3静电场基本方程
第三章静电场及其边值问题的解法
电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
如何求电容器的电容？
14
电磁场与波
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
界条件为
或
ED11tn
s
0
介质1
nˆ
E1
1
1
注：媒质1为介质，媒质2为导体
导体
22
电磁场与波
静电位的边界条件
设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分
别为ϕ1和ϕ 2
当两点间距离⊿l→0时,C与D趋于同一 点，取作电位参考点
1 2
媒质1 1
1 A
B 2
媒质2 2
D
l
C
由
和
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即 s 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件：
常数，
n
S
电磁场与波
例 3.5 无限长同轴线内外导体半径分别为a,b,外导体接地，内
导体电位为U，内外导体间部分填充介电常数为ɛ1的介质，其余部
分介电常数为ɛ2 ，(a)图中二介质层分界面半径为c；(b)图 0 1
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位的比值，即
Cq
电位参考点为 无穷远处
例： 真空中半径a的孤立带电导体球，其表面电荷量为q,则电位？
q 4 0 a
C 40a
静电场的基本方程微分形式积分形式物理意义
对场中一个点电荷，受力 F QE 仍成立
已知 x ，原则上可求出 E x 。若不能
积分,可近似求解或数值积分。但是在许多实际情
况 x 不总是已知的。例如，空间存在导体介
质，导体上会出现感应电荷分布，介质中会出现 束缚电荷分布，这些电荷分布一般是不知道或不 为
三、静电场的环路定理与旋度方程
1. 环路定理
⑴ ⑵
L
E dl 0
静电场对任意闭合回路的环量为零。 说明在回路内无涡旋存在，静电场线是不闭合的。
2、旋度方程
L
E dl E dS 0
S
E 0
⑴ 又称为环路定理的微分形式，仅适用静电场。 ⑵ 它说明静电场为无旋场，电力线永不闭合。
§1. 电荷和电场
一、库仑定律和电场强度
1. 库仑定律
F
Q’
F
QQ ˆ r 2 40 r 1
r
Q
描述一个静 止点电荷对 另一静止点 电荷的作用 力
⑴ 静电学的基本实验定律； ⑵ Q’ 对Q的作用 力为 F F ；⑶ 两种物理解释: 对静电情 超距作用：一个点电荷不需中间媒介 况两种观 直接施力与另一点电荷。 点等价 场传递：相互作用通过场来传递。
例题： 电荷 Q均匀分布于半径为 a的球体内，求各点场强 的散度和旋度。
§2
电流和静磁场
一、电荷守恒定律
1、电流强度和电流密度（矢量）
I 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位：安培）
J 大小：单位时间垂直通过单位面积的电量
方向：沿导体内一点电荷流动的方向 两者关系：
I dI J dS
01-电场的积分方程
图 1-3
图 1-4 （2）如图 1-5，也可以将区域内的积分公式用到边界点上，这时边界要从外部绕过场 点。半球面上边界的法线方向和源点到场点距离方向相反。
P =
e e 1 d+ [ (0 ) (0) R n 2 ]d 40 R 40 R n 40 R P
1
电场的积分方程
1、 静电场强度的基本方程 静电场的基本物理量是电场强度。 产生电场的源是电荷。 电荷在电场中受到电场力的作 用。库仑定律描述了电荷之间的电场力。根据库仑定律，结合电场强度 E 的定义，可得出 自由空间（无限大真空空间）中电场强度的积分公式，如式 1-1。
