大学物理_电势及习题解答
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大学物理作业--电势二解答
Qd R 2 0 Rd
电势二
第五章 静电场
5. 如图，两个平行放置的均匀带电圆环，它们的半径 为R，电量分别为+q和-q，其间距为l,并有l<<R。1）求 两环的对称中心O为坐标原点时，垂直于环面的x轴上 的电势分布；（2）证明：当x>>R时，U ql 2 。 解: 由电势的叠加原理有，
We we dV
R=6370km
Rh
R
0E2
2
4r dr
2
2 3 2 3 0 E R h R 3 6.28104 kW h
电势二
第五章 静电场
2. 在一次典型的闪电中，两个放电点之间的电势差约 为109V，被迁移的电荷约为30C，如果释放出的能量都 用来使0℃的冰融化为0℃的水，则可融化的冰有 Kg. （冰的融化热L=3.34×105J· kg）
R
x DL
o
电势二
第五章 静电场
二、填空题
1．地球表面上晴空时，地球表面以上10km范围内的 电场强度都约为100V/m。此电场的能量密度为 ； 在该范围内电场所储存的能量共有 kw· h。
1 1 2 we 0 E 8.85 10 12 100 2 4.425 10 8 J/m 3 2 2
4. 电荷-Q均匀分布在半径为R、长为L的圆弧上，圆弧 的两端有一小空隙，空隙长为DL(DL<<R)，则圆弧中 心O点的电场强度和电势分别是 [ ]
QDL Q i, (A) 2 4 0 R L 4 0 R
QDL Q i, (B) 2 3 8 0 R L 4 0 R
电势二
大学物理习题答案第十一章
[习题解答]11-7 在磁感应强度大小为B = 0.50 T 的匀强磁场中，有一长度为l = 1.5 m 的导体棒垂直于磁场方向放置，如图11-11所示。
如果让此导体棒以既垂直于自身的长度又垂直于磁场的速度v 向右运动，则在导体棒中将产生动生电动势。
若棒的运动速率v = 4.0 m ⋅s -1 ，试求：(1)导体棒内的非静电性电场K ；(2)导体棒内的静电场E ；(3)导体棒内的动生电动势ε的大小和方向；(4)导体棒两端的电势差。
解(1)根据动生电动势的表达式,由于()的方向沿棒向上，所以上式的积分可取沿棒向上的方向，也就是d l 的方向取沿棒向上的方向。
于是可得.另外，动生电动势可以用非静电性电场表示为.以上两式联立可解得导体棒内的非静电性电场，为,方向沿棒由下向上。
图11-11(2)在不形成电流的情况下，导体棒内的静电场与非静电性电场相平衡，即,所以，E 的方向沿棒由上向下，大小为.(3)上面已经得到,方向沿棒由下向上。
(4)上述导体棒就相当一个外电路不通的电源，所以导体棒两端的电势差就等于棒的动生电动势，即,棒的上端为正，下端为负。
11-8 如图11-12所表示，处于匀强磁场中的导体回路ABCD ，其边AB 可以滑动。
若磁感应强度的大小为B = 0.5 T ，电阻为R = 0.2 Ω，AB 边长为 l = 0.5 m ，AB 边向右平移的速率为v = 4 m ⋅s -1 ，求：(1)作用于AB 边上的外力；(2)外力所消耗的功率；(3)感应电流消耗在电阻R 上的功率。
解(1)当将AB 向右拉动时，AB 中会有电流通过，流向为从B 到A 。
AB 中一旦出现电流，就将受到安培力F 的作用，安培力的方向为由右向左。
所以，要使AB 向右移动，必须对AB施加由左向右图11-12的力的作用，这就是外力F外。
在被拉动时，AB中产生的动生电动势为,电流为.AB所受安培力的大小为,安培力的方向为由右向左。
外力的大小为,外力的方向为由左向右。
大学物理第三章电势
2 π AR + 3 λ e E3 = 6 πε 0 r
方向沿径向向外
18
（2）选距离轴线的距离为 l ( l > R ) 处为电势 零点，计算圆柱体内、 零点，计算圆柱体内、外各点的电势分 布。 注意： 求各点电势（电势分布） 注意： 求各点电势（电势分布）时，要分 区域讨论，分区方式与场强相同。 区域讨论，分区方式与场强相同。 电势零点位置选择： 电势零点位置选择： “无限长”柱状带电 无限长” 对 体产生的电场， 体产生的电场，绝对不 能选无穷远处为电势零 点，只能选其它任一点 为电势零点。 为电势零点。
qo =∫ ⋅
5
静电场的保守性（静电场环路定理） 二、 静电场的保守性（静电场环路定理）
L2
∫
L
E ⋅ dl = 0
a
.
qo
L1
b
.
