笛卡尔坐标系
简介笛卡尔坐标系
简介笛卡尔坐标系 (Cartesian coordinates)(法语：les coordonnéescartésiennes )就是直角坐标系和斜角坐标系的统称。
相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系。
如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系。
两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。
推广放射坐标系和笛卡尔坐标系平面向空间的推广。
相交于原点的三条不共面的数轴构成空间的放射坐标系。
三条数轴上度量单位相等的放射坐标系被称为空间笛卡尔坐标系。
三条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系被称为空间笛卡尔直角坐标系，否则被称为空间笛卡尔斜角坐标系。
笛卡尔坐标，它表示了点在空间中的位置，但却和直角坐标有区别，两种坐标可以相互转换。
举个例子：某个点的笛卡尔坐标是493 ,454, 967，那它的X轴坐标就是4+9+3=16，Y轴坐标是4+5+4=13，Z轴坐标是9+6+7=22，因此这个点的直角坐标是(16, 13, 22)，坐标值不可能为负数（因为三个自然数相加无法成为负数）。
笛卡尔和笛卡尔坐标系的产生据说有一天，法国哲学家、数学家笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。
突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。
蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。
他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数。
笛卡尔空间坐标系
笛卡尔空间坐标系1. 引言笛卡尔空间坐标系（Cartesian coordinate system）是一种常用的坐标系统，用于描述平面或三维空间中点的位置。
该坐标系以法国数学家笛卡尔（René Descartes）的名字命名。
通过引入坐标轴和坐标的概念，笛卡尔空间坐标系提供了一种精确而简洁的方法来表示和计算点的位置。
2. 坐标轴和原点笛卡尔空间坐标系由坐标轴和原点组成。
坐标轴通常被标记为x、y和z轴，用于表示三个相互垂直的方向。
坐标轴的交点称为原点，记作O。
3. 二维笛卡尔坐标系3.1 坐标轴和原点在二维笛卡尔坐标系中，只有x轴和y轴。
x轴与y轴相交于原点O。
3.2 坐标表示二维笛卡尔坐标系中的点使用有序数对(x,y)来表示。
其中，x表示点在x轴上的水平位置，y表示点在y轴上的垂直位置。
根据点的位置，可以得到不同的象限：1. 第一象限：x > 0, y > 0; 2. 第二象限：x < 0, y > 0; 3. 第三象限：x < 0, y < 0; 4. 第四象限：x > 0, y < 0.3.3 距离和斜率在二维笛卡尔坐标系中，可以计算两点之间的距离和线的斜率： 1. 距离：对于两个点(x1,y1)和(x2,y2)，距离d可以通过计算d=√(x2−x1)2+(y2−y1)2来获得。
来2. 斜率：对于直线通过两个点(x1,y1)和(x2,y2)，斜率m可以通过计算m=y2−y1x2−x1获得。
如果两点重合，则斜率无定义。
4. 三维笛卡尔坐标系4.1 坐标轴和原点在三维笛卡尔坐标系中，除了x轴和y轴，还有z轴。
x轴与y轴和z轴两两相交于原点O。
4.2 坐标表示三维笛卡尔坐标系中的点使用有序数对(x,y,z)来表示。
其中，x表示点在x轴上的水平位置，y表示点在y轴上的垂直位置，z表示点在z轴上的位置。
4.3 距离和斜率在三维笛卡尔坐标系中，可以计算两点之间的距离和线的斜率： 1. 距离：对于两个点(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，距离d可以通过计算d=√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2来获得。
笛卡尔 坐标系
笛卡尔坐标系
引言概述：
笛卡尔坐标系是一种用于描述平面或空间中点位置的数学工具。
它由法国数学家、哲学家笛卡尔于17世纪提出，并被广泛应用于物理学、几何学、计算机图形学等领域。
