九年级数学下册第二十七章相似273位似2732位似图形的坐标变化规律课时训练(新版)新人.docx
九年级数学下册 第二十七章 相似 27.3 位似 27.3.2 位
第2课时 位似图形的坐标变化规律关键问答①在直角坐标系中，图形上各点的横坐标、纵坐标都变为原来的k 倍或1k(k >1)，则连接各点所得到的图形与原图形有什么关系？②在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为k 对一个图形进行位似变换，两个图形对应点的坐标有什么关系？1．①某个图形上各点的横、纵坐标都变为原来的12，连接各点所得图形与原图形相比( )A ．完全没有变化B ．扩大为原来的2倍C ．面积缩小为原来的14D ．关于y 轴成轴对称2．②如图27－3－14，在直角坐标系中，有两点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到新的线段，则点A 的对应点的坐标为( )图27－3－14A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)3．如图27－3－15，已知△ABC 和点M (1，2)．(1)以点M 为位似中心，相似比为2，在网格中画出△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′；图27－3－15(2)写出△A′B′C′各顶点的坐标．命题点 1 以原点为位似中心的位似变换中点的坐标变化 [热度：96%]4.③如图27－3－16，线段AB 两个端点的坐标分别为A (4，4)，B (6，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 和D 的坐标分别为( )图27－3－16A ．(2，2)，(3，2)B ．(2，4)，(3，1)C ．(2，2)，(3，1)D ．(3，1)，(2，2) 易错警示③注意本题的条件是“在第一象限内”. 5.④如图27－3－17，在平面直角坐标系中，已知点A (－3，6)，B (－9，－3)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是( )图27－3－17A ．(－1，2)B ．(－9，18)C ．(－9，18)或(9，－18)D ．(－1，2)或(1，－2) 方法点拨④在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，作已知图形的位似图形，若相似比确定，则得到的位似图形有两个；若相似比为k ，则位似图形对应点的坐标的比等于k 或－k .6．如图27－3－18，△ABO 缩小后变为△A ′B ′O ，其中点A ，B 的对应点分别为A ′，B ′，点A ，B ，A ′，B ′均在图中的格点上．若线段AB 上有一点P (m ，n )，则点P 在A ′B ′上的对应点P ′的坐标为( )图27－3－18A ．(－m 2，n )B ．(m ，n )C ．(m ，n 2)D ．(m 2，n2)7.⑤如图27－3－19，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2，2)，B (4，0)，C (6，4)，以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小，相似比为1∶2，则线段AC 的中点P 变换后对应点的坐标为________．图27－3－19解题突破⑤先求出AC 的中点P 的坐标，再根据坐标变换规律求对应点的坐标.8．如图27－3－20，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点坐标分别为O (0，0)，A (2, 0)，B (2，1)，C (0，1)，以坐标原点O 为位似中心，将矩形OABC 放大为原来的2倍．记所得矩形为OA 1B 1C 1，点B 的对应点为点B 1，且点B 1在OB 的延长线上，则点B 1的坐标为________．图27－3－20命题点 2 以非原点的点为位似中心的坐标变化 [热度：95%]9．如图27－3－21，△ABE 和△CDE 是以点E 为位似中心的位似图形，已知点A (3，4)，点C (2，2)，点D (3，1)，则点D 的对应点B 的坐标是( )图27－3－21A ．(4，2)B ．(4，1)C ．(5，2)D ．(5，1)10．如图27－3－22，直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B ′O ′C ′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B 的对应点B ′的坐标为________．图27－3－2211．如图27－3－23，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 放大为原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是________．图27－3－23命题点 3 位似中心坐标的确定 [热度：90%]12.⑥如图27－3－24，△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是( )图27－3－24A．(6，2) B．(6，1) C．(4，2) D．(2，6)解题突破⑥本题可以利用网格图的特点以及位似图形的概念求解.13．⑦如图27－3－25，已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐标系中，点B，F的坐标分别为(－4，4)，(2，1)．若矩形ABCD和矩形EFGO是位似图形，点P(点P在GC上)是位似中心，则点P的坐标为( )图27－3－25A．(0，3) B．(0，2.5)C．(0，2) D．(0，1.5)解题突破⑦本题需要利用位似图形的概念以及位似图形的性质求解．命题点 4 利用多种变换作图和计算[热度：95%]14．如图27－3－26，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC(顶点是网格线的交点)，在建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕旋转中心P逆时针旋转90°后得到△A1B1C1.(1)在图中表示出旋转中心P，并写出它的坐标；(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，在图中画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标．图27－3－2615．如图27－3－27，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)将△A1B1C1的三个顶点A1，B1，C1的横坐标与纵坐标同时乘－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；(3)求S△A1B1C1∶S△A2B2C2.图27－3－2716.⑧阅读：如图27－3－28①，以原点O为位似中心，按比例尺(OA′∶OA)3∶1在位似中心的同侧将△OAB放大为△OA′B′，观察得到各点的坐标见表一，可以归纳得出：对应点的横、纵坐标均存在3倍的关系，即点P(x，y)的对应点P′的坐标为(3x，3y)．仿照图27－3－28①，按要求完成下列画图并将坐标与归纳猜想填入相应表格．图27－3－28活动一：在图27－3－28②中，以点T(1，1)为位似中心，按比例尺(TE′∶TE)3∶1在位似中心的同侧将△TEF放大为△TE′F′，并将点E′，F′的坐标和归纳猜想填入表二；活动二：在图27－3－28③中，以点W(2，3)为位似中心，按比例尺(WG′∶WG)4∶1在位似中心的同侧将△WGH放大为△WG′H′，并将点G′，H′的坐标和归纳猜想填入表三；活动三：归纳结论：以点M(a，b)为位似中心，按比例尺(MP′∶MP)n∶1在位似中心的同侧将图形放大，则点R(x，y)的对应点R′的横坐标为________，纵坐标为________．解题突破⑧应从特殊形式归纳出一般结论．由位似的知识可知，TE′＝3TE，TF′＝3TF，WG′＝4WG，WH′＝4WH，在图中作出点E′，F′，G′，H′，可以得到各点的坐标分别为E′(4，7)，F′(10，4)，G′(6，11)，H′(14，7)．通过归纳总结，可以得出以点M(a，b)为位似中心，按比例尺(MP′∶MP)n∶1在位似中心的同侧将图形放大，则点R(x，y)的对应点R′的横坐标为n(x－a)＋a＝nx＋a－na，纵坐标为n(y－b)＋b＝ny＋b－nb.详解详析1．C 2.A3．解：(1)如图：(2)A ′(3，6)，B ′(5，2)，C ′(11，4)．4．C [解析] 根据题意，将A (4，4)，B (6，2)两点的横坐标与纵坐标都缩小为原来的12，故选C. 5．D [解析] ∵A (－3，6)，B (－9，－3)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，∴点A 的对应点A ′的坐标为(－3×13，6×13)或(－3×(－13)，6×(－13))，即点A ′的坐标为(－1，2)或(1，－2)．故选D.6．D [解析] 由图知，点A 的坐标为(4，6)，点A ′的坐标为(2，3)，△ABO 与△A ′B ′O 的相似比为2∶1，∴线段AB 上一点P (m ，n )在A ′B ′上的对应点P ′的坐标为(m 2，n2)．7．(2，1.5)或(－2，－1.5) [解析] 由题意可知P (4，3)，以原点为位似中心，将△ABC 缩小，相似比为1∶2，所以点P 的对应点的坐标为(2，1.5)或(－2，－1.5)．8．