋x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >－1， 即－1<x <1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1).∵f (－x )＝lg(1－x )－lg(1＋x )＝－f (x )，∴f (x )是定义域上的奇函数.(2)证明 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝lg(1＋x 1)－lg(1－x 1)－lg(1＋x 2)＋lg(1－x 2)＝lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴0<1＋x 1<1＋x 2，0<1－x 2<1－x 1，于是0<1＋x 11＋x 2<1,0<1－x 21－x 1<1， 则0<(1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<1，∴lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )是(－1,1)上的增函数.(3)解 ∵f (x )在(－1,1)上是增函数且为奇函数，∴不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0可转化为f (2x －5)<－f (2－x )＝f (x －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<2x －5<1，－1<x －2<1，2x －5<x －2，解得2<x <3.∴不等式的解集为{x |2<x <3}.。
2.2.2 对数函数及其性质
3 y x ( x R) 的反函数，并且画出原来的函数和它 例13：求函数
的反函数的图象。
解：由y x 3，得 x 3 y ∴函数 y x 的反函数是： y 3 x ( x R)
3 3 y x ( x R)和它的反函数 y 3 x ( x R) 的图象如图所示： 函数
(2)在定义域上是增函数
注：函数 y log a x(a 0且a 1) 的图象与 y log 1 x(a 0且a 1) 的 a 图象关于 x轴对称。 练习： 1. 函数 y log 4.3 x 的值域是（ D ）
A.(0,) C义：
一般地，我们把函数 y log a x(a 0, 且a 1) 叫做对数函数， 其中 x 是自变量，函数的定义域是(0,) 。
注：
x y a 1.由于指数函数 中的底数a满足a 0且a 1 ，则对数函数 y log a x 中的底数 a 也必须满足 a 0且a 1。
二、对数函数的图象和性质：
例2：函数 y log2 x 和 y log1 x 的图象。
2
一般地，对数函数y log a x(a 0，且a 1)的图象和性质 如下表所示：
0 a 1
图象
a 1
定义域 值域 性质 (2)在定义域上是减函数
(0,)
R
(1)过定点(1,0)，即x=1时，y=0
x f 1 ( y)
y 注：在函数 x f 1 ( y)中，表示自变量，表示函数。但在习惯上， x 我们一般用 x 表示自变量，用 y表示函数，为此我们常常对调函数 x f 1 ( y)中的字母 x, y，把它改写为 y f 1 ( x)。
2.如果函数 y f ( x)有反函数 f 1 ( x) ，那么函数 y f 1 ( x) 的反函 数就是y f ( x) 。
对数函数的图像与性质(第2课时)
y 2
1
0
11 42
1
2 3
4
x
-1 … -2 …
3. 对数函数的性质：
a＞1 0＜a＜1
y
图 象
y
O
x
O
x
性 x∈(0, 1)时，y<0； x∈(0, 1)时，y>0 质 x∈(1, +∞)时，y>0. x∈(1, +∞)时，y<0.
在(0,+∞)上是增函数
定义域：(0, +∞)； 值域：R 过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
例
解:
比较大小：
11
1） log64
>
log74
方法二
当底数不相
同，真数相 同时，利用 图象判断大 y1=log6x 小. y2=log7x
x
利用对数函数图象 得到 log64 > log74
y
o
1
3
课堂小结
对数函数定义、图象、性质；
课后作业
1、教材P104：练习A第2、练习B 第2题
2、选作
关于x轴对称
猜猜: 对数函数
y log 3 x和y log 1 x的图象。
y3 2 x log
y log 3 x
y 2
1
0
11 42
1 2 3
4
x
y log 1 x
y log 1 x
2
-1 -2
3
y log a x与y log 1 x关于轴对称
a
(a 0且a 1)
3. 对数函数的性质：
y 2 1
0
11 42
y log 2 x
对数函数及其性质2
例3.已知f(x) = lg(ax－bx) ( a＞1＞b＞0 ) （1）求 f ( x ) 的定义域；
解：由题 ax －b x ＞0 得 ax ＞ bx ∵ a＞1＞b＞0 ∴ x ＞0
a x ( ) 1 b
故 f ( x ) 的定义域为 ( 0 , + ∞ ) (2)判断 f ( x ) 的单调性.
