控制系统的数学模型
控制工程基础第一章控制系统的数学模型
(t)
m dt
m
1a
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
式中，
Tm
Ra
Ra J m f m CmCe
为电动机机电时间常数,s；
K1
Ra
f
Cm
C C
m
me
K2
Ra
f
Ra
C C
m
me
为电动机传递系数。
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计，式（1-9）
还可进一步简化为
C u (t) (t)
em
a
这时，电动机的转速ωm(t)与电枢电压ua(t)成正比，于是电动机可作为
（1）运算放大器Ⅰ。输入量（即给定电压）ug与速度反馈电压uf在此 合成产生偏差电压并经放大，即
u1 K1(ug u f )
式中，
K1
R2 R3
为运算放大器Ⅰ的比例系数。
（2）运算放大器Ⅱ。考虑RC校正网络，u2与u1之间的微分方程为
u2
K（2
d u1
dt
u1）
式中，K 2
R5 R4
为运算放大器Ⅱ的比例系数；τ=R4C为微分时间常数。
m
(t) (t) (t)
m dt
mm
m
c
式中，fm为电动机和负载折合到电动机轴上的黏性摩擦系数；Jm为电
动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
由式（1-5）、式（1-6）和式（1-7）中消去中间变量ia(t)、Ea及
Mm(t)，便可得到以ωm(t)为输出量，以ua(t)为输入量的直流电动机微
分方程，即
按照其建立的条件，数学模型可分为两种。一是静态数学模型： 静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。 它反映了系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间的关系。二 是动态数学模型：动态条件（变量各阶导数不为零）下描述变量各 阶导数之间关系的微分方程；也可定义为描述实际系统各物理量随 时间演化的数学表达式。它反映了动态系统瞬态与过渡态的特性。 本章以动态数学模型的研究为主。
控制系统的数学模型
[(s
s1 ) m
F (s)]
13
当无重根时：
则：
F(s) C1 C2 Ci
Cn
n
Ci
s s1 s s2
s si
s sn i1 s si
f
(t)
L1[F(s)]
n
L1[
i 1
Ci s si
]
n i1
Ci e si t
其中：
Ci
lim (s
ssi
si ) F(s)
或
B(s)
Ci A' (s) |ssi
例：求F(s)的原函数
F (s)
s2
s
3 2s
2
解：分母多项式的根为： s1 1 j1 ,
s2 1 j1
方法一、F(s)可表示为
F(s)
s3
C1 C2
(s 1 j)(s 1 j) s 1 j s 1 j
其中：
C1
lim (s
s1 j
1
j)
(s
1
s3 j)(s 1
L[eat f (t)] F(s a)
例:
f(t) 1
t1 t2
f (t)=1(t-t1)-1(t-t2)
L[ f (t)] L[1(t t1)] L[1(t t2 )]
t
e t1s 1 e t2s 1
s
s
例:
f (t) e2t cos 3t
L[
f
(t
)]
(s
s2 2)2
9
四、拉氏反变换 拉氏反变换的定义如下
三、拉氏变换基本法则
1. 线性法则： 设：F1(s)=L[f1(t)]， F2(s)=L[f2(t)]，a和b为常数，则
自动控制理论-第二章 控制系统的数学模型
(n) 0 (m) 0 ( n −1 ) 1
y +L+ a y + a y &
n −1 n m −1
=b x+b
( m −1 )
1
Y (s) b s + b s + L + b s + b 两边拉氏变换 G ( s ) = = X (s) a s + a s + L + a s + a x +L+ b x + b x &
4 微分环节 微分环节的传递函数为：
G(s) = C (s) = Ts R( s)
5 二阶环节
二阶环节又称为振荡环节，其的传递函数为
G (s) =
6 延迟环节
G(s) =
C (s) K = R( s) T s + s + 1
2 2
延迟环节的传递函数为：
C ( s) =e R( s)
−τs
第四节 用方块图表示的模型
2
由此可得
X (s) = 1 1 1 1 = = − s + 5s + 4 ( s + 1)( s + 4) 3( s + 1) 3( s + 4)
2
再对 X ( s) 进行逆拉氏变换，可得
e e x(t ) = − 3 3
−t −4 t
第二节 系统输入-输出的传递函数描述
• 传递函数是在控制理论中表示定常系统输入输出关 系的最常用方法，一般只适用于线性定常系统。 • 线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时， 输出量的拉普拉氏变换与输入量的拉普拉氏变换之比。 • 微分方程与传递函数转变关系：
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