在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积 在静电场中， 分等于零。 对任何静电场， 分等于零。即：对任何静电场，电场强度的 线积分都只取决于起点和终点的位置， 线积分都只取决于起点和终点的位置，而与连 接起点和终点间的路径无关。 接起点和终点间的路径无关。
15
例2（1197）一半径为R的“无限长”圆柱形带 1197）一半径为 的 无限长” 电体， 电体，其电荷体密度为 ρ = A r ( r ≤ R ) 式中A为常数 为常数。 式中 为常数。在此圆柱体外再罩一半 径为R 无限长” 径为 1 、线电荷密度为 λ e 的“无限长”圆 试求： 筒，试求： 圆柱体内、 （1）圆柱体内、外各点的电场强度分布 （2）选距离轴线的距离为 l ( l > R ) 处为电势零点，计算圆柱体内、 处为电势零点，计算圆柱体内、 外各点的电势分布。 外各点的电势分布。 （3）柱表面与柱壳之间的电势差。 柱表面与柱壳之间的电势差。
大学物理习题参考解答上静电场环路定理_电势能_电势和电势差
02. 如图所示， CDEF 是一矩形，边长分别为 l 和 2l 。在 DC 延长线上 CA l 处的 A 点有点电荷 q ，在 CF 的中点 B 点有点电荷 q ，若使单位正电荷从 C 点沿 CDEF 路径运动到 F 点，则电场
力所作的功等于：
【D】
(A)
q 4ol
5 1； 5l
(B)
q 4ol
三 判断题
09. 静电场中某点电势值的正负取决于电势零点的选取。
【对】
10. 在已知静电场分布的条件下，任意两点 P1 和 P2 之间的电势差决定于 P1 和 P2 两点的位置。【 对 】
11. 正电荷在电势高的地方，电势能也一定高。 12. 电场强度的方向总是指向电势降落最快的方向。
【对】 【对】
1 4 0
4 r12 r1
1 4 0
4 r22 r2
0
——
r1 ' r2 0
XCH
第3页
20XX-3-24
大学物理教程_上_习题集参考解答
r1 r2
—— 外球面带负电
外球面应放掉电荷： Q Q Q Q 4 r22 4 r22
Q
(1
r1 r2
)
4
r22
将 r1 10 cm and r2 20 cm ， 8.85 109C / m2 代入上式得到：
13. 静电场的保守性体现在电场强度的环流等于零。
【对】
四 计算题
14. 如图所示， AB 2L ， OCD 是以 B 为中心 L 为半径的半圆， A 和 B 两处分别有正负电荷 q 和 q ，试问：
1) 把单位正电荷从 O 沿 OCD 移动到 D ，电场力对它作了多少功？
XCH
《大学物理AI》作业 No.07 电势(参考解答)
3.带电量 Q 相同，半径 R 相同的均匀带电球面和非均匀带电球面。其球心处的电势是否相等（以无穷 远为电势零点）？二者球内空间的 E、U 分布是否相同？ 答：均匀带电球面，球心处的电势 U 0
Q 4 0 R
，球内空间 E 处处为零，球内空间电势等于
3
U0
Q 4 0 R
。
非均匀带电球面，球心处的电势： U 0
零电势点
答：（1）不正确。根据电势定义 U P 定，而不是仅由该点的场强决定。
E dr 可知，电势是由场点位置到零电势点间的场强决
P
（2）不正确。由场强与电势的关系 E U 可知，某点的 E 应由该点附近电势分布求得。仅 仅知道某一点的 U 是无法求出 E 的，必须知道 U 的分布才行。 （3）不正确。比如，无限大均匀带电平面的一侧，电场强度处处相等，但是距带电平面垂直距 离不同的地方电势不等。 （4）正确。比如，无限大均匀带电平面的一侧，任取一平面，在该面上 E 值相等，但 U 显然不 一定相等。而在电荷均匀分布的球面的电场中，在与它同心的球面上 E 值相等，且 U 值也相等。因此 E 值相等的曲面上，U 值不一定相等。 （５）正确。U 值相等的曲面是等势面，在等势面上的场强不一定是相等的。这要看某点附近的 电势分布。比如，电偶极子的电场中，在偶极子连线的中垂面是一等势面，但是中垂面上各点场强不 相等；但在电荷均匀分布的球面的电场中，等势面上各点的场强大小相等。因此 U 值相等的曲面上， E 值不一定相等。
电场力将+q0 从内球面移到外球面做功 A q0 (U内 U 外 )
1
6.如图所示，电量为 q 的试验电荷，在电量为+Q 的点电荷产生的电场中，沿半径 为 R 的 3/4 圆弧轨道由 a 点移到 d 点，电场力做功为（0），再从 d 点移到无穷远
