华中科技大学电力系统分析下册 P-66例题详细的题解过程

将负荷功率作为已知量，发电功率节点功率=发电功率—负荷功率一段翻译：为了进行系统性的分析，我们将负载认为是负的发电机更为合适，这样就能在节点上将发电功率和负载功率整合到一起。

这样，在第i 个节点上，从网络中注入到节点的复功率就可以被表示为：()()i i i Gi Di Gi Di S P jQ P P j Q Q =+=-+-节点功率被解释为注入到节点的功率，是一个表示点的影响如何。

在每个节点上可以设置一个等效电源，这些等效电源是接于一个共同的公共地上的。

这个等效电源在节点上注入了一个电流。

shunt admittance ：并联导纳节点1，节点2是PQ 节点—>未知量为1212,,,V V δδ，已知量110.300.18s s P jQ j +=--，220.550.13s s P jQ j +=--。

（“s ”代表的是schedule ，即给定值）。

节点3是PV 节点—>未知量为33,Q δ，已知量30.5s P =，3 1.10V =。

节点4是slack node 平衡节点—>已知量4 1.050s V =∠。

容许误差510ε-=。

（在Matlab 中应翻译1.0e-5） 网络参数，导纳矩阵为根据给定的线路参数得到：1111121213131414212122222323242431313232333334344141424243434444G jB G jB G jB G jB G jB G jB G jB G jB Y G jB G jB G jB G jB G jB G jB G jB G jB ++++⎛⎫⎪++++ ⎪= ⎪++++⎪++++⎝⎭具体值见P62的矩阵。

Q 3在牛顿迭代法中暂不计入未知量，因为由Pii-52的（11-25）可知，知道了节点的电压、相角，就可以求得节点功率。

1 (1,2,,)nij i j i i j P jQ V Y V i n ∙**=+==∑(0.1)所以只要求得上式右边的电压值（V），再根据网络参数（Y *）就可以求得各个节点的功率。

根据已知量和未知量，可以构造出5个不平衡方程，分别是：()()4112312*********,,,,cos sin 0s s j j j j j j P V V P P P V V G B δδδδδ=∆=-=-+=∑ (0.2)()()4212312222222221,,,,cos sin 0s s j jj j j j P V V P P P V V GB δδδδδ=∆=-=-+=∑ (0.3)()()4312312333333331,,,,cos sin 0s s j j j j j j P V V P P P V V G B δδδδδ=∆=-=-+=∑ (0.4)()()4112312*********,,,,sin cos 0s s j j j j j j Q V V Q Q Q V V G B δδδδδ=∆=-=--=∑ (0.5)()()4212312222222221,,,,sin cos 0s s j jj j j j Q V V Q Q Q V V GB δδδδδ=∆=-=--=∑ (0.6)关于不平衡方程的偏导求解的问题：Pii-65的（11-60）Jacob 矩阵的求解过程。

对于（0.2）~（0.6）的不平衡方程组来说，如果直接求Jacob 矩阵的话，应有如下的推导过程：1111112312222221123122333333123121111112123122222123P P P P P V V P P P P P P V V P P P P P P P V V Q Q Q Q Q Q Q V V Q Q Q Q V δδδδδδδδδδδδδδδ∂∆∂∆∂∆∂∆∂∆∂∂∂∂∂∂∆∂∆∂∆∂∆∂∆∆⎡⎤∂∂∂∂∂⎢⎥∆⎢⎥∂∆∂∆∂∆∂∆∂∆⎢⎥=-∆∂∂∂∂∂⎢⎥∆⎢⎥∂∆∂∆∂∆∂∆∂∆⎢⎥∆⎣⎦∂∂∂∂∂∂∆∂∆∂∆∂∆∂∂∂∂12312212VV Q V δδδ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥∂∆⎢⎥∂⎣⎦(0.7)∆∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆⎣⎦⎣⎦⎣⎦''P δH N Q V K L (0.8)如果直接求各个未知量在给定值基础上的修正量，就应该用（0.7）来求解，该式的右边为一个Jacob 矩阵和一个未知量的修正量矩阵。

（0.8）是简写式，N ，L 都加了上标以与Pii-65的（11-60）相区别。

另N ’为以下的表达式：1112'21223132N N N N N N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦N (0.9)'i ik kP N V ∂∆=∂ (0.10)V k 在这里代表的是一个固定值（某一个变量），ΔP i 由（0.14）代入，求偏导时，k 的取值由（0.7）知，是由电压的未知量的数量来决定的，在此处k=1，2（与电压的未知量的标号一致）。

将k 与j 区分一下比较好，较书上的表达式容易理解，不会弄混淆。

当i k ≠时，由下式可知：()1'cos sin n is i j ij ij ij ij j i ik k kP V V G B P N V V δδ=⎡⎤∂-+⎢⎥∂∆⎣⎦==∂∂∑ (0.11)只有一个非0项，就是当j=k 时，ΔP i 对V k 求偏导才不会为0。