(4，2) [解析] ∵点B 的坐标为(2，1)，而点B 的对应点为点B 1，且点B 1在OB 的延长线上，∴点B 1的坐标为(2×2，1×2)，即(4，2)． 故答案为(4，2)． 9．C10．(－8，－3)或(4，3) [解析] ∵直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，令x ＝0可得y ＝1，令y ＝0可得x ＝－2，∴点A 和点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，1)．∵△BOC 与△B ′O ′C ′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3， ∴OB O ′B ′＝OA AO ′＝13， ∴O ′B ′＝3，AO ′＝6，∴点B ′的坐标为(－8，－3)或(4，3)． 故答案为(－8，－3)或(4，3)． 11．－a ＋32[解析] 将两个位似图形水平向右移动1个单位长度，则点B ′的横坐标变为a ＋1，这时点B 的横坐标为－a ＋12.再将两个位似图形水平向左移动1个单位长度，可得点B 的横坐标为－a ＋32.12．A [解析] 把各组对应点连接起来找交点，即位似中心，从而确定其坐标为(6，2)． 13．C [解析] 连接BF ，交GC 于点P ，由B (－4，4)，F (2，1)可得BC ＝4，OC ＝4，OG ＝1，GF ＝2，所以CG ＝3.由BC ∥GF 可得△BCP ∽△FGP ，所以BC GF ＝CP GP＝2，所以GP ＝1，所以P (0，2)．14．解：(1)如图，点P 即为所求，点P 的坐标为(3，1)．(2)如图，△A 2B 2C 2即为所求，点C 2的坐标为(2，4)或(－2，－4)．15．解：(1)如图所示， △A 1B 1C 1即为所求．(2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．(3)∵△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘－2得到对应的点A 2，B 2，C 2， ∴△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2关于原点位似，相似比为1∶2， ∴S △A 1B 1C 1∶S △A 2B 2C 2＝1∶4. 16．解：如图：归纳结论：以点M (a ，b )为位似中心，按比例尺(MP ′∶MP )n ∶1在位似中心的同侧将图形放大，则点R (x ，y )的对应点R ′的横坐标为nx ＋a －na ，纵坐标为ny ＋b －nb .【关键问答】①得到的图形与原图形是位似图形，且相似比为k 或1k.②变换后的图形上点的横坐标变为原来的k 倍或k 倍的相反数，纵坐标变为原来的k 倍或k 倍的相反数．。
初三数学下册(人教版)第二十七章相似27.3知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：初三数学下册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案
第二十七章 相似 27.3 位似
一、学习任务
1. 了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置．
二、知识清单
位似
三、知识讲解
1.位似
两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫
做位似图形（homothetic figures ），这个点叫做位似中心．
如图， 各顶点坐标分别是：，，．以 为位似中心，在 轴下方将 放大为原来的 倍．
分析：根据位似变化的性质，即可求得 ，，的坐标，则可画出 ．
解：
△ABC A (−4,4)B (−1,2)C (−5,1)O x
△ABC 2A 1B 1C 1△
A 1
B 1
C 1
()
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答案：解析：A ．B ．C ．D ．D 由题意知两矩形位似比为 ，矩形 如图所示：
4
(−2,3)
(2,−3)(3,−2)或(−2,3)
(−2,3)或(2,−3)1:2OA 'B 'C '答案：4. 如图，在平面直角坐标系中，以原点 为位中心，将 扩大到原来的 倍，得到 ．
若点 的坐标是 ，则点 的坐标是
A ．
B ．
C ．
D ．C O △ABO 2△A 'B 'O A (1,2)A '(
)(2,4)
(−1,−2)(−2,−4)(−2,−1)。
【配套K12】[学习]2018-2019学年九年级数学下册 第二十七章 相似 27.3 位似 第2课
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课时作业(十五)[27.3 第2课时 位似图形的坐标变化规律]一、选择题1．将平面直角坐标系中某个图案各点的坐标作如下变化，其中属于位似变换的是( ) A ．将各点的纵坐标乘2，横坐标不变 B ．将各点的横坐标除以2，纵坐标不变 C ．将各点的横坐标、纵坐标都乘2D ．将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2 2．如图K －15－1，在平面直角坐标系中，有两点A(4，2)，B(3，0)，以原点O 为位似中心，A′B′与AB 的相似比为12，得到线段A′B′，正确的画法是( )A BC D图K －15－13．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，如图K －15－2，则小鱼上的点(a ，b)对应大鱼上的点( )图K －15－2A ．(－2a ，－2b)B ．(－a ，－2b)C ．(－2b ，－2a)D ．(－2a ，－b)4．2018·滨州在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为A(6，8)，B(10，2)．若以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩短为原来的12后得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为( )A ．(5，1)B ．(4，3)C ．(3，4)D ．(1，5)5．如图K －15－3，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上．若正方形BEFG 的边长为6，则点C 的坐标为( )图K －15－3A ．(3，2)B ．(3，1)C ．(2，2)D ．(4，2) 二、填空题6．2017·长沙如图K －15－4，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是________．图K －15－47．2017·滨州在平面直角坐标系中，点C ，D 的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB ＝2，则点C 的对应点A 的坐标为__________．8．如图K －15－5，正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，则这两个正方形的位似中心的坐标是________．图K －15－59．如图K－15－6，直线y＝12x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B的对应点B′的坐标为________．图K－15－6三、解答题10．如图K－15－7，在平面直角坐标系中，依次连接点O(0，0)，A(2，2)，B(5，2)，C(3，0)组成一个图形，请你以原点为位似中心在第一象限内把它放大，使放大前后对应线段的比是1∶4.图K－15－711．2017·凉山州如图K－15－8，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC 的三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．图K－15－812．如图K－15－9所示，网格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(－1，－1)．(1)把△ABC向下平移5格后得到△A1B1C1，写出点A1，B1，C1的坐标，并画出△A1B1C1；(2)把△ABC绕点O按顺时针方向旋转180°后得到△A2B2C2，写出点A2，B2，C2的坐标，并画出△A2B2C2；(3)把△ABC以点O为位似中心放大得到△A3B3C3，使放大前后对应线段的比为1∶2，写出点A3，B3，C3的坐标，并画出△A3B3C3.链接听课例题归纳总结图K－15－9如图K－15－10，矩形OABC的顶点分别为O(0，0)，A(6，0)，B(6，4)，C(0，4)．画出矩形OABC以点P(2，0)为位似中心的位似图形O′A′B′C′，且使它的面积等于矩形OABC面积的14，并分别写出O′，A′，B′，C′四点的坐标．图K－15－10详解详析[课堂达标] 1．C2．[解析] D 因为正确的画法有两种情形，故选项D 符合要求．[点评] 注意位似中心、相似比虽然相同，但其位似图形有两种情形． 3．A4．[解析] C 根据题意，得点C 的坐标为(6×12，8×12)，即C(3，4)．5．[解析] A ∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴AD BG ＝13. ∵BG ＝6，∴AD ＝BC ＝2.∵AD ∥BG ，∴△OAD ∽△OBG ，∴OA OB ＝13.∴OA 2＋OA ＝13，解得OA ＝1， ∴OB ＝3，∴点C 的坐标为(3，2)． 