《大学物理学》习题解答(第12章 静电场中的导体和电介质)(1)
d R
（2）两输电线的电势差为 U
xR
E dl
R
Ed x
d R ln 0 R
（3）输电线单位长度的电容 C
U
0 / ln
d R d 0 / ln 4.86 1012 F R R
【12.9】半径为 R1 的导体球被围在内半径为 R2 、外半径为 R3 、相对电容率为 r 的介质球壳内，它们是同 球心的。若导体带电为 Q ，则导体内球表面上的电势为多少？ 【12.9 解】先求各区域电场 （1）
Q 4 0 R3
( R3 r )
B 球壳为等势体，其电势为
V
R3
E dr
Q 4 0
R3
r
dr
2
【12.2】一导体球半径为 R1,外罩一半径为 R2 的同心薄导体球壳,外球壳所带总电荷为 Q,而内球的电势为 V0.求此系统的电势和电场分布。 【12.2 解】已知内球电势为 V0 ，外球壳带电 Q 。 （1）先求各区域的电场强度：设内球带电荷 q 。由高斯定理，有
E
U
z
2R
（ 1 ）一根带电 的输电线在两线之间、距其轴心 x 处 p 点的场强为
x
dx
p
E i 2 0 x
另一根带电 的输电线在 p 点产生的电场强度为
x
E
2 0 ( d x )
i
p 点的总电场强度为
E E E
d R
1 1 ( )i 2 0 x d x
E1 0
(r R1 ) ( R1 r R2 ) 4 r 2 D Q ， D 0 r E3
（2）两输电线的电势差为 U
xR
E dl
R
Ed x
d R ln 0 R
（3）输电线单位长度的电容 C
U
0 / ln
d R d 0 / ln 4.86 1012 F R R
【12.9】半径为 R1 的导体球被围在内半径为 R2 、外半径为 R3 、相对电容率为 r 的介质球壳内，它们是同 球心的。若导体带电为 Q ，则导体内球表面上的电势为多少？ 【12.9 解】先求各区域电场 （1）
Q 4 0 R3
( R3 r )
B 球壳为等势体，其电势为
V
R3
E dr
Q 4 0
R3
r
dr
2
【12.2】一导体球半径为 R1,外罩一半径为 R2 的同心薄导体球壳,外球壳所带总电荷为 Q,而内球的电势为 V0.求此系统的电势和电场分布。 【12.2 解】已知内球电势为 V0 ，外球壳带电 Q 。 （1）先求各区域的电场强度：设内球带电荷 q 。由高斯定理，有
E
U
z
2R
（ 1 ）一根带电 的输电线在两线之间、距其轴心 x 处 p 点的场强为
x
dx
p
E i 2 0 x
另一根带电 的输电线在 p 点产生的电场强度为
x
E
2 0 ( d x )
i
p 点的总电场强度为
E E E
d R
1 1 ( )i 2 0 x d x
E1 0
(r R1 ) ( R1 r R2 ) 4 r 2 D Q ， D 0 r E3
大学物理场强电势习题课讲解
E 2 0 r
L
r ●P
r >>L
●
当 r > > L 时，带电圆柱面可 视为点电荷，其场强大小为： q L E 2 2 4 0 r 4 0 r
P
6、 (学习指导p165,17) A、B为真空中两个平行的 “ 无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场 强度大小为E 0 ，两平面外侧电场强度大小都为E0/ 3，方向如图。则A、B两平面上的电荷面密度分别 为 σA ＝ ， σB ＝ . A B 若A 、B同号，则两边强中间弱。 若A正B负，则中间场强向右。 ∴只能是A负B正，则 E0 / 3
3真空中平行放置两块大金属平板板面积为s板间距离为dd远小于板面线度板上分别带电量q因板间距离d远小于板面线度金属平板可视为无限大带电平面两板间的相互作用力等于其中一块平板受另一平板在该板处产生的电场的作用力
1、真空中一点电荷Q，在距它为r的a点处有一试 验电荷q，现使q从a点沿半圆弧轨道运动到b点， 则电场力作功为（ ）
A B E0 2 0 2 0 B A E0 2 0 2 0 3
E0 2 0 E 0 A 3 4 0 E 0 B 3
E0 / 3
7、如图， 一点电荷带电量 q = 10 -9 C. A、B、C 三点分别距离点电荷 10cm、20cm、30cm .若选 B 点电势为0，则 A 点电势为＿＿＿，C 点电势 为＿＿＿.（0= 8.85 × 10-12 C2· N-1 · m-2 ）
解： 利用电势的定义： q o