本文将从五个大点来详细阐述笛卡尔坐标系的原理、应用和特点。
正文内容：
1. 笛卡尔坐标系的原理
1.1 直角坐标系
1.2 坐标轴和坐标平面
1.3 点的坐标表示
2. 笛卡尔坐标系的应用
2.1 几何学中的应用
2.2 物理学中的应用
2.3 计算机图形学中的应用
3. 笛卡尔坐标系的特点
3.1 简洁明了
3.2 可视化
3.3 精确计算
4. 笛卡尔坐标系的优缺点
4.1 优点
4.2 缺点
5. 笛卡尔坐标系的发展与未来
5.1 发展历程
5.2 新的应用领域
5.3 可能的改进方向
总结：
笛卡尔坐标系作为一种描述点位置的数学工具，具有直观、简洁明了、可视化和精确计算等特点。
它在几何学、物理学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
尽管它存在一些缺点，但随着科技的发展和应用领域的扩展，笛卡尔坐标系仍然具有巨大的潜力和发展空间。
未来，我们可以期待它在更多领域的应用，并通过改进来提高其性能和适用性。
笛卡尔坐标系
笛卡尔坐标系理论1、什么是笛卡尔坐标系？笛卡尔坐标系就是两条（或三条）不相交的坐标轴组成的坐标系。
当这两条坐标轴互相垂直的时候就是正交（也称直交）坐标系，否则就是斜⾓坐标系。
2、⼆维坐标系⼀个⼆维笛卡尔坐标系包含了两个部分的信息：⼀个特殊的位置，即原点，它是整个坐标系的中⼼。
两条过原点的相互垂直的⽮量，即x轴和y轴。
这些坐标轴也称为是该坐标系的基⽮量。
在OpenGL中x轴向右，y轴向上。
⽽在DirectX中x轴向右，y轴向下。
3、三维坐标系在三维坐标系中，我们需要定义3个坐标轴和⼀个原点。
基⽮量(basis vector)。
这3个坐标轴也被称为该坐标系的基⽮量标准正交基(orthonormal basis)。
通常情况下，这3个坐标轴是相互垂直的，且长度为1，这样的基⽮量被称为标准正交基还有⼀些特殊情况，坐标轴相互垂直但长度并不为1，这样的基⽮量被称为正交基(orthogonal basis)。
正交？正交可以理解成相互垂直的意思。
4、左/右⼿坐标系和⼆维坐标系⼀样，因为坐标轴⽅向不固定，所以导致产⽣了两种不同类型的三维坐标系：左⼿坐标系(left-handed)和右⼿坐标系(right-handed)。
它们之间有两点不同：坐标轴朝向旋转⽅向坐标轴朝向伸出⼿，⾷指向上，中指向前，伸直⼤拇指，此时⼤拇指、⾷指和中指分别对应x,y,z轴。
旋转⽅向伸出⼿，握拳，伸出⼤拇指让它指向旋转轴的正⽅向，那么剩下4个⼿指的弯曲⽅向就是旋转的正⽅向。
五、Unity中的坐标系Unity采⽤的是左⼿坐标系。
世界空间，以世界坐标(0,0)点为原点的坐标系。
模型空间，在模型坐标为原点的坐标系。
观察空间观察空间，通俗来讲就是以摄像机为原点的坐标系。
⽽观察空间采⽤的是右⼿坐标系，所以在这个坐标系中，摄像机的前向是z轴的负⽅向，这与模型空间和世界空间的定义相反。
例：在世界空间中，⼀个球体的坐标是(0,1,0)，摄像机的坐标是(0,1,-10)。
笛卡尔坐标系有几个自由度
笛卡尔坐标系是描述空间中点位置的一种常用坐标系。
它是由法国哲学家笛卡尔在17世纪发明的，也因此得名。
笛卡尔坐标系具有三个坐标轴：x轴、y轴和z轴。
通过在这三个轴上测量点与原点的距离，可以确定点在空间中的位置。
那么，笛卡尔坐标系有几个自由度呢？在笛卡尔坐标系中，每个坐标轴上的运动都可以独立地描述。
例如，在x轴上的运动与y、z轴上的运动是相互独立的。
这意味着，我们可以沿着x轴移动点而不影响y和z轴上的位置。
同样地，我们也可以在y轴上移动点而保持x和z轴上的位置不变。
因此，笛卡尔坐标系具有三个自由度，分别对应于x、y和z轴上的运动。
自由度是指一个系统中独立变动的最小参数数量。
在笛卡尔坐标系中，每个坐标轴上的运动都是独立的，所以我们可以通过改变x、y和z坐标的值来改变点在空间中的位置。
因此，笛卡尔坐标系的自由度为三。
自由度的概念在物理学、机械工程等领域中具有重要的意义。
它可以帮助我们理解和描述系统的运动状态。
在三维空间中，通过指定点在x、y和z轴上的位置，我们可以唯一地确定点的位置。
这种灵活性使得笛卡尔坐标系成为研究和描述空间中点位置的理想工具。
笛卡尔坐标系的自由度还可以通过计算参数的数量来验证。
在三维笛卡尔坐标系中，我们有三个坐标轴，分别对应于x、y和z方向。
在每个轴上，我们可以通过指定坐标值来描述点的位置。
