浅谈函数列收敛与一致收敛的关系及差异
函数列及其一致收敛性
函数列 nx(1 x )n }在区间 0,1]非一致收敛. { [
函数列及其一致收敛性
2 sup | f n ( x ) f ( x ) | . 1 n x[0,1]
显然， sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0. lim{
n x[0,1]
nx 函 数 列 { }在 区 间0， 一 致 收 敛 [ 1] . 1 n x
2){nx(1 x)n }
1 n0 n0 1 | f n0 ( x0 ) f ( x0 ) | [( ) ] 0 . 3 3 即函数列x n }在区间0,1)非一致收敛 { [ .
1
1
函数列 f n ( x ) 一致收敛于 f ( x ) 的 y
y f ( x)
几何意义：
0, N N , 对于序号大于N
成 立 ， 解 得n
l n l n , 取N [ ] lnx lnx
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
1 , 证 明 其 在0,1)收 敛. ( 例2 设f n ( x ) n x 1 证 ：x (0,1), 有 lim 0, n n x
1 1 1 | f n ( x ) f ( x ) || 0| 0, 要使不等式 n x n x n
即 0, N N , n N , x I , 有 | f n ( x) f ( x) |
sup | f n ( x ) f ( x ) | .
xI
即lim{sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0.
n xI
充分性 lim{sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0.
函数列与函数项级数一致收敛性解析
第十三章函数列与函数项级数§1 一致收敛性(一) 教学目的：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(二) 教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．基本要求：1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。
3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判别及应用。
(三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．————————————————————一函数列及其一致收敛性对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。
使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。
若函数列})({x f n 在数集E D ⊂上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值)()(lim x f x f n n =∞→与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。
第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
(2) 若函数项级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立.
例如, 级数
x x(x 1) x2 (x 1) xn1(x 1)
在区间 [ 0 , 1 ] 上处处收敛, 而其和函数
S(x) 0, 0 x 1 在 x = 1 处不连续 . 1, x 1
例.（内闭一致收敛）
证明S( x) nenx在(0,)上连续. n1
解:
1
1 1
(x k)(x k 1) x k x k 1
(k 1,2, )
Sn
(x)
(
x
1
1
x
1
) 2
(
x
1
2
x
1
) 3
( 1 1 ) x n x n1
1 1 x 1 x n1
S(x)
lim Sn (x)
n
lim ( 1 n x 1
x
1 n
) 1
1 x 1
(0 x )
之间.
y S(x)
y S(x)
y S(x)
y Sn (x)
I
x
定理(柯西收敛原理)
un ( x)在I上一致收敛于S( x) 0, N ( ) N ,
n1
当n N ( )时, x I ,p N , un1( x) L un p( x) .
推论 若 un ( x)在I上一致收敛，则 {un( x)}在I上一致 n1
故
S(x) 在 x0 连续, 即 lim S(x) S(x0 ) xSnx(0
xS)(x)Sn (Sx0()x0).
rn
(
x)
证毕
rn (x0 )
说明:
(1) 定理1 表明, 对一致收敛的级数, 极限运算与无限
一致收敛性
n xD n xD
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三、函数项级数的一致收敛性判别法 定理5(维尔斯特拉斯判别法)设函数项级数un(x)定义 在数集D上, Mn为收敛的正项级数,若对一切xD,有
n 1
由f(x)的连续性,
1 1 k lim f n( x) lim f( x ) f( x t) dt. 0 n n n k 0 n n 1
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n 1
| fn ( x)
1
0
1 1 k f ( x t )dt || f ( x ) f ( x t )dt | 0 n k 0 n
n n充分大时, x 2 n 2 单调递减收敛于0.故原级数为莱布
尼兹级数.且
n 1 1 | rn ( x ) || 2 , 2 x ( n 1) n 1
故原级数一致收敛.
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例4 证明函数列
x f n ( x ) n ln(1 )( n 1, 2,) n
k 1 n k n
k | f ( x ) f ( x t ) | dt | n
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由于
k k 1 t [ , ] n n
所以
k k 1 | x ( x t ) || t | , n n n
故取n 充分大,使1/ n <,则
k | f ( x ) f ( x t ) | . n
n 1
在[a, b]上一致收敛.