6．[答案] (1，2)[解析] 由点B′的坐标可知△A′B′O 在第一象限．∵点A 的坐标为(2，4)，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，∴点A′的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2×12，4×12，即(1，2)．故答案为(1，2)．7．[答案] (4，6)或(－4，－6)[解析] 由“点B 在x 轴上且OB ＝2”可知B(2，0)或B(－2，0)，所以线段CD 与线段AB 的位似比为1∶2或1∶(－2)．根据“点(x ，y)以原点为位似中心的对应点的坐标为(kx ，ky)”可知点A 的对应点的坐标为(4，6)或(－4，－6)．8．[答案] (1，0)或(－5，－2)[解析] 位似中心可以在两个正方形的同侧、异侧，也可以在两个正方形之间，连接AG ，与BE 交于一点，该点可为位似中心，其坐标为(1，0)；若连接AE ，CG 并延长，两线交于一点，该点也可为位似中心，其坐标为(－5，－2)．9．[答案] (－8，－3)或(4，3)[解析] ∵直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，令x ＝0可得y ＝1；令y ＝0可得x ＝－2，∴点A 和点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，1)， ∴OA ＝2，OB ＝1.∵△BOC 与△B′O′C′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，∴OB O′B′＝OAO′A＝13， ∴O′B′＝3，O′A＝6，∴点B′的坐标为(－8，－3)或(4，3)．10．解：如图，四边形OA′B′C′就是所要求的图形．11．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1就是所要求的三角形． (2)如图所示，△A 2B 2C 2如图，分别过点A 2，C 2作y 2E ，F ， ∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且相似比为2， ∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10)，∴A 2E ＝2，C 2F ＝8，EF ＝10，B 2E ＝6，B 2F ＝4，∴S △A 2B 2C 2＝12×(2＋8)×10－12×2×6－12×4×8＝28.12．解：(1)A 1(3，－2)，B 1(－1，－6)，C 1(5，－6)，图略． (2)A 2(－3，－3)，B 2(1，1)，C 2(－5，1)，图略．(3)A 3(6，6)，B 3(－2，－2)，C 3(10，－2)或A 3(－6，－6)，B 3(2，2)，C 3(－10，2)，图略． [素养提升]解：矩形O′A′B′C′如图所示：点2)，(1，2)或(3，0)，(0，0)，(0，－2)，(3，－2)．。
九年级数学下第27章相似27.3位似第2课时平面直角坐标系中的位似变换习题课人教
2．【教材P49例题变式】【中考·邵阳】如图，在平面直角
坐标系中，已知点A(2，4)，过点A作AB⊥x轴于点B.将
△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的
1 2
，得到
△COD，则CD的长度是( A )
A．2 B．1 C．4 D．2 5
3．【教材P50练习T1变式】【2021·重庆】如图，在平面直 角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到 △OCD，若B(0，1)，D(0，3)，则△OAB与△OCD的相 似比是( )
7．【2021·嘉兴】如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE 是位似图形，则它们位似中心的坐标是__(4_，__2_)__． 【点拨】如图所示．
点G(4，2)即为所求的位似中心．
8．【教材P50练习T2变式】如图，在同一象限内画出△ABC 以O为位似中心的位似三角形(△A′B′C′)，使△ABC与 △A′B′C′的相似比是1 ∶2，并写出A′，B′，C′的坐标．
A．2 ∶1 B．1 ∶2 C．3 ∶1 D3)， ∴OB＝1，OD＝3. ∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD， ∴△OAB与△OCD的相似比是OB∶OD＝1∶3.
【答案】D
4．【2021·东营】如图，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴 的上方，点C的坐标是(1，0)，以点C为位似中心，在x轴 的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长 放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点 B′的横坐标是( )
12．如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点 F的坐标为(1，1)，点C的坐标为(4，2)，求这两个正 方形的位似中心的坐标．
【思路点拨】当位似中心在两个图形同旁时，位似中心是直线 CF与x轴的交点，这时只需求出直线CF对应的函数解析式， 即可求出交点坐标；当位似中心在两个图形之间时，其位似中 心是直线OC，BG的交点，这时只需求出两直线OC，BG对应 的函数解析式，即可求出其交点坐标．
人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 27.3 位似 同步练习
人教版数学九年级下册第二十七章相似27.3 位似同步练习一、单选题（共5题；共10分）1.在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为0.5，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（）A. （﹣2，1）B. （﹣8，4）C. （﹣2，1）或（2，﹣1）D. （﹣8，4）或（8，﹣4）2.下列相似图形不是位似图形的是（）A. B.C. D.3.已知，任取一点，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E ，F ，得，则下列说法正确的个数是（）① 与是位似图形；② 与是相似图形；③ 与的周长比为；④ 与的面积比为．A. 1B. 2C. 3D. 44.观察下图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是( )A. 平移B. 轴对称C. 旋转D. 位似5.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点，，．下列说法正确的是（）A. △与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0）B. △与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）C. △与△ABC是相似图形，但不是位似图形D. △与△ABC不是相似图形二、填空题（共6题；共6分）6.如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(4，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，则端点D坐标为________．7.在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是________．8.在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为．若点恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为________．9.已知：如图，，，以原点O为位似中心，相似比，把在点O另一侧缩小，则点E的对应点的坐标为________．10.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为________．11.如图，平面直角坐标系中有正方形和正方形，若点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是________．三、作图题（共3题；共27分）12.如图，已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）.（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1 ,点C1的坐标是________（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2:1（3）求四边形的面积.13.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上．（1）画出位似中心O；（2）求出△ABC与△A′B′C′的相似比．14.如图，在网格图中，每个小正方形边长均为，点和四边形的顶点均在小正方形的顶点上．（1）以为位似中心，在网格图中作四边形和四边形位似，且位似比为；（2）根据（1）填空：________．四、综合题（共2题；共25分）15.请阅读下列材料，并完成相应的任务：在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办法．