各种几何体的投影方式
第三章立体的投影
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
12
截交线的性质：
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。 •平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平 面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每 条边是截平面与棱面的交线。
• 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 求截交线的实质是求两平面的交线
s
1 素线法
m 2 纬圆法
31
例 BAC位于圆锥体表面，已知V投影，求H、W投影
s'
a' d' (e')
b'(c')
c
e
sa
bd
s"
(a")
e"
d"
c"
b"
分析
BAC不通过锥顶， 故为曲线
作图
①找特殊点 ②求H、W面投影 ③光滑连接曲线
32
圆球
O
球面
形成
圆绕其直径旋转 而成
O 轴线 圆球表面无直线！
作业
3-2（1）（2）
36
3.2.2 平面与曲面立体相交
一、曲面立体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
37
截交线的性质：
• 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。 • 截交线都是封闭的平面图形。
38
二、求平面与曲面立体的截交线的一般步骤
线后再取局部。
19
20
例:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
3 基本几何体的投影
回转轴
W
X
素线圆
母线圆
俯视轮廓圆 平行H面 Y
球面上取点——辅助纬圆法（作图一）
已知圆球表面点M的水平投影m，求其他两面投影。
作图方法：采用辅助圆法。过点M在球面上作一平行于投 影面的辅助圆。点的投影必在辅助圆的同面投影上。
Z m' d' X O
m"
（d" ） YW
圆锥体表面上的点
例：已知圆锥体表面上一点K的正面投影k'，求另两个投影。
s'
k'
1' 2'
s"
解2、辅助圆法：
k"
过已知点K作纬圆，该圆 垂直于轴线，过k' 作纬圆
s
k
的正面投1'2'，然后作出 水平投影k在此圆周上，
由k' 求出k，最后求出k"。
四、球体的投影
形成：圆球可看作是一圆(母线)围绕直径回转而成。 投影：球体的各面投影为三个不同的回转圆。
90° X1
p=1
135°
Z O Y Y X1
Z1 O1
P
O1
45°
135°
X
Y1
Y1
例4：已知正方体的正投影图，画其斜二轴测图。
Z
Z1 X X O O X1 Y O1 Y1
例5：已知圆台正投影图，画圆台的斜二轴测图。
Z
X O1
Z1
X1
X
O11 Y1
Y
小结:
掌握基本体的三视图画法及表面找点的方法
(n') n"
因为m'为可见，在前半圆柱面上；n'为 不可见，在后半圆柱面上。两点的侧 面投影积聚在圆周上。
立体图形的基本投影与展开方法
立体图形的基本投影与展开方法立体图形是在三维空间中存在的物体，其具有长度、宽度和高度三个维度。
在实际生活和工程设计中，我们经常需要对立体图形进行投影和展开，以便更好地理解和分析它们的特性。
本文将介绍一些基本的立体图形投影和展开的方法。
一、投影的基本原理在进行立体图形投影时，我们需要将三维空间中的物体投影到二维平面上。
这种投影是一种近似，因为三维物体的所有细节无法完全呈现在二维平面上。
投影的基本原理有三种类型：平行投影、透视投影和斜投影。
1. 平行投影：平行投影是指投影线与被投影物体平行的投影方式。
在平行投影中，投影线与物体之间的距离保持不变，因此得到的投影图形与实际物体的形状相似。
平行投影常用于工程设计和制图中。
2. 透视投影：透视投影是指投影线与被投影物体不平行的投影方式。
在透视投影中，投影线与物体之间的距离逐渐变远，因此得到的投影图形会产生远近和大小的变化，更接近人眼所见的效果。
透视投影常用于艺术绘画和建筑设计中。
3. 斜投影：斜投影是指投影线与被投影物体倾斜的投影方式。
在斜投影中，投影线与物体之间的角度不是90度，因此得到的投影图形会产生形变。
斜投影常用于工程制图中，以展示物体的各个面。
二、立体图形的展开方法立体图形的展开是指将三维物体展开成为一个平面图形。
通过展开，我们可以更好地了解物体的各个面和结构。
下面介绍几种常见的立体图形展开方法。
1. 正交展开：正交展开是指将立体图形的各个面沿着它们的法线方向展开成为平面图形。
这种展开方法可以保持各个面的形状和尺寸不变，适用于简单的立方体、长方体等几何体。
2. 黏合展开：黏合展开是指将立体图形的各个面按照一定的规则黏合在一起展开成为平面图形。
这种展开方法可以展示出物体的整体结构和关系，适用于复杂的多面体如四面体、六面体等。
