高中数学竞赛训练题解答题

高中数学竞赛训练题—解答题1．b a ,是两个不相等的正数，且满足2233b a b a -=-，求所有可能的整数c ,使得ab c 9=.2．已知不等式24131...312111an n n n >++++++++对一切正整数a 均成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论。

3．设{}n a 为14a =的单调递增数列，且满足22111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++，求{n a }的通项公式。

4．（1）设,0,0>>y x 求证：;432yx y x x -≥+ （2）设,0,0,0>>>z y x求证：.2333zxyz xy x z z z y y y x x ++≥+++++5. 设数列ΛΛΛ,1,,12,1,,13,22,31,12,21,11kk k -，问：（1）这个数列第2010项的值是多少；（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.6. 设有红、黑、白三种颜色的球各10个。

现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。

问共有多少种放法。

7．已知数列{}n a 满足1a a =（0,1a a ≠≠且），前n 项和为n S ，且(1)1n n aS a a=--，记lg ||n n n b a a =（n *∈N ），当a =时，问是否存在正整数m ，使得对于任意正整数n ，都有m n b b ≥？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．8. 在ABC ∆中，已9,sin cos sin AB AC B A C ==u u u r u u u rg ，又ABC ∆的面积等于6. （Ⅰ）求ABC ∆的三边之长；（Ⅱ）设P 是ABC ∆（含边界）内一点，P 到三边AB 、BC 、AB 的距离为1d 、2d 和3d ，求123d d d ++的取值范围.9．在数列{}n a 中，1a ，2a 是给定的非零整数，21n n n a a a ++=-． （1）若152a =，161a =-，求2008a ；（2）证明：从{}n a 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．10. 已知椭圆)1(1222>=+a y ax ，Rt ABC ∆以A （0，1）为直角顶点，边AB 、BC 与椭圆交于两点B 、C 。

若△ABC 面积的最大值为278，求a 的值。

11. 如图，椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>，1A 、2A 、1B 、2B 为椭圆C 的顶点．（Ⅰ）设点)0,(0x M ，若当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的顶点时， ||PM 取得最大值与最小值，求0x 的取值范围；（Ⅱ）若椭圆C 上的点P 到焦点距离的最大值为3，最小值为1，且与直线:l y kx m =+相交于A ，B 两点（A B ，不是椭圆的左右顶点），并满足22BA AA ⊥．试研究：直线l 是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．12．如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面SAD 为正三角形，且垂直于底面ABCD ．（1）求四棱锥ABCD S -的体积；（2）在边CD 上是否存在一点E ，使得AE SB ⊥？请说明理由．13．（本小题满分15分） 关于y x 、的方程C ：04222=+--+m y x y x ．（1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；（2）在方程C 表示圆时，若该圆与直线l ：042=-+y x 相交于N M 、两点，且554||=MN ，求实数m 的值； （3）在（2）的条件下，若定点A 的坐标为（1，0），点P 是线段MN 上的动点，求直线AP 的斜率的取值范围．S A B CDBACEA 1B 1C 1P nP n+114．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >≥），其离心率为45，两准线之间的距离为252。

（1）求,a b 之值；（2）设点A 坐标为(6, 0)，B 为椭圆C 上的动点，以A 为直角顶点，作等腰直角△ABP （字母A ，B ，P 按顺时针方向排列），求P 点的轨迹方程。

15. 如图，正三棱柱111ABC A B C -中，E 是AC 中点. （Ⅰ）求证：1AB //平面1BEC ； （Ⅱ）若12,2AB AA =A 到平面1BEC 的距离； （Ⅲ）当ABA A 1为何值时，二面角E —BC 1—C 的正弦值为510？16．（本小题满分15分）在xoy 平面上有一系列点),,(),,(222111y x P y x P …，Λ),,(n n n y x P ．对每个正整数n ,点n P 位于函数)0(2≥=x x y 的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切．若11=x ,且n n x x <+1 （*N n ∈）．（1）求证：数列}1{nx 是等差数列； （2）设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +⋅⋅⋅++=21,求证：对任意*N n ∈，均有23π<n T ．17． （本小题满分18分）二次函数r qx px x f ++=2)(中，实数r q p 、、满足mrm q m p ++++12=0,其中0>m ． 求证： (1)0)1(<+m mpf ；(2)方程0)(=x f 在(0，1)内恒有解18．如图，斜三棱柱111C B A ABC -的所有棱长均为a ， 侧面⊥CB C B 11底面ABC ，且BC AC ⊥1. （1） 求异面直线1AA 与11C B 间的距离；（2） 求侧面BA B A 11与底面ABC 所成二面角的度数．19．设向量,为直角坐标平面内x 轴，y 轴正方向上的单位向量．若向量y x ++=2(，y x +-=2(，且a b ||-||=2r r．（1）求满足上述条件的点),(y x P 的轨迹方程； （2）设(1,0),(2,0)A F -，问是否存在常数)0(>λλ，使得PAF PFA ∠=∠λ恒成立？证明你的结论．20．已知抛物线2128y x x =-+-和111(,)48A 。