因此，每个轴上都有一个参数，共计三个参数。
根据自由度的定义，我们知道笛卡尔坐标系的自由度为三。
总结起来，笛卡尔坐标系具有三个自由度，分别对应于x、y和z轴上的运动。
这种自由度的概念在描述和研究空间中的点位置时非常重要。
通过笛卡尔坐标系，我们可以方便地确定点在三维空间中的位置，并进行相关的计算和分析。
笛卡尔和坐标系
笛卡尔和坐标系
笛卡尔是法国数学家、哲学家、物理学家，他提出了一种新的数学工具——坐标系。
在笛卡尔的时代，数学还是以几何学为主，而几何学是以图形为研究对象的。
然而，图形是无法进行精确计算的，因此，笛卡尔想要找到一种新的方法，来解决这个问题。
笛卡尔发现，通过引入坐标系，把点的位置用坐标来表示，就可以把几何学中的问题转化为代数学中的问题，从而可以进行更为准确的计算。
因此，他把坐标系看作是解决几何学中问题的一种新方法。
坐标系是由两个互相垂直的直线所形成的，这两条直线称为坐标轴。
坐标轴相交的点称为原点，每个点都可以用坐标轴上的数来表示。
例如，在一条直线上，可以用一个数来表示这个点的位置；而在平面内，则需要用两个数来表示一个点的位置。
因此，坐标系的引入，不仅使得几何学的计算更为准确，而且也为代数学的发展奠定了基础。
今天，坐标系被广泛应用于物理学、化学、工程学等领域，成为现代科学中的重要工具。
- 1 -。
笛卡尔坐标系方程
笛卡尔坐标系方程1. 什么是笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是数学中用于描述平面上点位置的一种坐标系统。
它由法国数学家笛卡尔于17世纪提出，并被广泛应用于数学、物理学和工程学等领域。
笛卡尔坐标系使用两个相互垂直的轴，通常是水平的x轴和垂直的y轴，作为基准线。
每个坐标点都可以由这两个轴上的数值唯一确定。
x轴和y轴交点被称为原点，记作O(0, 0)。
x轴的正向为向右，负向为向左；y轴的正向为向上，负向为向下。
2. 笛卡尔坐标系的方程表示在笛卡尔坐标系中，任何一个点的位置都可以通过一对有序数值(x, y)来表示。
这两个数值分别代表了该点在x轴和y轴上的距离。
因此，我们可以用一个数学方程来表示笛卡尔坐标系中的点。
一般来说，笛卡尔坐标系中一个点的坐标可以表示为(x, y)，这里x和y分别代表该点在x轴和y轴上的坐标值。
例如，点A位于坐标轴上时，可以用方程A(x, y) = (a, 0)表示，其中a为x轴上的坐标值。
同时，笛卡尔坐标系方程也可以用线性方程的形式表示。
例如，对于一条直线，可以用方程y = mx + b来表示，其中m为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
这个方程中，x和y分别表示点在x轴和y轴上的坐标值。
3. 常见的笛卡尔坐标系方程在笛卡尔坐标系中，有一些常见的方程表示形式：3.1 直线方程一条直线可以通过以下两种形式的方程来表示：•点斜式方程：y - y1 = m(x - x1)，其中m为直线的斜率，(x1, y1)为直线上的一点。
•截距式方程：y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
3.2 圆的方程一个圆可以通过以下方程来表示：•标准方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)表示圆心的坐标，r 表示半径。
3.3 椭圆的方程一个椭圆可以通过以下方程来表示：•标准方程：(x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1，其中(h, k)表示椭圆中心的坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半径。
笛卡尔坐标系的表示
笛卡尔坐标系的表示笛卡尔坐标系是数学领域中一种可实现空间图形表示的方法，它主要通过空间坐标上的直线、圆形和平面来表示空间几何力学描述的内容。
笛卡尔坐标系是一种重要的数学表示方法，被广泛应用于物理学、化学、天文学等多种领域。
笛卡尔坐标系又称直角坐标系，二维的笛卡尔坐标系由两个轴（x 横轴和y纵轴）构成，三维的笛卡尔坐标系由三个轴，即x、y和z 轴组成，每个轴有负数和正数，负数表示轴朝负方向运动，而正数表示轴朝正方向运动。
笛卡尔坐标系分为绝对坐标系和相对坐标系，这两个坐标系之间的转换可以用矩阵的方式表示出来。
