2019年洞口县高三第一次联考(11月摸底考试)数学文理试题

D．4
解：∵1 3k 2 k 1 ，∴由 g(x) f (x) xf (x) ， 3
得 g(3) f (3) 3 f (3) 1 3 ( 1) 0 ，故选 B． 3
10．已知函数
f
(x)
x2
4x x 1
7
，
g(x)
log3
x
3x (x
1)
，实数
a, b
满足
a
b
1 ，
若 x1 [a, b]， x2 (0,1] ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立，则 b a 的最大值为（ ）
于不同于 P 的两点 M (x1, y1) ， N (x2 , y2 ) ，且恒有 y1 y2 为定值 y0 ，则 y0 的值为（
）
A． 1 3
B． 2 3
C． 4 3
D． 2
-2-
解：∵三次函数的拐点就是其对称中心，∴ y x2 2x 1 y 2x 2 0 x 1 ，
则
y
D．3
（二）多项选择题：（本题共 2 个小题，每小题 5 分，10 分．在每个小题给出的四个选项中， 有多个选项是符合题目要求的．全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分．） 11.下列命题正确的是（ ）
A.“ x R, x3 x2 1 0 ” 的否定为“ x0 R, x03 x02 1 0 ”；
， S12
．
（文） S10
．
解：当 k 1 时， n (0,1] ，则 n 1 ，有 a1 1；
当 k 2 时， n (1, 3] ，则 n 2, 3，有 a2 a3 2 ；
当 k 3 时， n (3, 6]，则 n 4, 5, 6 ，有 a4 a5 a6 3 ；
当 k 4 时， n (6,10] ，则 n 7,8, 9,10 ，有 a7 a8 a9 a10 4 ；
又∵ f (x) 是偶函数, g(x) 是奇函数，∴ f (x) g(x) 2ex ，②……4 分 由①②得： f (x) ex ex ；……5 分
-5-
(2)
∵ ex
0 ，∴
f (x) ex
ex
ex
1 ex
2，
∴[ f (x) 1]min 1 ，……7 分
由已知得： m 3 ，故 m 3 ，……9 分 f (x) 1
2019 年高三 11 月摸底考试数学（文、理科）试题
一、选择题：
（一）单项选择题：（本题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 A {1, a} ， B {x | x2 5x 4 0, x Z}，若 A I B ，则 a （
1 d q 1
4．若偶函数 f (x) 在[0, ) 上是增函数，且 f (3) 0 ，则不等式 (x 2) f (x) 0 的解集为
（
）
A． (, 3) U(2,3) B． (3, 2) U(3, ) C． (3,3)
D． (2,3)
解：当 x 2 时，需 f (x) 0 ；当 x 2 时，需 f (x) 0 ，画图，知解集是 (, 3) U(2,3) ，故选 A．
则实数 m 的取值范围是[3, ) ．……10 分
18. （本小题共 12 分）
已知函数 f (x) 3 sin 2x cos2 x 1 (x R) ．
2
2
（1）求函数 f (x) 的最小值和最小正周期；
（2）求函数 f (x) 的单调递增区间．
解：(1) ∵ f (x) 3 sin 2x 1 cos 2x 1 sin(2x ) 1，……4 分
A．3
B．2
C．5
）
D． 5
通解：∵ a a(1 i) a a i 1 bi ，∴ a 2,b 1，则| a bi || 2 i | 5 ，故选 D． 1 i (1 i)(1 i) 2 2
另解：∵ a 1 bi a (1 i)(1 bi) (1 b) (1 b)i ， 1 i
当 k 5 时， n (10,15] ，则 n 11,12,13,14,15 ，有 a11 a12 a13 a14 a15 5 ，
则（理） a1 1， S12 0 ．（文） a1 1， S10 10 ．
三、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题共 10 分）
3
19. （本小题共 12 分）
已知{an}是等差数列，各项均为正数的等比数列bn 的公比为 q ，