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收敛和一致收敛的关系
收敛和一致收敛的关系收敛和一致收敛是微积分中重要的概念。
它们被广泛应用于分析函数和构造函数等领域。
本文旨在阐明收敛和一致收敛的概念及其关系，并探讨它们在实际中的应用。
一、概念1、收敛在函数序列$f_1(x),f_2(x),...,f_n(x),...$中，当$x$趋近于$c$时，如果存在一个函数$F(x)$，使得$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=F(x)$，那么我们称函数序列$f_n(x)$在$x$趋近于$c$时收敛于函数$F(x)$。
其中，$c$可以是实数或无穷远处。
2、一致收敛如果存在一个函数$F(x)$，使得当$n$趋近于无穷大时，函数序列$f_n(x)$在全体$x\in S$上一致收敛于$F(x)$，即$\lim\limits\sup_{n\rightarrow\infty}|f_n(x)-F(x)|=0$，我们称函数序列$f_n(x)$在$S$上一致收敛于函数$F(x)$。
二、比较从定义可以发现，一致收敛在某种程度上是强于收敛的，因为一致收敛要求在定义域的每个点上，函数序列必须以相同的速度收敛于极限函数。
而收敛只需要在大多数点上满足这个条件即可。
因此，我们可以认为收敛是一种局部性质，而一致收敛则是全局性质。
另外，在一致收敛中，极限函数$F(x)$必须在定义域上有一个上限和下限，而在收敛中并不一定要有这个性质。
因此，也可以说，一致收敛收敛更快，而且更稳定。
三、应用1、函数极限在函数极限中，一致收敛常常被用于证明极限存在。
因为一致收敛要求在全体$x\in S$上都有相同的速度收敛，因此，我们可以剔除函数序列中的一小部分，使得它们不会对极限产生影响。
这就让我们在判断极限存在时更加方便。
2、傅里叶级数在傅里叶分析中，一致收敛是极其重要的工具。
因为在傅里叶级数中，每一项都是一条正弦或余弦曲线，而这些曲线虽然是收敛的，但并不一定一致收敛。
因此，如果没有一致收敛这个概念，我们将很难正确地表示一个周期函数为一个级数。
§4 OK函数列与函数项级数的一致收敛性及其判别
§4 函数列与函数项级数的一致收敛性及其判别函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的Cauchy 准则；函数项级数一致收敛性的Weierstrass 判别法；Dirichlet 判别法和Abel 判别法。
4.1 一致收敛性1 函数列及极限函数定义 4.1(逐点收敛) 对定义在区间I 上的函数列)}({x f n ，若I x ∈∀，数列{})(x f n 收敛，设它的极限是)(x f ，即I x ∈∀，有 )()(lim x f x f n n =∞→，则称函数列{})(x f n 在区间I 收敛于)(x f ，并称)(x f 是函数列{})(x f n 的极限函数。
例4.1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x ，用“N -ε”定义 验证其收敛域为] 1 , 1 (-，且∞→n l i m )(x f n = ∞→n lim n x =⎩⎨⎧=<. 1, 1 , 1 ||, 0 x x (4.1)证 任给0>ε（不妨设1<ε），当10<<x 时，由于nn x x f x f =-)()(，故只要取xx N ln ln ),(εε=，则当),(x N n ε>时，就有ε<-)()(x f x f n 。
而当0=x 和1=x 时，则对任何正整数n ，都有ε<=-0)0()0(f f n ，ε<=-0)1()1(f f n 。
这就证得{}n f 在]1,1(-上收敛，且有(4.1)式所表示的极限函数。
当1>x 时，则有)(∞→+∞→n x n，当1-=x 时，对应的数列为 ,1,1,1,1--它显然是发散的。
所以函数列{}n x 在区间]1,1(-外都是发散的。
例4.2 设)(x f n =nnxsin 。
用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0。
函数列及其一致收敛性
对每一个x I， 0，N N ,n N , 有 | fn ( x) f ( x) | .
例1 设fn ( x) xn , 证明其在(0,1)收敛.
证：x (0,1),有 lim xn 0, n 0,要使不等式
| fn ( x) f ( x) || xn 0 | xn
成立， 解得n ln , 取N [ ln ]
lim{sup |
n xI
fn(x)
f
( x) |} 0.
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
证：必要性 函数列{ fn ( x)}在区间I一致收敛于极限函数f ( x)
即 0, N N ,n N ,x I , 有 | fn ( x) f ( x) |
sup | fn( x) f ( x) | .
