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名校高考模拟卷2019届高三第一学期文科数学月考考试 ()

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湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考(六)数学(文科)试题含答案

湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考(六)数学(文科)试题含答案

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2019届高三数学10月月考试题 文 人教 新目标版

2019届高三数学10月月考试题 文 人教 新目标版

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019高三数学10月月考试题 文(满分150分 考试时间120分)一． 选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A={0，1,2}，则集合B={x-y |x∈A,y∈A}中元素的个数是 ( ) A.1 B.3 C.5 D.92. 命题∃x 0∈R ，sin x 0＜12x 0的否定为( )A ．∃x 0∈R ，sin x 0＝12x 0B ．∀x ∈R ，sin x ＜12xC ．∃x 0∈R ，sin x 0≥12x 0D ．∀x ∈R ，sin x ≥12x3. ()81sin log ,-0tan(2)42πππ-∂=∂∈-∂已知且（，），则的值为（ ）A.–5 B.5 C.±5 D. 24. 一个扇形的面积为2，周长为6则扇形的圆中角的弧度数为( )A.1B.1 或4C.4D. 2或4 5．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）A ．f (x )f (－x )是奇函数 B.()()f x f x -是奇函数C ．f (x )－f (－x )是偶函数D ．f (x )＋f (－x )是偶函数6.已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+的值是( )A. 13B. 13- D. 7.307cos 83sin 37cos 7sin -=( )A.-12 B. 12C.- 2D. 28.设函数f (x )为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集为 ( )．A ．(－1,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)9．为了得到函数y ＝sin （2x －π3）的图象，只需把函数y ＝cos 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动512π个单位长度 B ．向右平行移动512π个单位长度 C ．向左平行移动56π个单位长度 D ．向右平行移动56π个单位长度 10. 函数ln cos ()22y x x ππ=-<<的图象是( )11．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其它三边需要砌新的墙壁，当砌新的墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为 ( )A ．40米，20米B ．30米，15米C ．32米，16米D ．36米，18米12．若函数f(x)= 2log (2)+x 2xa --有零点，则a 的取值范围为（ ）A ．(－∞，－2]B ．(－∞，4]C ．[2，＋∞)D ．[4，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13. 函数f (x ) =的定义域是________．14.已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ___________ 15．曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为 ..16. 已知函数f (x )＝a x－1＋ln x ，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤0有解，则实数a 的取值范围是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17．(本小题满分10分) 已知角α终边上一点P (－4，3)，求 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α 的值18. (本小题满分12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos (π3－α)＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值．19.（本小题满分12分）.已知a ∈R ,函数f (x )=(-x 2+ax )e x(x ∈R ,e 为自然对数的底数). (1)当a=2时,求函数f (x )的单调递增区间.(2)函数f (x )是否为R 上的单调递减函数,若是,求出a 的取值范围;若不是,请说明理由. 20. （本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．若f (x )的极大值为1，求a 的值.21．（本小题满分12分） 已知函数f (x )＝(x 2－2x )ln x ＋ax 2＋2. (1)当a ＝－1时，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a =1，证明：当x ≥1时，g (x )＝f (x )－x －2≥0成立 22. （本小题满分12分）已知函数f (x )＝1＋ln xx.(1)若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12上存在极值，求正实数a 的取值范围；(2)如果函数g （x ）=f (x )-k 有两个零点，求实数k 的取值范围．平遥二中高三十月质检文科数学试题答案一.CDAB DBAC BACD 二.13. -+2,233k k k z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦14.1 15 . y ＝3x －1., 16，a ≤115. ()2,2- 16.①②⑤ 三、解答题17、解：原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.18.【解】(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.19.【解】 (1)∵当a=2时,f (x )=(-x 2+2x )e x,∴f'(x )=(-2x+2)e x +(-x 2+2x )e x =(-x 2+2)e x. 令f'(x )>0,即(-x 2+2)e x>0, ∵e x>0,∴-x 2+2>0,解得X <<故函数f (x )的单调递增区间是(. (2)若函数f (x )在R 上单调递减, 则f'(x )≤0对x ∈R 都成立,即[-x 2+(a-2)x+a ]e x≤0对x ∈R 都成立. ∵e x >0,∴x 2-(a-2)x-a ≥0对x ∈R 都成立.因此应有Δ=(a-2)2+4a ≤0,即a 2+4≤0,这是不可能的. 故函数f (x )不可能在R 上单调递减. 20.【解】(1) (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )， 当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，所以当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)， 当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－a 或x >a ， 由f ′(x )<0，解得－a <x <a ，所以当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，f (x )的单调减区间为(－a ，a )．因为f (x )在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，所以a ＝1. 所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3. 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调性，可知f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 又f (－3)＝－19<－3，f (3)＝17>1，结合f (x )的单调性，可知m 的取值范围是(－3,1)．21. (1)当a ＝－1时，f (x )＝(x 2－2x )ln x －x 2＋2，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(2x －2)ln x ＋(x －2)－2x .所以f ′(1)＝－3，又f (1)＝1，f (x )在(1，f (1))处的切线方程为3x ＋y －4＝0. (2)22. (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－1－ln x x 2＝－ln xx2. 令f ′(x )＝0，得x ＝1；当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 所以，x ＝1为极大值点，所以a ＜1＜a ＋12，故12＜a ＜1，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2（0,1）)。

湖南省师大附中2019届高三月考(五)数学(文)试卷(含答案)

湖南省师大附中2019届高三月考(五)数学(文)试卷(含答案)