且满足 a1 b1 1 ， a2 q 1， a3 b3 1．
（1）求数列{an}，bn 的通项公式；
（2）设数列bn 的前
n
项和为
Sn
，求满足
Sn
an 1 n
100
的最小正整数
n
．
解：(1)设{an}的公差为 d ，bn 的公比为 q ，则
）
B． y 3x 2sin x 2 cos x
C．
y
ln 0,
| x |, x x0
0
D．
y
x2 4
x2
x, x,
x x
0 0
解：∵ x1 f (x1) x2 f (x2 ) x1 f (x2 ) x2 f (x1) x1[ f (x1) f (x2 )] x2[ f (x2 ) f (x1)] 0 ，
D 错：应改为 ( k , 0)(k Z ) ，故选 B、C． 4
12．定义在 R 上函数 f (x) 对任意两个不相等的实数 x1, x2 都有
x1 f (x1) x2 f (x2 ) x1 f (x2 ) x2 f (x1) ，则称函数 f (x) 为“ Z 函数”，
以下函数中“ Z 函数”的是（ A． y x2 1
log0.5
x
1
0
log0.5
x
log0.5
0.5
，∴
0
x
0.5
，故其定义域为
(0,
1 2
)
．
注：许多学生误理解为 log0.5 (x 1) ．
14．记 Sk 1k 2k 3k L nk ，当 k 1, 2, 3,L 时，观察下列等式：
S1
1 2
n2
1 2
n
，
S2
1 3
n3
1 2
n2
1 6
上单调递减，在
1 (
, )
上单调递增，故选
D．
r
e
r
e
e
rr
6．已知向量 a (cos ,sin ) ，向量 b ( 3,1) ，且 a b ，则 tan 的值是（
）
3
A．
3
B． 3 3
C． 3
D． 3
rr 解：∵ a b 3 cos sin 0 ，∴ sin 3 cos ，则 tan 3 ，故选 D．
．
a b 1
通解：∵ a (b 1) 1，∴ 2 1 ( 2 1 )[a (b 1)] a b 1 a b 1
3 2(b 1) a 3 2 2(b 1) a 3 2 2 ，
a b 1
a b 1
当且仅当 2(b 1) a 时取等号，故 2 1 的最小值为 3 2 2 ．
B. 命题“若 x2 3x 4 0 ，则 x 4 ”的逆否命题是假命题；
-3-
C. 在△ABC 中，“ sin A sin B ”是“ a b ”的充要条件； D. 函数 f (x) tan 2x 的对称中心是 ( k , 0)(k Z ) ．
2 解：A 错：应改为 x0 R, x03 x02 1 0 ；B、C 显然对；
a b 1
a b 1
妙解：由权方和不等式可得： 2 1 ( 2)2 12 ( 2 1)2 3 2 2 ． a b 1 a b 1 a b 1
16．已知等差数列an 满足：当
n
( (k
1)k 2
,
k(k 1)](n, k 2
N)
时，
an
(1)k 1
k
，
Sn 是数列an 的前 n 项和，则 a1
∴ b 1， a 2 ，则| a bi || 2 i | 5 ，故选 D．
3．已知函数
f
(x)
2x , x 0
x
2
,
x
0
，若
f
(a)
f
(1)
0 ，则实数 a 的值为（
）
A． 2
B． 2
C．4
D． 4
解：∵ f (1) 21 2 ，∴ a 0 ，由 a2 2 0 ，得 a 2 (舍正)，故选 B．
已知函数 f (x) 与 g(x) 的定义域是 R ， f (x) 是偶函数, g(x) 是奇函数，且 f (x) g(x) 2ex ． （1）求函数 f (x) ； （2）若关于 x 的不等式 mf (x) 3 m 在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围． 解：(1) ∵ f (x) g(x) 2ex ，① ∴ f (x) g(x) 2ex ，……2 分
x2ln x
5．函数 y
的图象大致是（
）
x
A．
B．
-1-
C．
D．
解：函数 y x2ln x 为偶函数，则图像关于 y 轴对称，排除 B； x
x2ln 当 x 0 时， y =
x
= x ln x ，求导得 y ln x 1，由 y 0 x 1 ，
x
e
y
0
0
x
1
，则
y
=
x
ln
x
在
(0,
1 )
7．将函数
y
sin(2x
) 图象向左平移