的所有曲线 y fn( x) (n N ),
都落在曲线 y f ( x) 与
y f (x) 所夹的带状区域内. O
y f (x) y f (x)
a
y f (x) y fn(x)
bx
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
定理1 (函数列的柯西一致收敛准则) 函数列{ fn( x)}
2) 0
1 3
0, N
N , n0
N , x0
(
1
)
1 n0
3
[0,1), 有
|
fn0 ( x0 )
f
(
x0
)
|
[(
1 3
)
1 n0
]n0
1 3
0.
即函数列{ xn }在区间[0,1)非一致收敛.
函数列 fn( x) 一致收敛于 f ( x) 的 y
可测函数列常见的几种收敛
可测函数列常见的几种收敛摘 要：本文介绍了可测函数列常见的几种收敛：一致收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系．关键字：可测函数列；一致收敛；几乎一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛前言在数学分析中我们知道一致收敛是函数列很重要的性质，比如它能保证函数列的极限过程和(R)积分过程可交换次序等．可是一般而言函数列的一致收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也不一定是一致收敛的，如文中所给的例2函数()f x 在收敛域[0,1]内不一致收敛，但对于一个0δ>当0δ→时在[0,]δ内一致收敛，这不见说明了一致收敛的特殊性，也验证了我们平时常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相了解的、相辅相成的”[1]1 可测函数列几种收敛的定义1.1 一致收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集E 上的实值函数．若对于0,ε∀>存在,K N +∈使得对于,k K x E ∀≥∀∈都有()()k f x f x ε-<则称}{()k f x 在E 上一致收敛到()f x ．记作： u k f f −−→(其中u 表示一致uniform)．1.2 点点收敛若函数列12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 在点集D E ⊂上每一点都收敛，则称它在D 上点点收敛．例1 定义在[0,1]E =上的函数列1(),1k f x kx =+则()k f x 在E 上点点收敛到函数 1,0,()0,0 1.x f x x =⎧=⎨<≤⎩而且还能看出{()}k f x 在[]0,1上不一致收敛到()f x ，但对于0,{()}k f x δ∀>在[,1]δ上一致收敛到()f x ．1.3 几乎一致收敛[3]设E 是可测集，若0,,E E δδ∀>∃⊂使得(\),m E E δδ<在E δ上有u k f f−−→则称{()}k f x 在E 上几乎一致收敛与()f x ，并记作...a u k f f −−→(其中a.u ．表示几乎一致almost uniform) ．例2 定义在[]0,1E =上的函数()k k f x x =在[]0,1上收敛却不一致收敛．但是只要从[]0,1的右端点去掉任一小的一段使之成为[]()0,10,0δδδ->→则{()}k f x 在此区间上就一致收敛，像这样的收敛我们就可以称之为在[]0,1E =上几乎一致收敛与0．1.4 几乎处处收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集n E R ⊂上的广义实值函数．若存在E 中点集Z ，有()0,m Z =及对于每一个元素\x E Z ∈，有lim ()()k x f x f x →∞= 则称{()}k f x 在E 上几乎处处收敛与()f x ，并简记为,.[]k f f a e E →或..a e k f f −−→若上文的例1也可以称之为在[]0,1上几乎处处收敛与()f x ．1.5 依测度收敛例3在[0,1)上构造函数列{()}k f x 如下：对于k N +∈，存在唯一的自然数i 和j ，使得2,i k j =+其中02,i j ≤≤令1[,)22()(),1,2,,[0,1).i i k j j f x x k x χ+==∈任意给定的0[0,1),x ∈对于每一个自然数i ，有且仅有一个j ，使得01[,)22i i j j x +∈．数列0{()}f x 中有无穷多项为1，有无穷多项为0．由此可知，函数列{()}k f x 在[0,1)上点点不收敛．因此仅考虑点收敛将得不到任何信息．然而仔细观察数列0{()}k f x 虽然有无穷多个1出现，但是在“频率”意义下，0却也大量出现．这一事实可以用点集测度语言来刻画．只要k 足够大，对于01,ε<≤点集{[0,1)()0}{[0,1)()1}1[,)22k k i i x f x x f x j j ε∈-≥=∈=+= 的测度非常小．事实上 1({[0,1)()0})2k i m x f x ε∈-≥=． 