曲线曲面从参数表示的基础知识
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
曲面论复习(一)
1.1 简单曲面及参数表示 一 简单曲面 1 约当(Jordan)曲线: 平面上不自交的闭曲线。 2 初等区域：约当曲线把平面分成为两部分，有限的那部分区域 初等区域 叫初等区域。(约当曲线的内部) 3 简单曲面：平面上初等区域到三维空间的一一的、双方连续的 简单曲面 映射的像叫简单曲面。 二 （简单） 简单）曲面的参数方程 1 曲面的参数方程、 曲面的参数方程、曲纹坐标 设 G 是初等区域， G 中点的笛氏坐标是 (u,v) ,G 在空间的一一的 双方连续的像是曲面 S，S 上的点笛氏坐标为（x,y,z), 则 x,y,z 都是
r
r
r
r r r r ( ρ − r (u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) = 0
切平面方程用行列式表示为：
。
x − x(u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 )
y − y (u0 , v0 ) z − z (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) = 0 yv (u0 , v0 )
是什么曲线?
θ -曲线：是垂直于 z 轴 的平面与旋转面的交线（纬线）
t - 曲线：是旋转面的母线（经线）
1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线 一 光滑曲面,正常点,正规坐标网 1 C k 类曲面: 如果曲面的分量函数有直到 k 阶的连续偏导数,则 称为 k 阶正则曲面或称为 C k 类曲面.
2
2 光滑曲面: C 类曲面叫做光滑曲面.以后假定讨论的曲面都是 光滑曲面. 3 正常点: 对曲面 S 上一点 P0 (u0 , v0 ) , 过 P0 的 u-曲线: r = r (u , v0 ) ,其切向量为 ru (u0 , v0 ) ； 过 P0 的 v-曲线: r = r (u0 , v) ,其切向量为 如果
参数方程知识点
参数方程知识点参数方程是用参数来表示平面曲线或者空间曲线的方程。
参数方程中的变量称为参数，通过改变参数的值来得到曲线上不同点的坐标。
参数方程在数学、物理等领域都有广泛的应用。
参数方程的基本形式为：x=f(t)y=g(t)其中，x和y是平面上的坐标，t是参数。
函数f(t)和g(t)表示x和y坐标与参数t之间的关系，可以是多项式函数、三角函数、指数函数等。
参数方程的优点是可以描述一些复杂的曲线，例如圆、椭圆、螺旋线等。
而直角坐标方程通常难以表示这些曲线。
具体地，参数方程可以应用在以下几个方面。
1. 平面曲线的参数方程对于平面曲线，常见的参数方程有圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程等。
例如，圆的参数方程为：x=r*cos(t)y=r*sin(t)其中，r为圆的半径，t为参数，取值范围是0到2π。
2. 空间曲线的参数方程对于空间曲线，参数方程可以用来描述空间中的曲线、曲面等。
例如，螺旋线的参数方程可以表示为：x=r*cos(t)y=r*sin(t)z=k*t其中，r为螺旋线的半径，k为螺旋线的高度，t为参数，取值范围是0到2π。
3. 曲线的方程和轨迹通过参数方程，可以求解曲线的方程和轨迹。
例如，通过给定曲线上的两个点，可以得到曲线的方程，然后可以推导出曲线的形状和性质。
另外，通过变换参数的取值范围，可以得到不同参数方程的曲线，从而得到曲线的轨迹。
4. 曲线的长度和曲率通过参数方程，可以计算曲线的长度和曲率等。
曲线的长度可以通过参数方程的导数来计算，即：L=∫√(dx/dt)²+(dy/dt)²dt其中，L为曲线的长度，dx/dt和dy/dt为参数方程对应的导数。
曲线的曲率可以通过曲线的参数方程和导数来计算，即：k=|d²y/dx²| / (1+(dy/dx)²)^(3/2)其中，k为曲线的曲率，dy/dx和d²y/dx²为参数方程对应的导数。
微分几何 2-1曲面的概念
微分方程: A(u, v)du2 +2B(u, v)dudv + C(u, v)dv 2 =0
当 [B(u, v)]2 A(u,v) C(u,v) >0时
表示曲面上的两族曲线——曲线网。
当 A C 0时，方程变为
dudv 0
它表示的曲线网就是曲面上的曲纹坐标网
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v (1,2)
1 3,1,2
14
, ,2
|
4 2 (1,2)
过点（1，2）的切平面方程是
[R r(1,2)] n(1,2) 0.