（3）令u=a-ax, ∵u>0,a>1,∴ax<a,x<1, ∴y=loga(a-ax)的定义域为{x|x<1}, ∵ax<a,且ax>0,u=a-ax<a,
∴y=loga(a-ax)<logaa=1,
∴函数的值域为{y|y<1}. 【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响， 然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有 时需要讨论参数的取值.
综上所述，0 ≤a≤1. 【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.
（1）中函数的定义域为R,由判别式小于零确定；
（2）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定.
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例5 对数函数的单调性
y log 2 ( x 2 2 x) 的单调递增区间。 1.求函数
2.求函数 y log 1 ( x x 2) 的单调递减区间。
求值域： （1）y=log2 (x2-4x+6);
1 （2） y log 2 2 . - x 2x 2
(1)∵x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,又∵y=log2x在(0,+∞)上是增 函数, ∴log2(x2-4x+6)≥log22=1. ∴函数的值域是［1,+∞). (2) ∵-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3, 1 1 ∴ - x 2 2x 2 <0或 - x 2 2x 2 ≥ 1 . 1 1 3 log 2 ∴ ≥ log 2 - x 2x 2 1 3 ∴函数的值域是 log 2 , ,
2.2.2对数函数及其性质(2)
(3)已知 a>0，且 a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图像只 能是图中的( )
[答案] B
[解析] 函数 y＝loga(－x)的定义域是{x|x<0}，图像只能在 y 轴 左侧，故排除 A，C.再看单调性，y＝ax 的单调性与 y＝loga(－ x)的单调性正好相反，又排除 D.
【变式】 函数 f(x)＝ln(x2＋1)的图像大致是(
)
[答案] A
[解析] 因为 f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，排除选 项 C，又 f(0)＝0，排除选项 B，D，故选 A.
拓展
函数 f(x)＝1＋log2x 与 g(x)＝2－x＋1 在同一坐标 )
系下的图像大致是(
∴此函数不具备奇偶性．
拓展 已知函数 f(x)＝lg(ax ＋2x＋1)． (1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； (2)若 f(x)的值域为 R， 求实数 a 的 取值范围．
2
解：(1)若 f(x)的定义域为 R，则关于 x 的不等式 ax2＋2x＋ 1>0 的解集为 R. 1 当 a＝0 时，x>－ ，这与 x∈R 矛盾，所以 a≠0. 2 当 a≠0
f(x)，∴f(x)＝log2|x|为偶函数． 1－x 1＋x 1－x －1 1－x (2)设 f(x)＝lg ，f(－x)＝lg ＝lg( ) ＝－lg 1＋x 1－x 1＋x 1＋x 1－x ＝－f(x)，∴y＝lg 为奇函数． 1＋x
x－1>0 (3)由于 x＋1>0
，∴x>1，定义域不关于原点对称．
a>0， 时，由题意得 解得 Δ ＝ 4 － 4 a <0 ，
高中数学必修一导学案：222+对数函数及其性质
东北师范大学附属中学学科：数学年级：高一编稿老师：邢昌振审稿老师：王艳平[同步教学信息]2．2．2 对数函数及其性质【教材阅读提示】函数源于实际生活．我们在研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，得到的细胞案的个数y是分裂次数x的函数指数函数，即y=2x．我们现在要思考的是：（1）如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数，从而到的函数如何表示，它和指数函数有什么关系？（2）此函数有哪些基本性质？【基础知识精讲】（一）教学知识点知识目标：1.对数函数的概念、对数函数的单调性；2.对数函数的图象和性质；3.对数形式的复合函数的单调性；4.同底数对数、不同底对数的大小的比较．能力目标：1.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性质；2.掌握同底对数、不同底对数的大小的比较方法；3.掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法；情感、态度、价值观：1.用联系的观点分析问题；2.