第3章 构件的强度和刚度共27页

第3章构件的强度和刚度学习目标理解各种基本变形的应力概念和分布规律；掌握虎克定律及材料在拉伸和压缩时的机械性能指标的含义；掌握各种基本变形的应力和强度计算方法；掌握弯曲刚度的基本计算方法；了解应力集中和交变应力的概念及材料在交变应力作用下的破坏特点。

3．1 分布内力与应力、变形与应变的概念3．1．1 分布内力与应力杆件受力作用时截面上处处有内力。

由于假定了材料是均匀、连续的，所以内力在个截面上是连续分布的，称为分布内力。

用截面法所求得的内力是分布内力的合力，它并不能说明截面上任一点处内力的强弱。

为了度量截面上任一点处内力的强弱程度，在此引入应力这一重要概念。

截面上一点的内力，称为该点的应力。

与截面相垂直的应力称为正应力，用σ表示；截面相切的应力称为切应力，也称剪应力，用τ表示。

在国际单位制中，应力的基本单位是N ／m2，即Pa。

工程中常用单位为MPa，GPa，它们的换算为：l MPa=106Pa=1 N／mm21 GPa=103MPa=103 N／mm23．1．2应变在外力的作用下，构件的几何形状和尺寸的改变统称为变形。

一般讲，构件内各点的变形是不均匀的，某点上的变形程度，称为应变。

围绕构件内K点取一微小的正六面单元体，如图3—1(a)所示，设其沿x轴方向的棱边长为x∆称为x∆的线变形。

∆+u∆，如图3—1(b)所示，u∆，变形后的边长为x当x∆趋于无穷小时，比值ε=u∆／x∆表示一点处微小长度的相对变形量，称为这一点的线应变或正应变，用ε表示。

一点处微小单元体的直角的改变量[图3—1(c)]，称为这一点的切应变，用γ表示。

线应变ε和切应变γ是度量构件内一点变形程度的两个基本量，它们都是无量纲的量。

图3—1正应变和切应变3．2轴向拉伸与压缩的应力应变及虎克定律3．2．1 拉伸与压缩时横截面上的应力拉压杆，如图3—2(a)(b)所示，横截面上的轴力是横截面上分布内力的合力，为确定拉压杆横截面上各点的应力，需要知道轴力在横截面上的分布。

试验表明，拉压杆横截面上的内力是均匀分布的，且方向垂直于横截面。

因此，拉压杆横截面上各点只产生正应力σ．且正应力沿截面均匀分布，如图3—2(c)(d)所示。

设拉压杆横截面面积为A ，轴力为F N ，则横截面上各点的正应力σ为σ= N F A (3-1) 正应力的符号规定与轴力相同。

即拉应力为正，压应力为负。

例3—1 如图3—3所示圆截面杆，直径d=40 mm ，拉力F=60 kN ，试求1—1，2—2截面上的正应力。

解 (1)计算两截面上的轴力F Nl =F N2=60 kN(2)计算两截面上的应力图3—2拉伸与压缩时横截面上的应力图3—3圆截面杆1—1截面的面积为 A 1≈244d d d π-⨯= 22(40)(40)44mm mm π-=856 mm 22—2截面的面积为 A 2= 24d π=2(40)4mm π= l 256 mm 21—1截面上的正应力为 σ1=11N F A = 326010856N mm ⨯= 70．1 MPa 2—2截面上的正应力为 σ2=22N F A =3260101256N mm⨯= 47．7 Mpa 3．2．2拉压杆的变形和应变杆件在轴向外力作用下，杆的长度和横向尺寸都将发生改变。

