控制系统的数学模型资料
控制系统的数学模型
[(s
s1 ) m
F (s)]
13
当无重根时：
则：
F(s) C1 C2 Ci
Cn
n
Ci
s s1 s s2
s si
s sn i1 s si
f
(t)
L1[F(s)]
n
L1[
i 1
Ci s si
]
n i1
Ci e si t
其中：
Ci
lim (s
ssi
si ) F(s)
或
B(s)
Ci A' (s) |ssi
例：求F(s)的原函数
F (s)
s2
s
3 2s
2
解：分母多项式的根为： s1 1 j1 ,
s2 1 j1
方法一、F(s)可表示为
F(s)
s3
C1 C2
(s 1 j)(s 1 j) s 1 j s 1 j
其中：
C1
lim (s
s1 j
1
j)
(s
1
s3 j)(s 1
L[eat f (t)] F(s a)
例:
f(t) 1
t1 t2
f (t)=1(t-t1)-1(t-t2)
L[ f (t)] L[1(t t1)] L[1(t t2 )]
t
e t1s 1 e t2s 1
s
s
例:
f (t) e2t cos 3t
L[
f
(t
)]
(s
s2 2)2
9
四、拉氏反变换 拉氏反变换的定义如下
三、拉氏变换基本法则
1. 线性法则： 设：F1(s)=L[f1(t)]， F2(s)=L[f2(t)]，a和b为常数，则
内部控制系统评价定量分析的数学模型
内部控制系统评价定量分析的数学模型随着企业规模的扩大和风险的增加，内部控制系统的评价变得越来越重要。
为了对内部控制系统进行全面、准确的评价，需要借助数学模型来进行定量分析。
本文将介绍内部控制系统评价定量分析的数学模型，并探讨其应用。
一、概述内部控制是指企业为实现经营目标，确保资产的安全、准确记录交易、遵循法规、规范业务流程等各类控制措施的总称。
内部控制系统评价的目的是评估企业内部控制体系的有效性和可行性，为企业管理者提供改进措施。
二、数学模型1. 贝叶斯网络模型贝叶斯网络模型是一种概率图模型，通过描述事物间的相互关系，分析因果关系的强弱，从而评估内部控制系统的有效性。
通过建立各个控制点的贝叶斯网络模型，可以量化各项控制措施对于风险的影响程度，并计算出整体的风险水平。
2. 层次分析模型层次分析模型是一种定量分析方法，通过对内部控制系统的各个要素进行分层次的两两比较和权重分配，来评估内部控制系统的整体性能。
通过构建层次分析模型，可以确定内部控制系统各项要素的重要性，并为改进措施的制定提供数学依据。
3. 控制链模型控制链模型是通过描述内部控制系统中控制要素的依赖关系，评估控制链的强弱程度。
通过量化各个控制要素的控制力度和被控制程度，可以评估控制链的可靠性和有效性，为内部控制系统的改进提供指导。
三、应用案例以某企业的采购管理为例，应用数学模型评价内部控制系统的有效性。
1. 建立贝叶斯网络模型根据采购管理的各项控制措施，建立贝叶斯网络模型，包括供应商审核、采购订单审核、收货检验等多个节点。
通过概率计算和条件推理，评估各个节点的风险水平，并计算出整体的风险水平。
2. 构建层次分析模型将采购管理的各个要素进行层次化比较和权重分配，包括采购流程、内部审核、采购人员素质等。
通过计算各个要素的权重，评估内部控制系统的整体性能，并为改进提供决策支持。
3. 评估控制链的可靠性通过分析采购管理的各个控制要素之间的依赖关系，量化控制链的可靠性。
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
基本要求-控制系统数学模型
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
线性连续系统微分方程的一般形式
d c (t ) d c (t ) dc (t ) an an 1 ... a1 a0 c ( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm bm 1 ... b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
• 3.表示形式 a.时域:微分﹑差分﹑状态方程 b.复域:传递函数﹑结构图 c.频域:频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
题目变种3，寻求新解法
1 R1 cs I ( s) U ( s) U r ( s) c 1 R1 cs
Uc( s ) I (s) R2
联立，可解得： 微分方程为:
U c ( s) R2 (1 R1Cs) U r (s) R1 R2 R1 R2 Cs
微分方程的标准形式: 1、与输入量有关的项写在方程的右端； 2、与输出量有关的项写在方程的左端； 3、方成两端变量的导数项均按降幂排列
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
航空
第二章控制系统的数学模型
电气系统三元件（知识补充）
电阻
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
2.为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的 运动过程是不够的，还要从理论上对系统 性能进行定量的分析和计算。 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处 的控制系统，其运动规律具有相似性，可 以用相同形式的数学模型表示。
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
第二章_控制系统的数学模型
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型第章控制系统的数学模2-1 1 数学模型数学模型本书中主要介绍的几种系统模型图型：信号流程图数学模型描述系统行为特性的数学表达式模方块图信号程图数学模型：微分方程传递函数频率特性一、数学模型：描述系统行为特性的数学表达式。
是对实际物理系统的一种数学抽象。
模型各有特点，使用时可灵活掌握。
若分析研究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比较合理。
