第五讲数论与组合
北师大版选择性必修第一册第五章3.13.2组合 组合数及其性质课件(32张)
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知识点 3:组合数性质
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+ -
性质 2:+ =
性质 1: =
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表示.
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!(-)! .规定 =1.
数学
[思考2-1] 一个组合与组合数有何区别?
提示:一个组合与组合数是两个不同的概念,根据定义,一个组合是具体的一
件事,它不是一个数;而组合数是所有组合的个数,它是一个数.解题时应分清
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数学
§3
组合问题
组
合
组合数及其性质
数学
核心知识目标
1.理解组合的概念.
2.能记住组合数的计算公式,
组合数的性质以及组合数与排
列数之间的关系,并能运用这
些知识解决一些简单的组合应
用题.
核心素养目标
1.通过学习组合的概念,培养数学抽象
的素养.
2.借助组合数公式进行计算,培养数学
运算的素养.
3.通过组合知识解决实际问题,提升逻
求组合还是组合数.
[思考2-2] 如何理解和记忆组合数的性质.
-
提示:从 n 个不同元素中取 m(m≤n,且 m,n∈N+)个元素,剩余(n-m)个元素,故 =
数论和组合数学知识
• 进阶:/
• 6、全排列 next_permutation 康托展开STL 常见算法
• 7、回溯
• 2、C++ 输入输出（包括流、文件） • 8、DFS、BFS、hash表
• 3、C++常用泛型：list vector stack map • 9、数学上的有：辗转相除（两行
•
9、数学：线段交点、多角形面积公式 等
排列组合
排列组合
公式
二项式定理
a的n次幂，超范围处理
较小的数可以直接相乘求出幂指数，一旦指数超出范围，则溢出 处理方式1：在程序运行中对p取余（p常取一个质数），结果为a^n取余。 处理方法2：当指数过大时，方法1不能解决，使用分治法
例题：素数计算超范围
例题：最大买不到的数目
出现连续4次(a次)能买到，之后的就都可以 买到，最大不能买到的数字就是这之前的数
比酒量
利用浮点数近似相等
通分，转为整数运算
保留分数形式， 不进行运算！
有理数是整数和分数的集合。 有理数：整数或有限小数或无限循环小数； 无理数：无限不循环小数 任何一个有理数，都可以表示成 分数 形式
整数的基本性质
• 素数、和数、整除、余数、最大公约数、最
小公倍数
• 互质的两个数的最大公约数是1，两个数如果
数论和组合数学知识
高华玲 主讲 2018.12.3
穷举法（暴力破解）
穷举法（暴力破解）
穷举法（暴力破解）
浮点数不能直接使用==来判断。 因为计算机中是二进制表示，有可能是无限循环小数，导致 不能精确相等。
乘以10，避免小数
注意：啤酒2.3，饮料1.9，啤酒比饮料的少，求啤酒的数量。 答案有两组，应该取11，30这一组，啤酒的数量为11.