这样对于任给的0,δ>总可以取到0,k 也就是取到0,i 使得当0k k >时，有({[0,1)()0})1k m x f x εδ∈-<>-其中02i δ-<．这个不等式说明，对于充分大的h ，出现0的“频率”接近1．我们将把这样一种现象称为函数列{()}k f x 在区间[0,1)上依测度收敛到零函数，并将抽象出以下定义[3]：设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是可测集E 上几乎处处有限的可测函数．若对于任意给定的0,ε>有lim (())0,k x m E f f ε→∞->= 则称{()}k f x 在E 上依测度收敛到函数()f x ，记为.m k f f −−→2 可测函数列几种收敛的关系2.1 点点收敛与一致收敛的关系由上述定义我们可以知道u k f f −−→，必有{()}k f x 点点收敛于()f x ．如例1． 反之则不一定成立，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则()f x 也是可测函数．2.2 几乎处处收敛与一致收敛的关系由定义可知有一致收敛必几乎处处收敛....()a u a e k k f f f f −−→⇒−−→．反之则不然，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则极限函数()f x 也是可测函数．应用：从数学分析我们知道一致收敛的函数列对于求极限运算和(R)积分运算、微分运算与(R)积分运算等可以交换次序．2.3 几乎处处收敛与一致收敛的关系叶果洛夫(E ΓopoB )定理[5]：设(),{}n m E f <∞是E 上一列 a.e ．收敛于一个a.e ．有限的函数f 的可测函数，则对于任意的0δ>，存在子集E E δ⊂，使{}n f 在E δ上一致收敛，且(\)m E E δδ<．注 定理中“()m E <∞”不可去掉如：例4定义在(0,)E =+∞的函数列1,(0,]()(1,2,).0,(,)m x m x m x m f ∈⎧==⎨∈+∞⎩则m f 在(0,)+∞上处处收敛于1，但对于任何正数δ及任何可测集E δ，当时(\)m E E δδ<时，m f 在E δ上不一致收敛于1．这是因为，当时(\)m E E δδ<时，E δ不能全部含于(0,]m 中，必有(,)m E m x δ∈+∞，于是有()0m m x f =．sup ()1()11m m m x E f x f x δ∈-≥-=所以()m x f 在E δ上不一致收敛与1，也即定理中“()m E <∞”不可去掉[4]．由定义我们知道一致收敛必是几乎处处收敛的，反之则不成立．但它们又有密切的关系，即使上述定理告诉我们几乎处处收敛“基本上”是一致收敛的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．应用 由上述定理我们还可以得到“鲁津定理”：设()f x 是E 上 a.e ．有限的可测函数，则对于任意的0δ>，存在闭子集E F δ⊂，使()f x 在F δ上是连续函数，且(\)m E F δδ<．也就是说：在E 上a.e ．有限的可测函数“基本上”是连续的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．也即我们可以用连续函数来逼近a.e ．有限的可测函数．2.4几乎处处收敛与依测度收敛的关系例5 取(0,1]E =，将E 等分，定义两个函数：(1)111,(0,]2()10,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩， (1)210,(0,]2()11,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩． 然后将(0,1]四等分、八等分等等．一般的，对于每个n ，作2n 个函数：()11,(,]22()1,2,,2.10,(,]22n n n n j n j j x x j j j x f -⎧∈⎪⎪==⎨-⎪∉⎪⎩．我们把(),1,2,,2{}n j x j f =，先n 按后按j 的顺序逐个的排成一列：(1)(1)()()()12122(),(),,(),(),,(),n n n n x f x f x f x f x f (1)()()n j x f 在这个序列中是第22n j N -+=个函数．可以证明这个函数列是依测度收敛于零的．这是因为对于任何的0σ>，()0[]n j f E σ-≥或是空集(当1σ>)，或是1,22(]n nj j - (当01σ<≤)，所以 ()102([])n j n f m E σ-≥≤ (当时1σ>时，左端为0)．由于当2(1,2,,2.)2n n j j N -+==趋于∞时n →∞，由此可见()([0])0lim n j N m E f σ→∞-≥=， 也即()()0m n j x f −−→．但是函数列(1)在上的任何一点都不收敛．事实上，对于任何点0(0,1]x ∈，无论n多么大，总存在j ，使01(,]22n n j j x -∈，因而()0()1n j x f =，然而()10()0n j x f +=或()10()0n j x f -=，换言之，对于任何0(0,1]x ∈，在()0(){}n j x f 中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为0．