B A
A
B
C
r
B
当UB = 0 时，
q
r B U A E dr Edr A
大学物理作业--电势一解答
l/2
y P b l x dx x
电势一
第五章 静电场
4．一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为s．设 无穷远处为电势零点．(1)求圆盘中心对称轴上的电势 分布；（2）根据电场强度与电势梯度的关系求轴上电 场分布。 dq s 2 π rdr dr 解: x2 r 2 P o x rR x
1 UP 4 π 0
Aex Ae q0U AB 9.035104 J
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
x
电势一
第五章 静电场
3．一均匀细杆，长为l，线电荷密度为l，求： （1）细杆延长线上一点与杆一端相距a处的电势； （2）细杆中垂线上与细杆相距b处的电势。 dq ldx 解: d U P 4 0 l a x 4 0 l a x
s 2 πr d r
x r
2 2
s 2 0
x R x
2 2
电势一
第五章 静电场
4．真空中有一半径为R的半圆细环，均匀带电Q，如 图所示．设无穷远处为电势零点，则圆心O点处的电势 U0= ，若将一带电量为q的点电荷从无穷远处移到 圆心O点，则电场力做功A= ． 由电势的叠加原理有，
U U i
i i
4 0 z R
2
qi
2 12
4 0 z R
2
Nq
i
2 12
不对称
e
Ri
0
qi ei qi E Ei 2 2 2 2 i i 4 0 z R i 4 0 z R
3/ 2
Re
Ri
z ez
i
y P b l x dx x
电势一
第五章 静电场
4．一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为s．设 无穷远处为电势零点．(1)求圆盘中心对称轴上的电势 分布；（2）根据电场强度与电势梯度的关系求轴上电 场分布。 dq s 2 π rdr dr 解: x2 r 2 P o x rR x
1 UP 4 π 0
Aex Ae q0U AB 9.035104 J
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
x
电势一
第五章 静电场
3．一均匀细杆，长为l，线电荷密度为l，求： （1）细杆延长线上一点与杆一端相距a处的电势； （2）细杆中垂线上与细杆相距b处的电势。 dq ldx 解: d U P 4 0 l a x 4 0 l a x
s 2 πr d r
x r
2 2
s 2 0
x R x
2 2
电势一
第五章 静电场
4．真空中有一半径为R的半圆细环，均匀带电Q，如 图所示．设无穷远处为电势零点，则圆心O点处的电势 U0= ，若将一带电量为q的点电荷从无穷远处移到 圆心O点，则电场力做功A= ． 由电势的叠加原理有，
U U i
i i
4 0 z R
2
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Ri
0
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Re
Ri
z ez
i
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q2 4R 2
12-4电势梯度
2 1
d
1 2 E dl
E dl d
静电力从1到2作功 电势增量
d E cos dl
dl
q E
积分的逆运算是求导
E在dl上的分量=电势在l 方向上的变化率 电势梯度 E i j k x y z
r R2
Q1 Q2
Q1 Q2 Q1 Q2 3 E3 dr dr 2 4 0 r 4 0 r r r
R1 r R2 Q1 Q2 2 Edr dr dr 2 2 4 0 r 4 0 r r r R2 Q1 Q2 4 0 r 4 0 R2 r R1 Q1
+ +
例4两导体球半径分别为R1 R2 ，用导线将两 球连接后使其带电。求两球上的电荷密度 1和2 与其半径R1 R2 的关系。 导线相连=电势相等
4 0 R1 q1 4 0 R2 q2
q1 q2 R1 R2
q1 4R 1
2 1 2 2
1R1 2 R2
2
rR rR
W wdV
R
R
0
2 4r dr 2 2 4 0 r Q
2
12-1 方法一