绝对坐标系是在一个指定的点作为原点，并在这个点处定义出x、y和z三个正交坐标轴，这样各个点的坐标就与这个原点有关；而相对坐标系是以一个点作为原点，在这个点定义一组坐标，各点的坐标就与原点无关。
笛卡尔坐标系的发明人是笛卡儿，他创立了一个全新的数学空间中的坐标系，这种由他发明的坐标系具有以下特点：（1）三维空间中的任意点都可以用笛卡尔坐标系表示，这样就使得三维空间中的任意物体都可以表示出来；（2）笛卡尔坐标系是欧几里德向量空间中的一种有效表示，把这种坐标系用于欧几里德向量空间就能够获得完美的表示；（3）笛卡尔坐标系的各个点的坐标可以直接描述出来，通过这种描述就可以计算出任意两点之间的距离；（4）笛卡尔坐标系是直接表示直线和圆的有效表示方式，由此可以用来描述曲线、曲面等几何元素。
由于有着许多优点，笛卡尔坐标系被广泛应用于各个领域，它是一种把物体在空间中坐标定义出来的有效方法，并由此进行许多计算，比如距离的计算、方向的计算、曲线的描述等等，这些计算在空间中的处理上都被广泛使用。
在计算机领域，笛卡尔坐标系也经常被用到，在三维计算机图形学中就要求使用它来描述物体的三维形状，这是因为它容易理解，同时具有表示对象形状或位置的可视性，可以方便的利用它来表示物体，从而进行计算机图形学中许多繁琐的计算。
总之，笛卡尔坐标系是一种重要的数学表示方法，被广泛应用于物理学、化学、天文学等多种领域，同时也经常被用到计算机领域中。
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笛卡儿坐标系
（在这篇文章内，向量与标量分别用粗体与斜体显示。
例如，位置向量通常用表示；而其大小则用来表示。
）
在数学里，笛卡儿坐标系（Cartesian坐标系），也称直角坐标系，是一种正交坐标系。
参阅图1 ，二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点重合的数轴构成的。
在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。
在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。
采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确的表达出来。
几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式。
例如，一个圆圈，半径是 2 ，圆心位于直角坐标系的原点。
圆圈可以用公式表达为：。
图1
历史
笛卡尔坐标系是由法国数学家勒内·笛卡尔创建的。
1637年，笛卡尔发表了巨作《方法论》。
这本专门研究与讨论西方治学方法的书，提供了许多正确的见解与良好的建议，对于后来的西方学术发展，有很大的贡献。
为了显示新方法的优点与果效，以及对他个人在科学研究方面的帮助，在《方法论》的附录中，他增添了另外一本书《几何》。
有关笛卡儿坐标系的研究，就是出现于《几何》这本书内。
笛卡儿在坐标系这方面的研究结合了代数与欧几里得几何，对于后来解析几何、微积分、与地图学的建树，具有关键的开导力。
二维坐标系统
参阅图 2 ，二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定，通常分别称为x-轴和y-轴；两个坐标轴的相交点，称为原点，通常标记为O ，既有“零”的意思，又是英
语“Origin”的首字母。
每一个轴都指向一个特定的方向。
这两个不同线的坐标轴，决定了一个平面，称为xy-平面，又称为笛卡儿平面。
通常两个坐标轴只要互相垂直，其指向何方对于分析问题是没有影响的，但习惯性地（见右图），x-轴被水平摆放，称为横轴，通常指向右方；y-轴被竖直摆放而称为纵轴，通常指向上方。
两个坐标轴这样的位置关系，称为二维的右手坐标系，或右手系。
如果把这个右手系画在一张透明纸片上，则在平面内无论怎样旋转它，所得到的都叫做右手系；但如果把纸片翻转，其背面看到的坐标系则称为“左手系”。
这和照镜子时左右对掉的性质有关。
图2
为了要知道坐标轴的任何一点，离原点的距离。
假设，我们可以刻画数值于坐标轴。
那么，从原点开始，往坐标轴所指的方向，每隔一个单位长度，就刻画数值于坐标轴。
这数值是刻画的次数，也是离原点的正值整数距离；同样地，背着坐标轴所指的方向，我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。