所以序列(1)在(0,1]上任何点都是发散的．这也就说明依测度收敛的函数列不一定处处收敛，也就是说依测度收敛不能包含几乎处处收敛，但仍有：黎斯(F ．Riesz) [5] 设在E 上{}n f 测度收敛于f ，则存在子列{}i n f 在E 上a.e ．收敛于f ．例6 如例4，当()1()m x n f →→∞当x E ∈．但是当01σ<<时，1[](,)m f E m σ-≥=+∞且(,)m m +∞=∞．这说明}{n f 不依测度收敛于1．这个例子又说明了几乎处处收敛也不包含依测度收敛，但是有下述关系： 勒贝格(Lebesgue) [5] 设mE <∞，{}n f 是E 上a.e ．有限的可测函数列， {}n f 在E 上a.e ．收敛于a.e ．有限的函数f ，则()()m n x f x f −−→．此定理中的“mE <∞”不可去掉，原因参看例1．定理也说明在的在的条件mE <∞下，依测度收敛弱于几乎处处收敛．有以上定理黎斯又给出了一个用几乎处处收敛来判断依测度收敛的充要条件：设mE <∞，{}n f 是E 上的可测函数列，那么{}n f 依测度收敛于f 的充要条件是：{}n f 的任何子列{}k n f 中必可找到一个几乎处处收敛于f 的子序列．证明（必要性） 由于{}n f 依测度收敛于f ，由定义知道这时{}n f 的的任何子序列{}k n f 必也依测度收敛于f ，由黎斯定理可知{}k n f 中必存在几乎处处收敛于f 的子序列．（充分性） 如果{}n f 不依测度收敛于f ，即存在一个0σ>，使得()n f f m E σ-≥不趋于0．因此必有子序列{}k n f ，使得(())0.lim kn k m E f f a σ→∞-≥=> 这样{}k n f 就不可能再有子序列几乎处处收敛于f 了，否则由勒贝格定理知将有{}kn f 依测度收敛于f ，即 (())0.lim kn k m E f f σ→∞-≥= 这与上式矛盾，所以{}n f 依测度收敛于f ．应用 依测度收敛在概率统计中有重要的意义，如例3；它也是证明中心极限定理的重要依据，由中心极限定理我们可以知道用一个正态分布来模拟一个样本容量较大的样本的概率分布， 从而简化了大样本概率分布的处理和计算[7]． 结束语：上述定义中的各种收敛的极限函数都是唯一的，而且从本文还可以知道一致收敛是最强的收敛，它蕴含了点点收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等上述几种收敛．各种收敛都有不同的意义，在各种实践中作用也各不同．参考文献：[1]马克思主义基本原理概论教材编写课题组．马克思主义基本原理概论[M]．高等教育出版社，2009,7[2] 华东师范大学数学系．数学分析(第三版)[M]．高等教育出版社，2001,6．[3] 郭懋正．实变函数与泛函分析[M]．北京大学出版社，2005,2[4] 柳藩，钱佩玲．实变函数论与泛函分析[M]．北京师范大学出版社，1987．[5] 程其襄，张奠宙，魏国强等．实变函数与泛函分析既基础[M]．高等教育出版社，2003,7．[6] 夏道行，严绍宗等复旦大学数学系主编．实变函数与应用泛函分析基础[M]．上海科学技术出版社．1987．[7] 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程[M]．高等教育出版社，2004,7．[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。
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摘要：本文从定义、定理、集合的角度，通过正反对比的例题，论述函数列收敛、一致收敛、内闭一致收敛间的相互关系及其差异
关键词：函数列；收敛；一致收敛；内闭一致收敛
Abstract：This paper from the definition, theorem, the set point of view, through the contrast of examples, discusses the function series convergence, uniform convergence, in close relationship and difference between the uniform convergence
Keyword：Function series; convergence; uniform convergence; uniform convergence
目录
1 引言 (4)
2 函数列收敛与一致收敛的定义 (4)
2.1 函数列收敛 (5)
2.2函数列的一致收敛 (5)
3 论述函数列收敛与一致收敛的差异 (5)
4 阐述函数列收敛与一致收敛的相互关系 (9)
4.1从定理的角度阐述 (10)
4.2从集合的角度阐述 (11)
结论 (12)
参考文献 (13)
致谢 (14)
1引言
收敛与一致收敛理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学的难点之一。