湖南师大附中2019届高三月考试卷(五)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数6－5i ，－2＋3i 对应的点分别为A 、B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是(C) A ．4＋8i B ．8＋2i C ．2－i D ．4＋i【解析】复数6－5i 对应的点为A (6，－5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2，3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2，－1)，故点C 对应的复数为2－i ，选C.2．设命题p ：－6≤m ≤6，命题q ：函数f (x )＝x 2＋mx ＋9(m ∈R )没有零点，则p 是q 的(B) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】函数f (x )＝x 2＋mx ＋9(m ∈R )没有零点，则Δ＝m 2－36<0，即－6<m <6，显然，q 可以推出p ，而p 不能推出q ，故选B.3．点P (a ，3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离等于4，且在2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则a 的值为(C) A ．3 B ．7 C ．－3 D ．－7【解析】由题意⎩⎪⎨⎪⎧|4a －3×3＋1|5＝4，2a ＋3－3<0，解得a ＝－3.选C.4．已知函数f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝x 13，则在(－2，0)上，下列函数中与f (x )的单调性相同的是(C)A ．y ＝－x 2＋1B ．y ＝|x ＋1|C ．y ＝e |x |D ．y ＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥0x 3＋1，x <0【解析】由已知得f (x )在(－2，0)上单调递减，所以答案为C.5．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(D)A ．57＋24πB ．57＋15πC ．48＋15πD ．48＋24π【解析】本题为圆锥与直四棱柱的组合体．注意表面积分为三部分，圆锥侧面展开图，即扇形面积5×6π2＝15π；圆锥底面圆，S ＝πr 2＝9π；直四棱柱侧面积，3×4×4＝48，总面积为48＋24π.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线离心率等于(A)A.355B.62C.32D.55【解析】圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0圆心为C (3，0)，半径为2，由已知C 到直线y ＝ba x 的距离为2，可得9a 2＝5c 2，可得e ＝355.故选A.7．将参加夏令营的400名学生编号为：001，002，…，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且随机抽得的号码为003，这400名学生分住在三个营区，从001到180在第一营区，从181到295在第二营区，从296到400在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为(A)A ．18，12，10B ．20，12，8C ．17，13，10D ．18，11，11【解析】根据系统抽样特点，抽样间隔为40040＝10，被抽到号码l ＝10k ＋3，k ∈N .由题意可知，第一营区可分为18个小组，每组抽取1人，共抽取18人，由第二营区的编号为181到295，可知181≤10k ＋3≤295，k ∈N ，可得18≤k ≤29，因此第二营区应有12人，第三营区有10人，所以三个营区被抽中的人数分别为18，12，10. 8．已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB 、BC 分别是3＋2，3－2的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于(D)A.32 B.34 C.32或 3 D.32或34【解析】由条件AB ＝3，BC ＝1，由3sin C ＝1sin 30°，得sin C ＝32.∴C ＝60°或120°，∴B ＝90°或30°，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝32sin B ＝32或34.故选D.9．右图中，x 1，x 2，x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当x 1＝6，x 2＝9，p ＝8.5时，x 3等于(C)A ．11B ．10C ．8D ．7【解析】x 1＝6，x 2＝9，|x 1－x 2|＝3≤2不成立，即为“否”，所以再输入x 3；由绝对值的意义(一个点到另一个点的距离)和不等式|x 3－x 1|<|x 3－x 2|知，点x 3到点x 1的距离小于点x 3到x 2的距离，所以当x 3<7.5时，|x 3－x 1|<|x 3－x 2|成立，即为“是”，此时x 2＝x 3，所以p ＝x 1＋x 32，即6＋x 32＝8.5，解得x 3＝11>7.5，不合题意；当x 3≥7.5时，|x 3－x 1|<|x 3－x 2|不成立，即为“否”，此时x 1＝x 3，所以p ＝x 3＋x 22，即x 3＋92＝8.5，解得x 3＝8>7.5，符合题意，故选C.10．A (a ，1)，B (2，b )，C (4，5)为坐标平面内三点，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，则a ，b 满足的关系式为(A)A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝14【解析】由OA →与OB →在OC →方向上的投影相同可知：OA →·OC →|OC →|＝OB →·OC →|OC →|4a ＋5＝8＋5b 4a －5b ＝3.故选A.11．已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围为(B)A ．(3，4)B ．(2，＋∞)C ．(2，5)D ．(3，22)【解析】做出f (x )的图象，可知m ≤0时，直线y ＝mx 与f (x )只有一个交点，不符题意；当m >0时y ＝mx 与y ＝2－⎝⎛⎭⎫13x(x ≤0)总有一个交点，故y ＝mx 与y ＝12x 2＋1(x >0)必有两个交点，即方程12x 2＋1＝mx (x >0)必有两不等正实根，即方程x 2－2mx ＋2＝0必有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－8>0x 1＋x 2＝2m >0，x 1x 2＝2>0，解得m ∈(2，＋∞)，选B.12．已知方程x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则a 2＋b 2的取值范围是(D)A ．(5，＋∞)B ．[5，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞)【解析】设f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由抛物线的离心率为1，知f (1)＝1＋a ＋b ＋c ＝0故c ＝－1－a －b ，所以f (x )＝(x －1)[x 2＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1]．另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故g (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1有两个分别属于(0，1)和(1，＋∞)的零点．故有g (0)>0且g (1)<0，即a ＋b ＋1>0且2a ＋b ＋3<0.运用线性规划知识可求得a 2＋b 2∈(5，＋∞)．故选D.选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上． 13．设直线l ：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＝0(m ∈R )与圆(x －1)2＋y 2＝8交于A 、B 两点，C 为圆心，且△ABC 面积等于4，则实数m ＝__－12或－72__．【解析】设CA ，CB 的夹角为θ，∴S △ABC ＝12r 2sin θ＝4sin θ＝4，∴θ＝π2，此时圆心C 到直线l 的距离为2，∴|4m －1|（m －1）2＋（2m ＋1）2＝2m ＝－12或m ＝－72.14．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是__－4<m <2__．【解析】因为(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋⎝⎛⎭⎫4y x ＋xy ≥4＋24y x ·xy＝8，所以m 2＋2m <8， 解得－4<m <2.15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，过点A 向∠BAD 所在区域等可能任作一条射线AP ，已知事件“射线AP 与线段BC 有公共点”发生的概率为13，则BC 边的长为__3__．【解析】因为P ＝∠BAC ∠BAD ＝13，∠BAD ＝90°，则∠BAC ＝30°，所以BC AB ＝tan 30°＝33.因为AB ＝3，则BC＝ 3.16．函数y ＝f (x )图象上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k A ，k B ，规定φ(A ，B )＝|k A －k B ||AB |2叫做曲线y ＝f (x )在点A 、B 之间的“平方弯曲度”．设曲线y ＝e x ＋x 上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1－x 2＝1，则φ(A ，B )的取值范围是__⎝ ⎛0，2__． 【解析】y ＝e x ＋x 的导数为y ′＝e x ＋1，k A ＝e x 1＋1，k B ＝e x 2＋1，φ(A ，B )＝|k A －k B ||AB |2＝|e x 1－e x 2|（x 1－x 2）2＋（e x 1－e x 2＋x 1－x 2）2＝|e x 1－e x 2|1＋（e x 1－e x 2＋1）2，x 1－x 2＝1，可得x 1＞x 2，e x 1＞e x 2，可令t ＝e x 1－e x 2，可设f (t )＝t1＋（t ＋1）2，t ＞0，f ′(t )＝1＋（t ＋1）2－2t （t ＋1）（1＋（t ＋1）2）2＝2－t 2（1＋（t ＋1）2）2，当0＜t ＜2时，f ′(t )＞0，f (t )递增；当t ＞2时，f ′(t )＜0，f (t )递减．则当t ＝2处f (t )取得极大值，且为最大值21＋（2＋1）2＝2－12.则φ(A ，B )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2－12. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与(1)作出散点图：(2)根据上表数据用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^(精确到0.01)；(3)根据经验，观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为100，则该学生是否需要进行心理疏导？其中b ^＝错误!错误!＝91，错误!＝错误!－错误!错误!. 【解析】(1)4分(2)x －＝16(6＋5＋4＋3＋2＋1)＝3.5，y －＝16(55＋63＋72＋80＋90＋99)＝76.5，x － y －＝267.75，b ^＝1 452－6×267.7591－6×3.52≈－8.83，a ^＝76.5＋8.83×3.5≈107.41， 所以线性回归方程为y ＝－8.83x ＋107.418分(3)x ＝2时，y ＝－8.83×2＋107.41≈89.74，∵10089.74≈1.11<1.12，为轻度焦虑，故该学生不需要进行心理疏导.12分18．(本题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ，AB ＝2AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且PE ED ＝BFF A＝λ(λ>0)．(1)证明：EF ∥平面PBC ；(2)是否存在实数λ，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°？若存在，试求出λ的值，若不存在，请说明理由．【解析】(1)作EH ∥AD 交P A 于点H ，连接HF ， ∵EH ∥AD ，∴PE ED ＝PHHA.1分又∵PE ED ＝BF F A ＝λ，∴PH HA ＝BFF A ，∴FH ∥PB .2分又∵EH ∥AD ，FH ∩HE ＝H ，∴平面EFH ∥平面PBC .4分∵EF 平面EFH ，∴EF ∥平面PBC .6分(2)存在实数λ＝5，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°.7分其理由如下：假设存在实数λ，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°， ∵AB ∥CD ，∴∠AFE 为异面直线EF 与CD 所成角，∴∠AFE ＝60°.8分 过点E 作EQ ⊥AD 交AD 于点Q ，连接FQ ， ∵P A ＝AD ，AB ＝2AD ， ∴设AD ＝1，又∵PE ED ＝BFF A＝λ，AF ＝DE ＝21＋λ，AQ ＝λ1＋λ，EQ ＝11＋λ，10分∵FQ 2＝AF 2＋AQ 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ2＋⎝⎛⎭⎫λ1＋λ2＝2＋λ2（1＋λ）2， ∵EF 2＝EQ 2＋FQ 2＝2＋λ2（1＋λ）2＋⎝⎛⎭⎫11＋λ2＝3＋λ2（1＋λ）2，∴Rt △F AE 中，cos ∠AFE ＝cos 60°＝AF EF ，∴14＝23＋λ2，∴λ＝ 5.∴存在实数λ＝5，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°.12分19．(本题满分12分)在等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{}a n 中落入区间(9m ，92m )内的项的个数记为b m ，求数列{}b m 的前m 项和S m . 【解析】(1)因为{}a n 是一个等差数列，a 3＋a 4＋a 5＝84， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，即a 4＝28，设数列{}a n 的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9.2分 由a 4＝a 1＋3d ，得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1.4分所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8，n ∈N *.6分 (2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ，则9m ＋8<9n <92m ＋8，7分 因此9m －1＋89≤n ≤92m －1＋89，8分故得b m ＝92m －1－9m －1，9分于是S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9×（1－81m ）1－81－1×（1－9m ）1－9＝92m ＋1－10×9m ＋180.12分20．(本题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点是F 1、F 2，左右顶点是A 1、A 2，离心率是22，过F 2的直线与椭圆交于两点P 、Q (不是左、右顶点)，且△F 1PQ 的周长是42，直线A 1P 与A 2Q 交于点M . (1)求椭圆的方程；(2)(ⅰ)求证直线A 1P 与A 2Q 交点M 在一条定直线l 上；(ⅱ)N 是定直线l 上的一点，且PN 平行于x 轴，证明：|PF 2||PN |是定值．【解析】(1)设椭圆的焦距是2c ，据题意有：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，4a ＝42a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.3分(2)(ⅰ)由(1)知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，F 2(1，0)，设直线PQ 的方程是x ＝my ＋1， 代入椭圆方程得：(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，易知Δ＝4m 2＋4(m 2＋2)＝8m 2＋8>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，y 1>y 2，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2y 2－y 1＝－（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝－22m 2＋2m 2＋2，5分直线A 1P 的方程是：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2) ①，直线A 2Q 的方程是：y ＝y 2x 2－2(x －2) ②，7分设M (x ，y )，既满足①也满足②，则x ＝2·x 2y 1＋x 1y 2＋2（y 2－y 1）x 1y 2－x 2y 1＋2（y 2＋y 1）＝2·2my 1y 2＋（y 1＋y 2）＋2（y 2－y 1）2（y 1＋y 2）＋（y 2－y 1）＝2·－2m m 2＋2－2m m 2＋2－222m 2＋2m 2＋2－22m m 2＋2－22m 2＋2m 2＋2＝2·4m ＋222m 2＋222m ＋22m 2＋2＝2， 故直线A 1P 与A 2Q 交点M 在一条定直线l ：x ＝2上.10分(ⅱ)设N (2，t )，P (x 1，y 1)，x 1∈(－2，2)，则|PN |＝2－x 1， ∴|PF 2||PN |＝（x 1－1）2＋y 212－x 1＝（x 1－1）2＋1－x 222－x 1＝12（x 1－2）22－x 1＝22.12分 21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－a ln x －x (a ≠0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若a >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )图象上的任意两点(x 1<x 2)，记直线AB 的斜率为k ，求证：f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋2x 23>k .【解析】(1)f ′()x ＝2x －ax －1＝2x 2－x －a x ()x >0，1分 ①当a ≤－18时，2x 2－x －a ≥0恒成立，即f ′()x ≥0恒成立，故函数f ()x 的单增区间为()0，＋∞，无单减区间.2分 ②当－18<a <0时，f ′()x >02x 2－x －a >0，解得：x >1＋1＋8a 4或x <1－1＋8a4，∵x >0，∴函数f ()x 的单增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋8a 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋8a 4，＋∞，单减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋8a 4，1＋1＋8a 4.4分 ③当a >0时，由f ′()x >0解得：x >1＋1＋8a 4或x <1－1＋8a4.∵x >0，而此时1－1＋8a4≤0，∴函数f ()x 的单增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋8a 4，＋∞，单减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋8a 4.6分(2)证明：∵f ′()x ＝2x －a x －1，∴f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋2x 23＝2()x 1＋2x 23－3a x 1＋2x 2－1，由题，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝()x 21－x 22－a ()ln x 1－ln x 2－()x 1－x 2x 1－x 2＝()x 1＋x 2－a lnx 1x 2x 1－x 2－1，则f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋2x 23－k ＝2()x 1＋2x 23－()x 1＋x 2－3ax 1＋2x 2＋a lnx 1x 2x 1－x 2＝x 2－x 13－3ax 1＋2x 2＋a lnx 1x 2x 1－x 2，8分注意到x 2－x 13>0，故欲证f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋2x 23>k ，只须证明a lnx 1x 2x 1－x 2>3ax 1＋2x 2.因为a >0，故即证lnx 1x 2x 1－x 2>3x 1＋2x 2ln x 1x 2<3()x 1－x 2x 1＋2x 2lnx 1x 2<3⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2＋29分 令x 1x 2＝t ∈()0，1，g ()t ＝ln t －3()t －1t ＋2，则g ′()t ＝1t－9()t ＋22＝()t －1()t －4t ()t ＋22>0，故g ()t 在()0，1上单调递增．所以g ()t <g ()1＝0，即ln t <3()t －1t ＋2，即：ln x 1x 2<3⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2＋2，所以f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋2x 23>k .12分 请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(四)数学(文)试题(教师版)

湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(四)数学(文)试题(教师版)

湖南师大附中2019届高三月考试卷(四)数学(文科)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,集合{}21xM x =<,集合{}2log 1xN x =>,则下列结论中成立的是( ) A. M N M ⋂= B. M N N ⋃= C. ()M N M ⋃⋂=ð D. ()M N N ⋃⋂=ð【答案】C 【解析】 【分析】求出M 与N 中不等式的解集，确定出M 与N ，利用交并补运算即可做出判断． 【详解】由0212x <=,得0x <,由22log 1log 2x >=,∴2x >, ∴(){}{}|0|2=M M N x x x x ⋃⋂=<⋂≤ð,故答案为C.【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.已知三条不重合的直线 m n l 、、,两个不重合的平面 、αβ,下列四个命题中正确的是( ) A. 若l α⊥,m β⊥,且l m ,则αβ∥ B. 若,m n n α⊂,则m αC. 若,m n αα⊂⊂，m β,n β,则αβ∥D. 若,,m n αβαββ⊥⋂=⊂,，则n α⊥ 【答案】A 【解析】 【分析】利用垂直于同一直线的两平面平行判断A 是否正确；根据线面平行的判定定理判断B 是否正确；根据面面平行的判定定理判断C 是否正确；根据面面垂直的性质定理判断D 是否正确. 【详解】∵l ⊥α，l ∥m ，∴m ⊥α，∵m ⊥β，∴α∥β，A 正确； ∵m ∥n ，n ⊂α，有可能m ⊂α，∴B 错误；∵m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，m 、n 不一定相交，∴α、β不一定平行；C 错误； 根据面面垂直的性质判断D 错误；故选：A ．【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直关系的判定，以及平面与平面平行的判定，要特别注意定理的条件．3.已知(1,3)P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线上,则该双曲线的离心率为( )B. 2【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，然后转化求解即可．【详解】根据点(1,3)P 在双曲线的渐近线上,所以双曲线的一条渐近线方程为, 所以有b3a=, 即3b a =,根据双曲线中, , a b c 的关系,可以得c =,所以有e =,故选A.【点睛】求离心率的常用方法有以下两种： （1）求得,a c的值，直接代入公式ce a=求解； （2）列出关于,,a b c 的齐次方程(或不等式)，然后根据222b a c =-，消去b 后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．4.已知()sin ωx (0,0,,)2f x A A x R πφφ=+>><∈（）在一个周期内的图象如图所示,则()y f x =的解析式是( )A. ()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. ()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】通过函数的图象，求出A ，利用函数的周期求出ω，利用函数的图象经过的特殊点求出ϕ，从而得到选项． 【详解】由函数()sin()(0,0,,)2f x A x A x R πφ=>><∈在一个周期内的图象可得：1A =,112T==44126πππω⋅+,解得2ω=, 再把点,112π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数的解析式可得：1sin 212πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭,即sin 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.再由2πϕ<可得：3πϕ=,所以函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.故应选B. 【点睛】已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.5.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出n 的值为(参考数据：sin150.2588=°,sin7.50.1305=°)( )A. 12B. 16C. 24D. 48【答案】C 【解析】 【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【详解】由程序框图可列表如下：因为 3.106 3.10≈>,所以输出n 的值为24,故选C.【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答． 6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,通项公式21log (*)2n n a n N n +=∈+,则满足不等式6n S <-的n 的最小值是( ) A 62B. 63C. 126D. 127【答案】D 【解析】 【分析】先由{}n a 的通项公式和对数的运算性质，求出n S ，再把6n S <-转化为关于n 的不等式即可． 【详解】因为222312log log 63422n n S n n +⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,所以6222n -<+,即126n >, 故应选D.【点睛】本题考查了数列的求和以及对数的运算性质，是一道基础题． 7.设,,A B C 为圆O 上三点，且3,5AB AC ==，则AO BC ⋅=（ ） A. -8 B. -1C. 1D. 8【答案】D 【解析】试题分析：取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，因为O 为三角形ABC 外接圆的圆心，则1()2AD AB AC =+，0OD BC ⋅=.所以()AO BC AD DO BC ⋅=+⋅=1()2AB AC +()AC AB -=221(||)2AC AB -8=，故选D.考点：平面向量的数量积．8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()(2)f x f x =+,数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n S a =+,则()n f a =( )A. 0B. 0或1C. -1或0D. 1或-1【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 满足f （x+2）=f （x ），因此函数f （x ）是周期为2的函数．由S n =2a n +2，利用递推关系可得a n ．再利用周期性与奇函数的性质f （0）=0即可得出． 【详解】∵()(2)f x f x =+, 所以()f x 函数周期为2, ∵数列{}n a 满足22n n S a =+,∴12a =-,1122n n S a --=+,∴122n n n a a a -=-,即12n n a a -=, ∴{}n a 以-2为首项,2为公比的等比数列,∴2nn a =-,∴()()(2)00n f a f n f =-==,故选A.【点睛】本题考查了数列的递推关系、函数的奇偶性与周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.设定义域为R 的函数lg 2,2()0,2x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，若0b <,则关于x 的方程2[()]()0f x bf x +=的不同实数根共有( ) A. 4个 B. 5个 C. 7个 D. 8个【答案】C【分析】要求关于x 的方程f 2（x ）+bf （x ）=0的不同实根，利用因式分解转化为f （x ）=0或f （x ）=﹣b ＞0（b ＜0）两个方程实根的个数，根据函数图象即可求得结果．【详解】由2[()]()0f x bf x +=,得()0f x =或()f x b =-.所以方程2[()]()0f x bf x +=的根的个数转化为函数()y f x =与函数0,y =(0)y b b =-<的图象的交点个数.因为函数()f x 的图象大致如图所示,数形结合可知,()0f x =有3个实数根,()(0)f x b b =-<有4个实数根, 所以2[()]()0f x bf x +=共有7个不同的实数根,故答案选C.【点睛】本题考查根的存在性以及根的个数的判断，体现了数形结合和分类讨论的思想和灵活应用知识分析解决问题的能力．10.一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体,余下的几何体的三视图如下,则余下部分的几何体的体积为( )A.83πB.163πC. 83π+D.169+【答案】D 【解析】由三视图求出圆锥母线，高，底面半径．进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得答案．【详解】由已知中的三视图，圆锥母线，圆锥的高，圆锥底面半径为=2， 截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分为S=23πr 2+12r 2sin120°=83π故几何体的体积为：V=13Sh=13×（83π2=169π，故选：D ． 【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.11.本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放,甲、乙两人计划前去自习,其中甲连续自习2小时,乙连续自习3小时.假设这两人各自随机到达图书馆,则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是( )A. 19 B.16 C. 13D. 12【答案】B 【解析】 【分析】设出甲乙到达的时刻，求出满足条件的不等式组，作出对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【详解】据题意,甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆,设甲、乙到达图书馆的时间分别为 x y 、,则1413x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩所对应的矩形区域的面积为6.若下午5钟点时甲、乙两人都在自习,则3423x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩所对应的正方形区域的面积为1,所以1P=6,选B.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应的区域面积是解决本题的关键．12.设函数()d x 与函数2log y x =关于直线y x =对称.已知()()()22,1432,1d x a x f x x ax a x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数()f x 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是A. 1(,1)[2,)2+∞ B. 13(,1)[,)42+∞ C. 1(,)4+∞D. 3(,)2-∞【答案】A 【解析】 【分析】分段函数求解得出2x﹣a=0，()22432x ax a-+=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ），分类分别判断零点，总结出答案． 【详解】因为函数()d x 与函数2log y x =关于直线y x =对称,所以()2xd x =；设()4()(2),g x x a xa x =--≥,()2,1x h x a x =-< ,因为()f x 恰有2个不同的零点,又因为()h x 至多有一个零点,故：①若()g x 有两个零点,()h x 没有零点,则()1120a h a ≥⎧⎨=-≤⎩,得2a ≥.②若()g x 和()h x 各有1个零点,则121a a <⎧⎨≥⎩且()0120a h a -<⎧⎨=->⎩,得112a ≤<.综上,[)1,12,2a ⎛⎫∈⋃+∞⎪⎝⎭.故答案选A. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13.已知圆221:()1C x a y -+=与圆222:650C x y x +-+=外切,则a 的值为______.【答案】0或6【解析】 【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆的圆心距等于两圆的半径之和，列方程解a 的值．【详解】圆221:()1C x a y -+=的圆心为(),0a ,半径为1, 圆222:650C x y x +-+=的圆心为()3,0,半径为2,两圆外切,所以33a -=,∴0a =、6,故a 的值为0或6. 故答案为：0或6【点睛】本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的充要条件是：两圆圆心距等于两圆的半径之和． 14.如果复数z 满足关系式2z z i +=+,那么z 等于 ． 【答案】34+i 【解析】试题分析：设(,)z a bi a b R =+∈，则z a b i =-，z =所以2a bi i +=+，所以得：2{1a b ==，解得：3{41a b ==，所以34z i =+． 考点：复数的运算． 15.已知2510a b ==,则a bab+=______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据对数的运算性质和对数的定义即可求出． 【详解】由已知,21log 10lg 2a ==,51log 10lg 5b ==.所以11lg 2lg5lg101a b ab a b+=+=+==. 故答案为：1【点睛】本题考查了对数的运算性质和对数的定义，属于基础题．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数 a b 、都有()()()1f a b f a f b +=+-,且当0x >时()1f x >.若(4)5f =,则不等式2(32)3f x x --<的解集为______.【答案】41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】先证明函数()f x 的单调性，由(4)5f =可得(2)3f =，根据单调性建立不等关系，解之即可． 【详解】设12x x >,则120x x ->,12()1f x x ->.所以12122212()()[()]()()10f x f x f x x x f x f x x -=-+-=-->,即12()()f x f x >,所以()f x 是增函数.因为(4)5f =,即(2)(2)15f f +-=,所以(2)3f =.所以原不等式化为2224(32)(2)32234013f x x f x x x x x --<⇒--<⇒--<⇒-<<.故不等式的解集是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及抽象函数及其应用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知函数()sin cos ,0,R f x a x b x a x =+≠∈,()f x 的最大值是2,且在x=6π处的切线与直线0x y -=平行.(1)求a b 、的值；(2)先将()f x 的图象上每点的横坐标缩小为原来的12,纵坐标不变,再将其向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象,已知10g =413πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,,62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求cos2α的值.【答案】（1）1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩（2）1226.【解析】 【分析】（12=，进一步利用导数求出a 和b 的另一个关系，进一步求出结果；（2）根据（1）的结果求出()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据图象的变换求出g （x ）=226sin x π⎛⎫-⎪⎝⎭，然后根据角的恒等变换2α=（2α+3π）﹣3π，即可得到结果． 【详解】(1)()'cos sin f x a x b x =-,由已知有2166acos bsin ππ⎧=⎪⎨-=⎪⎩,解之得：1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩(2)由(1)有()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭, 因为将()f x 的图象上每点的横坐标缩小为原来12,纵坐标不变, 再将其向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象,则()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,由10g =413πσ⎛⎫+⎪⎝⎭,,62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得5sin 2313πσ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,且22+,33ππαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 则12cos 2313πσ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 333333ππππππασσσ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1215=+13213-⋅. 【点睛】本题考查的知识点：三角函数的最值，利用导数求函数的斜率，正弦型函数的图象的变换，角的变换，三角函数的值．18.如图,已知三棱柱ABC A B C -'''的侧棱垂直于底面,,AB AC =90BAC ∠=︒,点 M N 、分别是A B '和B C ''的中点.(1)证明：MN ∥平面AAC C ''；(2)设AB AA λ=',当λ为何值时,CN ⊥平面A MN ',试证明你的结论. 【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）时，【解析】【详解】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化. 试题解析：（Ⅰ）取得中点,连接,因为分别为A B '和B C ''的中点，所以又因为,,所以,, 5分所以,因为MN ⊂平面MNE , 所以； 6分（Ⅱ）连接,设，则， 由题意知因为三棱柱ABC A B C '''-侧棱垂直于底面, 所以,因为,点N 是B C ''的中点，所以A N BB C C ''⊥'平面,, 9分要使，只需即可，所以,即，则时，. 12分考点：证明线面平行及寻求线面垂直19.某地1～10岁男童年龄i x (单位：岁)与身高的中位数i y (单位)(i=1,2,...,10)cm ，如表所示：对上表的数据作初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)求y 关于x 的线性回归方程(回归方程系数精确到0.01)；(2)某同学认为方程2y px qx r =++更适合作为y 关于x 的回归方程模型,他求得的回归方程是^20.3010.1768.07y x x =-++.经调查,该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ，与(1)中的线性回归方程比较,哪个回归方程的拟合效果更好？(3)从6岁～10岁男童中每个年龄阶段各挑选一位男童参加表演(假设该年龄段身高的中位数就是该男童的身高).再从这5位男童中任挑选两人表演“二重唱”,则“二重唱”男童身高满足6,(,6,7,8,9,10)i j y y i j -≤=的概率是多少？参考公式：1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑,a y bx =-$$【答案】（1） 6.87 4.7ˆ76y x =+；（2）20.3010.1768.07ˆy x x =-++拟合效果更好；（3）310. 【解析】 【分析】（1）由表中数据求得x ，计算回归系数，写出回归方程；（2）根据回归方程分别计算x=11时y ∧的值，求出|y ﹣y ∧|的值，比较即可得出结论; (3)利用古典概型计算公式求出结果. 【详解】(1)因为123105.510x ++++==,()()121ˆ()566.856.8782.50ni i i n i i x x y y b x x ==--==≈-∑∑， 112.45 6.ˆˆ87 5.574.67ay bx =-=-⨯≈, 所以y 关于x 的线性回归方程是 6.87 4.7ˆ76yx =+. (2)若y 关于x 的线性回归方程是 6.87 4.7ˆ76yx =+,所以11x =时,1524ˆ0.y =； 若回归方程是20.3010.1768.07ˆyx x =-++,所以11x =时,1464ˆ 3.y =； 因为143.64145.3 1.66150.24145.3 4.94-=<-=,所以回归方程20.3010.1768.07ˆyx x =-++拟合效果更好. (3)设6岁～10岁男童挑选的5位男童身高分别为,,,,a b c d e ,则从中任挑选两人表演“二重唱”有10种选法：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ；两男童身高的中位数满足()6,,6,7,8,9,10i j y y i j -≤=有3种选法,分别是(124,130),(130,135.4),(135.4,140.2),故概率是6310i j y y P-≤=. 【点睛】求线性回归直线方程的步骤（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；（2）求系数ˆb：公式有两种形式，即()()()1122211ˆn n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxyb x nx x x ====∑--∑-==∑-∑-。

