第四章 能带理论 (Band Theory) - 欢迎来到重庆邮电大 …
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能带理论能带理论摘要阐述了能带理论提出的背景以及假设条件，在此基础上，主要给出了两个模型：近⾃由电⼦近似模型、紧束缚近似模型。
两者的假设不同，近⾃由近似模型认为价电⼦近似⾃由，晶体的周期性势场微扰很⼩；紧束缚近似模型认为电⼦受到原⼦核作⽤⽐较强，将其他原⼦的作⽤看做微扰。
两者共同基础是周期性势场中电⼦共有化运动，由两种模型研究电⼦的运动状态得出同⼀结论--能带。
在能带理论的基础上，定性的解释了绝缘体、半导体和导体。
Abstract This paper expounds the background and hypothesis of the theory of band theory,on the basis of it,two models are given:Near-free electron approximation model,tight-binding approximation model.Their assumptions are different,The near -free approximation model considers that the valence electrons are approximately free and the periodic potential of the crystal is very small;The tight-binding approximation model considers electrons are strongly affected by the nucleus,The role of other atoms as perturbation.The common basis of them is the electron co movement in the periodic potential field,It is concluded that the two models can be used to study the motion of electrons. On the basis of band theory, the properties of insulator, semiconductor and conductor are explained qualitatively.概述（背景、出发点）能带理论是讨论晶体（包括⾦属、绝缘体和半导体的晶体）中电⼦的状态及其运动的⼀种重要的近似理论。
通信原理答案 (重庆邮电大学版)
第1章 绪论 习题解答1-1解：每个消息的平均信息量为222111111()log 2log log 448822H x =--⨯- =1.75bit/符号1-2解：（1）两粒骰子向上面的小圆点数之和为3时有（1，2）和（2，1）两种可能，总的组合数为116636C C ⨯=，则圆点数之和为3出现的概率为3213618p ==故包含的信息量为2321(3)log log 4.17()18I p bit =-=-=（2）小圆点数之和为7的情况有（1，6）（6，1）（2，5）（5，2）（3，4）（4，3），则圆点数之和为7出现的概率为761366p ==故包含的信息量为2721(7)log log 2.585()6I p bit =-=-=1-3 解：（1）每个字母的持续时间为2⨯10ms ，所以字母传输速率为4315021010B R Baud -==⨯⨯不同字母等可能出现时，每个字母的平均信息量为 2()log 42H x == bit/符号 平均信息速率为4()100b B R R H x ==g bit/s （2）每个字母的平均信息量为222211111133()log log log log 5544441010H x =---- =1.985 bit/符号所以平均信息速率为4()99.25bB R R H x ==g (bit/s)1-4 解：（1）根据题意，可得：23(0)log (0)log 1.4158I P =-=-≈ 比特21(1)log (1)log 24I P =-=-= 比特21(2)log (2)log 24I P =-=-= 比特21(3)log (3)log 38I P =-=-= 比特（2）法一：因为离散信源是无记忆的，所以其发出的消息序列中各符号是无依赖的、统计独立的。
