理论力学(周衍柏)绪论及第一章
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理论力学(周衍柏第二版)思考题习题答案
第一章 质点力学矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。
已知升降机的初速度为零。
解 ：由题可知，变加速度表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 由加速度的微分形式我们可知dtdv a =代入得 dt T t c dv ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 1π 对等式两边同时积分dt T t c dv t v⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=002sin 1π 可得 ：D T t c T ct v ++=2cos 2ππ（D 为常数）代入初始条件：0=t 时，0=v ， 故c T D π2-=即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos 2T t T t c v ππ 又因为dtds v =所以 =ds dt T t T t c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 22212πππ 直线FM 在一给定的椭圆平面内以匀角速ω绕其焦点F 转动。
求此直线与椭圆的焦点M 的速度。
已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为()θcos 112e e a r +-=式中a 为椭圆的半长轴，e 为偏心率，常数。
解：以焦点F 为坐标原点题1.8.1图则M 点坐标 ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 对y x ,两式分别求导⎪⎩⎪⎨⎧+=-=θθθθθθcos sin sin cos r r yr r x 故()()22222cos sin sin cos θθθθθθ r r r r y xv ++-=+=222ωr r+= 如图所示的椭圆的极坐标表示法为()θcos 112e e a r +-=对r 求导可得（利用ωθ= ） 又因为()()221cos 111ea e e a r -+-=θ即 ()rer e a --=21cos θ所以()()2222222221211cos 1sin e r e ar r ea --+--=-=θθ故有 ()2222224222sin 1ωθωr e a r e v +-=()2224221e a r e -=ω()()]1211[2222222e r e ar r e a --+--22ωr +()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-⋅-=2222222221121e e ar r r e e a r ω()r r a b r -=2222ω即 ()r a r br v -=2ω（其中()b a e b ,1222-=为椭圆的半短轴）质点作平面运动，其速率保持为常数。
理论力学教程(第三版)第一章 周衍柏编
r = a(1 − e2 ) 1 + ecosθ 式中 a 为椭圆的半长轴， e 为偏心率，都是常数。
1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量 v 与加速度矢量 a 正交。
S 1.10 一质点沿着抛物线 y2 = 2 px 运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的 − 2k 倍。 C 如此质点从正焦弦 ⎜⎛ p , p ⎟⎞ 的一端以速度 u 出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。
将离开圆柱面？假定圆柱体的半径为 r 。
1.28 重为W 的不受摩擦而沿半长轴为 a 、半短轴为 b 的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直
的。如小球自长 2 轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它
对椭圆的压力。
1.29 一质量为 m 的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑。试证在任何一点的压力为 2mg cosθ ，式中θ 为水平线和质点运动方向间的夹角。已知圆滚线方程为
C
1.40 一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，求其达到 O 点所需的时间。
1.41 试导出下面有心力量值的公式：
I F = mh2 dp−2 2 dr
S 式中 m 为质点的质点，r 为质点到力心的距离，h = r2θ = 常数， p 为力心到轨道切线的垂
Y 直距离。
1.42 试利用上题的结果，证明：
