笛卡尔坐标系
简介笛卡尔坐标系
简介笛卡尔坐标系 (Cartesian coordinates)(法语：les coordonnéescartésiennes )就是直角坐标系和斜角坐标系的统称。
相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系。
如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系。
两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。
推广放射坐标系和笛卡尔坐标系平面向空间的推广。
相交于原点的三条不共面的数轴构成空间的放射坐标系。
三条数轴上度量单位相等的放射坐标系被称为空间笛卡尔坐标系。
三条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系被称为空间笛卡尔直角坐标系，否则被称为空间笛卡尔斜角坐标系。
笛卡尔坐标，它表示了点在空间中的位置，但却和直角坐标有区别，两种坐标可以相互转换。
举个例子：某个点的笛卡尔坐标是493 ,454, 967，那它的X轴坐标就是4+9+3=16，Y轴坐标是4+5+4=13，Z轴坐标是9+6+7=22，因此这个点的直角坐标是(16, 13, 22)，坐标值不可能为负数（因为三个自然数相加无法成为负数）。
笛卡尔和笛卡尔坐标系的产生据说有一天，法国哲学家、数学家笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。
突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。
蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。
他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数。
笛卡尔 坐标系
笛卡尔坐标系
引言概述：
笛卡尔坐标系是一种用于描述平面或空间中点位置的数学工具。
它由法国数学家、哲学家笛卡尔于17世纪提出，并被广泛应用于物理学、几何学、计算机图形学等领域。
本文将从五个大点来详细阐述笛卡尔坐标系的原理、应用和特点。
正文内容：
1. 笛卡尔坐标系的原理
1.1 直角坐标系
1.2 坐标轴和坐标平面
1.3 点的坐标表示
2. 笛卡尔坐标系的应用
2.1 几何学中的应用
2.2 物理学中的应用
2.3 计算机图形学中的应用
3. 笛卡尔坐标系的特点
3.1 简洁明了
3.2 可视化
3.3 精确计算
4. 笛卡尔坐标系的优缺点
4.1 优点
4.2 缺点
5. 笛卡尔坐标系的发展与未来
5.1 发展历程
5.2 新的应用领域
5.3 可能的改进方向
总结：
笛卡尔坐标系作为一种描述点位置的数学工具，具有直观、简洁明了、可视化和精确计算等特点。
它在几何学、物理学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
尽管它存在一些缺点，但随着科技的发展和应用领域的扩展，笛卡尔坐标系仍然具有巨大的潜力和发展空间。
未来，我们可以期待它在更多领域的应用，并通过改进来提高其性能和适用性。
笛卡尔坐标系
笛卡尔坐标系理论1、什么是笛卡尔坐标系？笛卡尔坐标系就是两条（或三条）不相交的坐标轴组成的坐标系。
当这两条坐标轴互相垂直的时候就是正交（也称直交）坐标系，否则就是斜⾓坐标系。
2、⼆维坐标系⼀个⼆维笛卡尔坐标系包含了两个部分的信息：⼀个特殊的位置，即原点，它是整个坐标系的中⼼。
两条过原点的相互垂直的⽮量，即x轴和y轴。
这些坐标轴也称为是该坐标系的基⽮量。
在OpenGL中x轴向右，y轴向上。
⽽在DirectX中x轴向右，y轴向下。
3、三维坐标系在三维坐标系中，我们需要定义3个坐标轴和⼀个原点。
基⽮量(basis vector)。
这3个坐标轴也被称为该坐标系的基⽮量标准正交基(orthonormal basis)。
通常情况下，这3个坐标轴是相互垂直的，且长度为1，这样的基⽮量被称为标准正交基还有⼀些特殊情况，坐标轴相互垂直但长度并不为1，这样的基⽮量被称为正交基(orthogonal basis)。
正交？正交可以理解成相互垂直的意思。
4、左/右⼿坐标系和⼆维坐标系⼀样，因为坐标轴⽅向不固定，所以导致产⽣了两种不同类型的三维坐标系：左⼿坐标系(left-handed)和右⼿坐标系(right-handed)。
它们之间有两点不同：坐标轴朝向旋转⽅向坐标轴朝向伸出⼿，⾷指向上，中指向前，伸直⼤拇指，此时⼤拇指、⾷指和中指分别对应x,y,z轴。
旋转⽅向伸出⼿，握拳，伸出⼤拇指让它指向旋转轴的正⽅向，那么剩下4个⼿指的弯曲⽅向就是旋转的正⽅向。
五、Unity中的坐标系Unity采⽤的是左⼿坐标系。
世界空间，以世界坐标(0,0)点为原点的坐标系。
模型空间，在模型坐标为原点的坐标系。
观察空间观察空间，通俗来讲就是以摄像机为原点的坐标系。
⽽观察空间采⽤的是右⼿坐标系，所以在这个坐标系中，摄像机的前向是z轴的负⽅向，这与模型空间和世界空间的定义相反。
例：在世界空间中，⼀个球体的坐标是(0,1,0)，摄像机的坐标是(0,1,-10)。
笛卡尔坐标系
谢谢观看
在电影中，所有的房间并非完全不动的，其运动规律也隐含在其笛卡尔坐标中。比如坐标为477, 804, 539 的房间，它的直角坐标为(18, 12, 17)。对于每一个三位数数字作如下处理：
1.