第5讲 数论(数的整除)
第5讲数论（数的整除）1、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。
整除属于除尽的一种特殊情况。
2、整除的基本性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（可加性）（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（可乘性）（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则a也能被c整除；（传递性）（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。
3、15以内数的整除特征：（1）能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。
（2）能被5整除的数的特征：个位是0或5。
（3）能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
（4）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
（5）能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
（6）能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
（7）能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
（对于数位较多的数，可用“奇三位”和减去“偶三位”和。
）例1：（1）判断13574是否是11的倍数；（2）判断1059282是否是7的倍数；（3）判断3546725能否被13整除。
练习：126、248、368、472、582、1234、5678、2468、2340、97532这些数中能被4整除的数有____________________________________________；8的倍数有____________________________。
5知识讲解组合(理)(基础)
学习目标】1．理解组合的概念．．能利用计数原理推导组合数公式． ．能解决简单的实际问题．第一步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数c nm ；第二步，求每一个组合中 m 个元素的全排列数 A ：.根据分步计数原理,得到 A nmC n m A m m.组合4 要点梳理】 ．理解组合与排列之间的联系与区别．要点一：组合1. 定义：般地，从n 个不同元素中取出 m ( m n )个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个组合． 要点诠释：① 从排列与组合的定义可知,一是“取出元素” ；二是“并成一组” ,“并成一组”即表示与顺序无关.排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别． ② 如果两个组合中的元素相同, 那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合 . 因此组合问题的本质是分组问题,它主要涉及元素被取到或未被 取到 . 要点二：组合数及其公式1. 组合数的定义：从n 个不同元素中取出 m ( m n )个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的组合数．记作 C n m．要点诠释：组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从 n 个不同的元素中取出 m( m ^ n )个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的 一件事；组合数是指“从n 个不同元素中取出 m( m < n )个元素的所有组合的个数”，它是一个数. 例如，从 3 个不同元素 a , b , c 中取出2个元素的组合为 ab , ac , be ,其中每一种都叫做一个组合,而数字 3 就是组合数．2．组合数的公式及推导求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数 A m ，可以按以下两步来考虑:要点诠释:要点诠释:上面第一个公式一般用于计算，但当数值m 、n 较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式.中去选取.由于男甲、女A 必须当选，只需从剩下7人中任选3人即可满足题目的要求， 故有C ； 35种不同的选法.(2) “至少”或“最多”含有几个元素的题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接 法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.如(1 )中，将问题改为至少有一名女同学当选，有多少种不同的选法因此这里n , m € Nk ,且mc n ,这个公式叫做组合数公式.因为A>m —』一，所以组合数公式还可表示(n m)!为：C ：n! m!( n m)!组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法!在以后学习排列组合的混合问题时,般都是按先取后排(先组合后排列) 的顺序解决问题。
第五讲 数论基础
整数及运算性质 模运算与性质 素数 Euclid算法 Euclid算法 Fermat定理与 Fermat定理与Euler定理 定理与Euler定理 RSA算法 RSA算法
5.1 整数及运算性质
整数： 整数：0、正整数、负整数（为简便起见，这里 正整数、负整数（为简便起见， 主要讨论正整数，下同）。 a≠0时 ）。当 主要讨论正整数，下同）。当a≠0时，整数的 运算规则如下： 运算规则如下：
此时可记做： 此时可记做：b mod a=r 模运算性质： 模运算性质： n|(a-b) <=> a≡b mod n a|b =＞ a|bc，对所有整数 ＞ ，对所有整数c a≡b mod n =＞ b ≡a mod n ＞ a≡b mod n 和 b ≡c mod n =＞ a ≡c mod n ＞ r<a
a | b ⇒ b = ka, k = 0,1, 2,L
a | b ⇒ a | kb , k = 1, 2, L
a | b ⇒a|c b|c
a | b ⇒ a | (b ± c ) a | c
5.2 模运算与性质
不是a的整数倍 当 b不是 的整数倍，必有 不是 的整数倍，必有:
b = ka + r , k = 1, 2,3LL; r < a