S 止状态释放后，求证这运动是简谐的，并求出其振动周期τ 及任何时刻两段绳中的张力T 及
T′。
a
C
IT
T
•
•
T′
2m
Sm • T′
Y 1.25 滑轮上系一不可伸长的绳，绳上悬一弹簧，弹簧另一端挂一重为W 的物体。当滑轮以
匀速转动时，物体以匀速 v0 下降。如将滑轮突然停住，试求弹簧的最大伸长及最大张力。
1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量 v 与加速度矢量 a 正交。
S 1.10 一质点沿着抛物线 y2 = 2 px 运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的 − 2k 倍。 C 如此质点从正焦弦 ⎜⎛ p , p ⎟⎞ 的一端以速度 u 出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。
将离开圆柱面？假定圆柱体的半径为 r 。
1.28 重为W 的不受摩擦而沿半长轴为 a 、半短轴为 b 的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直
的。如小球自长 2 轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它
对椭圆的压力。
1.29 一质量为 m 的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑。试证在任何一点的压力为 2mg cosθ ，式中θ 为水平线和质点运动方向间的夹角。已知圆滚线方程为
C
1.40 一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，求其达到 O 点所需的时间。
1.41 试导出下面有心力量值的公式：
I F = mh2 dp−2 2 dr
S 式中 m 为质点的质点，r 为质点到力心的距离，h = r2θ = 常数， p 为力心到轨道切线的垂
Y 直距离。
1.42 试利用上题的结果，证明：
S 止状态释放后，求证这运动是简谐的，并求出其振动周期τ 及任何时刻两段绳中的张力T 及
T′。
a
C
IT
T
•
•
T′
2m
Sm • T′
Y 1.25 滑轮上系一不可伸长的绳，绳上悬一弹簧，弹簧另一端挂一重为W 的物体。当滑轮以
匀速转动时，物体以匀速 v0 下降。如将滑轮突然停住，试求弹簧的最大伸长及最大张力。
理论力学(周衍柏第二版)思考题习题答案
1.11质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑，达到任一点时的速度只和什么有关？为什么是这样？假如不是光滑的将如何？
1.12为什么被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力不作功？我们利用动能定理或能量积分，能否求出约束力？如不能，应当怎样去求？
1.13质点的质量是1千克，它运动时的速度是 ，式中 、 、 是沿 、 、 轴上的单位矢量。求此质点的动量和动能的量值。
式中 为速度矢量与 轴间的夹角，且当 时， 。
1.13假定一飞机从 处向东飞到 处，而后又向西飞回原处。飞机相对于空气的速度为 ，而空气相对于地面的速度为 。 与 之间的距离为 。飞机相对于空气的速度 保持不变。
假定 ，即空气相对于地面是静止的，试证来回飞行的总时间为
假定空气速度为向东（或向西），试证来回飞行的总时间为
1.2答：质点运动时，径向速度 和横向速度 的大小、方向都改变，而 中的 只反映了 本身大小的改变， 中的 只是 本身大小的改变。事实上，横向速度 方向的改变会引起径向速度 大小大改变， 就是反映这种改变的加速度分量；经向速度 的方向改变也引起 的大小改变，另一个 即为反映这种改变的加速度分量，故 ， 。这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况
由
得
即速度 的大小就决定了轨道的形状，图中 对应于进入轨道时的达到第一二三宇宙速度所需的能量由于物体总是有限度的，故 有一极小值 ，既相互作用的二质点不可能无限接近，对于人造卫星的发射 其为地球半径。 为地面上发射时所需的初动能，图示 分别为使卫星进入轨道时达到一二三宇宙速度在地面上的发射动能。 .为进入轨道前克服里及空气阻力做功所需的能量。
1.10一质点沿着抛物线 运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的 倍。如此质点从正焦弦 的一端以速度 出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。
1.12为什么被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力不作功？我们利用动能定理或能量积分，能否求出约束力？如不能，应当怎样去求？
1.13质点的质量是1千克，它运动时的速度是 ，式中 、 、 是沿 、 、 轴上的单位矢量。求此质点的动量和动能的量值。
式中 为速度矢量与 轴间的夹角，且当 时， 。
