常见函数单调性
函数的基本性质及常用结论
函数的基本性质及常用结论一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。
定义：（略）定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 定理2：（导数法确定单调区间） 若[]b a x ,∈，那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同，②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+、②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠的增减性不能确定；③3()()()F x f x g x =-为增函数。
函数的单调性及单调区间
函数的单调性及单调区间1．函数的单调性及单调区间【知识点的认识】一般地，设函数f （x ）的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2， 当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是增函数；当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是减函数．若函数f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，那么①f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数．②（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．。
单调性总结
1.常见函数的单调性：（1）一元一次函数：)0(≠+=a b ax y ，当0>a 时，是增函数；当0<a 时，是减函数；（2）一元二次函数：一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ；对称轴方程是x=-a b 2；顶点为（-a b 2，a b ac 442-）； 两点式：))((21x x x x a y --=；对称轴方程是x=221x x +与x 轴交点（x 1，0）（x 2，0）； 顶点式：h k x a y +-=2)(；对称轴方程是x=k ；顶点为（k ，h ）；①一元二次函数的单调性： 当0>a 时：(-+∞,2a b ）为增函数；（-a b 2,-∞）为减函数； 当0<a 时：（-a b 2,-∞）为增函数；(-+∞,2ab ）为减函数； （3）反比例函数：)0(≠=x x a y ⇒bx c a y -+= )0(>+=k x k x y 的图象：定义域：{x|x 0≠}；值域：(][)∞+⋃-∞-,22,k k ； 奇偶性：奇函数； 单调性：(][)+∞-∞-,,,k k 是增函数；(][)0,,,0k k -是减函数。
（4）形如求y ＝cx ＋d ax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解． 定义的变式 设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. 3. 复合函数的单调性讨论函数y ＝f ［g(x)］的单调性时要注意两点：(1) 若u ＝g(x)，y ＝f （u ）在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y ＝f ［g(x)］为增函数；(2) 单调性的单调区间不能用“∪”连接.4. 单调函数的运算性质若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在个区间上：(1)函数f(x)与f(x)+C(C 为常数)具有相同的单调性.(2)C ＞0时，函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性；C ＜0时，函数f(x)与C·f(x)具有相反的单调性.(3)若f(x)≠0，则函数f(x)与)(1x f 具有相反的单调性. 5.二次函数在闭区间上的最值一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
函数单调性判断方法
，0上是减函数。
C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)[小结](1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x 1，x 2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．题型二、分段函数单调性判断及应用使用情景：分段函数的单调性问题解题模板：第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步 根据常见函数的单调性，分别计算每段函数的单调性；第三步 满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）；第四步 得出结论.【例1】 已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是 （ ） A ．()1,2 B ．(][),12,-∞+∞ C ．[]1,2 D ．()(),12,-∞+∞+∞+∞ D(2,) (1,)【变式练习3】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是[小结] 1、最值问题使用情景：分段函数的最值问题解题模板：第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步 根据常见函数的最值，分别计算每段函数的最值；第三步 满足函数在整个区间上的最值，即比较每段函数的最值大小，谁最大谁是最大值，谁最小谁是最小值；第四步 得出结论.2、单调性问题其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）与整体函数相同；其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）.题型三、抽象函数的单调性【例1】已知奇函数()f x 的定义域为[]2,2-，且在[]2,0-内递减，求满足：2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围．【例2】定义在上的偶函数满足：，在区间与上分别递增和递减，则不等式的解集为 ．【变式练习1】设奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-.当[1,1]x ∈-时，函数2()21f x t at ≤-+，对一切[1,1]a ∈-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A.22t -≤≤B.2t ≤-或2t ≥C.0t ≤或2t ≥D.2t ≤-或2t ≥或0t =【变式练习2】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 足1(2)(2)a f f ->-，则a 的取值范围是______[小结]不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有： (1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．题型四、函数单调性判断方法（性质）的应用函数单调性的性质：(1)若f (x )，g (x )均为区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≠0)与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )单调性相反；(4)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≥0)与y ＝f (x )单调性相同；(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反． 【常见判断方法】方法一 定义法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 取值定大小：设任意，且； 第二步 作差：；第三步 变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）； 第四步 定符号； 第五步 得出结论. 【例1】 判断并证明：21()1f x x =+在(,0)-∞上的单调性．12,x x D ∈12x x <12()()f x f x -x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)[方法技巧]用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(2)有时，在不等式一边没有符号“f ”时，需转化为含符号“f ”的形式．如若已知f (a )＝0，f (x －b )<0，则f (x －b )<f (a )．应用(三) 求参数的取值范围[例5] (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)[易错提醒](1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．(2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．【变式练习3】1．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)2．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( ) A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )3．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f log 19x >0的x 的集合为________．随堂检测1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．2．讨论函数f (x )＝x ＋a x(a >0)的单调性．。