3. 切割展开：切割展开是指通过在立体图形上进行切割，将其展开成为平面图形。
这种展开方法可以展示出物体的内部结构和各个面的连接方式，适用于复杂的多面体如球体、圆柱体等。
几何体中投影的概念
几何体中投影的概念几何体的投影是指将三维空间中的一个物体或图形在某个平面上所产生的影子或映像。
投影在我们日常生活中无处不在，例如当太阳光通过云层投射到地面上时，我们可以看到地面上的云层的阴影；或者当我们在平面上画一个三维图形的投影时，我们可以更清晰地观察到这个图形的形状和特征。
投影在建筑设计、工程制图、航空航天等领域都起着重要的作用。
几何体的投影可以分为平行投影和透视投影两种。
平行投影是指物体上的所有点通过平行线投射到平面上，使得投影保持原来的形状和大小不变。
透视投影则通过视点和物体上的点之间的直线来进行投影，使得近处的物体投影较大，远处的物体投影较小，呈现出透视效果。
在平行投影中，光线是平行于彼此且垂直于投影平面的。
常见的平行投影有正交投影和斜投影两种。
正交投影的光线与投影平面垂直，投影结果是一个等边形，即保持长度和角度不变。
斜投影的光线与投影平面有一定的夹角，投影结果是一个相似形，即保持长度不变但会改变角度。
透视投影是模拟人眼视觉效果的一种投影方式。
在透视投影中，物体通过一条视线与视点相交，从而产生投影。
透视投影也分为单点透视投影和多点透视投影。
单点透视投影是指物体上的点通过视线在投影平面上的交点投影，而多点透视投影则是根据视点的不同将物体上的不同点分别投影至不同的投影平面上。
投影的概念主要包括以下几个要点：1. 投影平面：投影平面是指用来接收和显示投影的平面。
投影平面可以是水平的、垂直的或倾斜的。
根据需要，我们可以选择不同的投影平面来观察物体的投影效果。
2. 投影点：投影点是指物体上的点在投影过程中与投影平面的交点。
通过投影点，我们可以确定物体在投影平面上的位置。
3. 投影线：投影线是指从投影点引出的光线或投影线段。
投影线在投影过程中起着重要的作用，它们描述了物体上各个点的位置关系。
4. 投影形状：投影形状是指物体在投影平面上所呈现出的形状。
根据物体的形状和投影平面的位置，投影形状可以是点、线、面等不同的形式。
空间几何体的投影
空间几何体的投影投影是一种常用的几何概念，它在日常生活和工程学中都有广泛的应用。
投影是指将三维空间中的物体投射到一个或多个平面上，以便更好地理解和分析物体的形状、大小和位置关系。
本文将介绍几种常见的空间几何体的投影方法。
一、点的投影点是空间中最简单的几何体，它没有大小和形状。
点的投影即是将点沿垂直方向投射到一个平面上，得到该点在平面上的投影点。
投影点的坐标等于原点的坐标，因为点没有大小和形状，只有位置。
二、直线的投影直线是由无数个点组成的，因此直线的投影是将直线上的所有点都投影到平面上，得到一条线段。
直线的投影可以通过两种方法来计算，一种是选择直线上的两个点，将这两个点分别投影到平面上，然后连接两个投影点，得到投影线段；另一种是选择直线上的一个点和直线的方向向量，将该点和方向向量的起点分别投影到平面上，然后连接两个投影点，得到投影线段。
三、平面的投影平面是由无数个点组成的，因此平面的投影是将平面上的所有点都投影到另一个平面上，得到一个新的平面。
平面的投影可以通过选择平面上的三个点，将这三个点分别投影到另一个平面上，然后连接三个投影点，得到一个新的平面。
四、立方体的投影立方体是一种常见的空间几何体，它有六个面，每个面都是一个正方形。
投影立方体时，可以选择立方体上的一条边，将这条边上的所有点都投影到一个平面上，然后连接投影点，得到一个新的正方形。
再选择立方体上的另一条边，进行同样的投影操作，得到另一个正方形。
继续按照这种方法，将立方体的所有边都进行投影，最终可以得到一个新的立方体。
五、圆锥的投影圆锥是一种具有圆形底面和尖顶的几何体。
投影圆锥时，可以选择圆锥底面上的一条直径，将这条直径上的所有点都投影到一个平面上，然后连接投影点，得到一个新的圆。
再选择圆锥底面上的另一条直径，进行同样的投影操作，得到另一个新的圆。
继续按照这种方法，将圆锥的所有直径都进行投影，最终可以得到一个新的圆锥。
六、球体的投影球体是一种具有无数个点的几何体，其上的每个点到球心的距离都相等。
基本几何体的投影
对W面的转向轮廓线的投影，该转向轮廓线是侧平线，水平投影是垂直于X轴
的半径，V面的转向轮廓线和轴线重合。
已知锥面上M 点的V面投影m′， 求M点的其他两面 投影的方法有两种。
辅助素线法 辅助圆法
方法一：辅助素线法
辅助素线法的作图原理是过锥顶和M点作一条素线，求出该素线的三面投影，则 M点的投影一定在该素线的投影上。作图步骤如下（参见图（a））：
③ 根据“高平齐、宽相等”，即可求出M点的侧 以F点的W面投影f1''，f2''，f3''均不可见。
面投影m ′ ′ 。
机械制图
圆环的水平投影是两个圆，分别是上、下半环表面的外形轮廓线的水平投影，也是环 面对H面的转向轮廓线的投影，细点画线圆是母线圆心轨迹的投影。圆环的V面投影由两个 小圆和切线组成，两个小圆是环面对V面转向轮廓线的投影。