因此，此消息的信息量就等于消息中各个符号的信息量之和。
此消息中共有14个“0”符号，13个“1”符号，12个“2”符号，6个“3”符号，则该消息的信息量是： 14(0)13(1)12(2)6(3)I I I I I =+++ 14 1.41513212263≈⨯+⨯+⨯+⨯87.81≈ 比特此消息中共含45个信源符号，这45个信源符号携带有87.81比特信息量，则此消息中平均每个符号携带的信息量为287.81/45 1.95I =≈ 比特/符号法二：若用熵的概念计算，有222331111()log 2log log 1.906(/)884488H x bit =--⨯-=符号说明：以上两种结果略有差别的原因在于，它们平均处理方法不同，前一种按算术平均的方法进行计算，后一种是按熵的概念进行计算，结果可能存在误差。
能带理论
价带
∵由于能带少量重叠，
∴出现电子和空穴同时参与导电
又∵电子和空穴分属于不同的能带，它们具有不同的有效质量和速度
∴它们对电流的贡献不同
当空穴对电流的贡献起主要作用
导带
— 空穴导电型导体
空带
当电子对电流的贡献起主要作用
— 电子导电型导体
价带
形式3：Na,K,Cu,Al,Ag 金属的价带本来就没有被电子填满，同时价带又同邻近的空带重 叠 —— 形成一个更宽的导带 实际参与导电的是那些未被填满的价带中的电子 —— 电子导电型导体
En k G En k
* n,k G
r
n,k
r
（3）考虑晶体弱周期场的微扰，近自由电子能谱， 在布里渊区边界（即k =±π/a, ±2π/a , ±3π/a,… 处发生能量跳变，产生宽度分别为 2|V1|, 2|V2| , 2|V3|… 的禁带
E k 2 k 2 2m
, 的 自由电子动能为区边中心点
a
E
a
k
2k 2
2m
的二倍 ,0
a
Ec 2 k 2 2m
2 2m
2
2 a
EA
2k 2
2m
2
1
2
2m a
ky
Ec / EA 2
C , a a
空带
导带
例如: 当 Na 原子结合成晶体时，3s 能带只填满了一半电子，而 3p 能带与 3s 能带相交错。这样在被电子填满的能级上面有很多空着的能级，所以电 场很容易将价电子激发到较高的能级上，因此 Na 是良导体
第四章能带理论
T T T T
性质2： TαTβ= Tα+β
T f ( r ) f ( r a a ) T T f ( r ) f ( r a a ) T T T
15
性质3：平移算符Tα与H互相对易
2 2 H r V (r ) 2m
HT ( r ) H( r a ) 2 2 ( r V ( r )) ( r a ) 2m 2 2 ( r a V ( r a )) ( r a ) 2m H ( r a ) ( r a ) H ( r ) Ta
故晶体势场对电子运动的影 响看作微扰处理。 近自由电子近似
紧束缚近似
6
能带理论基本思想
理想晶体 具有周期性的晶格结构，因而等效势场V(r)也应具有周期性。 晶体中的电子 是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方 程为（即单电子薛定谔方程）：
2 2 V r E 2m 其 中V r V r Rn , Rn为 晶 格 平 移 矢 量 。
布洛赫定理
——1928 年布洛赫提出
一、定理内容：晶格具有平移对称性的单 电子哈密顿
2 2 H V (r ) 2m
的本征函数 ( r )可表示为
ik r (r ) e u(r )
其中
u(r ) u(r R) ，k 为简约波矢。
（2）定理证明。
13
（1）平移算符Tα及其性质
定义：平移算符Tα对于任意函数，都有：
第四章_能带理论-II
r，和准动量
k
基本运动方程：
r
1
k
n
(k)
k eE v B
4-2 恒定电场、磁场作用下
电子的运动
恒定电场下： 自由电子怎样运动？ 能带电子？
qE
第四章 能带论－2
一、恒定电场下电子运动方程
半经典近似下：
E
k eE
k t k 0 eEt
电子在k空间匀速运动。
k
在坐标空间,自由电子匀加速运动——直流电
子化的
既有量子、又有经典
4.1 电子运动的半经典模型
电子的粒子性与波动性如何联 系和统一起来？
第四章 能带论－2
一、模型的描述
电子有确定的位置r，波矢k，能量εn(k) 在外加电、磁场下：
n不变，忽略带间跃迁（低场强，无击穿）
电子的速度：
r
vn
1
k
n
k
K空间的速度：
k eE(r,t) vn k Br,t
第四章 能带论－2
一、模型的描述：波包
