随机信号处理考试
随机信号处理-题目整理
第一章1、某离散时间因果LTI 系统，当输入)1()31(41)()31(x(n)1n -+=-n n n εε时，输出)()21()(y n n n ε= （1）确定系统的函数H(Z) （3分） （2）求系统单位序列相应h （n ）（3分） （3）计算系统的频率特性H （e j θ）（3分）（4）写出系统的差分方程（3分）解：（1）)41)(21()31(31413121)()()(1+--=-+--==-Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ X Z Y Z H |Z|>21(2)497292)4)(2(31)(++-=+--=Z Z Z Z Z Z Z H |Z| >21)()41(97)()21(92)(h n n n n n εε-+=（3）因为H （z ）收敛域为 |Z| >21，包含单位圆所以H （e j θ）存在41972192|)()(++-===θθθθθθj j j j e Z j e ee e Z H e H j（4）21121281-41131-181-4131)()()(-----=--==Z Z Z Z Z Z Z Z X Z Y Z H==>121)(31)()(81)(41)(----=--Z Z X Z X z z Y z z Y z Y )1(31)()2(81)1(41)(--=----n x n x n y n y n y2、x(n)的z 变换为X(z)=1(1-z -1)(1-2z -1) , ROC ：1<│z │<2 ，z 的变换。
（12分） 设X(z)=A 1-z -1 +B1-2z -1 =X 1(z)+X 2(z) %写出此形式2分 则由部分分式分解法，可得A=（1-z -1)X(z)│z=1=-1, B=(1-2z -1)│z=2=2 %求出此结果6分 由ROC 的形式，可以判定x(n)是一个右边序列和一个左边序列之和。
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其中
， ，
，
因此 与之对应的最小相位系统为： （公式：2.5.7）
系统的传递函数为：
差分方程为： （公式：2.5.9） 备注：参考 P41 页例 2.5.1。题目会有改动，谱分解+一个系统 2 h(n) x(n) h1(n) y(n) 再对输出求功率谱， h(n) ：P39 页，新息 滤波器去噪。 h1(n) ：最优线性滤波器或最小二乘滤波等。 再根据 P38 页 2.4.22 式对输出求功率谱。
4
1
4
(1)n 3
Z(Z 1)
(Z 1)(Z 1)
1- 1 Z 1 3
3
3
24
(n)
3
|Z| > 1 2
1 4
( 1 ) n 1 3
(n
|Z|> 1 2
1)
时，输出
2. 一个方差为 1 的白噪声激励一个线性系统产生一个随机信号,该随机信号的功 率谱为:
，求该系统的传递函数，差分方程。 解：由给定信号的功率谱，得
24
h(n) 2 (1)n (n) 7 ( 1)n (n)
92
LTI
Z
系统，当输入
Z
Z1 2
1 Z 1 Z
Z1 4 Z1
3
94
2 9
Z1
2
7 9
Z1
(3) 因为 H（z）收敛域为 |Z| > 1 ，包含单位圆,所以 H（ejθ）存在: 2
（4）
H (e j
)
H(Z) Y(Z)
2
e j0
E[Z (t )Z (t)] e j[[0 (2t )2]
随机信号处理考试试题
(2)、如果不用匹配滤波器，而用滤波器为 信噪比为多少，你认为 的最佳值应该是多少？ 解： （1）根据匹配滤波原理，输出的最大信噪比为：
，则输出最大
（4 分） （2）该系统为线性系统，满足线性可加性，输出包含两部分，一部分是 信号通过系统后的输出信号，另外一部分是白噪声通过系统后的输出噪 声，两部分没有差拍项，假设输出的信号为： ，噪声为： ，不难
的自相关函数可表示为
（4 分） ， 如右图所示，
所以 2）按噪声等效通能带定义
（5 分）
， （可根据傅立业反变换在 点的取值）
七、计算题（共 1 小题，每小题 10 分，共 10） （5）