函数的单调性求函数的最值
函数的单调性与最值复习：按照列表、描点、连线等步骤画出函数2x y =的图像.图像在y 轴的右侧部分是上升的，当在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值也随着增大，如果取21,x x ∈[0，+∞)，得到11()y f x =,2()y f x =,那么当1x <2x 时，有1y <2y .这时就说函数y =2()f x x =在[0,+ ∞)上是增函数.图像在y 轴的左侧部分是下降的，当x 在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值反而随着减小，如果取21,x x ∈[0，+∞)，得到11()y f x =,2()y f x =,那么当1x <2x 时，有12y y <。
这时就说函数y =2()f x x =在[0,+ ∞)上是减函数.1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性； （2）注意区间上所取两点x 1,x 2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。
（4）若函数()f x 在其定义的两个区间A 、B 上都是单调增（减）函数，一般不能认简单地认为()f x 在区间A B U 上是增（减）函数. 例如1()f x x=在区间(,0)-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上也是减函数，但不能说它在定义域(,0)(0,)-∞+∞U 上是减函数.（3）用定义法判断函数的单调性：①定义域取值；任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ②作差；作差f (x 1)－f (x 2)； ③变形；通常是因式分解和配方； ④定符号；即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负⑤下结论．指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性例1 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上是减函数. 证明：设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f > )(2x f ∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上是减函数.练习：讨论函数21)(x x f -=在[-1,0]的单调性.在[-1,0]上任取x 1,x 2且x 1<x 2则2111)(x x f -=,2221)(x x f -= 从而)(1x f -2221211)(x x x f ---== 2221222111)1()1(xx x x -+----=222112122221212211))((11xx x x x x xx x x -+--+=-+--∵21x x < ∴012>-x x 另外，恒有0112221>+++x x∵-1≤x 1<x 2≤0 则 x 1+x 2<0 则)(1x f -0)(2<x f )(1x f <)(2x f ∴ 在[-1，0]上f (x )为增函数2.基本函数的单调性例：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)的单调性.解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x = ∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)是减函数,在[a,2]是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)是减函数.3.判断函数的单调性的常见结论①设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1＜x 2，那么()()210f x f x ->⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；()()210f x f x -<⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，那么()()21210f x f x x x ->-⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ()()21210f x f x x x -<-⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．③ (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．例：求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间.4. 关于分段函数的单调性(1)若函数()()[]()[],,,,g x x a b f x h x x c d ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,()g x 在区间[],a b 上是增函数, ()h x 在区间[],c d 上是增函数,则()f x 在区间[][],,a b c d U 上不一定是增函数,若使得()f x 在区间[][],,a b c d U 上一定是增函数,需补充条件: ()()g b h c ≤(2)若函数()()[]()[],,,,g x x a b f x h x x c d ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,()g x 在区间[],a b 上是减函数, ()h x 在区间[],c d 上是减函数,则()f x 在区间[][],,a b c d U 上不一定是减函数,若使得()f x 在区间[][],,a b c d U 上一定是减函数,需补充条件: ()()g b h c ≥例：已知函数()(0)(3)4(0)x a x f x a x a x ⎧<⎨-+≥⎩＝若对任意x 1，x 2，都有()()21210f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值围是( )A ．(0,14] B ．(0,1) C ．[14,1) D ．(0,3)5．函数的最值例：f(x)＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为__________；f(x)max ＝________.6.利用函数的单调性求最值例题：已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明:令0x y ==,则(0)0f =;再令y x =-,则应有()()f x f x -=-,从而在R 上任取12x x >,则121212()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-.1212,0.x x x x >∴->Q 又0x >Q 时,()0f x <,从而12()0f x x -<,即12()()f x f x <,由定义可知函数()f x 在R 上的减函数.(2)Q 函数()f x 是R 上的减函数,()f x ∴在区间[3,3]-上也是减函数.从而可知在区间[3,3]-上,(3)f -最大,(3)f 最小.2(3)(2)(1)(1)(1)(1)3(1)3()2,3f f f f f f f =+=++==⨯-=-Q (3)(3) 2.f f ∴-=-=即()f x 在[3,3]-上的最大值为2,最小值为－2.练习：已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f (yx)＝f (x )－f (y ).，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.（1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。
高中数学知识点：基本初等函数的单调性
第 1 页 共 1 页 高中数学知识点：基本初等函数的单调性
1．正比例函数(0)y kx k =≠
当k>0时，函数y kx =在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx =在定义域R 是减函数.