1.13假定一飞机从 处向东飞到 处，而后又向西飞回原处。飞机相对于空气的速度为 ，而空气相对于地面的速度为 。 与 之间的距离为 。飞机相对于空气的速度 保持不变。
假定 ，即空气相对于地面是静止的，试证来回飞行的总时间为
假定空气速度为向东（或向西），试证来回飞行的总时间为
1.2答：质点运动时，径向速度 和横向速度 的大小、方向都改变，而 中的 只反映了 本身大小的改变， 中的 只是 本身大小的改变。事实上，横向速度 方向的改变会引起径向速度 大小大改变， 就是反映这种改变的加速度分量；经向速度 的方向改变也引起 的大小改变，另一个 即为反映这种改变的加速度分量，故 ， 。这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况
由
得
即速度 的大小就决定了轨道的形状，图中 对应于进入轨道时的达到第一二三宇宙速度所需的能量由于物体总是有限度的，故 有一极小值 ，既相互作用的二质点不可能无限接近，对于人造卫星的发射 其为地球半径。 为地面上发射时所需的初动能，图示 分别为使卫星进入轨道时达到一二三宇宙速度在地面上的发射动能。 .为进入轨道前克服里及空气阻力做功所需的能量。
1.10一质点沿着抛物线 运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的 倍。如此质点从正焦弦 的一端以速度 出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。
理论力学教程周衍柏
理论力学教程周衍柏《理论力学教程》是由周衍柏编写的一本力学学科的教材。
该教程主要涵盖了力学的基本概念、原理和计算方法，适用于大学力学课程的教学和学习。
第一章介绍了力学的基本概念和研究对象。
力学研究物体在力的作用下的运动规律，分为静力学和动力学两部分。
静力学研究物体平衡的条件和平衡状态，动力学研究物体在力的作用下的运动规律和能量变化。
第二章详细介绍了质点的运动规律。
讨论了质点的位移、速度和加速度的定义和计算方法，以及质点在直线上的运动和曲线上的运动。
介绍了质点的直线运动中的均匀运动和变速运动，以及曲线运动中的圆周运动。
第三章讨论了刚体的运动规律。
刚体是指无论在受力作用下还是不受力作用下，各部分之间的相对位置和相互间的距离保持不变的物体。
详细介绍了刚体的平动和转动，以及刚体的匀速旋转和变速旋转。
第四章介绍了力的作用、合力和力矩的概念。
力是产生物体运动或形变的原因，合力是多个力合成后的结果，力矩是力对物体产生转动的效果。
讨论了力的叠加原理和解析法，以及力的平衡条件和平衡的判定方法。
第五章讨论了静力学力学系的平衡条件和平衡的判定方法。
静力学力学系指在静止时，物体所受到的各个力及其力矩之间的平衡关系。
介绍了力的杠杆原理和力的分解原理，以及力矩的计算方法和力的平衡条件。
第六章介绍了动力学力学系的平衡条件和平衡的判定方法。
动力学力学系指在运动时，物体所受到的各个力及其力矩之间的平衡关系。
讨论了动力学力学系中的杠杆原理和力的合成原理，以及动力学平衡条件的计算方法。
第七章讨论了万有引力和弹性力的性质和计算方法。
介绍了万有引力的概念和计算公式，以及弹性力的概念和弹性势能的计算方法。
讨论了物体在重力和弹性力作用下的平衡位置和平衡条件，以及重心和回复力的概念。
第八章介绍了刚体的平衡条件和平衡的判定方法。
讨论了刚体在力和力矩作用下的平衡关系，以及刚体平衡条件和刚体静力学平衡的判定方法。
详细介绍了刚体平衡的三个条件和平衡关系的计算方法。
理论力学第一章
理论力学
一、力学的分类
宏观系统(h不起作用) 高速运动
低速运动 (v远远小于c)--经典力学 （以对象分）
低速运动——量子力学 微观系统(h起作用)
(v接近c)--相对论力学
（以观点分）
运动学
动力学 静力学
质点力学 质点组力学 刚体力学 连续介质力学
M点速度的方向： cos
x
M
, cos
y
M
bc
2 2
1
3
(a b) sin
bc
2 2
( a b)
csc
3
b c
4
2
1 x
3
a b 2
aM
a
x y
2 2
b c
4
2 2
1 x
3
a b
• 要求记笔记
评分比例：20~30+80~70%
第一章 牛顿力学的基本原理
§1.1 质点运动的描述方法
一、参照系与坐标系 1.参照系 物质的运动是绝对的，运动的描述是相对的。物体的位置只 能相对地确定，为研究一个物体必须事先选定另一个物体作为 参考标准（参照物），这样的物体就叫做参照系或参考系。 说明： ① 参照物不同，对同一个物体运动的描述结果可能不同；
应用
四、理论力学的发展史
早在(公元前287~212)古希腊阿基米德著的《论比重》就奠定了静 力学基础。 意大利的达芬奇(1452~1519)研究滑动摩擦、平衡、力矩。 波兰的哥白尼(1473~1543)创立宇宙“日心说”。 德国的开普勒(1571~1630)提出行星运动三定律。 意大利的伽利略(1564~1642)提出自由落体规律、惯性定律及加速度 的概念。 英国伟大科学家牛顿(1643~1727)在1687年版的《自然哲学的数学原 理》一书总其大成，提出动力学的三个基本定律，万有引力定律，天体 力学等。是力学奠基人。 瑞士的伯努利(1667~1748)提出虚位移原理。 瑞士的欧拉(1707~1783)出版著作《力学》用微分方程研究。