第二章_控制系统的数学模型
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型2-1 什么是系统的数学模型？大致可以分为哪些类型？答定量地表达系统各变量之间关系的表达式，称工矿企业数学模型。
从不同的角度，可以对数学模型进行大致的分类，例如：用来描述各变量间动态关系的数学模型为动态模型，用来描述各变量间稳态关系有数学模型为静态模型；数学模型中各变量与几何位置无关的称为集中参数模型，反之与几何位置有关的称为分布参数模型；变量间关系表现为线性的称为线性模型，反之非线性模型；模型参数与时间有关的称为时变模型，与时间无关的称为时不变或定常模型；以系统的输入、输出变量这种外部特征来描述系统特性的数学模型称为输入输出模型，而以系统内部状态变量描述的数学模型称为状态空间模型；等等。
2-2 系统数学模型的获取有哪几种方法？答获取系统数学模型的方法主要有机理分析法和实验测试法。
机理分析法是通过对系统内部机理的分析，根据一些基本的物理或化学变化的规律而导出支配系统运动规律的数学模型，这样得到的模型称为机理模型。
实验测试法是通过对实际系统的实验测试，然后根据测试数据，经过一定的数据处理而获得系统的数学模型，这样得到的模型可称为实测模型或经验模型。
如果将上述两种方法结合起来，即通过机理分析的方法预先得到数学模型的结构或函数形式，然后对其中的某些参数用实验辨识的方法来确定，这样得到的数学模型可称为混合模型。
这是介于上述两种方法之间的一种比较切合实际的应用较为普遍的方法。
2-3 通过机理分析法建立对象微分方程数学模型的主要步骤有哪些？答主要步骤有：⑴根据系统的控制方案和对象的特性，确定对象的输入变量和输出变量。
一般来说，对象的输出变量为系统的被控变量，输入变量为作用于对象的操纵变量或干扰变量。
⑵根据对象的工艺机理，进行合理的假设和简化，突出主要因素，忽略次要因素。
⑶根据对象的工艺机理，从基本的物理、化学等定律出了，列写描述对象运动规律的原始微分方程式（或方程式组）。
⑷消去中间变量，推导出描述对象输入变量与输出变量之间关系的方程式。
控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型第章控制系统的数学模2-1 1 数学模型数学模型本书中主要介绍的几种系统模型图型：信号流程图数学模型描述系统行为特性的数学表达式模方块图信号程图数学模型：微分方程传递函数频率特性一、数学模型：描述系统行为特性的数学表达式。
是对实际物理系统的一种数学抽象。
模型各有特点，使用时可灵活掌握。
若分析研究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比较合理。
11——1.1. 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程r(t)——输入量c(t)c(t)a dc(t)a c(t)d a d a ++++L L dr(t)r(t)d r(t)db 其中，(i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，b a r(t)b b ++++=L L b (,,,;j ,,)实,j i2——定定常条输的变2.2.控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数A. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：L[c(t)]G()式中C()L[(t)])s (C G(s)==式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式那么：C(s)=R(s)G(s)[R()G()][C()]()11[R(s)G(s)]L [C(s)]c(t)-1-1==推广到一般情况，系统时域数学模型——推广到般情况，系统时域数学模型微分方程：L L c(t)a a a a 011-n 1-n n n ++++r(t)b d b d d b -++++=L L b ()dt dtdt 011-m 1m m m L L R(s)b sR(s)b R(s)sb R(s)s b 01-1m m +++=a. 控制系统传递函数的一般表达形式:s −L L 传式011n n a s a s a a R(s)+++−b.b.表示成典型环节表达形式：111+++−s T s T s T s s R L )))()(21n υ∏∏i C )(s ωω；==11j l pnpnωωm 系统的稳态增益K =——系统的稳态增益；2m m m+=2n n nν++=c 零极点表达形式K C +++++L c. 表示成零、极点表达形式：)())(()(21m r z s z s z s s =−——νjp 系统的极点，个零极点。
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l
台劳级数展开，得：
m Ti(t)
sin o
o
o3
3!
o5
5!