即 3x+y-2z-4=0.
3. 曲面上的曲线族和曲线网
曲面 r r(u,v)S上的曲线用方程 u(t),v v(t)
或 r r[ut , vt ] rt
ru (u ，v ） r（v u ，v ） 0
此时U内两坐标曲线构成的网为曲面的正规坐标网 命题1：曲面在正则点的邻域中总可以有形如
z = z(x, y)的表示 因为 ru (u ，v ） r（v u ，v ） 0，至少有一分量不为零
假设 （ （xu， ，yv） ） 0， 一对单值连续函数
则有隐函数存在定理有唯一
u和v称曲面上的点的曲纹坐标曲面上的点的曲纹坐标uu常数或常数或v常数在曲面上的常数在曲面上的象称为曲面的曲面的坐标曲坐标曲u常数而常数而vv变动的曲线叫变动的曲线叫vv线v常数而常数而uu变动的曲线叫变动的曲线叫uu成的网称为曲面上的成的网称为曲面上的曲纹坐标网曲纹坐标网曲纹坐标网曲纹坐标网坐标曲线坐标曲线曲线z常数即它是垂直于轴的平面和原柱面的交线它们都是圆
u （ u x，y），v （v x，y）
代入则有z = z(x, y)
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。
下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。
de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。
Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。
以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。
用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。
这一算法可用简单的几何作图来实现。
3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
第2讲 曲线和曲面的矢量方程和参数方程
本讲任务上课内容一、关于形状数学描述的基本要求2.几何不变性上述三点，分别赋于参数u＝0，0.5，1，则可得过这三点的一条唯一的参数三次曲线。
p(u)＝2(u-0.5)(u-1)p0-4u(u-1)p1+2u(u-0.5)p2，其中p0, p1, p2, 分别为上述三点的位置矢量。
无论将这三点怎样同时旋转和平移，它们间的相对位置保持不变。
9/5211/52产品的形状总是有界的，形状的数学描述应易于定界。
这个要求能否得到满足也与描述形状的数学方法有关。
假如在某个xoy坐标系里一条曲线，一些x值对应多个y值，一些y值又对应多个x值。
若用标量函数描述这样一条曲线，要界定它的范围会是很困难的。
但若用参数矢函数p(u)＝[x(u) y(u)]描述，就可以简单地用a ≤u ≤b界定它的范围。
这里u＝a与u＝b分别为曲线在首末两端点的参数值。
一、关于形状数学描述的基本要求3.易于定界f (x , y ) = 0同样运用待定系数法求之！17/5212()[(),(),()]()()()[,]t x t y t z t x t y t z t t t t ==++∈p i j k ，]2,0[]sin ,[cos )(πθθθθ∈=p 例:]1,0[,)(332210∈+++=t t t t t a a a a p 曲线的表示1. 一般表示形式]0[][)(v /L ,t vt ,t sin a ,t cos a t ∈=ϖϖp 思考题：上面空间螺旋线的非参数方程表示形式是什么？Z,Y用X 表示，而参数化为Z,Y ,X 均用一个变量t 表示，简便，易懂圆螺旋线三次抛物线曲线被表示成参数u的矢函数p(u)=[x y x]=[x(u) y(u) z(u)]笛卡儿分量表示p(u)=x(u)i+y(u)j+z(u)k,其中i,j,k为单位矢量21/52Pz 0xatMNQ点P在圆柱面上等速地绕26/52矢函数：变矢量随着某个变化的标量即参数而变化，则称它为该参数的矢函数四、曲线论（导矢、自然参数方程、曲率）1.矢函数的导矢类似地，可以给出曲线在u=u 0处的高阶导矢。
计算机图形学第五章曲线与曲面
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第五章：曲线与曲面
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第五章：曲线与曲面
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第五章：曲线与曲面
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第五章：曲线与曲面
双三次参数曲面的代数形式
双三次参数曲面片: 由两个三次参数变量(u, w)定义的曲面片，最常用。
其代数形式、矩阵表示分别是:
最简单的参数曲线，P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1]; 端点为P1、P2
圆