杆件沿轴线方向的伸长(或缩短)量，称为轴向变形或纵向变形，将杆件横向尺寸的缩短(或伸长)量，称为横向变形。

设圆截面等直杆原长为l ，截面面积为A ，在轴向外力F 作用下，杆长由l 变为l 1，则杆件的轴向变形为l ∆=l 1-l 。

杆件拉伸时，l ∆为正；压缩时，l ∆为负。

l ∆为杆件的绝对变形，其大小与原尺寸有关，为了准确地反映杆件的变形情况，消除原尺寸的影响，需要计算单位长度的变形量即相对变形，称为线应变。

对于轴力为常量的等截面直杆，杆的纵向变形沿轴线均匀分布，故其轴向线应变为ε=l ∆／l 。

杆件拉伸时，ε为正；杆件压缩时，ε为负值。

3．2．3虎克定律实验研究指出：在一定范围内，杆件的绝对变形l ∆与所施加的外力F 及杆件长度l 成正比，而与杆件的横截面面积A 成反比。

引入与杆件材料有关的比例系数E ，上式可写为l ∆= Fl EA(3—2) 这一比例关系，称为虎克定律。

其中F 是轴向力，即F N 。

比例系数E 称为材料的拉压弹性模量，它表示材料抵抗拉(压)变形的能力，弹性模量愈大，变形愈小，E 的数值与材料有关。

常用工程材料的E 值，可查阅相关机械设计手册。

从公式(3—2)还可以看出，分母EA 愈大，杆件变形l ∆愈小，所以EA 称为杆件的抗拉(压)刚度，它表示杆件抵抗拉伸(或压缩)变形的能力。

将 ε=l l∆代人l ∆=N F l EA ，可得虎克定律的另一表达式 σ=E ε (3—3)公式表明，在一定范围以内，杆件横截面上的正应力σ与纵向线应变ε成正比。

例3—2 求图3—4(a)所示杆的轴向变形l ∆、最大正应力σmax 及最大线应变εmax 。

已知：A 1=2A 2=100 mm 2，E=200 GPa ，l 1=l 2=400 mm ，F=10 kN 。

解：(1)作轴力图根据杆所受外力，可作出杆的轴力图，如图3—4(b)所示。

图3—4(2)计算杆的轴向变形l ∆由轴力图和杆的结构图可知，应先分别计算AB 段的变形l ∆1，和BC 段变形l ∆2，再求杆的总变形。

AB 段： l ∆1=111N F l EA =332101040020010100N mm MPa mm⨯⨯⨯⨯=0.2 mm (伸长) BC 段： l ∆2= 222N F l EA = 33210104002001050N mm MPa mm -⨯⨯⨯⨯=-0．4 mm(缩短) 杆的总变形：l ∆=l ∆1+l ∆2=0.2 mm -0．4 mm =-0．2mm (缩短)(3)计算杆的最大正应力σmax由轴力图和杆的结构图可知，杆的最大正应力发生在BC 段，为σmax =22N F A = 32101050N mm ⨯ =200 MPa(压) (4)计算杆的最大线应变εmax 由ε=Eσ可知，最大线应变与最大正应力相对应，故εmax 也出现在BC 段上的各点，为 εmax =max E σ= 320020010MPa MPa⨯=0.001 (压) 3．3材料在拉伸、压缩时的力学性能材料的力学性能是指材料在受力和变形过程中所具有的特性指标。

它是材料的固有特性，可以通过实验获得。

上一节介绍的材料弹性模量E ，就是材料重要的力学性能指标。

3．3．1 材料拉伸时的力学性能拉伸试验一般在常温、静载荷条件下进行，试验时采用标准试件。

圆截面的标准试件，如图3—5所示。

图3—5圆截面拉伸试件试件两端是夹持部分，中间工作长度和直径的关系为l =l0d 或l =5d 。

试件装到试验机上后，缓慢增加拉力F ，试件在标距l 长度内产生变形l ∆，将对应的和l ∆绘成F 一l ∆曲线，称为拉伸图。

一般在试验机上能自动绘出。

1．低碳钢的拉伸试验低碳钢是工程上广泛使用的材料，在此以低碳钢Q235为例研究其拉伸时的力学性能。

图3—6是低碳钢的拉伸图。

由于试验l∆与试件长度l和横截面积A有关，因此，即使同一材料当试件尺寸不同时，拉伸图也不相同。

为消除试件尺寸的影响，将纵坐标F除以试件的横截面积A得到盯σ=F／A，横坐标l∆除以试件的长度l得到ε=l∆／l,即可绘出σ—ε关系曲线，称为应力一应变图，如图3—7所示。