2019-2020年高三上学期第一次月考文科数学试卷 含答案

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2019-2020年高三上学期第一次月考文科数学试卷 含答案文科数学命题人：谭振枝 审题人： 李娟注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间：120分钟.答卷前，考生务必将条形码、姓名和考号张贴和填写答题卷指定的位置.2、选择题答案用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上.3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.第Ⅰ卷一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R =，集合{}{}2|20,|lg(1)A x x x B x y x =->==-则集合()U C A B =A.{}|0,2x x x <>或B.{}|12x x <<C.{}|12x x <≤ D.{}|12x x ≤≤ 2．已知复数z 满足()()353210z i i i +-=,则复数z 在复平面上对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．已知函数2,0,()1,0,x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩若()(1)0f a f +=，则实数a =A. -3B. -1C. 1D. 34．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“20a >且10a >”是“数列{}n S 单调递增”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 A. 34cm B. 36cmC.3163cm D.3203cm 6．设点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，点F 到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为61：，则双曲线的 渐近线方程为A. 0y ±=B. 0x ±=C. 0x ±=D. 0y ±=俯视图侧视图正视图27．如图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成 绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为 A 1，A 2，…，A 14.图(2)的程序框图给出了茎叶图中成绩在一定范围内的考试次数．执行该程序框图，则输出的结果是 A. 7B. 8C. 9D. 10 8．平面向量a 与b 的夹角为60°，()2,0,1a b ==，则2a b +=A. B. 4C. 12D.16 9．将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向右平移8π个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的 取值不可能是A. 54π-B. 4π-C.4π D.34π 10．已知数列{}n a 满足*1111,()()4n n n a a a n N +=+=∈，设21123444n n n S a a a a -=++++，则66654S a -=A. 5B. 6C. 10D. 1211．已知点N M ,是抛物线24x y =上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足135=∠MFN ，弦MN 的中点P 到直线l ：161-=y 的距离记为d ，若22||d MN ⋅=λ，则λ的最小值为B. 1C. 12+12．已知函数()()0ln 1,0x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则实数k 的取值范围为A. (0,1)B. 1(0,)2C. 1(,1)2D. (1,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2224题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．若,x y 满足约束条件50,40,250,x x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩则2z x y =+的最小值为 ．14． 对具有线性相关关系的变量,y x 有一组观测数据()(),1,2,,8i i x y i =，其回归直线方程是1ˆˆ3yx a =+， 且()1238123828x x x x y y y y ++++=++++=，请估算3x =时，y = ．15．函数()1x f x e x =+-在点(1,(1))f 处的切线方程为 ．16．3232,3510,3550,a b a a a b b b a b -+-=-+-=+=若实数分别满足则 ． 三、 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知2cos 2c B a =.（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若2a =，ABC ∆c .18．（本小题满分12分）体育课上，某老师对高一（1）班50名学生进行跳绳测试，现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20与70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：(]20,30，第二组：(]30,40，……，第五组：(]60,70），并绘制成如右图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；（Ⅱ）从成绩在第一组和第五组的同学中随机取出 2名同学进行搭档 ，求至少有一名同学在第一组的概率． 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD，PA = 四边形ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=，,M N分别为BC 和PB 的中点..（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PMA ； （Ⅱ）求四面体M AND -的体积. 20．（本小题满分12分）已知两点12(F F 和，动点P 满足12|||| 4.OF OP OF OP +++= （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 上的两点,M N 在x 轴上方，且12//,F M F N 若以MN 为直径的圆恒过点(0,2),求1F M 的方程.21．（本小题满分12分）已知函数2()ln -()f x a x x a R =∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）对于(0,1)内的任意两个相异实数,p q 、恒有(1)(1)1,f p f q p q+-+>-求a 的取值范围.请考生在22、23、24题中任选一题作答．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑．如果多做,则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是O 的弦，P 是AB 上一点．（Ⅰ）若AB =，PA =，3OP =，求圆O 的半径；（Ⅱ）点,C E 在O 上，且CA CB =，线段CE 交AB 于D ．证明：CAD CEA ∆∆．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P 的极坐标为(2,)3π-，直线的极坐标方程为cos()63πρθ+=．（Ⅰ）求点P 到直线的距离；（Ⅱ）设点Q 在曲线C 上，求点Q 到直线的距离的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|||1|f x x a x =+-+．（Ⅰ）当12a =-时，求不等式()2f x a ≤的解集； （Ⅱ）当x R ∈时，()2f x a ≤，求实数a 的最小值．桂林十八中14级高三第一次月考文科数学参考答案13. 7 14.7615. (1)1y e x =+- 16. 2 三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2sin cos 2sin2C B A B=分即：2sin cos 2sin()3C B C B B=+分2sin cos 2sin cos 2cos sin cos 20,.66C B C B C B B C C C ππ∴=+⇒=<<∴=分（Ⅱ）由ABC ∆111sin 2222ab C b b =⨯⨯⨯=⇒= .................................................... 9分222222cos 222212c a b ab C c =+-=+-⨯⇒=由余弦定理得：分18．【解析】（Ⅰ）第四组的人数为()10.0040.0080.0160.04105016-+++⨯⨯=⎡⎤⎣⎦ ，中位数为()400.50.0040.016100.0447.5+-+⨯÷=⎡⎤⎣⎦．………………………４分 （Ⅱ）据题意，第一组有0.0041050=2⨯⨯人，第五组有0.0081050=4⨯⨯人，记第一组成绩为,A B ,第五组成绩为,,,a b c d ，则可能构成的基本事件有()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c A d B a B b B c B d A B ()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 共15种,…………………………………………………8分 其中至少有一名是第一组的有()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c A d B a B b B c B d A B 共9种,…………………10分∴ 概率93155P ==． …………………………………………………………12分 19.【解析】（Ⅰ）连结A C ，∵四边形A BCD 是菱形，∴AB BC =，又∵60ABC ??，∴A BC D 是等边三角形，∵M 是BC 中点, ∴AM BC ^， ∵PA ^平面A BCD ,BC ⊂平面ABCD ,∴PA BC ⊥，在平面PMA 中AM PA A = ∴BC ^平面PMA∴平面PBC ^平面PMA ； …6分（Ⅱ）11112sin 603232M AND N AMD AMD V V S PAAB °--D ==?创创=12分） 20.【解析】（Ⅰ）设(,)P x y ，则12(3,),().OF OP x y OF OP x y +=-+=12||||44OF OP OF OP +++=⇔由椭圆的定义知：动点P 的轨迹C 的方程为22 1.4x y += .... 4分（Ⅱ）设直线1:,5FM x my C N '=且与曲线的另一个交点为分11221222(,),(,),//(,)6M x y N x y F M F N N x y '--设由及椭圆的对称性知：分22222121212122(4)10,16(1)0,7441,||84x mym y m x yy y yy y y yym ⎧=⎪⇒+--=∆=+>⎨+=⎪⎩∴+==--=-=+分分1122121221212122221(0,2),(3,2),(2)((2)(2)(1)()2()1010164011R RM my y RN my y RM RN my my y y m y y y y y y m m m m F Mx y =--=-+--∴=-++---=-+++--+=∴++-+=⇒=∴=-设，分分直线的方程是12分21.【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞. ········ 1分所以 22(),x af x x-+'=当0a ≤时，()0,f x '≤则()f x 在(0,)+∞单调递减； ........ 2分当0a >时，22()x af x x-+'==知0,()0,()0.x f x x f x ''<<>><；当 所以 ()f x 在上单调递增，在)+∞单调递减. 5分222max (1)(1),1(1)(1)(1)(1).6()(1)ln(1)(1)(0,1)8()2(1)10(0,1)1253(0,1)(253)1f p f q p q p qf p f q p q f p p f q qg x f x xa x x x ag x x x a x x a x x +-+>>-⇔+-+>-⇔+->+-=+-=+-+-'=-+-≥+⇔≥++∴≥++=(2)设由分问题转化为函数在上，分即在上恒成立10分在上恒成立0.12分22. 证明：（Ⅰ）连接OA ，设OA =r ， 取AB 中点F ，连接OF ，则OF ⊥AB,6AB PA AF ==∴=PB FP ∴=………………………2分 又3,OP = Rt OFP ∆中，222927,OF OP FP =-=-= ……………………4分Rt OAF ∆中，22222725,r OA AF OF ==+=+= 5r ∴= ………………………………6分 （Ⅱ）CA CB CAD B =∴∠=∠B E CAD E ∠=∠∴∠=∠又 ……………………………………………………………8分∠ACE 为公共角,CAD ∴∆∽CEA ∆ …………………………………………………………………10分 23. 解：（Ⅰ）点2,3P π⎛⎫- ⎪⎝⎭的直角坐标为2cos ,2sin 33ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即(1, ………2分由直线l cos 63πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得()1cos 62ρθθ=.则l 的直角坐标方程为：120x -= …………………………………………4分点P 到l 的距离131242d +-== ………………………………………………………5分（Ⅱ）可以判断，直线l 与曲线C 无公共点，设)Q θθ ………………………………………………………………6分 则点Q 到直线120x -=的距离为6cos 1262d πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==…………………………………8分 所以当cos 16πθ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，max 9d = ………………………………………………10分24. 解：当a =21-时，不等式化为：1121-≤+--x x（Ⅰ）当x ≤-1时,1121-≤++-x x ,得123-≤,所以Φ∈x . ……………………………………………………………………………2分当211≤<-x 时，1121-≤---x x ,得41≥x ，所以2141≤≤x 成立. ……………………………………………………………………4分当21>x 时, 1121-≤---x x ,得21-≤0， 所以21>x 成立.综上，原不等式的解集为1|4x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ …………………………………………………6分（Ⅱ）∵1()(1)x a x x a x +-+≤+-+1-=a∴ 1)(+-+=x a x x f 的最大值为1-a …………………………………………8分 由题意知：1-a ≤2a 解得：a ≥31 所以实数a 的最小值为13……………………………………………………………10分。

湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(四)数学(文)试卷(带答案)

湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(四)数学(文)试卷(带答案)

