地板砖的铺设 数学建模

地板砖的铺设在问题1中，由于整个建筑的平面图较复杂，我们把整个图进行分割简化为14个矩形区域。

首先我们采用高斯函数求未被切割的地板砖的块数，利用自定义的向上取整公式得到所需总的地板砖的块数，然后根据0－1规划算出被切割的长度，加上安装工人的费用则得到总费用的表达式；在问题2中，首先我们利用问题1中的向上取整算出各种规格的地板砖所需要的总块数分别是800*800需要260块，600*600需要421块，600*300需要804块，400*400需要934块，300*300需要1509块，然后再用计算所需每种规格地板砖的总面积与被铺设的区域的总面积得的利用率分别是800*800利用率0.78 ，600*600利用率0.85 ，600*300利用率0,89，400*400利用率0.87，300*300利用率0.95。

在用0－1规划算和高斯函数计算出各个规格地板砖的切割总长度，再分别乘于切割单价，由于铺设的面积大小相同所以安装费用相同，因此我们暂时不考虑，只计算各个规格地板砖的切割费与购买费用之和分别是800*800费用是 47207元，600*600费用是55131元，600*300费用是64714.5元，400*400费用是67648.25元，300*300费用是68300元，经过比较可以知道800*800规格的费用最低在问题3中，在问题3中，先考虑使用整块铺设，且整块铺设优先选用边长的，我们只考虑四种变长情况，即800*800，600*600，400*400和300*300最后不能被整块铺设的地方用300*300铺设，因为剩下的面积往往很小（且靠矩形总面积的边界），用大砖切割不经济。

最后每个区域300*300的块数>=2时，我们同样把2块300*300换成1块300*600的。

在这个问题的考虑中我们使用了多元目标的线性规划，在考虑区域的边长被组合铺设后是否有剩余，采用了0—1规划。

利用了C语音编程求解在问题4中，则是对模型改进的建议，我们认为要考虑墙体的厚度及余料的利用，这样我们就能更节省问题概述假定工程中能购买到的地板砖的尺寸、价格、安装费用、破损概率等参数如表1所示的5种类型的地板砖。

根据需要铺设的房屋地面结构用地板砖进行铺设。

假设每块地板砖只能沿着平行于边的方向切割，最多只能切割一次，且切割所用人工费跟切割长度成正比。

⒈综合考虑影响地板砖铺设成本的因素，并建立计算地板砖铺设总成本的模型。

假如只使用一种尺寸的地板砖进行铺设，设计一种算法进行地板砖的自动铺设，⒉同时计算出铺设地板砖的块数、利用率和总费用，综合比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。

⒊若允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，设计一种算法是的实现地板砖的自动铺设，并且计算铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。

⒋根据以上3问得出的模型、算法及计算结果，为地板砖铺设提出一些意见和建议。

问题分析由于本题中，用地板砖对房屋的铺设需要考虑的因素有：购买地板砖的费用，安装工人的工资，切割工人的工资，美观程度地板砖的规格参数以及切割方式的限制，我们对题目的分析如下：1 对于问题一的分析首先要得出在铺设地板砖中未被切割的块数以及总需要的块数（已把损耗考虑进去），则被切割的地板砖的块数就是两者之差，然后算出美观的程度，利用总数得出所需要的地板砖的总成本，再加上安装工人的安装费，所有之和就是总费用2 对于问题2的分析利用每种规格的地板砖自分别计算出所需的总的地板砖的块数（已把损耗考虑进去）和不需要被切割的地板砖的块数，用铺设的面积除于所购瓷砖的总面积则计算出利用率3 对于第3问的分析用多种地板砖进行铺设，要考虑其规格对矩形区域的限制，因此可以进行多目标线性规划，对各种规格的地板砖进行逐一考虑，在计算美观度，利用率，总费用与第二问中的数据进行对比，体现多种地板砖进行混铺时的优缺点。

4 对于问题4的分析由于以上的问题没有将余料的考虑进行利用，则需要进行余料重新利用的考虑问题假设1假设在铺设地板砖的过程中，进过切割后的剩余的的余料不再利用。

2假设在进行对铺设的区域的面积时，忽略墙体的厚度。

3假设地板砖在切割的过程中，不会产生损耗。

符号说明铺设第k 个矩形地板砖的安装费用k A第i 种地板砖的长i a第i 种地板砖的破损概率。

i B 第i 种地板砖的宽i b切割单位长度的地板砖所需费用0.005/mm （C 元） C 地板砖类型 （i=1,2,3,4,5） i被铺设的矩形区域（编号为k=1,2,3。