设线性滤波器输入为
，其中 的功率谱密度为
的白噪声， 为与 统计独立的矩形脉冲
求：(1)、利用匹配滤波器时，输出端的最大信噪比为多少？
得出，输出信号的最大值在 t=T 时刻，此时
使得信噪比最大的 值应该满足：
这时
，正是匹配滤波器的情况。
九、计算题（共 1 小题，每小题 10 分，共 10 分）
设有如下两种假设，观测次数为 N 次，
（6 分）
其中 服从均值为 0 方差为 的正态分布，假设 求
=0.5，
(1)、最小错误概率准则下的判决表达式；
3、设平稳随机序列 通过一个冲击响应为 表示，那么，下列正确的有：（ a、d ）
的线性系统，其输出用
（A）
（B）
（C）
（D）
4、 为 的希尔伯特变换，下列表达正确的有：（a、c、d ）
（A） 与 的功率谱相等 （B）
（C）
（D） 与 在同一时刻相互正交
5、对于一个二元假设检验问题，判决表达式为：如果 T(z)>g，则判 成
随机信号分析与处理习题解答_罗鹏飞
dx n 1 = dy 1− y2
fY ( y ) = = =
1 1− y 1 1− y 1 1− y
2 2 2
n =−∞ +∞
∑ [g ∑ [g ∑g
+∞
+∞
−1
( x2 n ) + g −1 ( x2 n +1 )] (arcsin y − θ + 2π n) + g −1 (π − arcsin y − θ + 2π n)]
第1章
随机变量基础
1.1 设有两个随机变量 X 和 Y，证明
f Y | X ( y | x) =
f ( x, y ) f ( x, y ) ， f X |Y ( x | y ) = f X ( x) f Y ( y)
y x + Δx −∞ x
∫ ∫ 提示：首先证明 F ( y | x < X ≤ x + Δx ) =
≈
f ( x, y )Δx f X ( x)Δx
f Y | X ( y | x) = lim f Y | x < X ≤ x + Δx ( y | x < X ≤ x + Δx) =
Δx →0
f ( x, y ) f X ( x)
同理可得
f X |Y ( x | y ) =
于是有
f ( x, y ) f Y ( y)
所以 X 的方差为
D( X ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) = n(n − 1) p 2 + np − (np) 2 = np(1 − p)
解法二：设 X 1 , X 2 ,… , X n 相互独立，且都服从 (0 − 1) 分布，分布规律为
随机信号处理基础试卷样题
南京理工大学课程考试试卷（学生考试用）课程名称： 随机信号处理基础 学分： 2 教学大纲编号： 04036001－0试卷编号： A 考试方式： 闭卷 满分分值： 100 考试时间： 120分钟 组卷日期： 组卷老师（签字）： 审定人（签字）： 学生班级： 学生学号： 学生姓名： 一、填充题 （30分，做在试卷上！）1．给出随机变量X和Y相关系数的表达式 ，随机变量X和Y正交条件为 ；线性无关（不相关）的条件为 。
2．随机变量特征函数和其概率密度的关系为:。
3．随机过程和随机变量的关系描述为:。
4．在下图中标出哪个时自相关函数，哪个是自协方差函数？并在下图自相关函数图中标出与均值、方差和均方值有关的统计量？给出自相关函数和自协方差函数关系式，均值、方差和均方值的关系式说明均方值的物理含义 。
5．非因果维纳滤波器的传递函数为 ；因果维纳滤波器．给出经典检测中贝叶斯准则的判决规则 ，在何条件下等价于七、()()()t n t s t x +=，()()t n t s ,是互相正交的随机过程。
采用线性最小均方误差准则由()t x 估计()s t τ+。
（4） 八、讨论高斯白噪声中未知频率、未知幅度和未知到达时间的正弦信号检测和估计（注：本题方法不唯一，只要求给出方法思路）（6）五、设输入信号为一个视频编码的脉冲信号，脉冲内编码信号为5个码元[ 1 1 1 -1 1]−−，求该信号的匹配滤波器冲激响应？画出该匹配滤波器输出波形？ （6）六、对参数θ进行N 次测量， 2i i x n θ=+，N i L 2,1=，i n 服从()2,0σN ，证明θ的最小二乘估计和最大似然估计等价。