r ：波包中心——粒子的位置
k ：波包平均动量——粒子的准动量
1) 晶体中，布洛赫波可以组成波包 2) 把波包看成准粒子的条件是 △r
远小于观察尺寸; 具体在晶格中
要求： r a
总结：准粒子的经典物理量对 应相应算符对波包的平均
第四章 能带论－2
二、电子速度
有效质量近似为常数－有效质量近似，那么晶 体电子运动的图像如经典图像。
F m * v k
第四章 能带论－2
例1、求自由电子的速度、有效质量
k 2k 2
2m
v k p mm
m*x m*y m*z m
第四章 能带论－2
能带理论
盛年不重来，一日难再晨。
及时宜自勉，岁月不待人。
【半导体】（1）导带conduction bandA解释导带是由自由电子形成的能量空间。
即固体结构内自由运动的电子所具有的能量范围。
对于金属，所有价电子所处的能带就是导带。
对于半导体，所有价电子所处的能带是所谓价带，比价带能量更高的能带是导带。
在绝对零度温度下，半导体的价带(valence band)是满带(见能带理论)，受到光电注入或热激发后，价带中的部分电子会越过禁带 (forbidden band/band gap)进入能量较高的空带，空带中存在电子后即成为导电的能带——导带。
B导带的涵义：导带是半导体最外面（能量最高）的一个能带，是由许多准连续的能级组成的；是半导体的一种载流子——自由电子（简称为电子）所处的能量范围。
导带中往往只有少量的电子，大多数状态（能级）是空着的，则在外加作用下能够发生状态的改变，故导带中的电子能够导电，即为载流子。
导带底是导带的最低能级，可看成是电子的势能，通常，电子就处于导带底附近；离开导带底的能量高度，则可看成是电子的动能。
当有外场作用到半导体两端时，电子的势能即发生变化，从而在能带图上就表现出导带底发生倾斜；反过来，凡是能带发生倾斜的区域，就必然存在电场（外电场或者内建电场）。
导带底到真空中自由电子能级的间距，称为半导体的亲和能，即是把一个电子载流子从半导体内部拿到真空中去所需要的能量。
这是半导体的一个特征参量。
（2）价带与禁带价带（valence band）或称价电带，通常是指半导体或绝缘体中，在0K时能被电子占满的最高能带。
对半导体而言，此能带中的能级基本上是连续的。
全充满的能带中的电子不能在固体中自由运动。
但若该电子受到光照，它可吸收足够能量而跳入下一个容许的最高能区，从而使价带变成部分充填，此时价带中留下的电子可在固体中自由运动。
价带中电子的自由运动对于与晶体管有关的现象是很重要的。
被价电子占据的允带（低温下通常被价电子占满）。
第四章 能带论
当平移晶格矢量时，同一能量本征值的波函数只增加相位因子
§4布洛赫定理和布洛赫波
重要推论 1. 晶格电子可用通过晶格周期性调幅的平面波表示。 2. 只需将k值限制在一个包括所有不等价k的区域求解 薛定谔方程，这个区域称为布里渊区。 三、布洛赫波能谱特征 1.对于一个确定的 ，有无穷多个分立的能量本征 本征函数 和相应的
2 2 V ( r ) ( r ) E ( r ) 2m
这种建立在单电子近似基础上的固体电子理论称为能带论
§4 布洛赫定理和布洛赫波
一、平移算符、周期场中单电子状态的标志 在量子力学中，量 1.平移算符 子态如何标记？
第 四 章 能 带 论
一狄喇克统计。
1928 年，索末菲借鉴德鲁德模型的假设，重新考虑了金属中的电子气的性质。从 量子力学的观点看，电子是服从泡利不相容原理的费密子（ Fermion ) ，那么由全同 的电子组成的电子气体，应服从费密一狄喇克（Fermi 一 Dira）统计，而不是遵循经 典统计物理中的麦克斯韦一玻耳兹曼（ Maxwen 一 Boltzmann）统计。
§4布洛赫定理和布洛赫波
§1布洛赫定理和布洛赫波
§4布洛赫定理和布洛赫波
§4布洛赫定理和布洛赫波
§4布洛赫定理和布洛赫波
§4布洛赫定理和布洛赫波
2维方格子的布里渊区
二维长方晶格的布里渊区
二维正方晶格的布里渊区
二维六方晶格的十个布里渊区
面心立方晶格的第一布里渊区
面心立方晶格的第一布里渊区
u s u（0）e i（t ska）
当
k k G时
u u（0）e
i[（k
2 2 n）t s（k n] a a
能带理论(4)
U n eiGn r
1 U 0 U r d ——势能函数的平均值 V (V ) 1 U n U r e iGn r d —— 微小量 V (V )
2 2 2 2 H U r U 0 U n eiGn r 2m 2m n 0 H0 H 2 2 2 2 零级近似： H 0 令U0 0 U0 2m 2m