湖南师大附中2019届高三月考试卷(四)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{} |x 2x <1，集合N ＝{} |x log 2x >1，则下列结论中成立的是(C) A ．M ∩N ＝M B ．M ∪N ＝N C ．M ∩()∁U N ＝M D.()∁U M ∩N ＝【解析】由2x <1＝20，得x <0，由log 2x >1＝log 22，∴x >2，∴M ∩()∁U N ＝{}x |x <0∩{}x |x ≤2＝M ，故答案为C.2．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α、β，下列四个命题中正确的是(A) A ．若l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m ，则α∥β B ．若m ∥n ，n α，则m ∥αC ．若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，α∩β＝m ，n β，则n ⊥α【解析】∵m 与α的位置关系不确定，∴m ∥α不一定成立，B 不成立；由于m 与n 几何位置关系不确定，∴α∥β的条件不具备，C 不成立；D 也不成立，∴选A.3．已知P (1，3)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的渐近线上，则该双曲线的离心率为(A)A.10 B ．2 C. 5 D. 3【解析】根据点P (1，3)在双曲线的渐近线上，所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，所以有ba ＝3，即b ＝3a ，根据双曲线中a ，b ，c 的关系，可以得c ＝10a ，所以有e ＝10，故选A.4．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R )在一个周期内的图象如图所示，则y ＝f (x )的解析式是(B)A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3【解析】由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R )在一个周期内的图象可得：A ＝1，14T ＝14·2πω＝π12＋π6，解得ω＝2，再把点⎝⎛⎭⎫π12，1代入函数的解析式可得：1＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1.再由||φ<π2可得：φ＝π3，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.故应选B.5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为(参考数据：sin 15°＝0.258 8，sin 7.5°＝0.130 5)(C)A ．12B ．16C ．24D ．48【解析】由程序框图可列表如下：n 6 12 24 S332336－32因为36－32≈3.106>3.10，所以输出n 的值为24，故选C.6．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，则满足不等式S n <－6的n的最小值是(D)A ．62B ．63C ．126D ．127【解析】因为S n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×34×…×n ＋1n ＋2＝log 2⎝⎛⎭⎫2n ＋2<－6，所以2n ＋2<2－6，n >126，故应选D. 7．设A 、B 、C 为圆O 上三点，且AB ＝3，AC ＝5，则AO →·BC →＝(D) A ．－8 B ．－1 C ．1 D ．8【解析】取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，因为O 为三角形ABC 外接圆的圆心，则AD →＝12(AB →＋AC →)，OD →·BC →＝0.所以AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝8，选D.8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ＋2，则f (a n )＝(A)A ．0B ．0或1C ．－1或0D ．1或－1【解析】∵f (x )＝f (x ＋2)，所以f (x )函数周期为2，∵数列{}a n 满足S n ＝2a n ＋2，∴a 1＝－2，S n －1＝2a n －1＋2，∴a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，∴{a n }以－2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝－2n ，∴f (a n )＝f (－2n )＝f ()0＝0，故选A.9．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧||lg ||x －2，x ≠2，0，x ＝2，若b <0，则关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的不同实数根共有(C)A ．4个B ．5个C ．7个D ．8个【解析】由[f (x )]2＋bf (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝－b .所以方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的根的个数转化为函数y ＝f (x )与函数y ＝0，y ＝－b (b <0)的图象的交点个数．因为函数f (x )的图象大致如图所示，数形结合可知，f (x )＝0有3个实数根，f (x )＝－b (b <0)有4个实数根，所以[f (x )]2＋bf (x )＝0共有7个不同的实数根，故答案选C.10．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体的体积为(D)A.8π3＋15B.16π3＋ 3C.8π3＋233D.16π9＋233【解析】由已知中的三视图，圆锥母线为l ＝（5）2＋⎝⎛⎭⎫2322＝22，圆锥的高h ＝（5）2－12＝2，圆锥底面半径为r ＝l 2－h 2＝2，截去的底面弧的圆心角为120°，故底面剩余部分为S ＝23πr 2＋12r 2sin 120°＝83π＋3，故几何体的体积为：V ＝13Sh ＝13×⎝⎛⎭⎫83π＋3×2＝169π＋233，故选D. 11．本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放，甲、乙两人计划前去自习，其中甲连续自习2小时，乙连续自习3小时．假设这两人各自随机到达图书馆，则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是(B)A.19B.16C.13D.12【解析】据题意，甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆，设甲、乙到达图书馆的时间分别为x ，y ，则⎩⎨⎧1≤x ≤4，1≤y ≤3，所对应的矩形区域的面积为6.若下午5钟点时甲、乙两人都在自习，则⎩⎨⎧3≤x ≤4，2≤y ≤3，所对应的正方形区域的面积为1，所以P ＝16，选B.12．设函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称．已知f (x )＝⎩⎨⎧d （x ）－a ，x <1，4（x 2－3ax ＋2a 2），x ≥1，若函数f (x )恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是(A)A.⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)B.⎣⎡⎭⎫14，1∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，32 【解析】因为函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称，所以d (x )＝2x ；设g (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1，h (x )＝2x －a ，x <1，因为f (x )恰有2个不同的零点，又因为h (x )至多有一个零点，故：①若g (x )有两个零点，h (x )没有零点，则⎩⎨⎧a ≥1，h （1）＝2－a ≤0，得a ≥2②若g (x )和h (x )各有1个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≥1且⎩⎨⎧－a <0，h （1）＝2－a >0，得12≤a <1.综上，a ∈⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)．故答案选A.选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案CAABCDDACDBA本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．已知圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0外切，则a 的值为__0或6__． 【解析】圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1的圆心为()a ，0，半径为1，圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为()3，0，半径为2，两圆外切，所以||a －3＝3，∴a ＝0，6，故a 的值为0或6.14．如果复数z 满足关系式z ＋||z －＝2＋i ，那么z 等于__34＋i__． 【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，||z －＝a 2＋b 2，所以a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i ， 所以得：⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1所以z ＝34＋i.15．已知2a ＝5b ＝10，则a ＋bab＝__1__．【解析】由已知，a ＝log 210＝1lg 2，b ＝log 510＝1lg 5.所以a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x ＞0时f (x )＞1.若f (4)＝5，则不等式f (3x 2－x －2)<3的解集为__⎝⎛⎭⎫－1，43__． 【解析】设x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞1.所以f (x 1)－f (x 2)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]－f (x 2)＝f (x 1－x 2)－1>0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )是增函数．因为f (4)＝5，即f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3.所以原不等式化为f (3x 2－x －2)<f (2)3x 2－x －2<23x 2－x －4<0－1<x <43.故不等式的解集是⎝⎛⎭⎫－1，43. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，a ≠0，x ∈R ，f (x )的最大值是2，且在x ＝π6处的切线与直线x －y＝0平行．(1)求a 、b 的值；(2)先将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，已知g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，求cos 2α的值．【解析】(1)f ′(x )＝a cos x －b sin x ，1分由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2a cos π6－b sin π6＝1，解之得：⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.4分 (2)由(1)有f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，6分因为将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，8分由g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2得sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝513，且2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－1213，10分cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝－1213·12＋513·32＝53－1226.12分18．(本题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别是A ′B 和B ′C ′的中点。

江苏省无锡市市北高级中学2019届高三数学10月月考试题文(无解答)

江苏省无锡市市北高级中学2019届高三数学10月月考试题 文（无答案） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。 1．若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁UN)＝________．

2．已知命题p：“nN，使得 22nn”，则命题p的真假为 ．

3. 函数的值域为_______. 4. 已知函数()yfx是奇函数，当0x时，2()(R)fxxaxa，且(2)6f，则 a ．

5. 已知ji,是夹角为的两个单位向量，,,3jikbjia 若2ba，则k的值为 ．

6. 已知()sin()3sin()44fxaxx是偶函数，则实数a的值为_______.

7．函数12lnyxx的单调减区间为__________．

8．函数cos(2)()yx的图象向右平移2个单位后，与函数sin(2)3yx的图象重合，则_________ 9. 在ABC中，若1AB，2BC，5CA，则的值是 ． 10. 在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若A＝30°，a＝1，b＝2， 则B＝____________.

11. 已知存在实数a，使得关于x的不等式4xxa恒成立，则a的最大值为_______. 12．若函数()fx是定义在R上的函数，()fx关于2x对称，且在区间[2,)上是单调增函数.如果实数t满足(ln)(4ln)(1)(3)ftftff时，那么t的取值范围是 ．

13. 定义在R上的偶函数f (x)满足(1)()fxfx，且在[－1，0]上是增函数，给出下面关于f (x)的判断：① f (x)是周期函数；② f (x)关于直线x=1对称；③ f (x)在[0，1]上是增函数；④ f (x)在[1，2]上是减函数；⑤ f (2)= f (0)。 其中正确判断的序号为________。（写出所有正确判断的序号）。 14.已知函数22()(2)(2),[1,1]xxfxaax关于x的方程2()2fxa有实数解，则实数a的取值范围为 ．

湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(五)数学(文)试题(含答案)

炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷(五)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数65i -，23i -+对应的点分别为A 、B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是(C)A ．48i +B ．82i +C ．2i -D ．4i +【解析】复数65i -i 对应的点为(6,5)A -，复数23i -+对应的点为(2,3)B -．利用中点坐标公式得线段AB 的中点(2,1)C -，故点C 对应的复数为2i -，选C.2．设命题:6m 6p -≤≤，命题q ：函数2()9()f x x mx m R =++∈没有零点，则p 是q 的(B) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】函数2()9()f x x mx m R =++∈没有零点，则2360m ∆=-<，即66m -<<，显然，q 可以推出p ，而p 不能推出q ，故选B.3．点(,3)P a )到直线4310x y -+=的距离等于4，且在230x y +-<表示的平面区域内，则a 的值为(C) A ．3 B ．7 C ．－3 D ．－7【解析】由题意|4331|452330a a -⨯+⎧=⎪⎨⎪+-<⎩解得3a =-.选C. 4．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，1()3f x x =∙，则在(2,0)-上，下列函数中与()f x 的单调性相同的是(C)A ．21y x =-+ B ．|1|y x =+ C ．||x y e = D ．321,01,0x x y x x -≥⎧=⎨+<⎩【解析】由已知得()f x 在(2,0)-上单调递减，所以答案为C.5．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(D) A ．57＋24π B ．57＋15π C ．48＋15π D ．48＋24π【解析】本题为圆锥与直四棱柱的组合体．注意表面积分为三部分，圆锥侧面展开图，即扇形面积65155ππ⨯=；圆锥底面圆，29S r ππ==；直四棱柱侧面积，34448⨯⨯=，总面积为4824π+. 6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于(A)A.355 B. 62 C.32D. 55【解析】圆22:650C x y x +-+=圆心为C (3，0)，半径为2，由已知C 到直线by x a=的距离为2，可得2295a c =，可得355e =.故选A.7．将参加夏令营的400名学生编号为：001，002，…，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且随机抽得的号码为003，这400名学生分住在三个营区，从001到180在第一营区，从181到295在第二营区，从296到400在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为(A)A ．18，12，10B ．20，12，8C ．17，13，10D ．18，11，11 【解析】根据系统抽样特点，抽样间隔为4001040=，被抽到号码103l k =+， k N ∈.由题意可知，第一营区可分为18个小组，每组抽取1人，共抽取18人，由第二营区的编号为181到295，可知181103295k ≤+≤，k N ∈，可得11829k ≤≤，因此第二营区应有12人，第三营区有10人，所以三个营区被抽中的人数分别为18，12，10.8．已知△ABC 中， 30A ∠=︒，AB 、BC 分别是32+， 32-的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于(D)A.32 B.34 C. 32或3 D. 32或34【解析】由条件3AB =， 1BC =，由31sin sin 30C =︒，得3sin 2C =.∴60C =︒或120°，∴90B =︒或30°，∴133sin sin 222ABC S AB BC B B ∆=∙∙==或34.故选D.9．右图中，1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当16x =，29x =，8.5p =时，3x 等于(C)A ．11B ．10C ．8D ．7【解析】16x =，29x =， 12||32x x -=≤不成立，即为“否”，所以再输入x 3；由绝对值的意义(一个点到另一个点的距离)和不等式3132||||x x x x -<-知，点3x 到点1x 的距离小于点3x 到2x 的距离，所以当37.5x <时，3132||||x x x x -<-成立，即为“是”，此时23x x =，所以132x x p +=，即368.52x +=，解得3117.5x =>，不合题意；当37.5x ≥时，3132||||x x x x -<-不成立，即为“否”，此时13x x =，所以322x x p +=，即398.52x +=，解得387.5x =>，符合题意，故选C.10．A (a ，1)，B (2，b )，C (4，5)为坐标平面内三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a ，b 满足的关系式为(A)A ．453a b -=B ．543a b -=C ．4514a b +=D ．5414a b +=【解析】由OA 与OB 在OC 方向上的投影相同可知：||||OA OC OB OCOC OC ∙∙=4585a b +=+453a b -=.故选A.11．已知直线y mx =x 与函数212(),03()11,02x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围为(B)A ． (3,4)B ． (2,)+∞C ． (2,5)D ．(3,22)【解析】做出()f x 的图象，可知0m ≤时，直线y mx =与()f x 只有一个交点，不符题意；当0m >时y mx =与12()(0)3x y x =-≤总有一个交点，故y mx =与211(0)2y x x =+>必有两个交点，即方程211(0)2x mx x +=>必有两不等正实根，即方程2220x mx -+=必有212124802020m x x m x x ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩解得(2,)m ∈+∞，选B.12．已知方程320x ax bx c +++=的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则22a b +的取值范围是(D)A ．(5,)+∞B ．[5,)+∞C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞【解析】设2()32f x x ax b =++，由抛物线的离心率为1，知(1)10f a b c =+++=故1c a b =---，所以2()(1)[(1)1]f x x x a x a b =-+++++．另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故2()(1)1g x x a x a b =+++++有两个分别属于(0,1)和(1,)+∞的零点．故有(0)0g >且(1)0g <，即10a b ++>且230a b ++<.运用线性规划知识可求得22(5,)a b +∈+∞．故选D.选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案CBCCDAADCABD第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上． 13．设直线:(1)(21)30()l m x m y m m R -++==∈与圆22(1)8x y -+=交于A 、B 两点，C 为圆心，且△ABC 面积等于4，则实数12m =-或72-．【解析】设CA ，CB 的夹角为θ，∴21sin 4sin 42ABC S r θθ∆===，∴2πθ=，此时圆心C 到直线l 的距离为2，∴22|41|2(1)(21)m m m -=-++，12m =-或72m =-.14．已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是__42m -<<__．【解析】因为2144(2)()4()428y x y x x y x y x y x y++=++≥+=，所以228m m +<， 解得42m -<<.15．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，过点A 向BAD ∠所在区域等可能任作一条射线AP ，已知事件“射线AP 与线段BC 有公共点”发生的概率为13，则BC 边的长为__3__． 【解析】因为13BAC P BAD ∠==∠，90BAD ∠=︒，则30BAC ∠=︒，所以3tan 303BC AB ==.因为3AB =，则3BC =.16．函数()y f x =图象上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定2||(,)||A B k k A B AB ϕ-=叫做曲线()y f x =在点A 、B 之间的“平方弯曲度”．设曲线xy e x =+上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且121x x -=，则(,)A B ϕ的取值范围是__21(0,]2-__． 【解析】x y e x=+的导数为'1x y e =+，11A k ex =+，21B k ex =+，2||(,)||A B k k A B AB ϕ-==1222121212||()()ex ex x x ex ex x x -=-+-+-12212||1(1)ex ex ex ex -+-+，121x x -=，可得12x x >，12ex ex >，可令12t ex ex =-，可设2()1(1)tf t t =++，0t >，2222221(1)2(1)2()(1(1))(1(1))t t t t f t t t ++-+-==++++，当02t <<时，()0f t >，()f t 递增；当2t >时， ()0f t <，()f t 递减．则当2t =处()f t 取得极大值，且为最大值222121(21)-=++.则21(,)(0,]2A B ϕ-∈. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：周数x 6 5 4 3 2 1 正常值y556372809099(1)作出散点图：(2)根据上表数据用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^(精确到0.01)；(3)根据经验，观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为100，则该学生是否需要进行心理疏导？其中b ^＝错误!错误!＝91，错误!＝错误!－错误!错误!. 【解析】(1)4分(2) 1(654321) 3.56x =+++++=， 1(556372809099)76.56y =+++++=，267.75x y =，214526267.758.83916 3.5b -⨯=≈--⨯，a ^76.58.83 3.5107.41=+⨯≈， 所以线性回归方程为8.83107.418y x =-+分 (3) 2x =时，8.832107.4189.74y =-⨯+≈，∵1001.11 1.1289.74≈<，为轻度焦虑，故该学生不需要进行心理疏导.12分18．(本题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ，AB ＝2AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且(0)PE BFED FAλλ==>． (1)证明：EF ∥平面PBC ；(2)是否存在实数λ，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°？若存在，试求出λ的值，若不存在，请说明理由．【解析】(1)作EH ∥AD 交P A 于点H ，连接HF ， ∵EH ∥AD ，∴PE PHED HA=.1分 又∵PE BF ED FA λ==，∴PH PFHA FA=，∴FH ∥PB .2分 又∵EH ∥AD ，FH ∩HE ＝H ， ∴平面EFH ∥平面PBC .4分∵EF 平面EFH ，∴EF ∥平面PBC .6分(2)存在实数5λ=，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°.7分其理由如下：假设存在实数λ，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°， ∵AB ∥CD ，∴∠AFE 为异面直线EF 与CD 所成角，∴60AFE ∠=︒.8分 过点E 作EQ ⊥AD 交AD 于点Q ，连接FQ ， ∵P A ＝AD ，AB ＝2AD ， ∴设AD ＝1，又∵(0)PE BFED FAλλ==>，21AF DE λ==+，1AQ λλ=+，1EQ λλ=+，10分 ∵222222222()()11(1)Q AF AQ λλλλλ+=+=+=+++， ∵222222223()()11(1)EF EQ FQ λλλλλ+=+=+=+++， ∴Rt FAE ∆中，cos cos60AF AFE EF ∠=︒=，∴21243λ=+，∴5λ=. ∴存在实数5λ=，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°.12分19．(本题满分12分)在等差数列{}n a 中，34584a a a ++=，973a =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)mm内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S .【解析】(1)因为{}n a 是一个等差数列，34584a a a ++=， 所以3454384a a a a ++==，即428a =，设数列{}n a 的公差为d ，则945732845d a a =-=-=，故9.2d =分 由413a a d =+，得12839a =+⨯，即1 1.4a =分 所以1(1)19(1)98n a a n d n n =+-=+-=-，*n N ∈.6分(2)对*m N ∈，若299m mn a <<，则298998m m n +<<+，7分因此121889999m m n --+≤≤+,8分 故得21199m m m b --=-，9分 于是321112(999)(199)m m m m S b b b --=+++=+++-+++219(181)1(19)910911811980m m m m +⨯-⨯--⨯+=-=--.12分20．(本题满分12分)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点是12F F 、，左右顶点是12A A 、，离心率是22，过2F 的直线与椭圆交于两点P 、Q (不是左、右顶点)，且1F PQ ∆的周长是42，直线1A P 与2A Q 交于点M . (1)求椭圆的方程；(2)(ⅰ)求证直线1A P 与2A Q 交点M 在一条定直线l 上； (ⅱ)N 是定直线l 上的一点，且PN 平行于x 轴，证明：2||||PF PN 是定值． 【解析】(1)设椭圆的焦距是2c ，据题意有：22442c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩2a =，1c =，则1b =，所以椭圆的方程是2212x y +=.3分 (2)(ⅰ)由(1)知1(2,0)A -，2(2,0)A ，2(1,0)F ，设直线PQ 的方程是1x my =+， 代入椭圆方程得：(22(2)210m y my ++-=，易知22244(2)880m m m ∆=++=+>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，12y y >，则1221222211m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩222112122222()42m y y y y y y m +-=-+-=-+，5分 直线A 1P 的方程是：()1122y y x x =++ ①，直线A 2Q 的方程是：()2222y y x x =-- ②，7分设(),M x y ，既满足①也满足②， 则()()()()()()21122112122112212112212222222x y x y y y my y y y y y x x y x y y y y y y y ++-+++-=⋅=⋅-++++-22222222222222242222222222222222222222m m m m m m m m m m m m m m +---+⋅++++=⋅=⋅=+++--++，故直线A 1P 与A 2Q 交点M 在一条定直线l ：x ＝2上.10分 (ⅱ)设()2,N t ，()11,P x y ，()12,2x ∈-，则12PN x =-，∴()()()2222211112111111212222222x x x x y PF PN x x x -+---+====---.12分21．(本题满分12分)已知函数()()2ln 0f x x a x x a =--≠．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若a >0，设()()1122,,,A x y B x y 是函数()f x 图象上的任意两点()12x x <，记直线AB 的斜率为k ，求证：122'3x x f k +⎛⎫> ⎪⎝⎭.【解析】(1)()()22'210a x x a f x x x x x--=--=>，1分①当18a ≤-时，220x x a --≥恒成立，即()'0f x ≥恒成立， 故函数()f x 的单增区间为()0,+∞，无单减区间.2分 ②当108a -<<时，()'0f x >220x x a -->，解得：1184a x -+<或1184ax ++>，∵x >0， ∴函数()f x 的单增区间为1180,4a ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，118,4a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭， 单减区间为118118,44a a ⎛⎫-+++⎪ ⎪⎝⎭.4分 ③当a >0时，由()'0f x >解得：1184a x ++>或1184ax -+<. ∵x >0，而此时11804a-+≤， ∴函数()f x 的单增区间为118,4a ⎛⎫+++∞⎪ ⎪⎝⎭，单减区间为1180,4a ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭.6分 (2)证明：∵()'21a f x x x =--，∴()1212122223'1332x x x x a f x x ++⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭， 由题，()()()()12212121212212121212lnln ln 1x a x x a x x x x y y x k x x x x x x x x ------===+-----，则()()112122121212ln2223'332x a x x x x x a f k x x x x x x ++⎛⎫-=-+-+ ⎪+-⎝⎭12121212ln333x a x x x ax x x x -=-++-，8分注意到2103x x ->，故欲证122'3x x f k +⎛⎫> ⎪⎝⎭，只须证明121212ln32x a x a x x x x >-+. 因为a >0，故即证121212ln 32x x x x x x >-+()1212123ln2x x x x x x -<+12112231ln 2x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+9分 令()120,1x t x =∈，()()31ln 2t g t t t -=-+， 则()()()()()221419'022t t g t t t t t --=-=>++，故()g t 在()0,1上单调递增． 所以()()10g t g <=，即()31ln 2t t t -<+，即：12112231ln 2x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，所以122'3x x f k +⎛⎫> ⎪⎝⎭.12分 请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