特别是函数列的收敛与一致收敛问题，在各个版本的数学分析教科书中往往都把
函数列的收敛问题与函数项级数的收敛问题混在一起，导致学生往往难以透彻的
理解这个概念。
而且证明时学生常常都用""N -ε语言硬套，各个版本数学分析
中对这个概念也仅仅是一般性叙述，例题很少，尤其是正反例题更少。
所以本文
为了让学生更好掌握这一重要概念将从定义、定理、集合的角度，系统论述函数
列收敛与一致收敛及内闭一致收敛间的相互关系及差异，让这部分内容能够独立
建立
2 函数列收敛与一致收敛的定义
2.1函数列收敛：
设
,2,1f f …,,n
f … （1） 是一列定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列。
（1）也可以简单地写作：
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n f 或,n f n=1,2,… 设0x ∈E ，以0
x 代入（1）可得数列 ), 0
(),...0(2),0(1x n f x f x f （2） 若数列（2）收敛，则函数列（1）在点0x 收敛，0
x 称为函数列（1）的收敛点。
若数列（1）在数集D E ⊂上每一点都收敛，则称（1）在数集D 上收敛。
这时D 上每一点x ，都有数
列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n f 的一个极限值与之对应，由这个对应法则所确定的D 上的函数，称为函数列（1）的极限函数。
若把此极限函数记作,f 则有
),()(lim x f x n f n =∞→ x ∈D
或),()(x f x n f = （∞→n ），x ∈D.
函数列极限的N -ε定义是：对每一个固定的x ∈D ，任给正数ε，恒存在正数N （注意：
一般说来N 值的确定与ε和x 的值有关，所以也用N （ε，x ）表示它们之间的依赖关系），
使得当n>N 时，总有 )()(x f x n f -<ε.
使函数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n f 收敛的全体收敛点的集合，称为函数列⎭⎬⎫⎩
⎨⎧n f 的收敛域. 2.2函数列的一致收敛 设函数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正数N ，使得当n>N 时，对一切x ∈D ，都有 )()(x f x n f -<ε，
则称函数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n f 在D 上一致收敛于f ，记作 )()(x f x n
f →→ （∞→n ），x ∈D. 由定义看到，如果函数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n f 在D 上一致收敛，那么对于所给的ε，不管D 上哪一点x ，总存在公共的N （ε）（即N 的选取仅与ε有关，与x 的取值无关），只要n>N ，都有
)()(x f x n f -<ε.
3 论述函数列收敛与一致收敛的差异
函数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n f 收敛定义中是对每一个固定的x ∈D ，根据给定的正数ε找N ，这样找到的N 不仅与ε有关且与x ∈D 的取值有关。
但函数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n f
一致收敛定义中是对一切的x ∈D ，
根据正数ε正数找公共的N ，找出的N 只与ε有关，而与x ∈D 的取值无关.
例1：设,...2,1,)(==n n x x n f 为定义在（+∞∞-,）上的函数列，证明它的收敛域(]1,1-,且有极限函数
⎩
⎨⎧=,1,0)(x f 11=<x x （3） 证 任给ε>0（不妨设ε<1），当0<1<x 时，由于
)()(x f x n f -= n x ，
只要取N （ε，x ）=
x ln ln ε，当n>N （ε，x ）时，就有 )()(x f x n
f -<ε. 当x =0和x =1时，则对任何正数n ，都有
0)0()0(=-f n f <ε，0)1()1(=-f n
f <ε 这就证的⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n f 在(]1,1-上收敛，且有（3）式所表示的极限函数. 例2：设,...2,1,sin )(==n n nx x n
f 为定义在（+∞∞-,）上的函数列，证明它在（+∞∞-,）上一致收敛，且极限函数为0)(=x f .
证 由于对任何实数x ，都有
,1sin n
n nx ≤ 故对任给的ε>0，只要取N(ε)=,1
ε 当n>N(ε) 时，就有
0sin -n
nx <ε.
结论
参考文献
致谢
首先，这篇论文能够顺利完成，我非常感谢我的指导老师教授，在论文的完成过程中，从论文的的立题到论文的整改进行了全面的，认真的知道，对论文细节进行了详尽的审阅，对于论文的改进提供了宝贵的建议。
其次，感谢论文撰写过程中给予我宝贵意见的同学，同时向一直关心我支持我的其他老师表示深深的谢意.。