在三维情况下，在布里渊区边界面上的一般位置，电
子的能量是二重简并的，即有两个态的相互作用强， 其零级近似的波函数就由这两个态的线性组合组成； 在布里渊区边界的棱边上或顶点上，则可能出现能量 多重简并的情况。对于g重简并，即有g个态的相互作用 强，其零级近似的波函数就需由这g个相互作用强的态 的线性组合组成，由此解出简并分裂后的g个能量值。
以上讨论仅适用于原子能级非简并，且原子波函数重叠 很少的情况，即适用于原子内层 s电子所形成的能带。
二、原子能级与能带的对应 对于原子的内层电子，其电子 轨道很小，因而形成的能带较 窄。这时，原子能级与能带之 间有简单的一一对应关系。 对于外层电子，由于其电子轨 道较大，形成的能带就较宽。 这时，原子能级与能带之间比较复杂，不一定有简单的一一 E
2 2 V (r R m ) U r j r R E a j r R a 2m V (r Rm ) j r R a
原子势场
以j*(r-Rn)同时左乘方程两边，再积分
a
j U r V r R j r R E a j r R
a j n j r Rn U r V r R j r R d Ean
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15
一方面，三维晶体的能量作为简约波矢的函数，
随波矢方向变换而性质有所变化；另一方面，三维BZ
构造复杂，讨论起来比较困难。
由于对称性的存在，实际上人们并不需要研究 整个 BZ (FBZ) 。利用对称性，人们可以通过研究部 分FBZ的情况来了解整个FBZ。
为例，Oh点群有48个对称操作，则简约BZ可以分
割成48个等价区域，只需讨论其中一个就可以得到
全部。这1/48的体积称为RBZ的不可约体积。
21
根据量子力学中的结论，若 k 是 S-E 的解，则其复共 轭也是对应于相同本佂值的解。从而能量函数具有性质
En k En k ，这个结论是普遍的，不依赖于晶体的
s
6
根据以上结果，每一个 k 对应一个能量本征值，对应
于准连续的 N 个 k ， E k 形成一个准连续的能带。也就
是说，根据紧束缚近似，原子形成固体时，一个原子态形 成一相应的能带。
J Rs 当 Rs 0 值最大，记作 J 0 . 在其他所有 Rs 中
2
晶体中电子运动的波动方程为
2 2 U r Rm i r E i r ， 2m U r Rm 为周期势场，是各格点原子势场之和。
把 U r V r Rm 看作微扰, 利用简并微扰方法
16
晶体全部对称操作的集合构成空间群。
简单空间群 空间群 复杂空间群 简单空间群中的对称操作 点群对称操作 简单空间群
| t
l1l2l3
平移操作
平移群
点群
17
平移对称性在晶体电子运动状态的反映集中表 现在Bloch定理中，简约波矢是标志平移对称性的量 子数。这里讨论点群对称性的表现。
点群对称性。
22
简约波矢表示原胞之间波函数相位的变换， 如果 k 改变
一个倒格子矢量 Gn ， 波函数保持不变， 从这个意义上讲 k 和 k Gn 是等价的。如果 k 取值限制在 FBZ，对于一个 k 有
若干分离能量值，对应于不同的能带；对于给定的 n，能量 是 k 的连续函数。 这种能量函数的表示方法称为 RBZ 图像。
, R 点分别对应带底和带顶。带宽取决于 J1，J1 的大小取
决于近邻原子波函数之间的相互重叠。
8
例4.5 简单立方晶格中由原子的 p 轨道形成的能带。
原子 p 态是三重简并的，三个原子的 p 轨道可以写成
p xf r , p yf r , p zf r .
1. Bloch函数和Wannier函数是两组正交函数基，由酉变
换 (unitary transformation) 相联系。
2. Wannier函数以格点为中心局域分布。
3. 不同能带不同格点的Wannier函数正交。
4. 晶体中原子间距增大，每个原子的势场对电子有较强
的束缚作用，当电子距某一原子较近时，电子的行为同
x y z
可以证明三个 p 轨道各自形成一个能带，其波函数为各 自原子轨道的 Bloch 和
p k
e
n
ik Rn
p
r Rn , x, y, z.
ik R s . 各能带的能量仍可表示为: E k i J 0 J Rs e
* i
设：
3 r Rn U r V r Rm i r Rm d r J Rn Rm .
* i
5
am J Rn Rm E i an .
原子轨道重叠很小，近似有
3 i * r Rm j r Rn d r mnij .