一、力学的分类
宏观系统(h不起作用) 高速运动
低速运动 (v远远小于c)--经典力学 （以对象分）
低速运动——量子力学 微观系统(h起作用)
(v接近c)--相对论力学
（以观点分）
运动学
动力学 静力学
质点力学 质点组力学 刚体力学 连续介质力学
M点速度的方向： cos
x
M
, cos
y
M
bc
2 2
1
3
(a b) sin
bc
2 2
( a b)
csc
3
b c
4
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a b 2
aM
a
x y
2 2
b c
4
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1 x
3
a b
• 要求记笔记
评分比例：20~30+80~70%
第一章 牛顿力学的基本原理
§1.1 质点运动的描述方法
一、参照系与坐标系 1.参照系 物质的运动是绝对的，运动的描述是相对的。物体的位置只 能相对地确定，为研究一个物体必须事先选定另一个物体作为 参考标准（参照物），这样的物体就叫做参照系或参考系。 说明： ① 参照物不同，对同一个物体运动的描述结果可能不同；
应用
四、理论力学的发展史
早在(公元前287~212)古希腊阿基米德著的《论比重》就奠定了静 力学基础。 意大利的达芬奇(1452~1519)研究滑动摩擦、平衡、力矩。 波兰的哥白尼(1473~1543)创立宇宙“日心说”。 德国的开普勒(1571~1630)提出行星运动三定律。 意大利的伽利略(1564~1642)提出自由落体规律、惯性定律及加速度 的概念。 英国伟大科学家牛顿(1643~1727)在1687年版的《自然哲学的数学原 理》一书总其大成，提出动力学的三个基本定律，万有引力定律，天体 力学等。是力学奠基人。 瑞士的伯努利(1667~1748)提出虚位移原理。 瑞士的欧拉(1707~1783)出版著作《力学》用微分方程研究。
理论力学(周衍柏)第一章质点力学
（1）矢量形式的运动学方程
rr(t)
理论力学：Theoretical mechanics 当质点运动时r是时间t的单值连续函数。此方程常用来 进行理论推导。它的特点是概念清晰，是矢量法分析质点 运动的基础。
（2）直角坐标形式的运动学方程
x x(t)
y
y (t)
z z ( t )
这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。它是 代数方程，虽然依赖于坐标系，但是运算容易。
说明： ① 参照物不同，对同一个物体运动的描述结果可能不同；
② 观察者是站在参照系的观察点上； ③ 不特别说明都以地球为参照系。
2. 坐标系
理论力学：Theoretical mechanics 为了定量研究的空间位置，就必须在参考系上建立坐标 系。参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于 用教学方式描述质点在空间的相对位置（方法）。
ji
解： 确定动系和静系 静系：河岸 动系：河流 研究对象：小船
理论力学：Theoretical mechanics
:0 牵连速度， ： 绝对速度， :相 对 速度
ji
由：
0
0
c2i
r d
dt
j
c1 cosi c1 sin
j
i
选取极坐标, 得
理论力学：Theoretical mechanics
0:人行走速度， ： 风速(相对于地)， :风 相对于人的速
度 由：
得： 理论力学：Theoretical mechanics
得： 解得：
y
2
2
理论力学：Theoretical mechanics
因此：x 4,y 4
风速： x2y2 4 2km/h
理论力学第一章质点力学(3)
这时 闭合路径积分等于零
F dr F dl 0
（保守力定义之三）
L
※ 假若场力的功与中间路径无关，或沿任何闭合路径运
动一周时，场力做的功为零，则该场力即为保守力。
□保守力的判据：
由场论知 F dl F ds 0
L
S
L 为任意
F 0
Fz Fy 0, y z
即：
cosq sinq 7q 6 7dq
98p 2 70p
例2 （P38）在上题中，如
Fx 2x 3y 4z 5, Fy z x 8, Fz x y z 12
则结果如何？
解：略
2015/3/24
第一章 质点力学(2)
16
§1、8 质点动力学的基本定理与基本守恒律
通过求解
阻力，则叫单摆。如单摆从幅角 q0（ q0不一定很小）
的地方自由落下，试用两种不同方法（机械能守恒与 运动定律 ）求摆锤通过最低点时的速度。
解： （1）机械能守恒
1 2
mv2
mgl
0
mgl
cosq0
于是得到 v 2gl 1 cosq0
2015/3/24
第一章 质点力学(2)
27
（2）运动定律求解
Fx x 2y z 5, Fy 2x y z, Fz x y z 6
求此质点沿螺旋线 x cosq, y sinq, z 7q 运行自q=0至 q=2p时，力对质点所作的功。
解： 先检验一下，作用力是不是保守力？
Fz Fy 11 0, y z
Fx Fz 11 0, z x
微分形式（又称“冲量定理” theorem of impulse）