此时有：()()'cos sin cos sin i k ik ik ik ik i ikk ki ik ik ik ik VV G B P N V V V G B δδδδ∂-+⎡⎤∂∆⎣⎦==∂∂=-+ (0.12)当i=k 时，有两个非0项，可以得到以下的偏导表达式：()()()1'1cos sin cos sin cos sin n is i j ij ij ij ij j i ik k knj ij ij ij ij i ik ik ik ik j ii ik iP V V G B P N V V V G B V G B P V G V δδδδδδ==⎡⎤∂-+⎢⎥∂∆⎣⎦==∂∂=-+-+=--∑∑(0.13)对于L ’来说，'iik kQ L V ∂∆=∂ (0.14)当i k ≠时，由下式可知，只有当j 与k 相等时的式子对V k 的偏导才为非0的表达式：()()()1'sin cos sin cos sin cos n is i j ij ij ij ij j i ik k ki k ik ik ik ik k i ik ik ik ik Q V V G B Q L V V VV G B V V G B δδδδδδ=⎡⎤∂--⎢⎥∂∆⎣⎦==∂∂∂--⎡⎤⎣⎦=∂=--∑ (0.15)当i=k 时，有两个非0的式子，如下式所示：()()()()1'11sin cos sin cos sin cos sin cos n is i j ij ij ij ij j i ik k knj ij ij ij ij nj i j ijij ij ij ij kkii ik ik ik ik iii ik iQ V V G B Q L V V V G B V V GB V V V Q V G B V Q V B V δδδδδδδδ===⎡⎤∂--⎢⎥∂∆⎣⎦==∂∂∂-∂=---∂∂=---=-+∑∑∑ (0.16)同理，对应矩阵H 来说，有：iik kP H δ∂∆=∂ (0.17)且考虑到：()()()()cos cos sin sin ij i j ij i j δδδδδδ=-=-则对（0.17）进行具体计算可以得到：当i k ≠时，只有一个非0项，即当j=k 时。

()()()()[]()cos sin sin 1cos 1sin cos k ik ik ik ik ik iki k ik ik ik ik i kik ik ik ik V G B H V VV G B VV G B δδδδδδδ∂+=-∂=---+-=-- (0.18)当i k =时。

关于此处H ik 的求法要稍微麻烦点：()()()()()11111122222cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin n is i j ij ij ij ij j i ik k kk k k k k k k k k kk kk kk kk n kn kn kn kn i kP V V G B P H V G B V G B V G B V G B V δδδδδδδδδδδδδ=⎡⎤∂-+⎢⎥∂∆⎣⎦==∂∂∂+++++++++⎡⎤⎣⎦=-∂∑(0.19)上式中，第k 项是特殊项，在下面分开来看：除开k 项，其余各项都有同样的表达式，如上式的第一项求偏导以后就有：()[]()[]1111111111cos sin sin cos k k k k k k k k kV G B V G B δδδδδ∂+=-+∂(0.20)除了第k 项以外，其余的各项都有相同的表达式。

对与k 项来说，由于i=k ，那么第k 项实际上就是等于0的：()()cos sin 100k kk kk kk kk k kk kk kkV G B V G B δδδδ∂+∂⨯+⨯==∂∂(0.21)为了使k 项跟其他项一致，则可以添项后再减项。

添项按（0.20）构造为：()[]()[]sin cos sin cos k kk kk kk kk k kk kk kk kk V G B V G B δδδδ-+-+-(0.22)结合（0.20）和（0.22）两项，可以得到：()[]()[][]1sin cos sin cos 01nik i j ij ij ij ij i kkk kk kk kk j i i k kk kk i i k kkH V V G B VV G B Q VV G B Q VV B δδδδ==--++-++⨯+⨯+==∑ (0.23)剩下的是K 的表达式求解： 由（0.7）式可知：i ik kQ K δ∂∆=∂ (0.24)同样的，当i k ≠时，上式求偏导以后只有一个非0项，即当j=k 时。

()()()()()()sin cos cos 1sin 1cos sin ik ik ik ik iik i kk ki k ik ik ik ik i k ik ik ik ik G B Q K VV VV G B VV G B δδδδδδδδ∂-∂∆==-∂∂=-----=+ (0.25)当i=k 时，与（0.19）式有相似的结论，即求偏导以后，j=k 时，为0；当j k ≠时，表达式不为0；然后将k 项凑项，得到如下的表达式：ik i k ik iK VV G P =- (0.26)然后可以得到Jacob 矩阵的统一表达式：对于网络的节点功率方程()()11cos sin sin sin n i i j ij ij ij ij j ni i j ij ij ij ij j P V V G B Q V V G B δδδδ===+=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∑∑ (0.27)与已知条件一起，可以决定不平衡方程，如（0.2）~（0.6）所示，是一组非线性方程组。