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得AX=BY=XY．（如图）解决这个问题的操作步骤如下：第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB，连接BD．第二步，在CB上取一点Y'，作Y'Z'∥CA，交BD于点Z'，并在AB上取一点A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，过点A作AZ∥A'Z'，交BD于点Z．第四步，过点Z作ZY∥AC，交BC于点Y，再过点Y作YX∥ZA，交AC于点X．则有AX=BY=XY．下面是该结论的部分证明：证明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．∴．同理可得．∴．∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ．任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并加以证明；（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成AX=BY=XY的证明过程；（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y 的位置，这里运用了下面一种图形的变化是．A.平移B.旋转C.轴对称D.位似16.（1）在正方形方格纸中，我们把顶点均在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（-2，2）.（1）点B的坐标为________，△ABC的面积为________；（2）在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半（仅用直尺）；（3）在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则缩小后点P的对应点P1的坐标为________. （4）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点.请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图.①如图2，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F.②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】解：∵相似比是0.5，∴点E对应的是OE的中点，即，或者是这个关于原点O的对称点，.故答案为：C.【分析】根据位似图形的性质，得到点E对应的是OE的中点或者是这个点关于原点的对称点.2.【答案】D【解析】【解答】解：D中两个图形，对应边不互相平行，不是位似图形，A、B、C中的图形符合位似变换的定义，是位似图形，故答案为：D．【分析】根据位似变换的概念判断即可．3.【答案】C【解析】【解答】根据位似图形的性质得：① 与是位似图形，② 与是相似图形，故①②符合题意；∵的三边长分别为的三边长的，∴与的周长比为，故③不符合题意；∵相似三角形面积比等于相似比的平方，∴与的面积比为，故④符合题意；故答案为：C．【分析】根据位似图形的性质得△ABC与△DEF是位似图形，△ABC与△DEF是相似图形，再根据位似图形的周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方进行逐一解答即可.4.【答案】A【解析】【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转、位似的定义作答．【解答】A、图形的方向发生了改变，不符合平移的定义，本题图案不包含平移变换，故本选项符合题意；B、有8条对称轴，本题图案包含轴对称变换，故本选项不符合题意；C、将图形绕着中心点旋转22.5°的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换，故本选项不符合题意；D、符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换，故本选项不符合题意．故选A．【点评】考查图形的四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．位似的特点是几个相似图形的对应点所在的直线交于一点．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．5.【答案】B【解析】解答：∵△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍∴点，，的坐标分别为（2，4），（-4，6），（-2，0）∴直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x ，y=- x ，y=0∴对应点的连线交于原点∴△与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）故选：B．分析：由已知条件△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求得直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x ，y=- x ，y=0，可知△与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）．此题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似图形的对应点的连线交于一点．二、填空题6.【答案】(4，2)【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，B（8，4），∴端点D坐标为（8 ，4 ），即（4，2）．故答案为：（4，2）．【分析】根据位似变换的性质解答即可．7.【答案】．【解析】【解答】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：，即A1．故答案为：．【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．8.【答案】【解析】【解答】∵以原点O为位似中心，将线段OA放大为原来的2倍，得到OA'，A（-2，1），∴点A的对应点A′的坐标是：（-4，2）或（4，-2）．设反比例函数的解析式为( )，∴，∴反比例函数的解析式为：．故答案为：．【分析】直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A′的坐标．利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式．9.【答案】(3,-1)【解析】【解答】解：根据题意，可得，且点在第四象限；又由E的坐标为，则对应点的坐标为．故答案是：【分析】根据题意，可得，且点在第四象限，又由的坐标，计算可得答案．10.【答案】(3,2)【解析】【解答】解：∵正方形ABCD和正方形BEFG以原定Q为位似中心，相似比为∴=,∴，∴OB=3，CD=2∴点C的坐标为（3,2）【分析】根据位似图形的含义和性质列出比例式，求出OB和CD，求出点C的坐标即可。
九年级数学下册27、3位似第2课时平面直角坐标系中的位似变换习题新版新人教版
(1)以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°， 得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； 解：如图，△A1B1C1即为所求．
(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的 位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2∶1. 解：如图，△A2B2C2即为所求．
10 【教材P49例变式】如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(4，1)，C(1，1)．
人教版 九年级
第二十七章 相似
27.3
位似
第2课时 平面直角坐标系中的位似变换
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1C 2D 3A 4A
5 6 (4，2) 7D 8
答案呈现
9
10 11 12
1 【中考·辽阳】如图，在由边长为1的小正方形组成的 网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是 以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点 (网格线的交点)上，则点P的坐标为( C ) A．(0，0) B．(0，1) C．(－3，2) D．(3，－2)
【点拨】 以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的2倍，则
点P(m，n)的对应点的坐标为(m×2，n×2)或(m×(－2)， n×(－2))，即(2m，2n)或(－2m，－2n)．本题易忽略其中 一种情况，应考虑全面．
9 【2020·朝阳】如图所示的平面直角坐标系中， △ABC的三个顶点坐标分别为A(－3，2)，B(－1，3)， C(－1，1)，请按如下要求画图：
(1)若函数y＝kx＋b的图象过点(3，1)，求b的值； 解：由已知得k＝－2， 把点(3，1)的坐标和k＝－2代入y＝kx＋b， 得1＝－2×3＋b， 解得b＝7.