积分形式 力对时间的积累
dP Fdt
理论力学第一章绪论
柔性体（受拉力平衡） 反之不一定成立．
刚化为刚体（仍平衡）
刚体（受压平衡）
柔性体（受压不能平衡）
23
§1-3 约束和约束反力
自由体：凡能在空间自由运动的物体. 非自由体：物体在运动时受到一定限制，使其在某些方向的运
动成为不可能，这种物体就叫非自由体。
约束：对非自由体的位移起限制作用的物体或限制条件. 主动力：主动使物体具有运动趋势的力称为主动力，如重力． 约束反力：约束对非自由体的作用力，由主动力引起．
10
3 理论力学成绩确定
作业 20% 卷面考试 80% 卷面成绩要达到50分
11
学习参考书
教材：建筑力学第一分册理论力学（第4版） ．重庆大 学 邹昭文 程光均 张祥东编．高教出版社 理论力学 Ⅰ（第七版）．哈尔滨工业大学理论力学教研 组编．高教出版社 理论力学解题指导和习题集（第3版）．王铎 程靳主 编．高教出版社
33
五、 固定铰链支座
支座： 将结构物或构件连接在墙、柱、机器的机身等支承 物上的装置。 固定铰支座：用光滑圆柱铰链把结构或构件与支承底板连 接，并将底板固定在支承物上而构成的支座。
34
五、 固定铰链支座
约束特点： 由上面构件1或2 之一与地面或机架固定而成． 约束力：与圆柱铰链相同，通过铰心,方向不定，故常用通 过铰心且相互垂直的两个分力表示。
适当考勤，作为平时成绩计入总成绩
1
绪论
*理论力学的研究对象和内容 *学习目的和学习方法 *教学参考书
2
理论力学的研究对象和内容
理论力学 是研究物体机械运动一般规律的一门学科 机械运动： 物体在空间的位置随时间的变化。
说明：机械运动是物质在各种运动形式中最简单的一种运动。
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绪 论
一、物理学与人类文明 1、在牛顿力学和万有引力定律的基础上发展起来的空间 物理，能把宇宙飞船送上太空，使人类实现了飞天的梦想。 也使中国人“九天揽月”成为可能。
神州六号发射瞬间
神州七号照片
哈勃空间望远镜：1990年4月25日由航天飞
机发现者号送入太空。望远镜口径2.4米,总重12.5吨,研制历 时13年,耗资21亿美元,空间轨道高度600公里。
2 2 2 v | v | v v v 大小： x y z
方向：用速度与三个坐标轴方向的方向余弦表示 vx vy cos( v ,i ) cos v cos( v , j ) cos v v v vz cos( v ,k ) cos v v
核磁共振
X光机
4、20 世纪初相对论和量子力学的建立，诞生了近代 物理，开创了微电子技术的时代。如：半导体芯片、电 子计算机等。
半导体芯片
5 、 20 世纪 60 年代，激光器诞生。激光物理的进展使激 光在制造业、医疗技术和国防工业中的得到了广泛的应用。 如：大家熟悉的微机光盘就是用激光读的；光导纤维等。
(a b) sin
c
故M点速度分量： x
y
bc cos bc cot (a b) sin ab
6、20世纪80年代高温超导体的研究取得了重大突破，为 超导体的实际应用开辟了道路。如：磁悬浮列车等。80年代， 我国高温超导的研究走在世界的前列。
7 、 20 世纪 90 年代发展起来的纳米技术，使人们可以 按照自己的需要设计并重新排列原子或者原子团，使其 具有人们希望的特性。
美国赖斯大学 “纳米车”， 长4nm，还不到人头发丝直径的万 分之一。每分钟能跑２纳米 .
7 8 哈尔滨工业大学理论力学教研室 ，理论力学，高教出版社，2009 H.Goldstein, Classical Mechanics, 2-nd edition, Addison
Wesley,1980
第一章 质点力学
§1.1 运动的描述方法
一、参照系与坐标系 1.参照系 物质的运动是绝对的，运动的描述是相对的。物体的位臵只 能相对地确定，为研究一个物体必须事先选定另一个物体作为 参考标准（参照物），这样的物体就叫做参照系或参考系。 说明： ① 参照物不同，对同一个物体运动的描述结果可能不同；
二、力学的分类
宏观系统(h不起作用) 高速运动 (v接近c)--相对论力学
低速运动——量子力学 微观系统(h起作用)
低速运动 (v远远小于c)--经典力学 （以对象分）
（以观点分）
运动学
动力学 静力学
质点力学
质点组力学 刚体力学 连续介质力学
（1）矢量形式的运动学方程
r r (t )
当质点运动时r是时间t的单值连续函数。此方程常用来 进行理论推导。它的特点是概念清晰，是矢量法分析质点 运动的基础。 （2）直角坐标形式的运动学方程
x x(t ) y y (t ) z z (t )
这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。它是 代数方程，虽然依赖于坐标系，但是运算容易。 （3）极坐标下的运动学方程
2、加速度：
dvx dvy dvz dv a i j k dt dt dt dt axi a y j az k
| a | 大小：a
a x x 分量式： y a y z a z
dr dx dy dz 1、速度：v i j k dt dt dt dt i y j z k x vx i v y j vz k