备注
笛卡尔在《方法谈》一书附录的《几何学》这篇论文中，阐述了解析几何的基本原理，创造了笛卡尔坐标系。
在笛卡尔以前，几何和代数是两门科学，几何研究图形，代数研究数。笛卡尔不满意这两门科学孤立研究的 抽象性，企图使二者起来，并使它们具体化。他通过他所设计的坐标系统标示法，以及他对于变数的深入研究， 证明几何问题可以归结为代数问题，在求解时可以运用全部代数方法。从此，变数被引进了数学，成为数学发展 中的转折点，为微积分的出现创造了条件。笛卡尔坐标系被广泛地应用在工程技术和物理学领域中 。
笛卡尔坐标系
直角坐标系和斜坐标系的统称
01 坐标系简介
03 三维坐标系 05 电影定义
目录
02 二维坐标系 04 产生过程 06 备注
笛卡尔坐标系（Cartesian coordinates，法语：les coordonnées cartésiennes）就是直角坐标系和 斜坐标系的统称。
相交于原点的两条数轴，构成了平面仿射坐标系。如两条数轴上的度量单位相等，则称此仿射坐标系为笛卡 尔坐标系。两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。
为了要知道坐标轴的任何一点，离原点的距离。假设，我们可以刻画数值于坐标轴。那么，从原点开始，往 坐标轴所指的方向，每隔一个单位长度，就刻画数值于坐标轴。这数值是刻画的次数，也是离原点的正值整数距 离；同样地，背着坐标轴所指的方向，我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。称 x-轴刻画的数值为 x-坐标， 又称横坐标，称 y-轴刻画的数值为 y-坐标，又称纵坐标。虽然，在这里，这两个坐标都是整数，对应于坐标轴 特定的点。按照比例，我们可以推广至实数坐标和其所对应的坐标轴的每一个点。这两个坐标就是直角坐标系的 直角坐标，标记为(x，y)。
d笛卡尔坐标系
d笛卡尔坐标系
摘要：
一、笛卡尔坐标系的定义和概念
二、笛卡尔坐标系的历史发展
1.笛卡尔的贡献
2.坐标系的推广和应用
三、笛卡尔坐标系的特点和性质
1.直角坐标系
2.坐标轴的正方向
3.坐标轴的单位长度
四、笛卡尔坐标系的运用领域
1.数学分析
2.物理和工程
3.计算机图形学
正文：
笛卡尔坐标系，又称直角坐标系，是一种用于描述平面上点的位置的数学工具。
它由两条互相垂直的坐标轴组成，通常为横轴和纵轴，横轴通常表示x 轴，纵轴表示y 轴。
坐标系的原点通常设为两坐标轴的交点。
笛卡尔坐标系的概念最早由法国数学家笛卡尔在17 世纪提出。
他在研究几何问题时，发现了通过坐标来表示点的位置的方法，从而开创了笛卡尔坐标系。
自那时以来，笛卡尔坐标系被广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学
等领域。
在笛卡尔坐标系中，横轴和纵轴的单位长度是任意的，但通常我们会选择一个标准长度单位，如米、厘米等。
坐标轴的正方向也是任意的，但通常我们会选择使横轴向右为正，纵轴向上为正。
笛卡尔坐标系的运用领域非常广泛。
在数学分析中，它是一种基本的表示方法，可以用来表示函数的图像，计算函数的极值等。
在物理和工程中，它常用来表示物体的位置，计算运动轨迹等。
在计算机图形学中，笛卡尔坐标系是绘制二维图形的基础。
工业机器人的五个坐标系
工业机器人的五个坐标系在工业机器人领域，坐标系是用来描述机器人末端执行器（或工具）在空间中的位置和姿态的框架。
为了确保机器人的准确性和一致性，通常会使用一系列标准的坐标系。
以下是工业机器人领域中最常用的五个坐标系：1、笛卡尔坐标系：在三维空间中，笛卡尔坐标系使用三个相互垂直的坐标轴（X、Y、Z），以及三个相互垂直的旋转轴（Rx、Ry、Rz）。
这种坐标系常用于描述机器人在空间中的位置和姿态，以及机器人末端执行器的位置和姿态。
2、极坐标系：极坐标系是一种以机器人末端执行器为中心的坐标系，它使用径向距离（r）、方位角（θ）和高度（z）来描述机器人在空间中的位置和姿态。
这种坐标系常用于路径规划、路径插补和机器人运动学分析。
3、圆柱坐标系：圆柱坐标系是一种以机器人末端执行器为中心的坐标系，它使用径向距离（r）、方位角（θ）和垂直距离（z）来描述机器人在空间中的位置和姿态。