其中，虚线半圆是内环面上前、后内 半环面的分界线，实线半圆是外环面上前、 后外半环面的分界线，两个圆的切线是环 面上最高和最低纬线圆的投影。圆环在W 面上的投影和在V面上的投影类似，圆环对 W面的转向轮廓线将环面分为左、右两个 内、外半环面，内半环面不可见，如右图 所示。
已知柱面上M点的V面投影m′，该点的其他两面投影可以求出来。即由于圆柱面的水平投影 积聚成圆，所以M点的水平投影一定在该圆上，又因为m′可见（不可见时，需用圆括号括起来）， 所以M点的水平投影一定在前半个柱面上；根据“长对正”即可求出M点的水平投影m；根据 “高平齐、宽相等”即可求出M点的侧面投影m''。因为M点在左半个柱面上，所以m''可见。
分的交点到轴线的距离为辅助平面与外环面的交
线圆半径，与小圆虚线部分的交点到轴线的距离
几何体的投影
几何体的投影在几何学中，投影是指由三维空间中的一个物体到一个二维平面上的映射。
几何体的投影可以帮助我们更好地理解其形状和特征，并在实际应用中起到重要的作用。
本文将介绍几何体的投影原理、常见几何体的投影特征以及投影在不同领域的应用。
一、投影原理几何体的投影是指将三维物体的每个点沿着一个特定的方向映射到一个平面上的点。
这个过程可以类比为日光通过云层投射在地面上形成的阴影。
在几何学中，常用的投影方法有平行投影和透视投影。
1. 平行投影平行投影是指将几何体的每个点沿着平行于投影平面的方向进行投影。
在平行投影中，我们可以得到一个保持距离和角度不变的二维投影。
例如，当我们将一个立方体进行平行投影时，其投影形状将仍然是一个正方形。
2. 透视投影透视投影是指将几何体的每个点沿着一个特定的方向进行投影，使得远离观察平面的点被投影到平面上的点集更远离观察点的呈现更小。
透视投影是模拟人眼在观察物体时产生的效果。
在透视投影中，远离观察平面的部分将更小，而靠近观察平面的部分将更大。
二、常见几何体的投影特征不同的几何体在投影过程中会呈现出不同的特征和形状。
下面将介绍一些常见几何体的投影特征。
1. 点的投影点是几何学中最简单的几何体，其投影将落在投影平面上的一个点。
由于点本身没有具体的形状和大小，其投影将保持与原点位置相同的特点。
2. 直线的投影直线在投影平面上的投影将是一条直线，与原直线平行。
这是由于投影过程中直线的每个点都会在投影平面上形成一个对应的投影点。
3. 平面的投影平面的投影将在投影平面上形成一个与原平面平行的平面。
由于平面本身没有体积，其投影将保持原平面的形状和大小。
4. 三角形的投影三角形投影的特点是在投影平面上形成一个与原三角形相似的三角形。
其形状和大小取决于观察角度和投影方向。
5. 立方体的投影立方体在平行投影中的投影形状将是一个正方形，其边长与原立方体的边长相等。
在透视投影中，立方体的投影将呈现出近大远小的效果，与实际观察到的立方体形状一致。
第四章立体的投影
❖ ㈡两平面立体的表面交线
相交形体的表面交线称为相贯线。
两平面立体相贯线的特征：一般情况为空间折线，特殊情况为平面折线，每 段折线是两立体棱面的交线，每个折点是一立体棱线与另一立体的贯穿点。 立体的相贯形式有两种：
一是全贯，即一个立体完全穿过另一个立体，相贯线有两组； 二是互贯，两个立体各有一部分参与相贯，相贯线为一组。 求两平面体相贯线的方法：有两种 （1）交点法——先作出各个平面体的有关棱线与另一立体的交点，再将所有交 点顺次连成折线，即组成相贯线。连点的规则是：只有当两个交点对每个立体 来说，都位于同一个棱面上时才能相连，否则不能相连。 （2）交线法——直接作出两平面立体上两个相应棱面的交线，然后组成相贯线。
（3）投影分析
（二）棱锥体 （1）形体特征: 底面是多边形，棱 线交于一点，侧棱面均为三角形。 （2）安放位置: 底面△ABC平行于H面。 （3）投影分析
【例4-1】 作四棱台的正投影图 解：（1）分析
1）四棱台的上、下底面都与H面平行， 前、后两棱面为侧垂面，左、右两棱面 为正 垂面。 2）上、下两底面与H面平行，其水平投 影反映实形；其正面、侧面投影积聚为 直线。 3）前、后两棱面与W面垂直，其侧面投影积聚为直线；与H、V面倾斜，投 影为缩小的类似形。 4）左、右两个面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、W面倾斜，投 影为缩小的类似形。 5）四根斜棱线都是一般位置直线，其投影都不反映实长。
3）连点。 4）判断可见性。
❖ 三、同坡屋面交线的画法
单坡屋面 坡屋面 双坡屋面
四坡屋面 同坡屋面：既屋檐高度相等、各屋面与水平面倾角相等的屋面。 同坡屋面交线的画法，其实 质是求两平面交线的问题。
同坡屋面上各种交线的名称
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孔与孔相交的相贯线画法
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3-3 相贯线