E
1 4 0
V
e R dV R2
1-14
针对格林定理表达式右侧的第二项积分中的第一部分，设在 P 上
u 为有限值，当 n
R 0 ，有
R d R d lim lim (max ) lim R(max )0 2 2 R 0 R 0 4 R 0 4 n R n R n P P
1-22
因导体是等电位面，且为闭合面，场点在闭合面之外，最后一项积分中的第二部分
(0)
C
1-23
故可得积分方程
e e P 1 1 = d+ [ (0 ) (0) R n 2 ]d+ (0 )d 2 40 R 40 R n 40 R 40 R n P C
1-21
图 1-5
图 1-6 边界积分方程 1-19 和 1-21，实际上完全相同。
7、 导体表面积分方程 当区域内存在导体时，可将导体从区域内挖掉，导体表面成为区域边界的一部分。导体 表面的区域边界是闭合面，其法线方向指向导体内部，如图 1-7。 （1） 场点在导体表面以外的边界上 这时电位积分公式中增加一项导体表面的边界积分项。
真空中静电场的基本方程
V=4r3/3 dv=4r2dr
r0
r 0
r2
r4 a2
4
r 2 dr
4r0
r3 3
r5
5a2
D内
r0
r 3
r3 5a2
r=a时 (连续)
D内
D外
2 15
r0a
解法二： 微分形式解 • Dvr r r 球坐标
∵对称性,D外仅有er 分量：
evr ev 0 evr ev 0
在球外 r r 0
1 r2 r
r 2 D外
0
D外
C2 r2
当 r ∞ 时可看成点电荷：
D外
1
4
q r2
1
4
8
15
r
0
a
3
1 r2
C2
2 15
r0a3
D外
2 15
r0
a3 r2
球内(r≤a):
1
r2
r
r 2D内
r0
1
r2 a2
r 2D内
2r 0
r0 1
r2 a2
r
2dr
q
4e 0 R
c
点
1
4e
0
1
rd c
R
sds c
4e
0
1
4e0
s l
R
rl dl
R
c
体 面 线
式子中： R r r为场与源的距离
电位——电场的表示式对比
f 1 rd c 3.7
4e 0 R
Er
1
4e
0
r r
1 R
d
2.6
可见f 的计算式简便得多 标量积分，
静电场的基本特性
静电场的基本特性一、静电场的定义与基本概念1.静电场：由静止电荷产生的电场，称为静电场。
2.电场：电场是一种特殊形态的物质，存在于电荷周围。
3.电场强度：描述电场强度的物理量，单位为牛顿/库仑（N/C）。
4.电势：描述电场势能状态的物理量，单位为伏特（V）。
5.电势差：两点间电势的差值，单位为伏特（V）。
二、静电场的基本性质1.库仑定律：静电场中，两个静止点电荷之间的作用力与它们的电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。
2.电场线的特点：电场线从正电荷出发，终止于负电荷；电场线不相交；电场线的疏密表示电场强度的大小。
3.电势的分布：电势在空间中的分布反映了电场势能的状态；电势随着距离的增加而减小。
4.电场强度与电势的关系：电场强度的方向是电势降低最快的方向。
三、静电场的基本方程1.高斯定律：描述静电场中电荷与电场之间的关系，指出通过任何闭合曲面的电通量与该闭合曲面所包围的净电荷量成正比。
2.电场强度与电势的关系：E = -dV/dr，其中E为电场强度，V为电势，dr为距离变化量。
四、静电场中的常见问题1.静电力的计算：利用库仑定律计算两个点电荷之间的作用力。
2.电场强度的计算：利用高斯定律计算闭合曲面内的电场强度。
3.电势的计算：利用电场强度与电势的关系计算电势。
4.电势差与电场强度的关系：ΔV = E·Δl，其中ΔV为电势差，E为电场强度，Δl为路径长度。
五、静电场的实际应用1.静电除尘：利用静电场将带电粒子吸附在带电板上，实现除尘。