14）k铺设第k 个矩形所需的第i 种地板砖的块数。

i k铺设第k 个矩形购买地板砖的费用 k L 第k 个矩形的长 k Length第k 块区域切割长度k M被切割的块数i m所需i 型地板砖的数量 i n 第i 种地板砖的单价i p铺设第k 个矩形地板砖的切割费用。

k Qs户型面积fs所需地板砖的面积z第k块区域的面积k S第k个矩形的宽kWidth 房屋地板砖铺设总花费WW铺设第k个矩形地板砖所需总费用。

k单位面积的安装费用 Zη利用率λ美观度模型的建立与求解问题1首先由于铺设的平面比较复杂，我们把平面分为如图1.1所示，图1.1建立模型一房屋地板砖铺设总花费计算公式为：141kk W W==∑ (1)其中铺设第个矩形区域地板砖所需总费用计算公式：k k k k W L A Q =++ (2)则铺设第个矩形购买地板砖的费用计算公式：51k i i i L p n ==⨯∑ (3)定义*R I ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为向上取整公式，即不小于的最小整数*1R R R I I I R Y I R R R I I I ⎧⎡⎤⎡⎤+>⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎨⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎩ (4) 其中不需要被切割的地板砖的块数：= 1k k i i iiLength Width a b n B **⎡⎤⎡⎤⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦- (5)铺设第个矩形地板砖的安装费用计算公式：= Z k k A S ⨯ (6)铺设第个矩形地板砖的切割费用计算公式 ：k k Q C M =⨯ (7)而对于切割费用的的计算，运用0－1规划，令10,0G = 1,0k k i i k k i i Length Length a a Length Length a a **⎧⎡⎤⎪-=⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎡⎤⎪-≠⎢⎥⎪⎣⎦⎩(8)*2*0,0G = 1,0k k i i k k i i Width Width b b Width Width b b ⎧⎡⎤⎪-=⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎡⎤⎪-≠⎢⎥⎪⎣⎦⎩(9)则切割长度的数学表达为： 12G k k k M Length G Width ⨯=+⨯ (10)美观度计算公式**(1)k i i i k k i Length Width B a b Length Width a bi λ⎡⎤⎡⎤-⨯⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (11) 问题2 模型二对于用同一种尺寸的地板砖进行铺设，先利用模型一中的以下公式：= 1k k i i iiLength Width a b n B **⎡⎤⎡⎤⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦- (12)可求的所需的第种地板砖的总块数则利用率的可表示为:f i is n s η= （13）总费用可表示为14121((G ))i i k k k k W n s C Length G Width A ==⨯+⨯+⨯+∑（14）经过计算的到的数据如图2.1所示问题3准别条件：优先使用整块铺设，且整块铺设优先选用边长的，五中砖的规格中，4种是正方形，剩下的 300*600，可以切分为2块300*300，在考虑问题的时候，因为任何一种长宽不同矩形都会有两种铺法，而对与正方形来就没有这种考虑 我们只考虑四种变长情况，即800*800，600*600，400*400和300*300，而当整块300*300的块数出现>=2时，我们把两块300*300的合并成一块300*600，根据单位面积的价格，大砖更加经济。

最后不能被整块铺设的地方用300*300铺设，因为剩下的面积往往很小（且靠矩形总面积的边界），用大砖切割不经济。

当计算所用300*300的块数>=2时，我们同样把2块300*300换成1块300*600的。

首先，根据尽量铺大块的砖，（且在考虑中只有涉及4种规格的正方形砖），从矩形的长和宽分别进行考虑。

长（length ）的考虑使得四种规格组合的边长相加最大程度达到到区域边长，且限制条件1：边长越长的砖块越优先。

限制条件2区域总变长-组合边长<300,同理从宽（width ）的角度使得四种规格组合的边长相加最大程度达到到区域宽长，限制条件1：边长越长的砖块越优先。

限制条件2区域宽长-组合宽长<300。

数学公式 区域长的角度 设需要边长800的数量i1,边长是600的数量为i2，边长为400的数量为i3,边长为300的数量是i4 区域宽的角度 设需要边长800的数量j1,边长是600的数量为j2，边长为400的数量为j3,边长为300的数量是j4数学模型3根据题目的要求，我们得到以下的限制条件:Length-(800*i1+600*i2+400*i3+300i4)<300 （15） Width-(800*i1+600*i2+400*i3+300i4)<300 （16）1800length i ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (17)2800800600length length i ⎡⎤⎡⎤-⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (18)3800800600600=400lengthlengthlengthi⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (19) 1800widthj⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (20) 2800800600widthwidthj⎡⎤⎡⎤-⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (21) 3800800600600=400widthwidthwidthj⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (22)运用程序求解代码得到最佳组合数据如下某个区域需要的砖块数量1111800800800width length k i j i j ⎡⎤⎡⎤=⨯+⨯-⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （23） 2222600600600width length k i j i j ⎡⎤⎡⎤=⨯+⨯-⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （24）3333400400400width length k i j i j ⎡⎤⎡⎤=⨯+⨯-⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （25） 4444300300300width length k i j i j ⎡⎤⎡⎤=⨯+⨯-⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （26）进过C 语言计算得到每个区域的各种规格的地板砖的最佳结果，如下表所示我们考虑到如果区域的长被组合完全铺满，那么最后不能被整块铺余下的面积，会是不到300mm 的宽乘以区域的长，最后铺设的要切割的300*300的块数，就是区域的长除以300mm 向上取整。