该图表示从加载开始到破坏为止应力与应变的对应关系。

图3—6低碳钢的拉伸图图3—7低碳钢拉伸σ—ε图通过试验，对照σ—ε关系曲线，可以看出低碳钢的拉伸试验分为4个阶段。

(1)弹性阶段在图3—7所示应力一应变图的OA’段内，如果卸去外力，试件的变形将全部消失，说明在此阶段材料只产生弹性变形，所以OA’段称为弹性阶段。

弹性阶段的最高点A’所对应的应力，是材料只发生弹性变形的最大应力，称为材料的弹性极限，用σe表不。

在弹性阶段内的OA段，σ—ε关系曲线为一直线，说明在此阶段内σ与σ成正比，即符合虎克定律，σ=Eε。

直线最高点A所对应的应力，是正应力与正应变成正比的最大应力，称为材料的比例极限，用σp表示。

直线OA的斜率，数值上等于材料的弹性模量E。

弹性极限σe和比例极限σp的物理意义并不相同，但两者数值相近，例如，低碳钢Q235的σe和σp都约为200 MPa。

因此，实际应用中对两者通常不作严格区分，即认为在弹性阶段范围内材料服从虎克定律。

(2)屈服阶段在应力超过弹性极限σe后的σ—ε关系曲线上，出现一段近似水平的小锯齿形曲线BC。

此时，说明的应力有波动但几乎未增加，材料却发生很大的变形。

此时，材料失去抵抗变形的能力，这种现象称为材料的屈服，BC段也被称为屈服阶段。

在屈服阶段除第一次下降的最小应力外的最低应力称为屈服极限，用σs表示。

低碳钢Q235的σs约为235 Mpa。

工程上一般不允许材料发生塑性变形，因此，屈服极限是材料的重要强度指标。

(3)强化阶段屈服阶段过后，σ—ε关系曲线又成为上升的曲线，此时材料恢复抵抗变形的能力，这种现象称为材料的强化，CD段称为强化阶段。

强化阶段的最高点D所对应的应力是材料所能承受的最大应力，称为强度极限，用σb表示。

低碳钢Q235的σb约为380 MPa。

强化阶段，应变随应力增加而显著增大，此时的变形主要是塑性变形。

(4)缩颈阶段 应力达到强度极限σb 时，试件在内部不均匀或有缺陷的薄弱处会出现局部收缩，称为缩颈现象，即图示DE 段，最后导致试件断裂。

试件断裂后，其弹性变形随着载荷的消失而恢复，剩余塑性变形。

断裂的两段试件总l 1。

减去原来的长度l ，再除以原长l 的百分比，称为材料的伸长率，用δ表示，即δ= 1l l l-⨯ 100％ 伸长率大的材料，在轧制或冷压加工成型时不易断裂，并能承受较大的冲击载荷。

工程中按伸长率的大小将材料分为两类，δ≥5％的材料，如结构钢、铝材等，称为塑性材料，低碳钢Q235的伸长率δ约为25％～30％，是典型的塑性材料；δ<5％的材料，如铸铁、工具钢、陶瓷等，称为脆性材料。

试件试验前截面面积为4，断裂后断口最小横截面的面积为A 1，则ψ= 1A A A-×100％ 其中，ψ称为断面收缩率。

低碳钢Q235的断面收缩率ψ约为60％。

2．铸铁的拉伸试验铸铁拉伸时的σ—ε关系曲线，如图3—8所示。

图中没有明显的直线，也没有屈服和缩颈现象，试件是突然断裂的。

铸铁断后伸长率δ约为0.5％～0.6％，是典型的脆性材料。

衡量脆性材料强度的唯一指标是强度极限σb 。

图3—8铸铁拉伸σ—ε图3．3．2材料压缩时的力学性能为避免试件被压弯，金属材料的压缩试件应为短圆柱形，圆柱的高度一般为直径的2.5～3.5倍。