3 am r Rn U r V r Rm i r Rm d r E i an . m
25
波函数的对称性
BZ 中对称点或对称轴上的点，存在波矢群 k k 或
k +Gn ，对于这些状态有
T ห้องสมุดไป่ตู้
ik r ik 1r 1 ik r nk r e nk r e nk ' r 。
来处理电子运动的方法称为紧束缚近似。
3
考虑微扰以后的状态是 N 个简并态的线性组合，
即用原子轨道的线性组合来构成晶体电子的共有化
轨 道 ， 因 而 也 称 为 原 子 轨 道 线 性 组 合 法 (Linear
Combination of Atomic Orbitals, LCAO). 晶体轨道（Crystal orbital）
11
可以忽略不同原子态之间的相互作用的条件是微
扰作用远小于原子能级之间的能量差。通常可以用能
带宽度反映微扰作用的大小。对于内层电子，能带宽
度较小，能级和能带之间有简单的对应关系；外层电
子的能带较宽，能级和能带之间通常不存在简单的对
应关系，可以认为主要是由几个能级相近的原子态相 互组合形成能带。例如，可以只计入同一主量子数中 的 s 态和 p 态之间的相互作用，而略去其他主量子数 原子态的影响。先对各原子态求 Bloch 和，然后再组 合四个Bloch和得到能带电子波函数。
ik R s . 保留最近邻项，得到 E k i J 0 J Rs e
N.N.
7
例4.4 简单立方晶格中由原子的 s 轨道形成的能带。 s 轨道沿各个方向重叠积分相同， 因此有 J Rs J 1 0 。
简单立方晶格六个近邻格点为 a,0,0 , 0, a,0 , 0,0, a ,
Ekpz p J 0 2 J1 cos k z a 2 J 2 cos k x a cos k y a .
三个 p 轨道简并,生成的能带是交叠的。
思考题：p 带的带宽是多少？
10
讨 论
1. 这里讨论的是最简单的情况,一个原子能级对应一个 能带。原子的不同能级在固体中产生一系列的能带。越 低的能带越窄，越高的能带越宽。这时原子能级和能带 有简单的对应关系，相应的能带可称为ns带、np带、nd 带等。p、d 态都是简并的，对应的能带是相互交叠的。 2. 形成晶体的过程中，不同原子态之间也有可能相互混 合，从而导致原子能级和能带之间不存在上述简单的对 应关系。
12
3. 对于复式晶格，如果每个原胞中有 l 个原子，可以
认为原胞中各原子先形成分子轨道，再以分子轨道为
基组成 Bloch 和，而认为能带与分子轨道之间有相互
对应的关系。
4. 紧束缚近似可以用于研究半导体和绝缘体的能带结
构。
13
Wannier 函数
紧束缚近似中的能带电子波函数表示成原子波函数的 Bloch 和，这个结论是普适的，即任何能带 Bloch 函数都可
RBZ 实际上是倒空间的原胞， 以它的形状为单元周期重 复排列可以充满整个 k 空间，这些单元是完全等价的。因此
有 En k En k Gn 。
23
除了RBZ和PBZ图像，还有一种EBZ图像，其差
别如下：
1. RBZ图像，所有能带绘于FBZ内。
2. PBZ图像，在每一个BZ中描出所有能带。
r ami r Rm .
m
代入波动方程可得
i r Rm E ami r Rm . am U r V r R i m m m
4
当原子间距比原子轨道半径大时，不同格点的
m
该方程有形式解 am 从而有：
Ce
ik Rm
.
ik R R ik Rs m n E i J Rn Rm e J Rs e m
s
1 ik Rm r e i r Rm , N m ik R E k i J Rs e s .
对于不同的能带， nk r 变换规律不同，称为波函数具有
不同的对称性，用不同的符号标记。
P210 表4.1 Oh群的对称表
26
原子中的电子能级是分立的，可以具体表明各
能级的能量。固体中，电子能级形成准连续的能带，
3. EBZ图像，不同的能带绘于不同的BZ中。
以后的讨论，如不特别指明，均为RBZ图像。
参见：P207, 图4-32,4-33
24
晶体中能带函数具有如下对称性：
En k E n k , En k E n k , En k En k Gn .
能带理论 - 3 （Band Theory）
1
不考虑原子间相互作用，简单晶格格点 Rm 原子的电
子将以原子束缚态的形式运动，其波函数可以表示为
i r Rm ，且满足
2 2 V r Rm i r Rm ii r Rm . 2m 其中 V r Rm 为格点处原子势场， i 为原子能级。
i k r T nk r e n,k ' r En k En k