第一象限内的单位圆弧的非参数方程表示为：
y 1 x2
其参数形式可表示为：
0 x 1
1 t2 x (t ) , 2 1 t
y (t )
2t 1 t 2
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推导略
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第五章：曲线与曲面
参数曲面的定义
一张矩形域上的参数曲面片
一张矩形域上由曲线边界包围具有一定连续性的点集面片，用双参数的
单值函数表示式为：x=x(u, w), y=y(u, w), z=z(u, w) u,w€[0,1] u,w为参 数。并可记为：p(u, w)=[x(u, w), y(u, w), z(u, w)]
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第五章：曲线与曲面
位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率
参数表示的三维曲线
有界点集，可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数x=x(t)，
y=y(t)，z=z(t)，0≤t≤1
位置矢量
图5.1.1所示，曲线上任一点的位置矢量可表示为P(t)=[x(t), y(t), z(t)]；其
§1 参数化曲面
图 3-1
的点是指向径 r(u0, v0) = OP(u0, v0) 的终点
P(u0, v0) = (x(u0, v0), y(u0, v0), z(u0, v0)) ∈ E3 ，
通常表示为向量值 r(u0, v0) 或参数值 (u0, v0) ．曲线r(u, v0) 称为参数曲面 S
上过点 P(u0, v0) 的 u 坐标曲线，简称 u 线；而曲线r(u0, v) 称为参数曲面 S
正则曲面的意义还在于能够方便
地确定曲面的所谓切向量和切平面，
以及法向量．
已知正则曲面 S: r = r(u, v) ．考虑
过 点 r(u0, v0) , r(u0+Δu, v0) 和 r(u0, v0+Δv) 的平面 Π 当 (Δu, Δv)→(0, 0) 时 的极限位置，亦即切平面的位置．由
图 3-5
r = r(u, v) = (cos u , sin u , v) ，(u, v)∈R2 ；
-2-
作者：王幼宁
其中参数值与位置向量的对应不是一一对应，但适当缩小定义域则可保证 一一对应．其整体也能定义成参数曲面，例如
r = r(w, t) = (
w w2 + t2 ,
t w2 + t2 , ln
w2 + t2 ) ，(w, t)∈R2−{(0, 0)} ．
曲线，类似于球面上的称呼，通常分别称为纬线和经线；此参数化方式，
通常称为旋转面的经纬参数化．球面、圆柱面、正圆锥面都是旋转面．
二．正则曲面 参数曲面比参数曲线更复杂，同样需要引进正则性．
定义 1 给定参数曲面 S: r = r(u, v) , (u, v)∈U ．若自然切向在点 (u0, v0) 满足 ru(u0, v0)×rv(u0, v0) = 0 ，则称 (u0, v0) 或其对应点 r(u0, v0) 为 S 的一个奇 （异）点；若 ru(u0, v0)×rv(u0, v0) ≠ 0 ，则称 (u0, v0) 或其对应点 r(u0, v0) 为 S 的一个正则点．若 S 之上点点正则，则称 S 为正则曲面，并称参数 (u, v) 为正则参数．
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曲线曲面从参数表示的基础知识
连续性
设计一条复杂曲线时，常常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题。
曲线间连接的光滑度的度量有两种：一种是函数的可微性，把组合参数曲线构造成在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，这类光滑度称之为C n或n阶参数连续性。
另一种称为几何连续性，组合曲线在连接处满足不同于C n的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性，简记为G n。
曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾，C n连续包含在G n连续之中。
下面我们来讨论两条曲线的
若要求在结合处达到G0连续或C0连续，即两曲线在结合处位置连续：
P(1)=Q(0) (3.1.6) 若要求在结合处达到G1连续，就是说两条曲线在结合处在满足G0连续的条件下，并有公共的切矢：
当a=1时，G1连续就成为C1连续。
若要求在结合处达到G2连续，就是说两条曲线在结合处在满足G1连续的条件下，并有公共的曲率矢：
代入(3.1.7)得：
这个关系式为：
图3.1.7 两条曲线的连续性
我们已经看到，C1连续保证G2连续，C1连续能保证G2连续，但反过来不行。
也就是说C n连续的条件比G n连续的条件要苛刻。