a p −1 ≡ 1mod p
返回
Euler定理证明 Euler定理证明
若n是素数，则由Format定理知命题成立。 若n为非素数：设Φ(n)的整数集合为：
R = { x1 , x2 ,LL xφ ( n ) }
用a与R中的每个元素模n相乘：
S = {(ax1 mod n), (ax2 mod n),LL (axφ ( n ) mod n)}
高二人数学选修课件时组合与组合数公式
考生需要理解组合问题在实际生活中 的应用，如分组、选举、比赛等问题 。
掌握组合数的计算公式
考生需要熟练掌握组合数的计算公式 ，并能够运用公式解决简单的组合问 题。
历年高考真题解析
题目类型
高考中组合问题的题目类型主要 包括选择ห้องสมุดไป่ตู้、填空题和解答题。
考查内容
历年高考真题中，主要考查了组 合数的计算、组合的性质、组合
插空法是一种求解排列组合问题的常用方法，其基本思想 是将没有限制的元素先进行排列，再将有限制的元素插入 到已排好的元素之间的空隙中。
优点
能够简化问题，降低计算难度。
适用范围
适用于至少有一个元素位置不受限制的情况。
缺点
需要注意插入元素后是否满足题目的限制条件，否则容易 出错。
捆绑法
定义
捆绑法是将相邻的元素看作一 个整体，与其余元素进行排列 组合，然后再考虑相邻元素内
排列与组合关系
排列与组合的联系
排列和组合都是研究从n个不同元素中取出m个元素的问题， 但排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
排列与组合的区别
排列数公式为A(n,m) = n! / (n-m)!，而组合数公式为C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]。可以看出，排列数考虑了元素的顺序， 因此比组合数多了一个m的阶乘。
在信息论中，组合数学用于研究 信源编码、信道编码和密码学等 问题。
统计学与概率论
在统计学和概率论中，组合数学 提供了计算概率和期望等统计量 的方法和工具。
计算机科学
在计算机算法设计和分析中，组 合数学提供了许多有用的工具和 方法，如排序算法、搜索算法、 图论算法等。
数学物理与化学
在数学物理和化学中，组合数学 用于研究分子结构、化学反应和 物质性质等问题。
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
组合数学第五讲
1 1 x5
1
1 x7
(1 x x2 x3 )[1 x3 (x3)2 (x3)3 )[1 x5 (x5 )2 (x5)3 ]
也是将正整数 n 拆分成1, 3, 5, 7, 之和，允许重复的拆分数 q(x) 的母函数。
例 3.13 有 1 克砝码 3 枚、2 克砝码 4 枚、4 克的砝码 2 枚， 问用天平能称出那些重量，并各有几种称法？
例 3.14 若将正整数 n 拆分成1, 2, 3, , m 之和，且允许重复， 求其方案数序列{an}的母函数；若 m 至少出现一次，求母函数。
解：将正整数 n 拆分成1, 2, 3, , m 之和，且允许重复，
其方案数序列 {an } 的母函数为：
G1(x) (1 x x2 x3 )(1 x2 x4 x6 ) [1 xm (xm )2 ]
若序列0 , 1, 2 , , n , 和 0 , 1, 2 , , n , 是 非齐次递推关系的解，则 a0 0 0 , a1 1 1, a2 2 2 , , an n n , 是对应齐次递推关系的解。
例 3.6 求序列{an}，满足递推关系： an an1 6an2 5 4n ， a0 5 ， a1 3 。
的 m 重根，则特解的形式为： rn[k0nm k1nm1 kpnm p ]
其中 k0 , k1, , k p 是待定常数，由非齐次递推关系所确定。 若 r 不是特征方程 C(x) 0 的根，则令 m 0 。
例 3.8 求序列{an}，满足递推关系： an 3an1 10an2 (7)n n
其特征方程为： x2 x 6 (x 3)(x 2) 0
特征根为：3 和 2
所以齐次递推关系的通解为： n k13n k2 (2)n
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1是否存在实数x使得tan x+和
cot x+都是有理数。
2在1,2，…,2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数
3在由若干南方球队和北方球队参加的排球单循环赛中，已知南方队比北方队多9支，所有南方队得到的分数总和是所有北方队得到的分数总和的9倍（每场比赛胜者得一分，负者得零分）。
证明：循环赛结束后，某支南方队积分最高。
4在一次考试中333个同学共答对了1000道题。
答对至多3题者为不及格，答对至少6道题者为优秀。
已知不是所有同学答对的题的个数的奇偶性都相同。
问：成绩不及格者和
优秀者人数哪个多
5目前有n（n≥2）为乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比赛，并且发现任意两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，请问n的所有可能取值。
6将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应
边．试求这些正方形边长之和的最小值．
7对于整数n ≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m+1，…，m+n －1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素．
n m D A C B
A 1 D 1
8如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。
如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。
现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。
问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。
9一种密码锁的密码设置是在正n边
A A A的每个顶点处赋值0和1形12n
两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？
10设A是一个9
3 的方格表，在每一
个小方格内各填一个正整数．称A中
的一个)9
m
m方格表为“好矩形”，
≤
n
⨯n
≤
1(≤
1,3
≤
若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．。