过11(,)48F -任作直线，交抛物线于B 、C 两点。

⑴求△ＡＢＣ重心的轨迹方程，并表示成()y f x =形式；⑵数列{}k x 中，1102x <<，且满足1()k k x f x +=。

试证：1135nkk k x +=<∑21．椭圆C ：2222b y a x += 1 ( a ＞b ＞0 )的两个焦点为F 1 ( – c , 0 )，M 是椭圆上一点，且满足M F M F 21⋅= 0。

（Ⅰ）求离心率e 的取值范围；（Ⅱ）设斜率为k ( k ≠ 0 )的直线l 与椭圆C相于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问A 、B 两点能否关于过点P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛33,0、Q 的直线对称？若能，求出k 的范围，若不能，请说明理由。

22．已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：（1）21212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+（12,x x ∈R ，a 为常数）；（2）(0)()14f f π==； （3）当0,4x π∈［］时，()f x ≤2．求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式； （Ⅱ）常数a 的取值范围．ABC1A1B 1C23．把正奇数数列{}21n -中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：1 3 5 7 9 11— — — —— — — — —设*)(N j i a ij ∈，是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数。

（I ） 若a mn =2005，求m n ，的值； （II ）已知函数f x ()的反函数为fx x n -=138() ()x >0，若记三角形数表中从上往下数第n 行各数的和为b n ，求数列{()}f b n 的前n 项和S n 。

24.若a 、b 、+∈R c ，且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++，求k 的最大值。

25． 设定义在[0，2]上的函数()f x 满足下列条件：①对于[0,2]x ∈，总有(2)()f x f x -=，且()1f x ≥，(1)3f =； ②对于,[1,2]x y ∈，若3x y +≥，则()()(2)1f x f y f x y +≤+-+． 证明：（1）12()133n nf ≤+（*n N ∈）；（2）[1,2]x ∈时，1()136f x x ≤≤-．2611x ≥--。

27．设非负等差数列{}n a 的公差0d ≠，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明： (1)若*,,m n p N ∈，且2m n p +=，则112m n pS S S +≥； (2)若5031,1005a ≤则2007112008n nS =>∑。

28.已知数列{}n a 满足411=a ，()),2(2111N n n a a a n nn n∈≥--=--．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）设21nna b=，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设2)12(sin π-=n a c nn ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，74<n T ．高中数学竞赛训练题答案—解答题部分1．b a ,是两个不相等的正数，且满足2233b a b a -=-，求所有可能的整数c ,使得ab c 9=.1.解：由2233b a b a -=-得b a b ab a +=++22,所以0)()(2>+-+=b a b a ab ,由此得到1>+b a .又因为)()()(4122b a b a ab b a +-+=>+,故341<+<b a .………………………4分 又因为)()(2b a b a ab +-+=, 令 )34,1(∈+=b a t 则t t ab -=2.……………6分当1t ≥时，2t t -关于t 单调递增，所以409ab <<，094ab <<.因此 c 可以取1，2，3. …………………………………………………………………10分2：先证f(n)= 131...312111++++++++n n n n 单调递增，则f(1)=1213最小 故1213>25,26,24=<a a a 所以即.3解：22111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++2111()8()164n n n n n n a a a a a a +++⇔+-++=211(4)4n n n n a a a a ++⇔+-=14n n a a +⇔+-=）24⇔=2⇔=因此，2n =。