3、特殊画法 、 两回转体相交，交线一般为空间曲线， 两回转体相交，交线一般为空间曲线，在特殊 情况下，交线为平面曲线或直线， 情况下，交线为平面曲线或直线， 当两回转体 轴线相交且 公切于一个 球时，相贯 线为椭圆
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相贯线为平面曲线
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相贯体实例
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3-1 基本体的投影
3-2 基本体的截交线 3-3 相贯线
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3-1基本体的投影 基本体的投影
一、基本体分类
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一、棱柱的投影 的投影
1、棱柱 、
它是由上下两正六边和六 个矩形的侧面所围成。 个矩形的侧面所围成 。 对 各投影进行分析。 各投影进行分析。 • 作投影图时 ， 先画出中心 作投影图时， 线对称线， 线对称线 ， 再画出六棱柱 的水平投影正六边形， 的水平投影正六边形 ， 最 后按投影规律作出其它投 影。
3-2
基本体的截交线
1、圆柱体的截交线投影
平面与圆柱表面相交，有三种情况
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3-2
基本体的截交线
2、圆柱体的截交线动画
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3-2
基本体的截交线
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3-2
基本体的截交线
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求圆柱被一正垂面截切后的截交线。
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例 求下列图形的截交线
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3-3 相贯线
一、相贯线的概念
两曲面立体 相交，其交 线是两曲面 立体的共有 线，该线也 叫相贯线， 相贯线上的 点是两曲面 立体的共有 点。
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3-3 相贯线
二、相贯线的性质
1、封闭的空间曲线 、 2、具有共有性 、 3、形状取决于两基本体 、 的相对位置和大小. 的相对位置和大小
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2、圆锥投影特性分析
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3、圆锥表面取点
如果点在圆锥 表面轮廓线上 的，可以直接 作出点的其它 两个投影。 如果在点b在圆 锥面上一般位 置，作辅助线， 才能由一已知 投影，求出另 外两个投影。
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五、圆球的投影 球的投影
圆球面是一由一圆母线，以它 的直径为回转轴旋转形成的。 圆球的三个视图分别为三个和 圆球直径相等的圆，它是圆球 三个方向转向轮廓线(即三个不 同方向的最大圆)的投影。圆球 在平行于H、V，W三个方向的 最大圆。它们分别把球面分为 上、下，前、后，左、右两部 分。
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3-3 相贯线
当回转体与球体相交且球心在回转体轴线上时， 当回转体与球体相交且球心在回转体轴线上时， 相贯线为垂直于轴线的圆
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当轴线平行的两圆柱体相交时，相贯线为两条直线。 当轴线平行的两圆柱体相交时，相贯线为两条直线。 当两圆锥共顶相交时，相贯线为直线， 当两圆锥共顶相交时，相贯线为直线，
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棱锥的三视图 锥的三视图
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棱锥表面取点
三、圆柱体投影
1．圆柱面的形成与三视图 有一母线绕与它平行的轴线旋转而成。
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圆柱表面取点的方法