九年级数学下册第二十七章相似27.3位似27.3.2位似图形的坐标变化规律课时训练 新人教版
第2课时 位似图形的坐标变化规律关键问答①在直角坐标系中，图形上各点的横坐标、纵坐标都变为原来的k 倍或1k(k >1)，则连接各点所得到的图形与原图形有什么关系？②在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为k 对一个图形进行位似变换，两个图形对应点的坐标有什么关系？1．①某个图形上各点的横、纵坐标都变为原来的12，连接各点所得图形与原图形相比( )A ．完全没有变化B ．扩大为原来的2倍C ．面积缩小为原来的14D ．关于y 轴成轴对称2．②如图27－3－14，在直角坐标系中，有两点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到新的线段，则点A 的对应点的坐标为( )图27－3－14A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)3．如图27－3－15，已知△ABC 和点M (1，2)．(1)以点M 为位似中心，相似比为2，在网格中画出△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′；图27－3－15(2)写出△A′B′C′各顶点的坐标．命题点 1 以原点为位似中心的位似变换中点的坐标变化 [热度：96%]4.③如图27－3－16，线段AB两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 和D 的坐标分别为( )图27－3－16A ．(2，2)，(3，2)B ．(2，4)，(3，1)C ．(2，2)，(3，1)D ．(3，1)，(2，2) 易错警示③注意本题的条件是“在第一象限内”. 5.④如图27－3－17，在平面直角坐标系中，已知点A (－3，6)，B (－9，－3)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是( )图27－3－17A ．(－1，2)B ．(－9，18)C ．(－9，18)或(9，－18)D ．(－1，2)或(1，－2) 方法点拨④在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，作已知图形的位似图形，若相似比确定，则得到的位似图形有两个；若相似比为k ，则位似图形对应点的坐标的比等于k 或－k .6．如图27－3－18，△ABO 缩小后变为△A ′B ′O ，其中点A ，B 的对应点分别为A ′，B ′，点A ，B ，A ′，B ′均在图中的格点上．若线段AB 上有一点P (m ，n )，则点P 在A ′B ′上的对应点P ′的坐标为( )图27－3－18A ．(－m 2，n )B ．(m ，n )C ．(m ，n 2)D ．(m 2，n2)7.⑤如图27－3－19，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2，2)，B (4，0)，C (6，4)，以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小，相似比为1∶2，则线段AC 的中点P 变换后对应点的坐标为________．图27－3－19解题突破⑤先求出AC 的中点P 的坐标，再根据坐标变换规律求对应点的坐标.8．如图27－3－20，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点坐标分别为O (0，0)，A (2, 0)，B (2，1)，C (0，1)，以坐标原点O 为位似中心，将矩形OABC 放大为原来的2倍．记所得矩形为OA 1B 1C 1，点B 的对应点为点B 1，且点B 1在OB 的延长线上，则点B 1的坐标为________．图27－3－20命题点 2 以非原点的点为位似中心的坐标变化 [热度：95%]9．如图27－3－21，△ABE 和△CDE 是以点E 为位似中心的位似图形，已知点A (3，4)，点C (2，2)，点D (3，1)，则点D 的对应点B 的坐标是( )图27－3－21A ．(4，2)B ．(4，1)C ．(5，2)D ．(5，1)10．如图27－3－22，直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B ′O ′C ′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B 的对应点B ′的坐标为________．图27－3－2211．如图27－3－23，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 放大为原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是________．图27－3－23命题点 3 位似中心坐标的确定[热度：90%]12.⑥如图27－3－24，△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是( )图27－3－24A．(6，2) B．(6，1) C．(4，2) D．(2，6)解题突破⑥本题可以利用网格图的特点以及位似图形的概念求解.13．⑦如图27－3－25，已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐标系中，点B，F的坐标分别为(－4，4)，(2，1)．若矩形ABCD和矩形EFGO是位似图形，点P(点P在GC上)是位似中心，则点P的坐标为( )图27－3－25A．(0，3) B．(0，2.5)C．(0，2) D．(0，1.5)解题突破⑦本题需要利用位似图形的概念以及位似图形的性质求解．命题点 4 利用多种变换作图和计算[热度：95%]14．如图27－3－26，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC(顶点是网格线的交点)，在建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕旋转中心P逆时针旋转90°后得到△A1B1C1.(1)在图中表示出旋转中心P，并写出它的坐标；(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，在图中画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标．图27－3－2615．如图27－3－27，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)将△A1B1C1的三个顶点A1，B1，C1的横坐标与纵坐标同时乘－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；(3)求S△A1B1C1∶S△A2B2C2.图27－3－2716.⑧阅读：如图27－3－28①，以原点O为位似中心，按比例尺(OA′∶OA)3∶1在位似中心的同侧将△OAB放大为△OA′B′，观察得到各点的坐标见表一，可以归纳得出：对应点的横、纵坐标均存在3倍的关系，即点P(x，y)的对应点P′的坐标为(3x，3y)．仿照图27－3－28①，按要求完成下列画图并将坐标与归纳猜想填入相应表格．图27－3－28活动一：在图27－3－28②中，以点T(1，1)为位似中心，按比例尺(TE′∶TE)3∶1在位似中心的同侧将△TEF放大为△TE′F′，并将点E′，F′的坐标和归纳猜想填入表二；活动二：在图27－3－28③中，以点W(2，3)为位似中心，按比例尺(WG′∶WG)4∶1在位似中心的同侧将△WGH放大为△WG′H′，并将点G′，H′的坐标和归纳猜想填入表三；活动三：归纳结论：以点M(a，b)为位似中心，按比例尺(MP′∶MP)n∶1在位似中心的同侧将图形放大，则点R(x，y)的对应点R′的横坐标为________，纵坐标为________．解题突破⑧应从特殊形式归纳出一般结论．由位似的知识可知，TE′＝3TE，TF′＝3TF，WG′＝4WG，WH′＝4WH，在图中作出点E′，F′，G′，H′，可以得到各点的坐标分别为E′(4，7)，F′(10，4)，G′(6，11)，H′(14，7)．