2.静电喷涂：利用静电场将涂料粒子带电，使其在喷涂过程中均匀分布，提高喷涂效果。
3.静电复印：利用静电场将墨粉吸附在鼓上，实现复印。
六、注意事项1.静电场是一种客观存在的物质，存在于电荷周围。
2.掌握静电场的基本概念、性质和方程，能够解决实际问题。
3.注意静电场与电流场的区别，理解它们在现实生活中的应用。
习题及方法：1.习题：两个点电荷分别为+5μC和-3μC，它们之间的距离为10cm，求它们之间的库仑力。
2-静电场-2-基本方程与衔接条件
Zhang h j 2008
9
例
Hebei University of Technology
河北工业大学
《工程电磁场基础》
无限大 计算均匀电荷面密度为σ的无限大平面的电场。 解：如图所示取柱形闭合面 对称、均匀
v v v ⎧D0ez z >0 D=⎨ v v ⎩D0 (−ez ) z < 0
Δ
σΔ
∴
⎧ aU ⎪ ϕ =⎨ r ⎪U ⎩
r≥a r≤a
电场强度可求电位的负梯度得到：
v aU v v v v ∂ϕ ⎧er 2 ⎪ =⎨ r E ( r ) = −∇ϕ (r ) = −er ∂r ⎪ 0 ⎩ r>a r < Zhang h j a
球内电位分 布？ 如果已知球面 电位分布，如 何求解？
Zhang h j 2008
13
Hebei University of Technology
河北工业大学
《工程电磁场基础》
2-4 静电场边值问题
1.静电场位函数方程 2.边值问题及其分类
3.边值问题的建立 4.边值问题的分析方法概述
Zhang h j 2008
14
1.静电场位函数方程
Hebei University of Technology
河北工业大学
《工程电磁场基础》
C1=0
由边界条件可知，当r=a时，D1=D2
D1
r =a r =a
=
C2 a
2
∴
v ⎛ r r3 ⎞v D1 = ρ 0 ⎜ − 3 ⎟er ⎜ 3 5a ⎟ (r<=a) ⎝ ⎠ 3 v 2 ρ0a v D2 = er 2 (r>=a) 15r
第二章静电场恒定电场和恒定磁场
介质中的高斯定理表示为 式中电位移矢量为
在线性的各向同性的电介质中
例2.1在空气中放入一个带电量为Q、半径为a的球体，该球体的 相对介电常数为εr。求该球体内、外任意一点的电场强度。
解（1） 球内任意一点，设到球心距离为r,做高斯面为以r为半径的球面， 如图2.2所示。
由电场的对称性可知，E和D的方向为er,所以
大小、它们之间的距离和周围的电介质，即可以不用电容器。
例2.10同心金属球与球壳系统如图2.12所示，内导体球半径为a，外导体 球壳的内外半径分别为b和c，导体球与导体球壳带有等量异号电荷，它
们之间充满相对介电常数为 r 的电介质，球外为空气。求该导体系统
的电容。
解:根据高斯定理不难求出空间各点的电场强度，设导体球和导体球壳的 带电量分别是q和-q，则导体和导体球壳之间的电场强度的大小为
电场能为
WeΒιβλιοθήκη 1 2dVv
（2） 对于多导体系统
We
1 2
dV
v
例2.12半径分别为a和b的同轴线，外加电压为U，内圆柱体电荷量为正，外圆柱 面单位长度上的电荷量与内圆柱体等值异号。如图2.16(a)所示，两电极间在θ1的 角度内填充介电常数为ε的电介质，其余部分为空气，求同轴线单位长度上储存 的电场能量。
示，求在l长度上的外电感。
图2.25例2.20用图
例2.21一个半径为a的无限长直导线，在导线均匀流过的电流为I，求这个导线
在单位长度上的内电感，如图2.26所示（设导体内部的磁导率近似为μ0）。 解:截面上的磁通并没有与全部电流I交链，而只是与一部分电流交链，交链的总 磁链为
图2.26
2. 互 有两感个回路l1和l2，如图2.27所示。
静电场的标势及其微分方程
介质的电磁性质方程：Dv
v E
2
§2.1 静电场的标势及其微分方程