当
很
o
小
时
，
可
忽
略
高
阶
小量
，
则
sin o o 可 近 似 为 线 性 方 程:
P15单图摆2-5 单 摆
ml 2
d
2
dt
o 2
t
m
gl
o
t
T
i
t
线性化步骤：
1. 找出静态工作点（工作点不同， 所得方程系数也不同）
2. 在工作点附近展开成台劳级数 3. 略去高阶项，得到关于增量的线
CH2 控制系统的数学模型
§2.1 系统的数学模型 §2.2 数学模型的线性化 §2.3 拉氏变换及其反变换 §2.4 传递函数及典型环节的传递函数 §2.5 系统的方块图及其联接 §2.6 基于MATLAB的控制系统建模 §2.7 控制系统模型的转化与连接
2.1 系统的数学模型
对于一个控制系统，在一定的输 入作用下有些什么运动规律，我们不 仅希望了解其稳态情况，更重要的是 了解其动态过程。如果能将物理系统 在信号传递过程中的这一动态特性用 数学表达式描述出来，就得到了组成 物理系统的数学模型。
Ra J
d 2
dt
o 2
t
Ra
f
K T
Ke
do t
dt
K T ei t
若 电 枢 电 感 、 电 枢 电 阻都 忽 略 ， 可 进 一 步 简 化为 ：
K
e
do t
dt
ei
t
列写系统微分方程的一般步骤：
1. 将系统划分环节，确定各环节的输入 及输出信号，每个环节列写一个方程；
2. 根据物理定律或通过实验得出的物理 规律列写各环节的原始方程，并适当 简化，线性化；
则G(s) L[g(t)] L[ f '(t)] 1 L[ f '(t)]
w
w
1 [sF(s) w
f
(0)]
1[ w
s
2
s2
w2
1]
w s2 w2
3 积分定理
L
f tdt
Fs
s
f 1 0
s
两个推论：
其中 f 1t f t dt
L
f t dtn
F s
3. 将各环节方程式联立，削去中间变量， 最后得到只含有输入、输出变量以及 参量的系统方程式。
单输入、单输出系统微分方程的
一般形式：
a x a x a a 0 o n t 1 o n1 t n1 x o t n xo t b x b x b b 0 i m t 1 i m1 t m1 x i t m xi t
sn
f 1 0 sn
f 2 0 sn1
f n 0 s
n
式中，符号 f n 0 f t dtn t0
n
若 f 1 0 f 2 0 f n 0 0
L
f
tdtn
F s
sn
n
eL t f t Fs
4 衰减定理
e e 例：求 L 例 ：求 L
t
t
解解: : 已已知知
二、简单函数的拉氏变换
– 单位阶跃函数 – 指数函数 – 正弦函数与余弦函数 – 单位脉冲函数 – 单位速度函数 – 单位加速度函数
1. 单位阶跃函数 1t
1
1t
0 1
t0 t0
0
t
L1t
e 1t stdt 0
1 s
e st
0
1 s
2 . 指数函数et 1t 1
0
t
e e e e L t 1 t t 1 t st dt s tdt
ei
t
Ra
ia
t
La
dia t
dt
em
t
Tt KT ia t
em
t
K
e
do t
dt
T t
f
do t J
dt
d 2o t
dt 2
将上面四个方程联立，可得
La
J
d
3o t
dt 3
La
f
Ra J
d 2
dt
o 2
t
Ra
f
KT Ke
do t
dt
K
T
ei
t
若 忽 略 电 枢 电 感 ， 可 简化 为 ：
sn2
f
(0)
f
(n1) (0)
若 ：f 0 f 0 f n2 0 f n1 0 0
L
d
n f t
dt n
snF
s
例4：已知f
(t)
coswt，对应的F (s)
s2
s，
w2
求g(t) sin wt的拉氏变换。
拉氏变换微分性质的应用
解：f '(t) wsin wt g(t) f '(t) , w
微分方程 （时间域） 拉氏变换 拉氏反变换 代数方程 （复数域）
方块图 传递函数 信号流图
微分方程模型
微分方程模型是在时域中描述系统
（或元件）动态特性的数学模型，它是一 种最基本的数学模型，利用它可得到描述 系统（或元件）动态特性的其它形式的数 学模型。
实例
–质量-弹簧-阻尼系统 –无源电路网络 –电枢控制直流电动机
应记住的 一些简单函数的
拉氏变换
原函数 1t
f (t)
tn eat
F (s)
n!