通过归纳总结，可以得出以点M(a，b)为位似中心，按比例尺(MP′∶MP)n∶1在位似中心的同侧将图形放大，则点R(x，y)的对应点R′的横坐标为n(x－a)＋a＝nx＋a－na，纵坐标为n(y－b)＋b＝ny＋b－nb.详解详析1．C 2.A3．解：(1)如图：(2)A ′(3，6)，B ′(5，2)，C ′(11，4)．4．C [解析] 根据题意，将A (4，4)，B (6，2)两点的横坐标与纵坐标都缩小为原来的12，故选C. 5．D [解析] ∵A (－3，6)，B (－9，－3)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，∴点A 的对应点A ′的坐标为(－3×13，6×13)或(－3×(－13)，6×(－13))，即点A ′的坐标为(－1，2)或(1，－2)．故选D.6．D [解析] 由图知，点A 的坐标为(4，6)，点A ′的坐标为(2，3)，△ABO 与△A ′B ′O 的相似比为2∶1，∴线段AB 上一点P (m ，n )在A ′B ′上的对应点P ′的坐标为(m 2，n2)．7．(2，1.5)或(－2，－1.5) [解析] 由题意可知P (4，3)，以原点为位似中心，将△ABC 缩小，相似比为1∶2，所以点P 的对应点的坐标为(2，1.5)或(－2，－1.5)．8．(4，2) [解析] ∵点B 的坐标为(2，1)，而点B 的对应点为点B 1，且点B 1在OB 的延长线上，∴点B 1的坐标为(2×2，1×2)，即(4，2)． 故答案为(4，2)． 9．C10．(－8，－3)或(4，3) [解析] ∵直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，令x ＝0可得y ＝1，令y ＝0可得x ＝－2，∴点A 和点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，1)．∵△BOC 与△B ′O ′C ′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3， ∴OB O ′B ′＝OA AO ′＝13， ∴O ′B ′＝3，AO ′＝6，∴点B ′的坐标为(－8，－3)或(4，3)． 故答案为(－8，－3)或(4，3)． 11．－a ＋32[解析] 将两个位似图形水平向右移动1个单位长度，则点B ′的横坐标变为a ＋1，这时点B 的横坐标为－a ＋12.再将两个位似图形水平向左移动1个单位长度，可得点B 的横坐标为－a ＋32.12．A [解析] 把各组对应点连接起来找交点，即位似中心，从而确定其坐标为(6，2)． 13．C [解析] 连接BF ，交GC 于点P ，由B (－4，4)，F (2，1)可得BC ＝4，OC ＝4，OG ＝1，GF ＝2，所以CG ＝3.由BC ∥GF 可得△BCP ∽△FGP ，所以BC GF ＝CP GP＝2，所以GP ＝1，所以P (0，2)．14．解：(1)如图，点P 即为所求，点P 的坐标为(3，1)．(2)如图，△A 2B 2C 2即为所求，点C 2的坐标为(2，4)或(－2，－4)．15．解：(1)如图所示， △A 1B 1C 1即为所求．(2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．(3)∵△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘－2得到对应的点A 2，B 2，C 2， ∴△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2关于原点位似，相似比为1∶2， ∴S △A 1B 1C 1∶S △A 2B 2C 2＝1∶4. 16．解：如图：归纳结论：以点M (a ，b )为位似中心，按比例尺(MP ′∶MP )n ∶1在位似中心的同侧将图形放大，则点R (x ，y )的对应点R ′的横坐标为nx ＋a －na ，纵坐标为ny ＋b －nb .【关键问答】①得到的图形与原图形是位似图形，且相似比为k 或1k.②变换后的图形上点的横坐标变为原来的k 倍或k 倍的相反数，纵坐标变为原来的k 倍或k 倍的相反数．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
九年级数学下册 第二十七章 相似 27.3 位似 第1课时 位似图形的概念及画法同步练习
课时作业(十四)[27.3 第1课时位似图形的概念及画法]一、选择题1．图K－14－1中是位似图形的是( )图K－14－12．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于相似比．其中正确的序号是( )A．②③ B．①②C．③④ D．②③④3．如图K－14－2，已知BC∥ED，下列说法不正确的是( )图K－14－2A．△ABC与△ADE是位似图形B．点A是△ABC与△ADE的位似中心C．B与D，C与E是对应点D．AE∶AD是相似比4．如图K－14－3，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是( )图K －14－3A ．2DE ＝3MNB ．3DE ＝2MNC ．3∠A ＝2∠FD ．2∠A ＝3∠F5．2017·绥化如图K －14－4所示，△A ′B ′C ′是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若△A ′B ′C ′的面积与△ABC 的面积比是4∶9，则OB ′∶OB 为( )图K －14－4A ．2∶3B ．3∶2C ．4∶5D ．4∶96．如图K －14－5，已知△ABC ，任取一点O ，连接AO ，BO ，CO ，并取它们的中点D ，E ，F ，得△DEF ，则下列说法正确的个数是( )①△ABC 与△DEF 是位似图形； ②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△ABC 与△DEF 的周长比为1∶2； ④△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1.图K －14－5A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题7．2017·兰州如图K －14－6，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心是点O ，OE OA ＝35，则FGBC＝________．图K －14－68．如图K －14－7所示，△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，点O 是位似中心．若OA ＝2AA ′，S △ABC ＝8，则S △A ′B ′C ′＝________.图K －14－7三、解答题9．如图K －14－8，用直尺画出下列位似图形的位似中心．图K －14－810．如图K －14－9，已知△ABC 和点O ，以点O 为位似中心，求作△ABC 的位似图形，使它与△ABC 的相似比为12.链接听课例4归纳总结图K －14－911．如图K －14－10，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2.(1)将△ABC 先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A 1B 1C 1；(2)以图中的点O 为位似中心，将△A 1B 1C 1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A 2B 2C 2.图K －14－1012．如图K －14－11，矩形ABCD 与矩形AB ′C ′D ′是位似图形，点A 为位似中心，已知矩形ABCD 的周长为24，BB ′＝4，DD ′＝2，求AB ，AD 的长．图K －14－1113．如图K－14－12，图中的小方格都是边长为1的正方形．△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1)画出位似中心O；(2)求出△ABC与△A1B1C1的相似比；(3)以点O为位似中心，再画一个△A′B′C′，使它与△ABC的相似比等于3∶2.链接听课例4归纳总结图K－14－12探究题数学课上，老师要求同学们在扇形纸片OAB上画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径OA，OB和弧AB上．