1、静电场的标势
静电场的Maxwell方程为：
v
D
v E 0
自由电荷分布
是电位移
v D
的源
静电场是无旋场
➢静电场的无旋性表明电场沿任意闭合回路L的环量等于零
vv
Ñ L E dl 0
蜒 v v v v
E dl E dl 0
v D
vv
对于各向同性线性均匀介质有： D E
v E
v
E
2
Poisson方程，静电势满足的基本 微分方程
7
讨论： (1) Poisson方程的求解，必须给定边界条件。
2
(2) 若介质为不同类型的均匀介质组成，则对于每种介质，建立 Poisson方程，而在介质分界面上建立合适的边值关系以及边界条件。
➢ 导体内部不带净电荷，净电荷只能分布于导体表面上
由高斯定理
S E dS
q
0
可知，q=0
➢ 导体表面上电场必沿法线方向，导体表面为等势面，整
个导体为等势体
由
v E
可知，
为常量，因而是等势体；如果导体表面上的电场
不沿法线方向，则必有切向分量，因而电荷将沿切线方向移动
11
3）导体表面的边值关系
2 S12 常数
静电场
静电场的基本特点：
电荷静止
v J
vv
0
场量不随时间变化 物理量 =0
t
静电场的基本问题：
给定自由电荷的分布，以及周围空间介质或 导体的分布，运用电磁场理论求解带电体系 的电场。
1
解决静电问题的基本方程：
静电场的详细计算
静电场定义由静止电荷(相对于观察者静止的电荷)激发的电场。
静电场性质根据静电场的高斯定理：静电场的电场线起于正电荷或无穷远,终止于负电荷或无穷远，故静电场是有源场．从安培环路定理来说它是一个无旋场．根据环量定理，静电场中环量恒等于零,表明静电场中沿任意闭合路径移动电荷，电场力所做的功都为零，因此静电场是保守场．根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力跟它们的电荷量的乘积成正比，和它们距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上，即F=（k·q1q2）/r²;,其中q1、q2为两电荷的电荷量（不计正负性）、k为静电力常量，约为9.0e+09（牛顿·米²）/（库伦²;），r为两电荷中心点连线的距离。
注意，点电荷是不考虑其尺寸、形状和电荷分布情况的带电体。
是实际带电体的理想化模型。
当带电体的距离比它们的大小大得多时，带电体的形状和大小可以忽略不计的点电荷。
静电场的泊松方程由于静电场是无旋场,故可用标量电位φ表征静电场（见电位）。
电位与电场强度的关系是式中Q点为电位参考点，可选在无穷远处；P点为观察点。
上式的微分形式为电场强度等于电位的负梯度，即E=-墷φ在ε为常数的区域，式中墷·墷可记作墷2，在直角坐标中分别为一阶与二阶微分算符。
这样,可得电位φ所满足的微分方程称为泊松方程。
如果观察点处自由电荷密度ρ为0，则墷2φ=0称为拉普拉斯方程。
泊松方程和拉普拉斯方程描述了静电场空间分布的规律性。
可以证明，当已知ρ、ε及边界条件时，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的，可以设法求解电位φ，再求出场中各处的E。
静电场知识点一、库仑定律①元电荷：元电荷是指最小的电荷量，用e表示，大小为②库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
表达式：，其中静电力常量二、电场①电场的产生：电荷的周围存在着电场，产生电场的电荷叫做源电荷。
静电场基本方程
静电场基本方程静电场基本方程是计算电荷在空间分布导致的电场的方程，是电场学中最基本的方程之一。
在物理学中，电场是一种描述电荷相互作用的力场，而静电场则是指电荷静止或运动速度极慢时引起的电场。
静电场基本方程能够帮助我们理解电荷分布和电场的形成与特性。
静电场基本方程的数学形式为库仑定律，也称为电荷之间的相互作用力公式。