云南部分名校2019高三第一次统一考试-数学(文)(含解析)

云南部分名校2019高三第一次统一考试-数学（文）（含解析）〔楚雄一中、玉溪一中、昆明三中〕文 科 数 学【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、 1、复数11i+在复平面上对应的点的坐标是〔〕A 、），（11 B 、），（11-C 、）（1,1--D 、）（1,1- 【答案】D 解：21111ii i i+=+=-，对应的坐标为(1,1)-，选D. 2.幂函数)(x f 的图像经过点〔9，3〕，那么)1()2(f f -=〔〕 A.3B.21- C.12- D.1 【答案】C解：设幂函数为()f x x α=，由(9)93f α==，即233α=，所以1212αα==，，所以12()f x x ==，所以(2)(1)1f f -=-，选C.3、k ＜4，那么曲线14922=+y x 和14922=-+-ky k x 有〔〕 A.相同的准线B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的长轴【答案】B解：当4k <时，940k k ->->，所以14922=-+-ky k x 为椭圆方程。

所以229,4a k b k =-=-。

又9(4)945k k ---=-=，所以两曲线有相同的c ，即有相同的焦点，选B.4.假设P 〔2，-1〕为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，那么直线AB 的方程是〔〕A.30x y --=B.230x y +-=C.10x y +-=D.250x y --= 【答案】A解：圆的圆心为(1,0)O ，假设P 为AB 的中点，那么OP AB ⊥,。

因为10121OPk --==--，所以1ABk=，所以直线AB 的方程是(1)2y x --=-，即30x y --=，选A.5、函数)(cos sin 42sin )(3R x x x x x f ∈-=的最小正周期为〔〕 A.8π B.4πC.2πD.π【答案】C解：33()sin 24sin cos 2sin cos 4sin cos f x x x x x x x x =-=-212sin cos (12sin )sin 2cos 2sin 42x x x x x x=-==，所以函数的周期2242T πππω===，选C.6、设b a ,是平面α内两条不同的直线，是平面α外的一条直线，那么”“b l a l ⊥⊥,是”“α⊥l 的〔〕 A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 【答案】C解：当,a b 不相交时，那么”“α⊥l 不一定成立。

甘肃省兰州一中2019届高三上学期12月月考数学(文)试卷

兰州一中2018-2019-01学期高三年级12月月考试题数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1．已知集合{})23(log ,121222+-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=x x y x B x x x A ，则=B A ( ) A. )1,(--∞ B. )1,21( C. ),2(+∞ D. )1,1(-2．设0:<<a b p ，b a q 11:<，则p 是q 成立的( )A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件3．已知}{n a 是等比数列，16,4117-=-=a a ，则=9a （ ）A ．24-B ． 24±C ．8-D ． 8±4．已知实数，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-30101x y x y x ，则13++x y 的最小值是（ ） A ．41 B ．4 C ．41- D ．4- 5．若将函数)32sin()(π+=x x f 的图象向左平移个单位，所得图象关于原点对称，则最小时，（ ） A ．33- B ．33 C ．3- D ．3 6．已知数列}{n a 满足1412-=n a n ，n n a a a S +++= 21，若n S m >恒成立，则的最小值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 2 D ．21 7．设M 是边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若，则的值为( )A ．21 B ．31 C ．41 D ． 1 8.已知非零向量a ，b ，满足b a 2=，若函数12131)(23+⋅++=x b a x a x x f 在上存在极值，则a 和b 夹角的取值范围为（ ） A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,0π B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,3 C ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π D ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,3 9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1)1(2018)1(535=-+-a a ，1)1(2018)1(201432014-=-+-a a ，则下列结论正确的是（ ）A ．520142018,2018a a S >-=B ．520142018,2018a a S >=C ．520142018,2018a a S <-=D ．520142018,2018a a S <= 11．已知锐角的一边在平面内，，点在平面内的射影为点，则与的大小关系为（ ）A ．BPC BAC ∠<∠B ．BPC BAC ∠>∠C ．BPC BAC ∠=∠D ．以上情况都有可能12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<=0,1960,)(23x x x x e x f x ，则函数2)(3)]([2)(2--=x f x f x g 的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ． 4D ．5。

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2019届高三第一学期文科数学月考考试
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设全集错误!未找到引用源。，集合错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。，则错误!未找
到引用源。等于
A．错误!未找到引用源。 B．错误!未找到引用源。 C．错误!未找到引用
源。 D．[0，5]

2. 已知平面向量，，则向量的模是
A. B. C. D.
3. 下列命题正确的是
A. 命题“若，则”的逆否命题为真命题
B. 命题“若，则”的逆命题为真命题
C. 命题“，”的否定是“，”
D. “”是“”的充分不必要条件
4. 设{}na是由正数组成的等比数列, nS为其前n项和,已知241aa,37S,则5S等于
A．314 B．152 C. 334 D．172
5. 若函数为奇函数，则
A. B. C. D.

6. 从装有大小材质完全相同的个红球和个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个
小球同色的概率是
A. B. C. D.
7. 已知P为直线上的点，过点P作圆的切线，切点为，，若，
则这样的点P有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个
8. 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为，则该几何体的体积是
A. B. C. D.
9. 已知函数
2
()23sincos2cos1(0)222xxxfx

的周期为，当时，方程恰有两个不同的实数解，
，则
A. B. C. D.
10. 运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为480，则判断框中可以填
A．60i B．70i C．80i D．90i

11. 已知函数，若曲线上存在
点使得，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.

12. 在四面体中，，，底面，
的面积是，若该四面体的顶点均在球的表面上，则球
的表面积是
A. B. C. D.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 复数满足，则复数的共轭复数__________．

14. 已知实数，满足约束条件则的最大值是__________．

15. 是为双曲线2222:1(,0)xyCabab上的点，，分别为 的左、右焦点，且
,与轴交于点，为坐标原点，若四边形有内切圆，则的离心率为
__________．

16、函数23ln(44)()(2)xxfxx的图象可能是下面的图象 （填序号）

（1） （2） （3） （4）
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(12分) 在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.

18. (12分)如图，三棱柱中， ，平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，求点到平
面的距离.

19. (12分) 已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万
元，未售出的商品，每吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量
的频率分布直方图，如下图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品．现以（单
位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下
一个销售季度内经销该商品获得的利润．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量的平均数与中位数的大小；
（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于57万元的概率.

20. (12分) 已知抛物线yxE4:2的焦点为F，)0,(aP为x轴上的点.
（1）过点P作直线l与E相切，求切线l的方程；
（2）如果存在过点F的直线l与抛物线交于BA,两点，且直线PA与PB的倾斜角互补，求实
数a的取值范围.

21. (12分) 已知函数()(2)xfxxe，(0,)x．
（1）求函数()fx的单调递增区间；
（2）若2()()2xgxfxeax，()hxx，且1x，20,x ，

1122
()()()()0gxhxgxhx
，求实数a 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
选修4-4：坐标系与参数方程

22. (10分) 已知圆C的极坐标方程为2cos，直线l的参数方程为13221122xtyt（t为参

数），点A的极坐标为2(,)24，设直线l与圆C交于点,PQ；
（I）写出圆C的直角坐标方程；
（II）求||||APAQ的值.

选修4-5：不等式选讲
23. (10分)已知函数.
（1）解不等式；
（2）若关于的不等式只有一个正整数解，求实数的取值范围.

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