E1 0 r R1 Q1 E2 R r R 1 2 2 4 0 r Q1 Q2 E3 r R 2 2 4 0 r
方向导数（xyz为完整分量）
12-5 点电荷在外电场中的静电势能
W q 其中φ是场源电荷的电场,对q是外电场
例:电子与原子核的静电势能 电子处在Ze正电荷的电场中
Ze 4 0 r
Ze
+
-e
Ze 2 W e 4 0 r
12-6 静电场的能量 有电场就有能量 Q2 F QE Q 2 0 2 S 0 2 Q F QE Q 2 0 2 S 0 极板移动,释放电场能量
A
AAB表示单位正电荷q0在Q的电场中从A到B 做的功势能 不完全反映场自身特性（与q0有关）。
电势差（单位正电荷从P到Q所作功）
AB
AAB E dr Edr q0 A A
B
B
电势
点电荷的电势：
P0定义为电势零点 P E dl 参考位置 P 0 ground 0
2
l/2
2 2 4 x b l / 2 0
dx
p x r
dq x o
Q2 4r 0
r <R1 R1<r <R2 r >R2
R2
r <R1
4 0 R1
Q1
4 0 R2
Q2
R1<r <R2 Q1 Q2 4 0 r 4 0 R2 r >R2
Q1 Q2 4 0 r
电势连续
R1 R2
12-4
y
y: -a ~ a
dq
P R R
R
Q Q 0dr dr 2 4 0 R 4r P R 电势的连续性 ROut RIn
12-4 等势面
dA qE dl 0 1、等势面与电力线正交；
电势相等的点组成的面
2、等势面之间的距离近场强大，距离远场 强小。
+
+
2
2
+Q
++++++++++
2
-Q
-
E合
Q E合 0 S 0
0E Q l 0E Sl V W Fl 2 2 2S 0
可以证明适用一般情况 dW wdV 非均匀电场 2 0E 能量密度与电场强度有关 w 也与介质有关 2 例:带电球(Q R)的静电能
0 E Q 4 0 r
r
P
r
*任意带电体的电势：
1
dQ dQ dl , ds , d v 4 0 Q r
r q l q x P x 电荷分布
Q
例2. 均匀带电圆 环轴线上的电势d 1dldq2
R
x
r
2 2
4 0 r
r x R
r是常数
q d dl 4 0 r L 4 0 r
O
x
dq=dy
r= y2+x2 )1/2 df = dq/40 r
a
p
a
4
dy
0
y x
2
2
12-5
l
dq x
dq 4 0 ( x a ) 0 4 0 ( x a )
l/2
x dx
o p x+a
l / 2 4 0 x b 2
dq
B
A A, B q E dr q Edr
二、静电场的环路定理
E d r 0
L
静电力是保守力，静电场是保守场
12-2 电势差和电势 一、电势差（单位伏特V） 静电力做功：AAB B AAB F dr q0 Edr
A
B E q dr
A B
B
A
B
r是矢径方向
q
B E
dr
dr
A
rA dr cos dr
静电场力是有心力---保守力（径向力） 对运动电荷做功与电荷运动路线 无关；如果运动电荷绕一闭合路 Q 线运动，它做的功为零。
Qdr Qq 1 1 q 2 4 0 r 4 0 rA rB A A A, B q E dr 0
注意：用点电荷的库仑定律求电势叠加时， 不需要投影（与求电场强度不同）
例3.均匀带电球面R激发的电势 场强 0 rR (从高斯定 E Q r R 2 理中获得) 4 0 r 电势 Q r R : Edr V 4 0 r p
r
P
R
r R : Edr Edr
第十二章 电势
12-1 静电场的保守性
12-2 电势差和电势
12-3 电势迭加原理 12-4 电势梯度 12-5 点电荷在外电场中的静电势能 12-6 静电场的能量
12-1 静电场的保守性 一、静电场力：对运动电荷做功
A A, B qE dr l是实际路径
qE dr cos qE dr
Q1 Q2 1 0dr dr dr 2 2 4 0 r 4 0 r r R1 R2 Q1
R1 R2
R2
4 0 R1
Q1
4 0 R2
Q2
12-1 方法二：单独电势迭加
Q1 4R1 0
Q1 4r 0
Q1 Q2
R1
Q2 4R2 0
dr Q a 2 4 0 a r 4 0 r Q
P0
0
12-3 电势迭加原理
P
k
r
Q
单位正电荷做功叠加 标量相加，不须投影
k
例1. 电偶极子激发的电势
y
q 1 1 4 0 r r