（8）七、()()()t n t s t x +=，()()t n t s ,是互相正交的随机过程。
采用线性最小均方误差准则由()t x 估计()s t τ−。
（6）考察平稳随机过程()X t 和()Y t ，如果它们彼此统计独立，则两个随机过程相乘后所得随机过程是否是平稳的，为什么？。
随机信号分析与处理习题解答_罗鹏飞
所以 Y 的概率密度函数为
fY ( y) = P(Y = 0)δ( y) + P(Y = A)δ( y − A) = [1− P(x0 < X ≤ x1)]δ( y) + P(x0 < X ≤ x1)δ( y − A) = [1− FX (x1) + FX (x0 )]δ( y) + [FX (x1) − FX (x0 )]δ( y − A) 对 fY ( y) 求积分可以得到 Y 的概率分布函数 FY ( y) ，注意其中的1− FX (x1) + FX (x0 ) 和 FX (x1) − FX (x0 ) 是常数。 ∴ FY ( y) = [1− FX (x1) + FX (x0 )]U ( y) + [FX (x1) − FX (x0 )]U ( y − A) 归纳：对于函数Y = g( X ) ，如果在区间[x0 , x1] 上为常数 A，即Y = g( X ) = A, x ∈[x0 , x1] ， 那么 Y 的概率密度函数为在 y = A 处不连续，跃变高度为 FX (x1) − FX (x0 ) 。
f (x, y) f X (x)
于是有
f X |Y (x | y) =
f (x, y) fY (y)
f (x, y) = f X |Y (x | y) fY ( y) = fY|X ( y | x) f X (x)
1.2 设随机变量 X 服从二项式分布，其概率分布律为
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n ， 0 < p < 1
n
∑ =
m( m
随机信号分析与处理习题解答_罗鹏飞
n
n
∑ ∑ E( X ) = mP{X = m} = mCnm pm (1− p)n−m
m=0
m=0
∑n
=m
n!
pm (1− p)n−m
m=0 m!(n − m)!
∑ = n m n(n −1)(n − 2) (n − m +1) pm (1− p)n−m
1，后 m 个取 0）的概率为 pm (1− p)n−m 。而 X 取 m 的两两互不相容的方式有 Cnm 种可能，
故有
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n
n
∑ 所以 X = Xi 服从参数为 n，p 的二项分布。 i =1
且有 E( Xi ) = 1⋅ P{Xi = 1}+ 0 ⋅ P{Xi = 0} = p ，
1.1 设有两个随机变量 X 和 Y，证明
fY|X ( y | x) =
f (x, y) f X (x)
，
f X |Y
(x
|
y)
=
f (x, y) fY (y)
y x+Δx
∫ ∫ f (x, y)dxdy
提示：首先证明 F ( y | x < X ≤ x + Δx) = −∞ x
，然后对 y 求导得，
i =1
i =1
n
n
D( X ) = D(∑ Xi ) = ∑ D( Xi ) = np(1− p)
i =1
i =1
1.3 设随机变量 Y 与 X 满足如下函数关系
Y = g( X ) = sin( X + θ)
《随机信号处理》重点题目题型及相关知识点简介
《随机信号处理》重点题⽬题型及相关知识点简介第⼀组上台讲解题⽬（第2、7题）2. 复随机过程0()()j t Z t e ω+Φ=，式中0ω为常数，Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。
求：(1)[()()]E Z t Z t τ*+和[()()]E Z t Z t τ+；(2)信号的功率谱。