2．一次函数(0)y kx b k =+≠
当k>0时，函数y kx b =+在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx b =+在定义域R 是减函数.
3．反比例函数(0)k y k x =≠
当0k >时，函数k y x =的单调递减区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调增区间；
当0k <时，函数k y x
=的单调递增区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调减区间.
4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠
若a>0，在区间(]2b a -∞-
，，函数是减函数；在区间[)2b a -∞，+，函数是增函数；
若a<0，在区间(]2b a -∞-
，，函数是增函数；在区间[)2b a -∞，+，函数是减函数．。
函数的单调性、奇偶性、周期性
函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。
2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。
注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。
（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。
（4）利用函数的图象分别指出： 一次函数y=kx+b 、 反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）． （7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法 （3导数法） 二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性， 当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性， 则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 ；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。
函数单调性常见类型
函数的单调性题型一 判断、讨论、证明函数的单调性1判断函数y=x-x 1在其定义域上的单调性。
2讨论并证明y=x+x 1在定义域上的单调性。
3定义在R 上的函数f （x ）对任意不相等实数a ，b 总有()()ba b f a f -->0成立，则必有 A 、函数f （x ）是先增加后减小B 、函数f （x ）是先减小后增加C 、f （x ）在R 上是增函数D 、f （x ）在R 上是减函数 4已知b x k x f ++=)12()(在实数R 是减函数，则k 的取值范围为（ ）5已知函数),0(,)(2+∞∈++=x c bx x x f 是单调函数，则实数b 的取值范围为（ ） .0.≥b A 0.≤b B 0.>b C 0,<b D6已知2)1(2)(2+--=x a x x f 在]4,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。
题型二 抽象函数的单调性 1、已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f(x-2)<f(1-x), 求x 的取值范围.2 、f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f （x ）>f （8（x —2））的解集是A 、（2，716）B 、（—∞，716）C 、（2，+∞）D 、（2，716）题型三 用图形讨论函数单调性1函数y=|x —3|—|x+1|的单调递减区间是 。
2画出函数223.y x x =-++的图像，并指出函数的单调区间3画出函数y=|x|的图像，并判断其单调性。
4画出函数y=|x 2+2x-1|的图像，并指出其在R 上的单调性。
题型四 基本初等函数的单调性问题1.设函数243,[1,4]y x x x =-+∈，则()f x 的最小值和最大值为（ ）A.-1 ，3B.0 ，3C.-1，4D.-2，02．函数f （x ）=—x 2+2（a —1）x+2在（—∞，4）上是增函数，则a 的范围是A 、a ≥5B 、a ≥3C 、a ≤3D 、a ≤—53.已知22(2)5y ax a x =+-+在区间(4,)+∞上是减函数，则a 的范围是（ ） A.25a ≤ B.25a ≥ C.25a ≥或0a = D.0a ≤ 3.若函数242--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为[]2,6--，则m 的取值范围是（ ）A 、(]4,0B 、[]4,2C 、(]2,0D 、()4,2 4.函数32++=bx ax y 在(]1,-∞-上是增函数，在[)+∞-,1上是减函数，则（ ）A 、00<>a b 且B 、02<=a bC 、02>=a bD 、的符号不确定b a ,5.已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞7.已知函数(21)32f x x +=+，且()4f a =，则a =_____________8.函数]1,1[)20(32-<<++=在a ax x y 上的最大值是 ，最小值是 . 9.函数222(03)()6(20)x x x f x x x x ⎧-<≤=⎨+-≤≤⎩的值域为_______________________ 10.函数212+=x y 的值域为______________________. 11．已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]上有最大值5和最小值2，则a 、b 的值是题型五 解答题1.