它可以用来计算点电荷产生的电场强度，即：F=kq1q2/r²其中，F是电荷之间的作用力，q1和q2是电荷的量，r是这两个电荷之间的距离，k是库仑常数。
这个方程告诉我们，两个电荷之间的作用力与它们的距离的平方成反比，和电荷量的乘积成正比。
根据电场的定义，电场强度E是在电场中某一点上的单位正电荷所受的力。
因此，我们可以将库仑定律转化为计算电场强度的方程：E=kq/r²这个方程是静电场基本方程的标准形式。
它告诉我们，电场强度与电荷量成正比，与距离的平方成反比。
这个方程的提出为我们理解静电场提供了极大的便利，可以应用到各种不同的场景中。
静电场中的电荷分布往往比较复杂，因此我们需要使用积分来计算电场。
根据叠加原理，电场强度可以通过整合各个电荷点上的电场强度来计算。
因此，电场强度的积分形式为：E = ∫ k dq/r²其中，dq表示电荷元素。
这个积分方程可以用来计算像导体球壳，导电平板等几何结构的电场分布。
总之，静电场基本方程是我们研究电场的基础，在工程、物理学等领域有着广泛的应用。
通过深入理解静电场基本方程的数学公式，可以更好地理解电场强度的计算和电荷分布的影响。
在实践中，我们可以根据静电场基本方程的原理，设计出更加科学合理的电场设备和电路结构，为我们的生活和工作环境带来更好的服务和效益。
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的A. 空边气缘中 场强度
效 的 电应场， 为：
强此度时为E电0，介容质
器中
的极 电板场间强
的度
为电
E0/2
B. 空 气 中 的 电 场 强 度 为4E0/3，介 质 中 的 电 场 强 度
为2E0/3
C. 空 气 中 的 电 场 强 度 为 5E0/3， 介 质 中 的 电 场 强
D1D2 D1D2
R1
1 2
答：（ ）
14 精品课件
2、板 间 介 质 为 空 气， 板 间 距 离 为d的 平
行板电容器，两板分别与恒定电压
源的两 极 相 连 ， 设 此 时 电 容 器 极 板 间
电 场 强 度 为 E0， 现 将 该 电 容 器 的 一 半 空 间 填 以εr＝2的 电 介 质， 且 保 持 介 质
解：
•D
0 •E0r1 2 r(r2E r)
0(5r2 4Ar)
0
ra ra
精品课件
5
§1.3.2 分界面上的衔接条件
1、电位移D的边界条件：
S D • dS q
1
2
证明：作一圆柱体，
设高△l0， 底面△S上D均匀
△S
P
左 S D • dS
0
1
D1nS D2nS
D • dS
圆柱面S 0
E11Ed11
2E2
E2d2
U0
E
1
E
2
2U 0
1d 2 2d1 1U 0
1d 2 2d1
1 2
E1 E2
d1D1
dD22
0
U0 图a
+q0
-q0
S1
1
E1 D1
S2
2
E2 D2
图精b品课件
11
例1、两平度。（书P22例1-11）
应用
1 精品课件
§1.3 静电场的基本方程，分界面衔接条件 §1.3.1 静电场的基本方程 §1.3.2 分界面上的衔接条件
2 精品课件
§1.3.1 静电场的基本方程
一、基本方程：
二、静电场的性质：
积 E • dl 0
分
l
形
D • dS q
式 S
D E
1. 环路特性：场强的环路线 积分为0(保守场)
左 l E • dl
0
E1tl1 E2tl1
E • dl
l2
右=0
1 2
E2t
E2
E1n P
E1t
E1
E2n △l1
结论： E1t = E2t
△l2
场强的切向分量连续，与面电荷无关
7 精品课件
3、折射定理：
设两种电介质1 、2均为线性、各向同性，分界面上无自由电荷
D2n – D1n = E1=t0= E2t
2
2
n
1
1
n
B
0
1 2 A E • dl End 0
1 2
1A B 2
结论：