解： (1)0000[()][]201[()()]212j t j t j j E Z t Z t e e d e d e ωτωπωτωττππ+∞++Φ-+Φ*-∞+=Φ=Φ=?000[()][]2[(2)2]2(2)201[()()]212120j t j t j t j t j E Z t Z t e e d e d ee d ωτωπωτπωττπππ+∞++Φ+Φ-∞++Φ+Φ+=Φ=Φ=Φ=(2)00()[()]{[()()]}[]2()Z Z j S F R F E Z t Z t F e ωτωττπδωω*==+==-备注:主要考察第⼆章P37,功率谱计算,第⼀步求期望⽤数学积分⽅法,得到[()()]E Z t Z t τ*+即输出的⾃相关,对其进⾏傅⾥叶变换就得信号的功率谱。
7. ⼀零均值MA(2)过程满⾜Yule-Walker ⽅程：试求MA 参数： 0b ，1b ，2b解：由于对于零均值MA(q)过程⽽⾔，均值为0，令⽅差为1，其⾃相关函数220(0)qx k k r b ωσ==∑222012011202321b b b b b b b b b ++=+==220(0)qx k k r b ωσ==∑（公式：3.2.5）2,0()0,qk k l k l x b b l qr l l q ωσ-=?≤≤?=??>?∑ ()(),1x x r l r l q l =--≤≤-（公式：3.2.6）则可得：22201011210(0)(1)()q x q q x q x b b b r b b b b b b r b b r q -++=++==故由题意知，MA(2)过程的⾃相关函数为(0)3,(1)(1)2,(2)(2)12x x x x x r r r r r k ==-==-=?> 由此不难求得MA(2)过程的功率谱22122()()232kx xk s z r k zz z z z ---=-==++++∑（公式：2.4.14）其因式分解为：122()(1)(1)x s z z z z z --=++++根据功率谱分解定理2**()()(1/)x s z Q z Q Z σ=（公式：2.5.2a ），⽐较得传输函数：12()1Q z z z --=++ 即0121,1,1b b b ===备注：本题主要考察MA 模型满⾜Yule-Walker ⽅程的模型参数求解，根据P54页3.2.6求得⾃相关函数值，由P38页2.4.14求得复功率谱密度，因式分解，与P39页2.5.2a ⽐较得出结果。
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《随机信号分析与处理》期末自我测评试题（一）
一、填空题（共10小题，每小题1分，共10分）???
1、假设连续型随机变量的概率分布函数为F(x)，则F(-∞)= 0，F(+∞)= 1。
2、如果一零均值随机过程的功率谱在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声，该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关。
3、窄带正态噪声加正弦信号在信噪比远小于1的情况下的包络趋向瑞利分布，而相位则趋向均匀分布。
4、平稳随机信号通非线性系统的分析常用的方法是直接法和变换法与级数展开法。
5、对随机过程X(t)，如果，则我们称X(t1)和X(t2)是不相关。
如果
，则我们称X(t1)和X(t2)是正交。
如果
，则称随机过程在和时刻的状态是独立。
6、平稳正态随机过程的任意维概率密度只由均值、协方差阵来确定。
7、典型的独立增量过程有泊松过程与维纳过程_。
8、对于随机参量，如果有效估计存在，则其有效估计就是最大后验概率估计。
9、对于无偏估计而言，均方误差总是大于等于某个量,这个量称为克拉美-罗(Cramer-Rao)下限，达到这个量的估计称为有效估计。
10、纽曼-皮尔逊准则是：约束虚警概率恒定的情况下使漏警概率最小。
二、选择题（共5小题，每小题2分，共10分）
1、是均值为方差为的平稳随机过程，下列表达式正确的有：（?b、d ）（A）（B）