已知函数y =(0)a <在区间(,1]-∞上有意义，求实数a 的取值范围.2.二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f .（1）求)(x f 的解析式；（2）在区间[]1,1-上，)(x f y =的图象恒在直线m x y +=2上方，试确定实数m 的取值范围.3.已知函数2,(1),()2,(11),2,(1).x x f x x x x ≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩4.已知函数2()(2)f x x a x b =+++满足2)1(-=-f ；（1）若方程()=2f x x 有唯一的解；求实数b a ,的值；（2）若函数()f x 在区间[]-22，上不是单调函数，求实数a 的取值范围5.已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==。
高中数学常见基本初等函数单调性汇总表
定义域
增区间
减区间
对数函数
定义域
增区间
减区间
定义域
增区间
减区间
正弦函数
定义域
增区间
减区间
余弦函数
定义域
增区间
减区间
正切函数
定义域
增区间
减区间
高中数学常见基本初等函数的单调性汇总表—1
函数类型
图象
单调性
一次函数
定义域
增区间
减区间
定义域
增区间
减区间
二次函数
定义域
增区间
减区间
定义域
增区间
减区间
反比例型函数
定义域
增区间
减区间
定义域
增区间
减区间
对勾数
定义域
增区间
减区间
高中数学常见基本初等函数的单调性汇总表—2
函数类型
图象
单调性
指数函数
定义域
增区间
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称⾮奇⾮偶例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常⽤性质：1．0)(=x f 是既奇⼜偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满⾜)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满⾜：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=⾮奇⾮偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成⼀个奇函数2)()()(x f x f x --=和⼀个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应⽤：（⼀）常⽤定义法来证明⼀个函数的单调性⼀般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（⼆）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常⽤结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）⼀般地对于函数内⼀切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在⼀个最⼩正数，就把这个最⼩正数叫最⼩正周期。
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3,4、k>0时，函数f(x)在（﹣∞，﹢ ∞ ）上为增函数 k<0时，函数f(x)在（﹣∞，﹢ ∞ ）上为减函数 5、k>0时，函数f(x)在[-4,5]上为增函数 k<0时，函数f(x)在[-4,5]上为减函数
决定一次函数单调性的因素是什么？
应用练习题一
• 求下列函数的值域 • 1.f(x)=x+3 x∈[-4,5] 1. 值域为[-1,8] • 2. f(x)=kx+3 (k >0，k为常数) x∈[-4,5] 2.值域为[-4k+3,5k+3] 3. f(x)=kx+3 (k ≠0，k为常数) x∈[-4,5]
3. 当k>0时， 值域为[-4k+3,5k+3] 当 k<0时，值域为[5k+3, -4k+3]
问题探究二（二次函数单调性）
• 判断下列函数的单调性 2 x • 1.f(x)= 2 x 3 2 x 2x 3 • 2.f(x)=
3. f (x) ax bx c(a 0)
几种常见函数的单 调性问题
习题课
问题探究一（一次函数单调性）
• • • • • • 判断下列函数的单调性 1、f(x)= x+1 1函数f(x)= x+1在（﹣∞，﹢ ∞ ）上为增函数 2、f(x)= -x-2 2函数f(x)= -x-2在（﹣∞，﹢ ∞ ）上为减函数 3、f(x)= kx+1(k≠0，k为常数) 4、f(x)= kx+b(k≠0, k，b为常数) 5、f(x)= kx+b(k≠0, k，b为常数)x∈[ x (4 2a) x 2 在区间[-2，2]上是减函数， a≥4 • 则a= 2 • 5.若函数 f (x) x (4 2a) x 2 在区间[-2，2]上是单调函数， • 则a= a≥4或a≤0
问题探究三（双曲型函数单调性）
• 判断下列函数的单调性 2 在区间（-∞，0），（0，+ ∞ ）上是减函数 • 1.函数 f (x) x
2
思考：决定二次函数单调性的因素是？
应用练习题二
2 f (x) x (4 2a)x 2 在区间（-∞，2]上是减函数， 在[2,+ • 1.若函数
∞）是增函数，则a=
4 4
2 • 2.若函数 f (x) x (4 2a) x 2 的单调减区间是（-∞，2] 则a=
2 • 3.若函数 f (x) x (4 2a) x 2 在区间（-∞，2]上是减函数， • 则a= a≥4
2 2.函数 f (x) x
在区间（-∞，0），（0，+ ∞ ）上是增函数
k 3.函数 f (x) (k 0) x
当k>0时 当k<0时 在区间（-∞，0），（0，+ ∞ ）上是减函数 在区间（-∞，0），（0，+ ∞ ）上是增函数