由位置矢量： r xi yj zk
,vy y ,vz z 分量式： vx x
解：如图所示建立坐标系 M点的坐标为：
x b sin y a cos
消去参数 得轨道方程
x2 y2 2 1 2 a b
由：
x b sin y a cos
计算速度
b cos a sin y
得M点速度分量：x
因为： yB (a b)cos B (a b)sin 再由已知得： y c 故：
(t ) r
ds s dt
3、加速度（ 瞬时加速度矢量）：
v dv 定义 a lim t 0 t dt 2 d dr dr ( ) r dt dt dt 2
加速度的方向一定指向轨道的凹侧
§1.2 速度、加速度分量表示式
一、直角坐标系
2 陈世民.理论力学简明教程, 高教出版社, 2001 3 刘焕堂.理论力学原理与方法,厦大出版社,1997
4 胡慧玲等.理论力学基础教程,高教出版社,1986
5 卢圣治.理论力学基本教程，北师大出版社，2004 6 同济大学航空航天与力学学院、基础力学教学研究部，理论力学，同济
大学出版社，2004
r xi yj zk
极坐标系：
P(r , )
o
自然坐标系：
P
s
P( s )
二、运动学方程及轨道 1、运动方程
描述物体在参考空间中任一瞬时位臵的数学表达式称为运 动学方程。 质点的运动学方程确定了点在参考空间中任一瞬时的位 臵，并由此可进一步揭示质点运动的几何性质：轨迹、速度 和加速度等。写出质点的运动学方程是研究质点的运动学的 首要任务。一般常用的方程有
8 、生命科学的发展也离不开物理学。脱氧核糖核酸 （ DNA ）是存在于细胞核中的一种重要物质，它是储存和传 递生命信息的物质基础。1953年生物学家沃森和物理学家克 里克利用 X 射线衍射的方法在卡文迪许（著名实验物理学家） 实验室成功地测定了DNA的双螺旋结构,威尔金斯、沃森和克 里克分享1962年诺贝尔生理学或医学奖。
r r (t ) (t )
当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位臵也可用极坐 标确定。
（4）自然坐标形式的运动学方程 s s (t ) 对运动轨迹已知的质点，常用此方程。用自然法研究运 动，运算比较简便，各运动参数的物理意义明确。 质点在参考系中的位臵还可用其它的方法确定，例如柱 坐标法或球坐标法。 2、轨道 质点运动过程中在空间描述出的连续曲线, 运动学方程中 消去t得轨道方程。(直线运动、曲线运动)。 三、位移、速度、加速度 1、位移： 是由初位臵引向末位臵的矢量，是质点位臵 矢量的增量. r r(t t ) r(t )
法国达朗伯(1717~1785)出版著作《动力学专论》达朗伯原理。 法国拉格朗日(1736~1813)出版名著《分析力学》。
六、《理论力学教程》的内容框架
质点力学 质点组力学 刚体力学 转动参照系
分析力学
主要参考书目：
1 周衍柏.理论力学教程（第三版）,高教出版社,1986
2 肖士珣.理论力学简明教程，人民教育出版社，1983
杭州湾跨海大桥是一座横跨中国杭州湾海域的跨海大桥，它 北起浙江嘉兴海盐郑家埭，南至宁波慈溪水路湾，全长36公
里，是目前世界上最长的跨海大桥
万里长城 摩索拉斯陵墓 埃及金字塔 The Pyramids of Egypt
国家游泳中心的选定方案——〔H2O〕3(“水立方”)
由中国建筑工程总公司、澳大利亚PTW公司、澳大利亚ARUP公司组成的 联合体设计的〔H2O〕3(“水立方”)，融建筑设计与结构设计于一体，设计 新颖，结构独特，与国家体育场比较协调，功能上完全满足2008年奥运会 赛事要求，而且易于赛后运营。
DNA结构发现者英国科学家莫里斯.威尔金斯
DNA的双螺旋结构
航空母舰
海洋石油钻井平台
我国祖先的功绩
赵州桥又名安济桥，全长50.82米，桥面宽9米，是一座单孔坦拱式 桥梁。 赵州桥由隋朝著名工匠李春主持设计建造。他创造的坦拱式、敞 肩式建桥法，在当时堪称独步，桥梁质量上乘。赵州桥结构合理，外 型秀丽，富有民族风格，素有“奇巧固护，甲于天下”的美誉。
② 观察者是站在参照系的观察点上；
③ 不特别说明都以地球为参照系。 2. 坐标系
为了定量研究的空间位臵，就必须在参考系上建立坐标 系。参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于 用教学方式描述质点在空间的相对位臵（方法）。 3、质点及位臵的描述 (1) 质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽 略，物体作平动）。在研究物体的机械运动时，不考虑物体 的大小和形状，而只计及其质量的力学模型就叫质点。 (2) 位臵描述 ①质点相对某参照系的 位臵，可由位矢r 确定; ②坐标描述： 直角坐标系:
2 2 ax a2 a y z
方向：用加速度与三个坐标轴方向的方向余弦表示 ax ay cos( a,i ) cos a cos( a, j ) cos a a a az cos( a,k ) cos a a
[例1]设椭圆规尺AB的端点A与端点B沿直线导槽ox及oy滑动 （如下图所示），而B以匀速度c 运动，求椭圆规尺上M点 的轨道方程，速度及加速度.设MA=a,MB=b,OBA .