认识事物之间的相互转化；教学重点：掌握对数函数的图象和性质．教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．（二）知识框架图（三）知识点精讲1．函数x y a log 的图象及其性质：2．对数函数的定义域、值域分别为相应的指数函数的值域和定义域，它们的图象关于直线y=x 对称；3．（1，0）为所有对数函数图象的交汇点；4．和指数函数的单调性一样，当a ＞1时，y=log a x 在（0，+∞）上是增函数，当0＜a ＜1时，y=log a x 在（0，+∞）上是减函数．【应用举例】【例 1】求下列函数的定义域：（1） y=log a x 2； （2）y=log a （4－x ）； （3）y=log a （9－x 2）;（4）x y 21log =; ()x y 5l o g 15=. 解：（1）∵x 2＞0，∴x ≠0，∴定义域是｛x|x ∈R 且x ≠0｝；（2）∵4－x ＞0，∴x ＜4，∴定义域是｛x|x ＜4}；（3）∵9－x 2＞0，∴－3＜x ＜3，∴定义域是｛x |－3＜x ＜3}；（4）10,1210,1log log 0log 212121≤<∴<<≥⇒≥x x x ，∴定义域是｛x |0＜x ≤1}； （5）∵log 5x ≠0，∴log 5x ≠log 51，∴x ≠1，∴定义域为｛x|x ≠1｝．求函数定义域方法小结：（1） 分母不能为零；（2） 偶次方根的被开方数大于或等于零；（3） 对数的真数必须大于零；（4） 指数函数、对数函数的底数要求大于零且不等于1．【例 2】比较下列各组数中两个值的大小：()()()();1,095log 15log 3;72log 81log 2;58log 43log 1303022≠>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a a a a 与与与（4）log 76，log 67 ； （5）log 3π，log 20．8．解：（1）考察对数函数y=log 2x ，∵2＞1，∴y=log 2x 在（0，+∞）上是增函数，∴log 23．4＜log 28．5．（2）考察对数函数y =log 0．3x ，∵0．3＜1，∴y=log 0．3x 在（0，+∞）上是减函数，∴72log 81log 3030⋅<⋅⋅⋅．（3）由于两个对数的底数a 大小不一定，而a 的大小直接影响函数的单调性，因此要对底数进行讨论：当a ＞1时，y=log a x 在（0，+∞）上是增函数，∴95log 15log ⋅<⋅a a ；当0＜a ＜1时，y =log a x 在（0，+∞）上是减函数，∴95log 15log ⋅>⋅a a ．（4）∵log 76＞log 66=1，log 67＜log 77=1，∴log 76＞log 67．（5）∵log 3π＞log 31=0，log 20．8＜log 21=0，∴log 3π＞log 20．8．小结：1．当比较的对数值是底数相同的情况时，只需考虑相应对数函数的单调性，利用函数的单调性来判断大小；当比较的数值是底数不相同的情况时，常常需要引入中间值（例如0或1）来间接比较它们的大小；2．对于log a b 的正负性，可直接利用下列性质来判断：（1） 若a ＞1，b ＞1，或0＜a ＜1，0＜b ＜1时，log a b ＞0；（2） 若a ＞1，0＜b ＜1或b ＞1，0＜a ＜1时，log a b ＜0．【例3】证明函数()()()∞++=，在01log 22x x f 上是增函数；并判断()()()01log 22，在∞-+=x x f 上是增函数还是减函数？分析：此题目的是在于让学生熟悉函数单调性证明的通法，同时熟悉利用对数函数的单调性比较同底数对数大小的方法．证明：()，则，且，、设21210x x x x <∞+∈()()()(),11,01log 1log 22212122221221+<+∴<<+-+=-x x x x x x x f x f 又， ()()()()().1log 1log 0log 212222122x f x f x x x y <+<+∴∞+=即上是增函数，，在又∴函数()()()∞++=，在01log 22x x f 上是增函数；同理可证函数()()()01log 22，在∞-+=x x f 上是减函数． 【自我检测】【同步训练初级】1．四个函数分别为①x y 3-=；②x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31；③x y 31log =；④()x y -=31log . 其图象关于原点对称的是 （ ）A ．②和③B ．①和②C ．②和④D ．①和②、③和④2．已知函数()()22lg 2+-=x x x f 的定义域为F ，函数()()()2lg 1lg -+-=x x x g 的定义域为G ，那么 （ ）A ．φ=G FB ． F =GC ．F G D ．F G 3．将log 0。
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x∈(0, 1)时，y>0 x∈(1, +∞)时，y<0.