在 圆 柱 体表面 取点和 取线， 是利用 曲面的 积聚性
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四、圆锥的投影 的投影
1、圆锥的形成 圆锥面是由一条直母线绕与 它相交的轴线旋转形成的。 它是由圆锥面和底面组成。
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3-3 相贯线
例题：求两圆柱正交的相贯线投影。 例题：求两圆柱正交的相贯线投影。 1）求特殊点， 求特殊点， 求特殊点 最高最低和 最前最后四 个点； 个点；以及 最左最右的 两个点； 两个点； 2）求一点； ）求一点； 3）判别可见 ） 性并光滑连 接各点。 接各点。
3-3 相贯线
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单击图片演示动画
3-3 相贯线
三、相贯线的画法
1、表面取点法 、 两个回转体相交，如果其中一个回转体的 两个回转体相交， 轴线是垂直投影面的圆柱， 轴线是垂直投影面的圆柱，则圆柱在该投影面 上的投影积聚为一圆， 上的投影积聚为一圆，而相贯线的投影也就重 合在该圆上。利用表面上取点的方法求相贯的 合在该圆上。 其它投影。 其它投影。
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2、圆球投影特性分析
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六、圆环的投影 环的投影
• 1、圆环的形成
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• 圆环面是由一圆母线，绕与它共面，但不过圆心些 轴线旋转形成的。
2、圆环投影特性分析
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3-2
基本体的截交线
一、圆柱体的截交线
平面与圆柱表面相交，有三种情况
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3-2
动画4 截 平 面 与 轴 线 斜 交
基本体的截交线
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3-2
截 平 面 与 轮 廓 线 平 行
基本体的截交线
动画5
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例 求一正平面截切圆锥的交线
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3-2
三、球体的截交线
基本体的截交线
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截 平 面 截 切 球 体
3-2
基本体的截交线
二、圆锥体的截交线
有五种情况
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3-2
截 平 面 与 轴 线 平 行
基本体的截交线
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3-2
动画2 截 平 面 与 轴 线 垂 直
基本体的截交线
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3-2
动画3 截 平 面 过 顶 点
基本体的截交线
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2、近似画法 、
R=D/2 o 1 2
D
为了简化作图，两圆 柱正交的相贯线一般 采用近似画法。以相 交两圆柱中较大圆柱 的半径画弧所得。画 图步骤：以1′为圆心， 以R=D/2为半径画弧， 交于小圆柱的中心线 于O点，再以O点为 圆心，以R为半径， 过1′、2′画弧。
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圆柱穿孔的相贯线的画法
• 。
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棱柱投影特性分析 （以正六棱柱为例）
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棱柱表面取点和取线
• 正棱柱的各个表 面都处于特殊位 置，因此在表面 上取点可利用重 影性原理作影 锥的投影
1．棱锥的投影 1）分析三棱锥各平面的投影； 2）作三棱锥的三面投影。 • 平面多边形沿某一不与其平行的 直线移动，同时各边按相同比例 线性缩小（或放大）而形成的立 体（线性变截面拉伸）。 • 产生棱锥的平面多边形称为底面， 其余各平面称为侧面，侧面交线 称为侧棱。 • 特点是所有侧棱相交于一点。