哈勃太空望远镜所观察到的离地球7000光年的巨鹰星云
人类登月
―嫦娥二号”于2010年10月1日在西昌卫星发射中心发射升空
1969年7月 人类第一次登月 阿波罗11号宇宙飞船
2、带电粒子在电场磁场中偏转的规律在科学技术中的应 用。如：电视机显像管等。
电视机
电子枪
3、核物理的研究使放射线的应用成瘤的伽玛刀、 核磁共振，超声波，X光机等。
三、理论力学的研究对象
理论力学：是研究宏观物体机械运动规律的一门学科。 机械运动：是物体在空间的位臵随时间的变化。
四、理论力学的研究方法
一、物理学与人类文明 1、在牛顿力学和万有引力定律的基础上发展起来的空间 物理，能把宇宙飞船送上太空，使人类实现了飞天的梦想。 也使中国人“九天揽月”成为可能。
神州六号发射瞬间
神州七号照片
哈勃空间望远镜：1990年4月25日由航天飞
机发现者号送入太空。望远镜口径2.4米,总重12.5吨,研制历 时13年,耗资21亿美元,空间轨道高度600公里。
2 2 2 v | v | v v v 大小： x y z
方向：用速度与三个坐标轴方向的方向余弦表示 vx vy cos( v ,i ) cos v cos( v , j ) cos v v v vz cos( v ,k ) cos v v
核磁共振
X光机
4、20 世纪初相对论和量子力学的建立，诞生了近代 物理，开创了微电子技术的时代。如：半导体芯片、电 子计算机等。
半导体芯片
5 、 20 世纪 60 年代，激光器诞生。激光物理的进展使激 光在制造业、医疗技术和国防工业中的得到了广泛的应用。 如：大家熟悉的微机光盘就是用激光读的；光导纤维等。
(a b) sin
c
故M点速度分量： x
y
bc cos bc cot (a b) sin ab
6、20世纪80年代高温超导体的研究取得了重大突破，为 超导体的实际应用开辟了道路。如：磁悬浮列车等。80年代， 我国高温超导的研究走在世界的前列。
7 、 20 世纪 90 年代发展起来的纳米技术，使人们可以 按照自己的需要设计并重新排列原子或者原子团，使其 具有人们希望的特性。
美国赖斯大学 “纳米车”， 长4nm，还不到人头发丝直径的万 分之一。每分钟能跑２纳米 .
7 8 哈尔滨工业大学理论力学教研室 ，理论力学，高教出版社，2009 H.Goldstein, Classical Mechanics, 2-nd edition, Addison
Wesley,1980
第一章 质点力学
§1.1 运动的描述方法
一、参照系与坐标系 1.参照系 物质的运动是绝对的，运动的描述是相对的。物体的位臵只 能相对地确定，为研究一个物体必须事先选定另一个物体作为 参考标准（参照物），这样的物体就叫做参照系或参考系。 说明： ① 参照物不同，对同一个物体运动的描述结果可能不同；
二、力学的分类
宏观系统(h不起作用) 高速运动 (v接近c)--相对论力学
低速运动——量子力学 微观系统(h起作用)
低速运动 (v远远小于c)--经典力学 （以对象分）
（以观点分）
运动学
动力学 静力学
质点力学
质点组力学 刚体力学 连续介质力学
（1）矢量形式的运动学方程
r r (t )
当质点运动时r是时间t的单值连续函数。此方程常用来 进行理论推导。它的特点是概念清晰，是矢量法分析质点 运动的基础。 （2）直角坐标形式的运动学方程
x x(t ) y y (t ) z z (t )
这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。它是 代数方程，虽然依赖于坐标系，但是运算容易。 （3）极坐标下的运动学方程
2、加速度：
dvx dvy dvz dv a i j k dt dt dt dt axi a y j az k
| a | 大小：a
a x x 分量式： y a y z a z
dr dx dy dz 1、速度：v i j k dt dt dt dt i y j z k x vx i v y j vz k
由位置矢量： r xi yj zk
,vy y ,vz z 分量式： vx x
解：如图所示建立坐标系 M点的坐标为：
x b sin y a cos
消去参数 得轨道方程
x2 y2 2 1 2 a b
由：
x b sin y a cos
计算速度
b cos a sin y
得M点速度分量：x
因为： yB (a b)cos B (a b)sin 再由已知得： y c 故：
(t ) r
ds s dt
3、加速度（ 瞬时加速度矢量）：
v dv 定义 a lim t 0 t dt 2 d dr dr ( ) r dt dt dt 2
加速度的方向一定指向轨道的凹侧
§1.2 速度、加速度分量表示式
一、直角坐标系
2 陈世民.理论力学简明教程, 高教出版社, 2001 3 刘焕堂.理论力学原理与方法,厦大出版社,1997
4 胡慧玲等.理论力学基础教程,高教出版社,1986