有一部分同学是这样画的：如图K－14－13，先在扇形OAB内画出正方形CDEF，使点C，D在OA上，点F在OB上，连接OE并延长交弧AB于点G，过点G作GJ⊥OA 于点J，作GH⊥GJ交OB于点H，再作HI⊥OA于点I.(1)请问他们画出的四边形GHIJ是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由．(2)还有一部分同学是用另外一种不同于图①的方法画出的，请你参照图①的画法，在图②上画出这个正方形(保留画图痕迹，不要求证明)．图K－14－13详解详析[课堂达标]1．[解析] D 根据位似图形的定义判断：①两个图形是相似图形；②对应顶点的连线相交于一点．[点评] 判定位似图形时，一定要从定义的两个要素逐一排查． 2．[解析] A ①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故此选项错误．②位似图形一定有位似中心，此选项正确．③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形，此选项正确．④位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，故此选项错误．正确的为②③.故选A.3．D4．[解析] B 根据位似变换的性质可得DE MN ＝AB FG ＝23，∴3DE ＝2MN.5．[解析] A 由位似变换的性质可知，A′B′∥AB ，A′C′∥AC ，∴△A′B′C′∽△ABC. ∵△A′B′C′与△ABC 的面积比是4∶9， ∴△A′B′C′与△ABC 的相似比为2∶3， ∴OB′∶OB ＝2∶3. 6．[解析] C 根据位似的性质得出：①△ABC 与△DEF 是位似图形，②△ABC 与△DEF 是相似图形．∵D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，∴△ABC 与△DEF 的相似比为2∶1，∴△ABC 与△DEF 的周长比为2∶1，故③错误．根据面积比等于相似比的平方，知△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1，故④正确．故选C.7．[答案] 35[解析] ∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似， ∴△OEF ∽△OAB ，△OFG ∽△OBC ， ∴OF OB ＝OE OA ＝35，∴FG BC ＝OF OB ＝35. 8．[答案] 18[解析] 因为OA ＝2AA′，所以OA ∶OA′＝2∶3，则S △ABC S △A′B′C′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49.又因为S △ABC ＝8，所以8S △A ′B′C′＝49，所以S △A′B′C′＝18.9．解：如图所示：10．解：情况1，OC 的中点A′，B′，C′，顺次连接点A′，B′，C′，则△A′B′C′即为所要求作的图形．情况2：如图所示，分别连接AO ，BO ，CO ，在线段AO ，BO ，CO 的延长线上分别截取线段OA 1，OB 1，OC 1，使OA 1＝12OA ，OB 1＝12OB ，OC 1＝12OC ，顺次连接点A 1，B 1，C 1，则△A 1B 1C 1即为所要求作的图形．11．解：(1)(2)如图所示．12．解：∵矩形ABCD 的周长为24，∴AB ＋AD ＝12.设AB ＝x ，则AD ＝12－x ，AB′＝x ＋4，AD′＝14－x. ∵矩形ABCD 与矩形AB′C′D′是位似图形， ∴AB AB′＝AD AD′， 即x x ＋4＝12－x 14－x ， 解得x ＝8，∴AB ＝8，AD ＝12－8＝4. 13．解：(1)如图所示．(2)△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为1∶2. (3)如图所示．[素养提升]解：(1)四边形GHIJ 是正方形．证明：如图①，∵GJ ⊥OA ，GH ⊥GJ ，HI ⊥OA ， ∴∠GJO ＝∠JIH ＝∠JGH ＝90°， ∴四边形GHIJ 是矩形．∵四边形CDEF 是正方形，CD 边与矩形GHIJ 的IJ 边在同一条直线上， ∴FC ∥HI ，EF ∥GH ，∴△FOC ∽△HOI ，△EFO ∽△GHO ， ∴OF OH ＝FC HI ，OF OH ＝EF GH ，∴FC HI ＝EF GH . 又∵FC ＝EF ，∴HI ＝GH ， ∴四边形GHIJ 是正方形．(2)如图②，正方形MNGH 即为所作．。
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第2课时 位似图形的坐标变化规律基础自我诊断血识复习习足化关键问答① 在直角坐标系中，图形上各点的横坐标、纵坐标都变为原来的斤倍或£(斤＞1),则连接 各点所得到的图形与原图形有什么关系？② 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为斤对一个图形进行位似变换，两 个图形对应点的坐标有什么关系？1.①某个图形上各点的横、纵坐标都变为原来的右连接各点所得图形与原图形相比 () A.完全没有变化B.扩大为原來的2倍 C.面积缩小为原来的+ D.关于y 轴成轴对称2•②如图27-3-14,在直角坐标系中,有两点水6, 3), 〃(6, 0),以原点0为位似中 心，相似比为右 在第一象限内把线段〃〃缩小后得到新的线段，则点月的对应点的坐标为 ()y 32 11 1■■■1111t必(6,3)久6,0)一2-10 1 2 3 4 5( 5 7 x一 1-2图 27-3-14A. (2, 1)B. (2, 0)C. (3, 3)D. (3, 1)3. 如图 27-3-15,已知和点"(1, 2).(1) 以点"为位似中心,相似比为2,在网格中画出△宓的位似图形△才B' C ；图 27-3-15(2) 写出AA' B‘ C'各顶点的坐标.考向揺升训练能力备考课时化命题点1以原点为位似中心的位似变换中点的坐标变化[热度：96%]4. ③如图27-3-16,线段初两个端点的坐标分别为水4, 4), 2/(6, 2),以原点0为位 似中心，在第一象限内将线段力〃缩小为原来的*后得到线段仞，则端点Q 和〃的坐标分别 为()r-：图 27-3-16A. (2, 2), (3, 2)B. (2, 4), (3, 1)C. (2, 2), (3, 1)D. (3, 1), (2, 2)易错警示③ 注意本题的条件是“在第一象限内” •5. ④如图27 — 3 — 17,在平面直角坐标系中，己知点/( —3, 6), 〃(一9, —3),以原点 0为位似屮心，相似比为g 把△血矽缩小，则点zl 的对应点/T 的坐标是()y”（-3：6）X图 27-3-17A. (-1, 2)B. (-9, 18)C. (一9, 18)或(9, -18)D. (-1, 2)或(1, -2)方法点拨④ 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，作已知图形的位似图形，若相似比确定, 则得到的位似图形有两个；若相似比为斤，则位似图形对应点的坐标的比等于斤或一化6. 如图27-3-18, △/彷0缩小后变为△水B' 0,其中点/I, 〃的对应点分别为彳, B'，点力，B, A 1 ,夕 均在图中的格点上.若线段肋上有一点尸(加，刀)，则点戶在川B f上的对应点厂的坐标为()图 27-3-187. ⑤如图27-3-19, △必7三个顶点的坐标分别为水2, 2), B(4, 0), C(6, 4),以原 点0为位似中心，将△肋Q缩小，相似比为1 ： 2,则线段 化的中点戶变换后对应点的坐标 为ri-4-4・■厂T 十■■厂r L ・■ J J■丄■ U.」图27-3-19解题突破⑤先求出SC的中点P的坐标，再根据坐标变换规律求对应点的坐标.8.如图27-3-20,在平面直角坐标系中，矩形创虑的顶点坐标分别为0(0, 0), J(2, 0), 〃(2, 1), Q(0, 1),以坐标原点0为位似中心，将矩形创腮放大为原来的2倍•记所得矩形为OA’BG,点〃的对应点为点弘且点在防的延长线上，则点$的坐标为\A2图27-3-20命题点2以非原点的点为位似中心的坐标变化[热度：95%]9.