称x-轴刻画的数值为x-坐标，又称横坐标，称y-轴刻画的数值为y-坐标，又称纵坐标。
虽然，在这里，这两个坐标都是整数，对应于坐标轴特定的点。
按照比例，我们可以推广至实数坐标和其所对应的坐标轴的每一个点。
这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标，标记为。
任何一个点P 在平面的位置，可以用直角坐标来独特表达。
只要从点P画一条垂直于x-轴的直线。
从这条直线与x-轴的相交点，可以找到点P的x-坐标。
同样地，可以找到点P 的y-坐标。
这样，我们可以得到点P 的直角坐标。
例如，参阅图 3 ，点P 的直角坐标
是。
直角坐标系也可以推广至三维空间与高维空间 (higher dimension) 。
参阅图 3 ，直角坐标系的两个坐标轴将平面分成了四个部分，称为象限，分别用罗马数字编号为，，，。
依照惯例，象限的两个坐标都是正值；象限的x-坐标是负值，y-坐标是正值；象限的两
个坐标都是负值的；象限的x-坐标是正值，y-坐标是负值。
所以，象限的编号是按照逆时针方向，从象限编到象限。
图3
三维坐标系统
在原本的二维直角坐标系，再添加一个垂直于x-轴，y-轴的坐标轴，称为z-轴。
假若，这三个坐标轴满足右手定则，则可得到三维的直角坐标系。
这z-轴与x-轴，y-轴相互正交于原点。
在三维空间的任何一点P ，可以用直角坐标来表达其位置。
例如，参阅图5 ，两个点P 与Q 的直角坐标分别为与。
三个平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面，将三维空间分成了八个部分，称为卦限 (octant) 。
与二维空间的四个象限不同，只有一个卦限有编号。
第一号卦限的每一个点的三个坐标都是正值的。
图 4 - 直角坐标系的几个坐标曲面。
红色平面的。
黄色平面的。
蓝色平面的。
z-轴是竖直的，以白色表示。
x-轴以绿色表示。
三个坐标曲面相交于点P （以黑色的圆球表示），直角坐标大约为。
图 5 - 三维直角坐标系。
y-轴的方向是远离读者。
图 6 - 三维直角坐标系。
x-轴的方向是亲近读者。
取向
二维空间
直角坐标系的x-轴与y-轴必须相互垂直。
称包含y-轴的直线为y-线。
在二维空间里，当我们设定了x-轴的位置与方向的同时，我们也设定了y-线的方向。
可是，我们仍旧必须
选择，在y-线的以原点为共同点的两条半线中，那一条半线的点的坐标是正值的，那一条是负值的？任何一种选择决定了xy-平面的取向。
参阅图1 。
通常，我们选择的取向是，正值的x-轴横地指向右方，正值的y-轴纵地指向上方。
这种取向称为正值取向，标准取向，或右手取向。
右手定则是一种常用的记忆方法，专门用来辨认正值取向：将一只半握拳的右手放在平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都从x-轴指向y-轴。
另外一种取向，采用左手定则，专门用来辨认负值取向，或左手取向：将一只半握拳的左手放在xy-平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都从y-轴指向x-轴。
不论坐标轴是何种取向，将坐标系统做任何角度的旋转，取向仍旧会保持不变。
三维空间
直角坐标系的x-轴，y-轴，与z-轴必须相互垂直。
称包含z-轴的直线为z-线。
在三维空间里，当我们设定了x-轴，y-轴的位置与方向的同时，我们也设定了z-线的方向。
可是，我们仍旧必须选择，在z-线以原点为共同点的两条半线中，那一条半线的点的坐标是正值的，那一条是负值的？这两种不同的坐标系统，称为右手坐标系与左手坐标系。
右手坐标系又称为标准坐标系，或正值坐标系。
图7
右手坐标系这名词是由右手定则而来的。
先将右手的手掌与手指伸直。
然后，将中指指向往手掌的掌面半空间，与食指呈直角关系。
再将大拇指往上指去，与中指，食指都呈直角关系。
则大拇指，食指，与中指分别表示了右手坐标系的x-轴，y-轴，与z-轴。
同样地，用左手也可以表示出左手坐标系。
图8 试着展示出一个左手坐标系与一个右手坐标系。
因为我们用二维画面来展示三维物体，会造成扭曲或模棱两可的图形。
指向下方与右方的轴，也有指向读者的意思；而位置居于中间的轴，也有指向读者正在看的方向的意思。
平行于xy-平面的红色圆形曲箭，其红色箭头从z-轴前面经过，表示从x-轴往y-轴的旋转方向。
图8 –左边是左手取向，右边是右手取向。