这种坐标系常用于描述机器人在圆柱体或球体等形状上的路径和姿态。
4、球坐标系：球坐标系是一种以机器人末端执行器为中心的坐标系，它使用径向距离（r）、方位角（θ）和极角（φ）来描述机器人在空间中的位置和姿态。
这种坐标系常用于描述机器人在球体或类似形状上的路径和姿态。
5、工具坐标系：工具坐标系是一种以机器人末端执行器（或工具）为中心的坐标系，它使用工具的几何中心作为原点，并使用三个旋转轴（Rx、Ry、Rz）来描述工具的空间姿态。
这种坐标系常用于机器人运动学建模、路径规划和机器人控制等方面。
这些坐标系在工业机器人领域中具有广泛的应用，它们为机器人控制、路径规划和运动学建模提供了方便的框架。
根据实际应用场景的不同，选择合适的坐标系可以有效地提高机器人的精度和效率。
ABB工业机器人操作和坐标系一、引言在现代化的制造和自动化流程中，工业机器人扮演着关键的角色。
它们被广泛应用于各种复杂任务，从装配到质量检测，从搬运到喷漆，无所不能。
ABB集团作为全球领先的机器人技术提供商，其产品广泛应用于全球的各个行业。
笛卡尔积坐标
笛卡尔积坐标一、什么是笛卡尔积坐标？笛卡尔积坐标是一种表示空间中点位置的方法，它是由法国哲学家笛卡尔在17世纪提出的。
它的基本思想是将一个点的位置表示为由三个数值组成的有序三元组(x,y,z)，其中x、y、z分别表示该点在三个互相垂直的坐标轴上的投影长度。
二、笛卡尔积坐标系的基础知识1. 笛卡尔积坐标系的定义笛卡尔积坐标系也称直角坐标系，它是由三个互相垂直的坐标轴所构成。
这三条轴分别称为x轴、y轴和z轴，它们之间形成了一个立方体网格。
每个点在这个网格中都可以用一个有序三元组(x,y,z)来表示。
2. 笛卡尔积坐标系中点与向量在笛卡尔积坐标系中，每个点都可以用一个有序三元组(x,y,z)来表示。
同时，在笛卡尔积坐标系中，向量也可以用有序三元组来表示。
两个向量之间可以进行加减运算和数量乘法运算。
3. 笛卡尔积坐标系中的距离公式笛卡尔积坐标系中，两个点之间的距离可以用勾股定理来计算。
设两点的坐标分别为(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，则它们之间的距离为：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)三、笛卡尔积坐标系的应用1. 三维图形的表示在计算机图形学中，三维图形通常使用笛卡尔积坐标系来表示。
通过将三维图形中每个点的位置表示为有序三元组(x,y,z)，可以方便地进行各种变换操作，如旋转、平移、缩放等。
2. 计算机游戏开发在计算机游戏开发中，笛卡尔积坐标系也被广泛应用。
游戏场景和角色通常都是以三维模型的形式存在，而这些模型都是通过在笛卡尔积坐标系中定义各个点的位置来实现的。
3. 机器人控制在机器人控制领域，笛卡尔积坐标系也是一个非常重要的概念。
通过将机器人末端执行器所处位置表示为有序三元组(x,y,z)，可以方便地进行机器人的运动规划和轨迹控制。
四、笛卡尔积坐标系的优缺点1. 优点(1) 简单直观：笛卡尔积坐标系是一种非常简单直观的表示方法，容易理解和应用。
【专业知识】市政工程知识：什么是笛卡尔坐标系？
【专业知识】市政工程知识：什么是笛卡尔坐标系？什么是笛卡尔坐标系？为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。
过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位。
这三条轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）；统称坐标轴。
通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。
这样就构成了一个笛卡尔坐标。
笛卡尔坐标，它表示了点在空间中的位置，但却和直角坐标有区别，两种坐标可以相互转换。