（C）（D）
2、白噪声通过理想低通线性系统，下列性质正确的是：（a、c ）
•输出随机信号的相关时间与系统的带宽成反比
•输出随机信号的相关时间与系统的带宽成正比
•系统带宽越窄，输出随机过程随时间变化越缓慢
•系统带宽越窄，输出随机过程随时间变化越剧烈
3、设平稳随机序列通过一个冲击响应为的线性系统，其输出用表示，那么，下列正确的有：（a、d ）
4、（A）（B）
5、（C）（D）
6、4、为的希尔伯特变换，下列表达正确的有：（a、c、d ）
7、（A）与的功率谱相等（B）
8、（C）（D）与在同一时刻相互正交
9、5、对于一个二元假设检验问题，判决表达式为：如果T(z)>g，则判成立，否则判成立。
那么，虚警概率可表示为（a、b ）
10、（A）（B）
11、（C）
（D）
三、判断题（共10小题，每小题1分，共10分）
为一个随机过程，对于任意一个固定的时刻，是一个确定值（ F ）
2、随机信号的均值计算是线性运算，而方差则不是线性运算。
（ T ）
3、如果随机过程其时间平均和集合平均是依概率1相等的，则该随机过程具有遍历性。
（ F ）
4、平稳随机信号在时刻起加入物理可实现线性系统，其输出为平稳随机信号；平稳随机信号在时起加入物理不可实现线性系统，其输出为非平稳随机信
号。
（ F ）
5、非线性变换不会增加新的频率分量而线性变换会增加新的频率分量。
（ F ）
6、对于零均值的正态随机过程来说，两个时刻相互正交和相互独立是等价的。
（ T ）
7、随机信号的解析信号只存在正的功率谱。
（ T ）
8、窄带正态噪声的包络与相位在同一时刻相互正交。
（ T ）
9、如果对随机参量的估计是有效估计，那么这个估计必定是最大似然估计。
（ F ）
10、最小错误概率准则等价于最大后验概率准则。
（ F ）
四、计算题（共1小题，每小题10分，共10分）
已知平稳随机过程的功率谱密度为，
(1)、求出该随机过程的均值与方差；
(2)、相关时间（提示：）。
五、计算题（共1小题，每小题8分，共8分）
考虑随机过程，其中为常数，在上均匀分布，是随机变量，其概率密度为偶函数，证明的功率谱密度为。
证明：
（4分）
（4分）
六、计算题（共1小题，每小题10分，共10分）
已知平稳随机过程的自相关函数如右图所示。
计算：
(1)、功率谱密度；
(2)、噪声等效通能带。
解：1）不难得出，的自相关函数可表示为，如右图所示，而
所以
（5分）
2）按噪声等效通能带定义
，
（可根据傅立业反变换在点的取值）
七、计算题（共1小题，每小题10分，共
10）（5）
设线性滤波器输入为，其中的功率谱密度为
的白噪声，为与统计独立的矩形脉冲
求：(1)、利用匹配滤波器时，输出端的最大信噪比为多少？
(2)、如果不用匹配滤波器，而用滤波器为，则输出最大信噪比为多少，你认为的最佳值应该是多少？
解：
（1）根据匹配滤波原理，输出的最大信噪比为：
（4分）
（2）该系统为线性系统，满足线性可加性，输出包含两部分，一部分是信号通过系统后的输出信号，另外一部分是白噪声通过系统后的输出噪声，两部分没有差拍项，假
设输出的信号为：，噪声为：，不难得出，输出信号的最大值在t=T时刻，此时
使得信噪比最大的值应该满足：
这时，正是匹配滤波器的情
况。
（6分）
九、计算题（共1小题，每小题10分，共10分）
设有如下两种假设，观测次数为N次，
其中服从均值为0方差为的正态分布，假设=0.5，=0.5，求
(1)、最小错误概率准则下的判决表达式；
(2)、虚警概率与检测概率（结果由误差函数表示）。
解：两种假设下的似然函数为
对数似然比为：
判决表达式为
令，将上式整理后，得（5分）
检验统计量为样本均值，为了确定判决的性能，首先需要确定检验统计量的分布，在H0为真时，，那么，
（3分）
在H1为真时，
所以，虚警概率为
（1分）
检测概率为
（1分）十、计算题（共1小题，每小题12分，共12分）
设，通过取样对幅度作线性估计。
设在处取样，并设：
求：
(1)、线性最小均方估计；
(2)、线性最小均方估计的均方误差。
解：1）
设，不难验证c=0，
由正交原理，
（9分）
2）（3分）。