5 卢圣治.理论力学基本教程，北师大出版社，2004 6 同济大学航空航天与力学学院、基础力学教学研究部，理论力学，同济
大学出版社，2004
r xi yj zk
极坐标系：
P(r , )
o
自然坐标系：
P
s
P( s )
二、运动学方程及轨道 1、运动方程
描述物体在参考空间中任一瞬时位臵的数学表达式称为运 动学方程。 质点的运动学方程确定了点在参考空间中任一瞬时的位 臵，并由此可进一步揭示质点运动的几何性质：轨迹、速度 和加速度等。写出质点的运动学方程是研究质点的运动学的 首要任务。一般常用的方程有
8 、生命科学的发展也离不开物理学。脱氧核糖核酸 （ DNA ）是存在于细胞核中的一种重要物质，它是储存和传 递生命信息的物质基础。1953年生物学家沃森和物理学家克 里克利用 X 射线衍射的方法在卡文迪许（著名实验物理学家） 实验室成功地测定了DNA的双螺旋结构,威尔金斯、沃森和克 里克分享1962年诺贝尔生理学或医学奖。
r r (t ) (t )
当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位臵也可用极坐 标确定。
（4）自然坐标形式的运动学方程 s s (t ) 对运动轨迹已知的质点，常用此方程。用自然法研究运 动，运算比较简便，各运动参数的物理意义明确。 质点在参考系中的位臵还可用其它的方法确定，例如柱 坐标法或球坐标法。 2、轨道 质点运动过程中在空间描述出的连续曲线, 运动学方程中 消去t得轨道方程。(直线运动、曲线运动)。 三、位移、速度、加速度 1、位移： 是由初位臵引向末位臵的矢量，是质点位臵 矢量的增量. r r(t t ) r(t )
法国达朗伯(1717~1785)出版著作《动力学专论》达朗伯原理。 法国拉格朗日(1736~1813)出版名著《分析力学》。
六、《理论力学教程》的内容框架
质点力学 质点组力学 刚体力学 转动参照系
分析力学
主要参考书目：
1 周衍柏.理论力学教程（第三版）,高教出版社,1986
2 肖士珣.理论力学简明教程，人民教育出版社，1983
杭州湾跨海大桥是一座横跨中国杭州湾海域的跨海大桥，它 北起浙江嘉兴海盐郑家埭，南至宁波慈溪水路湾，全长36公
里，是目前世界上最长的跨海大桥
万里长城 摩索拉斯陵墓 埃及金字塔 The Pyramids of Egypt
国家游泳中心的选定方案——〔H2O〕3(“水立方”)
由中国建筑工程总公司、澳大利亚PTW公司、澳大利亚ARUP公司组成的 联合体设计的〔H2O〕3(“水立方”)，融建筑设计与结构设计于一体，设计 新颖，结构独特，与国家体育场比较协调，功能上完全满足2008年奥运会 赛事要求，而且易于赛后运营。
DNA结构发现者英国科学家莫里斯.威尔金斯
DNA的双螺旋结构
航空母舰
海洋石油钻井平台
我国祖先的功绩
赵州桥又名安济桥，全长50.82米，桥面宽9米，是一座单孔坦拱式 桥梁。 赵州桥由隋朝著名工匠李春主持设计建造。他创造的坦拱式、敞 肩式建桥法，在当时堪称独步，桥梁质量上乘。赵州桥结构合理，外 型秀丽，富有民族风格，素有“奇巧固护，甲于天下”的美誉。
② 观察者是站在参照系的观察点上；
③ 不特别说明都以地球为参照系。 2. 坐标系
为了定量研究的空间位臵，就必须在参考系上建立坐标 系。参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于 用教学方式描述质点在空间的相对位臵（方法）。 3、质点及位臵的描述 (1) 质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽 略，物体作平动）。在研究物体的机械运动时，不考虑物体 的大小和形状，而只计及其质量的力学模型就叫质点。 (2) 位臵描述 ①质点相对某参照系的 位臵，可由位矢r 确定; ②坐标描述： 直角坐标系:
2 2 ax a2 a y z
方向：用加速度与三个坐标轴方向的方向余弦表示 ax ay cos( a,i ) cos a cos( a, j ) cos a a a az cos( a,k ) cos a a
[例1]设椭圆规尺AB的端点A与端点B沿直线导槽ox及oy滑动 （如下图所示），而B以匀速度c 运动，求椭圆规尺上M点 的轨道方程，速度及加速度.设MA=a,MB=b,OBA .
哈勃太空望远镜所观察到的离地球7000光年的巨鹰星云
人类登月
―嫦娥二号”于2010年10月1日在西昌卫星发射中心发射升空
1969年7月 人类第一次登月 阿波罗11号宇宙飞船
2、带电粒子在电场磁场中偏转的规律在科学技术中的应 用。如：电视机显像管等。
电视机
电子枪
3、核物理的研究使放射线的应用成瘤的伽玛刀、 核磁共振，超声波，X光机等。
三、理论力学的研究对象
理论力学：是研究宏观物体机械运动规律的一门学科。 机械运动：是物体在空间的位臵随时间的变化。
四、理论力学的研究方法