举个例子：某个点的笛卡尔坐标是493，454，967，那它的X轴坐标就是4+9+3=16，Y轴坐标是4+5+4=13，Z轴坐标是9+6+7=22，因此这个点的直角坐标是（16，13，22），坐标值不可能为负数（因为三个自然数相加无法成为负数）。
那笛卡尔坐标系是怎么产生呢？据说有一天，法国哲学家、数学家笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组数挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把点和数联系起来。
突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。
蜘蛛的表演使笛卡尔的思路豁然开朗。
他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数。
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笛卡儿坐标系
（在这篇文章内，向量与标量分别用粗体与斜体显示。
例如，位置向量通常用表示；而其大小则用来表示。
）
在数学里，笛卡儿坐标系（Cartesian坐标系），也称直角坐标系，是一种正交坐标系。
参阅图1 ，二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点重合的数轴构成的。
在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。
在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。
采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确的表达出来。
几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式。
例如，一个圆圈，半径是 2 ，圆心位于直角坐标系的原点。
圆圈可以用公式表达为：。
图1
历史
笛卡尔坐标系是由法国数学家勒内·笛卡尔创建的。
1637年，笛卡尔发表了巨作《方法论》。
这本专门研究与讨论西方治学方法的书，提供了许多正确的见解与良好的建议，对于后来的西方学术发展，有很大的贡献。
为了显示新方法的优点与果效，以及对他个人在科学研究方面的帮助，在《方法论》的附录中，他增添了另外一本书《几何》。
有关笛卡儿坐标系的研究，就是出现于《几何》这本书内。
笛卡儿在坐标系这方面的研究结合了代数与欧几里得几何，对于后来解析几何、微积分、与地图学的建树，具有关键的开导力。
二维坐标系统
参阅图 2 ，二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定，通常分别称为x-轴和y-轴；两个坐标轴的相交点，称为原点，通常标记为O ，既有“零”的意思，又是英
语“Origin”的首字母。
每一个轴都指向一个特定的方向。
这两个不同线的坐标轴，决定了一个平面，称为xy-平面，又称为笛卡儿平面。
通常两个坐标轴只要互相垂直，其指向何方对于分析问题是没有影响的，但习惯性地（见右图），x-轴被水平摆放，称为横轴，通常指向右方；y-轴被竖直摆放而称为纵轴，通常指向上方。
两个坐标轴这样的位置关系，称为二维的右手坐标系，或右手系。
如果把这个右手系画在一张透明纸片上，则在平面内无论怎样旋转它，所得到的都叫做右手系；但如果把纸片翻转，其背面看到的坐标系则称为“左手系”。
这和照镜子时左右对掉的性质有关。
图2
为了要知道坐标轴的任何一点，离原点的距离。
假设，我们可以刻画数值于坐标轴。
那么，从原点开始，往坐标轴所指的方向，每隔一个单位长度，就刻画数值于坐标轴。
这数值是刻画的次数，也是离原点的正值整数距离；同样地，背着坐标轴所指的方向，我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。
称x-轴刻画的数值为x-坐标，又称横坐标，称y-轴刻画的数值为y-坐标，又称纵坐标。
虽然，在这里，这两个坐标都是整数，对应于坐标轴特定的点。
按照比例，我们可以推广至实数坐标和其所对应的坐标轴的每一个点。