( s a ) n 1
w eat sin wt (sa)2 w2
sa eat cos wt (sa)2 w2
et 1t sin t 1t cost 1t
t n 1t
象函数
1 s
1
s
s2 2
s
s2 2
n! s n1
cos t
cos t
LLccoosst t
s
2s2s
s
2
2
eeLL tct ocsos t t
s
s s
s22 2
2
5 延时定理
L f t 1t es Fs
f t1t
f t 1t
0
0
6 初值定理
例5：
lim f t lim sF s
t0
s
lim lim 求
t 0
sin t
s
s s2 2
0
初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函 数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。
7 终值定理
lim f t lim sF s
t
s0
使7用条 终件 值： 定f理t 的终值存在，即f t 有稳态解，
即 F s的极 点全在 左半s 平面 。
lim lim 例6例：6求 ：求 ssiinnt t t t
线性化的两个条件：
1. 非线性因素对系统影响很小 2. 系统变量只发生微小偏移，可通
过切线法进行线性化，求其增量 方程
根 据 牛 顿 第 二 定 律 ， 有：
T itmg sin otl ml 2
d 2o t
dt 2
这 是 一 个 非 线 性 微 分 方程 ，
o(t) 将 sin o在 o 0 附 近 用
对于函数 xt ，满足下列条件
1、 当t 0时 ，xt 0; 当t 0时 ，xt 在 每 个 有 限 区 间 分 段 连续 。
e 2、 xt t dt ， 其 中 — 正 实 数 0
则可定义xt 的拉氏变换为X S
X S Lxt
e xt st dt 0
象函数
原函数
复变量 量纲 t1
Ra
La
f
ei(t)
em
o (t)
T
J
ia if=常数
根据电磁感应定律，有
eK K K K i e R i L e 其中根其根，据中据Pm1基e3，磁—Tt图根i尔— 2场t-tT4—据霍电反对枢—牛夫T电e控载d电制顿a定Tt势流do机直at第律a常线t流tft力二，数电圈d矩 动定有d的机o作t常a律td用i数d定 a t定tJ律，d律2有d，tmo2有 tt
基于MATLAB的拉氏变换
一般情况下，L变换是以字母t为自变 量，以其他字母作为参数来进行变换， 这些均为字符变量。
Syms t Laplace(dirac(t)) Laplace(heaviside(t)) Laplace(t) Laplace(0.5*t^2)
基于MATLAB的拉氏变换
下面计算exp(at)和sin(wt)的拉氏变换 Syms a t w x f1=laplace(exp(a*t)) f2=laplace(sin(w*t))
f (t) est s
0
0
df (t dt
)
est s
dt
即：
F(s)
f
(0) s
1 s
L
df (t) dt
所以：
L
df (t) dt
sF (s)
f
(0)
两个重要推论：
Ld 2dft
(t
2
)
s 2 F (s)
sf
(0)
f
(0)
L
d
nf dt
(t
n
)
s n F (s)
s n1
f
(0)
i1t i2 t it
1
o
ui t uo t R1i2 t 2