在(0,+∞)上是增函数
2. 对数函数的性质：
图y 象O
a＞1
x
0＜a＜1
y
O
x
定义域：(0, +∞)； 值域：R
性 过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
质
x∈(0, 1)时，y<0； x∈(1, +∞)时，y>0.
x∈(0, 1)时，y>0 x∈(1, +∞)时，y<0.
课堂小结
1.比较对数大小的方法； 2. 对数复合函数单调性的判断； 3. 对数复合函数定义域、值域的求法．
2.2.2 对数函数及其性质
第二课时
复习引入
1. 对数函数的定义： 函数y＝logax (a＞0且a≠1)叫做
对数函数，定义域为(0,＋∞)， 值域为(－∞,＋∞).
2. 对数函数的性质：
a＞1
图 象
0＜a＜1
性 质
2. 对数函数的性质：
图y 象O
a＞1
x
0＜a＜1
性 质
2. 对数函数的性质：
讲授新课
例1 比较下列各组数中两个值的大小：
练习 比较大小
例2 已知a＝ 时， 不等式loga(x2－x－2)＞loga(－x2＋2x＋3) 成立，求使此不等式成立的x的取值范围.
例3 若函数f(x)＝logax (0＜a＜1)在 区间[a, 2a]上的最大值是最小值的 3倍，求a的值.
例4 求证: 函数f(x)＝ 在[0, 1]上是增函数.
图y
a＞1
0＜a＜1
y
象O
x
O
x
定义域：(0, +∞)； 值域：R
性 过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
质
x∈(0, 1)时，y<0； x∈(1, +∞)时，y>0.
2. 对数函数的性质：
图y
a＞1
0＜a＜1
y
象O
x
O
x
定义域：(0, +∞)； 值域：R
性 过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
例5 已知f (x)＝loga (a－ax) (a＞1). (1) 求f (x)的定义域和值域； (2) 判证并证明f (x)的单调性.
例6 溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH的
计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表 示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述pH的计 算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离 子的浓度之间的变化关系；
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
练习 1. 略
2. 函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是
y
y
(③)
1 ① O1 x
y
1
③O1
x
1 ②O 1 x
y 1
④O 1 x
练习
函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是
y
y
(③)
1 ① O1 x
y
1
③O1
x
1 ②O 1 x
y 1
④O 1 x
图y
a＞1
象O
x
定义域：(0, +∞)；
0＜a＜1
y
O
x
性 质
2. 对数函数的性质：
图y
a＞1
0＜a＜1
y
象O
x
O
x
定义域：(0, +∞)； 值域：R
性 质
2. 对数函数的性质：
图y 象O
a＞1
x
0＜a＜1
y
O
x
定义域：(0, +∞)； 值域：R
性 过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
质
2. 对数函数的性质：
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为 [H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.
例7 (备选题)已知f(x)＝logax (a＞0, a≠1)， 当0＜x1＜x2时，试比较
的大小，并利用函数图象给予几何解释.
课堂小结
1.比较对数大小的方法；
课堂小结
1.比较对数大小的方法； 2. 对数复合函数单调性的判断；
质
x∈(0, 1)时，y<0； x∈(1, +∞)时，y>0.
x∈(0, 1)时，y>0 x∈(1, +∞)时，y<0.
2. 对数函数的性质：
图y 象O
a＞1
x
0＜a＜1
y
O
x
定义域：(0, +∞)； 值域：R
性 过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
质
x∈(0, 1)时，y<0； x∈(1, +∞)时，y>0.