这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标，标记为。
任何一个点P 在平面的位置，可以用直角坐标来独特表达。
只要从点P画一条垂直于x-轴的直线。
从这条直线与x-轴的相交点，可以找到点P的x-坐标。
同样地，可以找到点P 的y-坐标。
这样，我们可以得到点P 的直角坐标。
例如，参阅图 3 ，点P 的直角坐标
是。
直角坐标系也可以推广至三维空间与高维空间 (higher dimension) 。
参阅图 3 ，直角坐标系的两个坐标轴将平面分成了四个部分，称为象限，分别用罗马数字编号为，，，。
依照惯例，象限的两个坐标都是正值；象限的x-坐标是负值，y-坐标是正值；象限的两
个坐标都是负值的；象限的x-坐标是正值，y-坐标是负值。
所以，象限的编号是按照逆时针方向，从象限编到象限。
图3
三维坐标系统
在原本的二维直角坐标系，再添加一个垂直于x-轴，y-轴的坐标轴，称为z-轴。
假若，这三个坐标轴满足右手定则，则可得到三维的直角坐标系。
这z-轴与x-轴，y-轴相互正交于原点。
在三维空间的任何一点P ，可以用直角坐标来表达其位置。
例如，参阅图5 ，两个点P 与Q 的直角坐标分别为与。
三个平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面，将三维空间分成了八个部分，称为卦限 (octant) 。
与二维空间的四个象限不同，只有一个卦限有编号。
第一号卦限的每一个点的三个坐标都是正值的。
图 4 - 直角坐标系的几个坐标曲面。
红色平面的。
黄色平面的。
蓝色平面的。
z-轴是竖直的，以白色表示。
x-轴以绿色表示。
三个坐标曲面相交于点P （以黑色的圆球表示），直角坐标大约为。
图 5 - 三维直角坐标系。
y-轴的方向是远离读者。
图 6 - 三维直角坐标系。
x-轴的方向是亲近读者。
取向
二维空间
直角坐标系的x-轴与y-轴必须相互垂直。
称包含y-轴的直线为y-线。
在二维空间里，当我们设定了x-轴的位置与方向的同时，我们也设定了y-线的方向。
可是，我们仍旧必须
选择，在y-线的以原点为共同点的两条半线中，那一条半线的点的坐标是正值的，那一条是负值的？任何一种选择决定了xy-平面的取向。
参阅图1 。
通常，我们选择的取向是，正值的x-轴横地指向右方，正值的y-轴纵地指向上方。
这种取向称为正值取向，标准取向，或右手取向。
右手定则是一种常用的记忆方法，专门用来辨认正值取向：将一只半握拳的右手放在平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都从x-轴指向y-轴。
另外一种取向，采用左手定则，专门用来辨认负值取向，或左手取向：将一只半握拳的左手放在xy-平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都从y-轴指向x-轴。
不论坐标轴是何种取向，将坐标系统做任何角度的旋转，取向仍旧会保持不变。
三维空间
直角坐标系的x-轴，y-轴，与z-轴必须相互垂直。
称包含z-轴的直线为z-线。
在三维空间里，当我们设定了x-轴，y-轴的位置与方向的同时，我们也设定了z-线的方向。
可是，我们仍旧必须选择，在z-线以原点为共同点的两条半线中，那一条半线的点的坐标是正值的，那一条是负值的？这两种不同的坐标系统，称为右手坐标系与左手坐标系。
右手坐标系又称为标准坐标系，或正值坐标系。
图7
右手坐标系这名词是由右手定则而来的。
先将右手的手掌与手指伸直。
然后，将中指指向往手掌的掌面半空间，与食指呈直角关系。
再将大拇指往上指去，与中指，食指都呈直角关系。
则大拇指，食指，与中指分别表示了右手坐标系的x-轴，y-轴，与z-轴。
同样地，用左手也可以表示出左手坐标系。
图8 试着展示出一个左手坐标系与一个右手坐标系。
因为我们用二维画面来展示三维物体，会造成扭曲或模棱两可的图形。
指向下方与右方的轴，也有指向读者的意思；而位置居于中间的轴，也有指向读者正在看的方向的意思。
平行于xy-平面的红色圆形曲箭，其红色箭头从z-轴前面经过，表示从x-轴往y-轴的旋转方向。
图8 –左边是左手取向，右边是右手取向。