1
1
n
2
2
n
2=1
d
9 精品课件
5、导体(1)与电介质(2)的分界面：
D2n – D1n = E1t = E2t
D2n = E2t =0
结论：
1
1
n
2
2
n
2=1
2
2
n
2=1 = c
导体
E1 0
ez
，
x y z x y z
Ax Ay Az 3x 4 y 5z
(5z y
4y z
)e x
(
3x z
5z x
)e y
(
4y x
3x y
)ez
=0
可能为静电场。
4 精品课件
例2 半径为a的球中充满密度为(r)的电荷，已知电场
为
r3 Ar2
Er (a5 Aa4)/r2
ra ra
求电荷密度 (r) 。（书P20例1－9）
导 体 之 间 充 满 两 种 电 介 质， 内 层 为
ε1外 层 为 ε2 ,分 界 面 是 以 ρ为 半 径 的
柱 面， 如 图 所 示。 则 两 种 介 质 分 界 面
上 的 电 场 强 度 E和 电 通 密 度（ 电 位 移）
D的 关 系 为：
A. E1E2 D1D2
R2
B. E1E2
C. E1E2
解b：
E1= E2 D1 D2
1S1 2S2 q0
1
1 2
1
2
2
+q
-q
S1
1 E1 D1
S2
2 E 2 D2
E1 q0
图b
1 1S12S2
12 精品课件
例2、如图，两区域的场强E 、电位移D是否相等？若改变一个 区域的r，场强、两极板间的电压会改变吗？
解a：(1)E1= E2 D1 D2
D1
△l
右=q= △S +(1+ 2) (△l△S) /2
D2 2
结论： D2n – D1n =
n为介质1的外法线方向
D2 cos =
2
–
D1
cos
为分界面上分布的自由电荷的面密度
1
6
精品课件
2、电场强度E的边界条件：
l E • dl 0
证明：作一矩形为闭合回路，
设边△l20，边△l1上E均匀
2. 高斯定理：电位移的闭合面积 分为面内包含的总自由电荷；
微 E 0
分 形 式
•D
D Ε
3. 旋度：静电场为无旋场；
4. 散度：静电场为有源场，电 位移的源为自由电荷；
3 精品课件
例1问解：：：已是知否AA 可 能e3 为x x 静e x e电y 场4 ？ey ze y 5 exz e zey
第一章 静电场
§1.1 电场强度，电位
实验基础与理论基础
§1.2 §1.3
条§件1.4 §1.5 §1.6 §1.7
高斯定律 静电场的基本方程， 分界面上的衔接
静电场边值问题，唯一性定理 分离变量法 有限差分法 镜像法和电轴法
静电场的 基本方程
基本方程的解
§1.8 电容和部分电容 §1.9 静电能量与力
D1 = 1 E1 D2 = 2 E2 1 E1cos 1= 2 E2cos E12sin 1= E2sin 2
结论：
tg 1 /tg 2 = 1 / 2
1 2
E2t
E1n
P
2
1
E1t
E1
E2 E2n
8 精品课件
4、电位的边界条件：
设在分界面两侧各取两点A、B，间距为d 0
D2n – D1n = E1t = E2t
D1 0
电介质
E2
D2
（1）导体表面是一等位面；电力线与导体表面垂直，电场仅有
法向分量；
（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷面密度σ。10 精品课件
例1、两平行板电容器，两区域的场强E 、电位移D是
否相等？分别求其中的电场强度。（书P22例1-11）
解a： E1 E2 D1 = D2
+q
-q
S1
1 E1 D1
(2)若2增大，场强减小，
电压减小。
S2
2 E 2 D2
图b
解b： (1)E1= E2 D1 D2
(2)若2增大，场强减小，
电压减小。
2 +q
1 -q
图精b品课件
13
1、长 直 同 轴 圆 柱 电 容 器 ，内 外 导 体
单 位 长 度 带 电 荷 量 分 别 为+τ与+τ内 外