如图27-3-21, 'ABE和是以点F为位似中心的位似图形，已知点J(3, 4), 点C(2, 2),点〃(3, 1),则点〃的对应点〃的坐标是()图27-3-21A. (4, 2)B. (4, 1)C. (5, 2)D. (5, 1)10.如图27-3-22,直线1与/轴交于点与y轴交于点〃，HBOC与HB f O' C是以点畀为位似屮心的位似图形，且相似比为1： 3,则点〃的对应点F的坐标为.11.如图27-3-23, 中，J, 〃两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(一1, 0).以点C为位似屮心，在x轴的下方作△血力的位似图形△才B' C,并把△血/放大为原来的2倍.设点〃的对应点F的横坐标是白，则点3的横坐标是 ___________ •图27-3-23 命题点3位似中心坐标的确定[热度：90%]12.©如图27-3-24, 与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似屮心的坐标是()1 2345678910X图 27-3-24A. (6, 2)B. (6, 1)C. (4, 2)D. (2, 6)解题突破⑥ 本题可以利用网格图的特点以及位似图形的概念求解.13. &如图27-3-25,已知矩形理做和矩形肪力在平面直角坐标系中，点〃，F 的樂 标分别为(-4, 4), (2, 1).若矩形初仞和矩形 肋％是位似图形，点P (点P 在阳上)是 位似中心，则点"的坐标为()Ay\DpcuFC/1 , oE x图 27-3-25A. (0, 3)B. (0, 2.5)C. (0, 2)D. (0, 1.5)解题突破⑦ 木题需要利用位似图形的概念以及位似图形的性质求解. 命题点4利用多种变换作图和计算[热度：95%]14. 如图27-3-26,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格屮，给出了格点三 角形外％(顶点是网格线的交点)，在建立的平面直角坐标系中，将△/)比绕旋转中心P 逆时 针旋转90°后得到△血BG.(1) 在图屮表示出旋转中心只并写出它的坐标；(2) 以原点0为位似中心，将厶A^G 作位似变换且放大到原来的两倍，得到△ A^G,在图屮画出△并写出点G 的坐标.JIT — rLl^lru —HIru —HIr.LJ-1-L 」r n-Xrr nrn-T-r-i-r i i < t i a图 27-3-2615. 如图27-3-27,在平面直角坐标系以炉中，腮的三个顶点的坐标分别为水一 2, 4), 2/(-2, 1), 0( — 5, 2).⑴画出△肋Q 关于JV 轴对称的厶AAG ；(2) 将厶A^G 的三个顶点川，B\, G 的横坐标与纵坐标同吋乘一2,得到对应的点〃2, Bz, G,请画出△(3) 求S △仙G : S △也G ・图 27-3-27思维拓展培优16.⑧阅读：如图27-3-28®,以原点0为位巾以中心,按比例尺(加:04)3 : 1在位似 中心的同侧将'0AB 放大为△创'B',观察得到各点的坐标见表一，可以归纳得出：对应 点的横、纵坐标均存在3倍的关系，即点Pd, y)的对应点P 的坐标为(3x, 3y).仿照图 27 — 3 — 28①，按要求完成下列画图并将坐标与归纳猜想填入相应表格.图 27-3-28活动一：在图27-3-28②屮，以点兀1, 1)为位似中心，按比例尺(7T ：加)3 ： 1在 位似中心的同侧将△处放大为F ,并将点F , F 的坐标和归纳猜想填入表二；活动二：在图27-3-28③中，以点倂(2, 3)为位似中心，按比例尺(“f :%)4： 1在 位似中心的同侧将△腕7/放人为△必'H ,并将点& , H'的坐标和归纳猜想填入表三；U4-UX-I-U-J-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1i 1 1 i" T T r T■ irLA J 1 1 1 1 \1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r-f-i Lt r- r-i'培优菽尖活动牝「T ^LIrr^LIrr^LIrr^—r r TH 11-4 u L d -> IIII FF7-i r r 7 n n ・ III! mi r r T n LL4J Illi r FT> r r -t -i■>X③T-i-rLu-u A-l-A. 1 1 1 1 1 1r 7-r m-r n-r I-,rHULIr^ulr活动三：归纳结论：以点曲臼，方）为位似中心，按比例尺（•沪：奶刀：1在位似中心的同侧将图形放大，则点斤匕，y）的对应点P的横坐标为______ ,纵坐标为_________ .解题突破⑧应从特殊形式归纳出一般结论.由位似的知识可知，TE' =3TE, TF =3TF,呵= 4胎，艸=4阳,在图中作出点F，尸，彳，〃'，可以得到各点的坐标分别为E'（4, 7）, F （10, 4）, & （6, 11）, //' （14, 7）.通过归纳总结，可以得出以点〃（乩力）为位似中心,按比例尺（•沪:MP）n \ 1在位似中心的同侧将图形放大,则点R（x,力的对应点H 的横坐标为刀｛x~a）+a=nx+a—na,纵坐标为刀（y—方）+ b= ny+ b~nb.详解详析1. C2. A3.解：(1)如图：(2)才(3, 6), B1 (5, 2), C (11, 4).4.C ［解析］根据题意，将川4, 4),从6, 2)两点的横坐标与纵坐标都缩小为原来的故选C.5.D ［解析］・・・/(—3, 6), 〃(一9, -3),以原点0为位似中心,相似比为*把缩小，・・・点/的对应点"的坐标为(一3X* 6x|)或(一3X(—寺，6X(—寺)，即点才的坐标为(一1, 2)或(1, -2).故选D.6.D ［解析］由图知，点昇的坐标为(4, 6),点彳的坐标为(2, 3), ^\ABO与ff 0 的相似比为2：1,・•・线段個上一点PS, n)在川B'上的对应点P的坐标为(彳，釦7.(2, 1.5)或(一2, -1.5)［解析］由题意可知"(4, 3),以原点为位似中心，将厶川比缩小，相似比为1：2,所以点“的对应点的坐标为(2, 1.5)或(一2, -1.5).8.(4, 2)［解析］・・•点〃的坐标为⑵1),而点〃的对应点为点久且点〃在加的延长线上，・••点S的坐标为(2X2, 1X2),即(4, 2).故答案为(4, 2).9. C10.(—8, —3)或(4, 3)［解析］T直线y=\x+1与/轴交于点/h与y轴交于点〃, 令x=0可得y=l,令尸0可得/=—2,・••点/和点〃的坐标分别为(一2, 0), (0, 1).、：\ BOC与O' C是以点〃为位似屮心的位似图形，且相似比为1： 3,.OB __ _丄=无厂=亍O f B' =3, AO f =6,・；点夕的坐标为(一8, —3)或(4, 3).故答案为(一8, —3)或(4, 3).z.-1-Q11.—［解析］将两个位似图形水平向右移动1个单位长度，则点〃的横坐标刀+ 1变为曰+1,这时点〃的横坐标为一丁.再将两个位似图形水平向左移动1个单位长度，可臼+3得点〃的横处标为12.A ［解析］把各组对应点连接起来找交点，即位似屮心，从而确定其坐标为(6, 2).13.C ［解析］连接胪，交 GC于点、P,由7/(-4, 4), F(2, 1)可得BC=4, 0C=4, OGBC CP=1, GF=2,所以CG=3.电 BC〃 GF可得/\BCPs/\FGP,所以—=—=2,所以GP=\,所以Gr GPAO, 2).14.解：(1)如图，点戶即为所求，点户的坐标为(3, 1).(2)如图，即为所求，点G的坐标为(2, 4)或(一2, -4).15.解：(1)如图所示，即为所求.(2)如图所示，、血&即为所求.(3)•:/\A^G的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘一2得到对应的点”2, 5, G, :心A\B\C\与厶A2&G关于原点位似，相似比为1 ：2,:・SHA\B\C\ : S△必0=1 : 4.16.解：如图：归纳结论：以点枫曰，方)为位似中心,按比例尺Q炉:MP)n \ 1在位似中心的同侧将图形放大，则点Rix, y)的对应点R'的横坐标为nx+a—na,纵坐标为ny+ b~nb.【关键问答】①得到的图形与原图形是位似图形，且相似比为k或②变换后的图形上点的横坐标变为原来的k倍或k倍的相反数，纵坐标变为原来的k 倍或k倍的相反数.。