11——1.1. 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程r(t)——输入量c(t)c(t)a dc(t)a c(t)d a d a ++++L L dr(t)r(t)d r(t)db 其中，(i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，b a r(t)b b ++++=L L b (,,,;j ,,)实,j i2——定定常条输的变2.2.控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数A. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：L[c(t)]G()式中C()L[(t)])s (C G(s)==式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式那么：C(s)=R(s)G(s)[R()G()][C()]()11[R(s)G(s)]L [C(s)]c(t)-1-1==推广到一般情况，系统时域数学模型——推广到般情况，系统时域数学模型微分方程：L L c(t)a a a a 011-n 1-n n n ++++r(t)b d b d d b -++++=L L b ()dt dtdt 011-m 1m m m L L R(s)b sR(s)b R(s)sb R(s)s b 01-1m m +++=a. 控制系统传递函数的一般表达形式:s −L L 传式011n n a s a s a a R(s)+++−b.b.表示成典型环节表达形式：111+++−s T s T s T s s R L )))()(21n υ∏∏i C )(s ωω；==11j l pnpnωωm 系统的稳态增益K =——系统的稳态增益；2m m m+=2n n nν++=c 零极点表达形式K C +++++L c. 表示成零、极点表达形式：)())(()(21m r z s z s z s s =−——νjp 系统的极点，个零极点。
控制系统数学模型
控制系统数学模型
控制系统数学模型是指用数学方法对控制系统进行建模和分析
的过程。
控制系统是指对一些物理过程进行控制的系统，包括机电控制系统、化工控制系统、航空航天控制系统等。
数学模型是指对一个系统或过程进行描述的数学式子或方程组。
建立控制系统的数学模型是控制工程的重要基础之一。
通过建立数学模型，可以更加深入地理解系统的特性，优化控制策略，提高系统的效率和稳定性。
在建立控制系统数学模型时，需要先对被控系统进行分析，确定系统的物理特性和运动规律。
然后，根据控制对象的特性，选择适当的数学模型进行建立。
常用的控制系统数学模型包括线性时不变系统模型、非线性系统模型、时变系统模型等。
线性时不变系统模型是指系统的输出与输入之间满足线性关系，且系统的特性不随时间变化。
非线性系统模型是指系统的输出与输入之间不满足线性关系。
时变系统模型是指系统的特性随时间变化。
除了建立数学模型外，还需要对模型进行分析和仿真。
常用的分析方法包括传递函数法、状态空间法等。
仿真可以通过计算机模拟系统运动过程，验证控制策略的有效性。
总之，控制系统数学模型是控制工程的重要基础之一，对于提高控制系统的性能和稳定性具有重要意义。
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控制系统的数学模型在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。
自动控制系统的组成可以是电气的、机械的、液压的或气动的，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。
因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型的外部特征，研究其内在的共性运动规律。
通过本章的学习，我们要掌握三种数学模型：微分方程、传递函数、动态结构图的建立方法。
熟练掌握自动控制系统传递函数的求取方法。
§2—1 列写微分方程的一般方法微分方程是描述控制系统动态性能的一种数学模型。
建立系统或元件微分方程的一般步骤如下：（1） 根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入量和输出量； （2） 根据物理或化学定律，列写系统各组成元件的原始方程；（3） 在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行线性化处理；（4） 消去中间变量，得出描述输出量和输入量（包括干扰）关系的微分方程，即元件的微分方程；（5） 对求出的系统微分方程标准化。
即将与输出有关的各项放在等号左侧；而将与输入有关的各项置于等号右侧，等号左右侧各项均按降幂形式排列。
例：列写下图所示RC 网络的微分方程。
解：1、明确输入、输出量输入量：RC 网络的电压u r ；输出量：u c2、建立输入、输出量的动态联系根据电路理论的基尔霍夫电压定律，任意时刻，网络的输入电压等于各支路的电压降和，即u u c r Ri += (1)dtd Ci u c= ………（2）（i 为网络电流，是一个中间变量） 3、消除中间变量-+-将（2）式代入（1）式得u u u c cr dtd RC+= 4、系统的微分方程的标准化 u u u r c cdtd RC=+ 例2：列写下图所示RLC 网络的微分方程。
（零初始条件） 解：1、明确输入、输出量输入量：u i ； 输出量：u c 2、列写个组件的原始方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==++=)3()2()1( dt d C i dt di LiR u u u u u c L c L i （i 为网络电流，是一个中间变量） 3、消除中间变量将（3）分别代入（1）、（2）则得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=)5()4(22 t u d u u u u u d LC dt d RC cL c L c i将（5）代入（4）则得u t u d u u cc c id LC dt d RC++=224、系统的微分方程的标准化u u u t u d i c c c dt dRC d LC =+++22即为所求的微分方程例3：列写下图所示RL 网络的微分方程。
（零初始条件）1、明确输入、输出量输入量：u r ；+-c+-输出量：u c 2、列写个组件的原始方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=)3()2()1( dt di LRi iR u u u u L c L r 3、消除中间变量将（3）分别代入（1）则得)4( dtdi LiR u r +=由（2）得)5( Ri u c=将（5）代入（4）得dtd R L u u u cc r += 4、系统的微分方程的标准化u u u r c cdtd R L =+ 即为所求的微分方程 §2—2 非线性方程的线性化控制系统的实际组成元件，几乎程度不同地都具有非线性特性。
求出的系统微分方程常常是非线性方程。
由于非线性微分方程的求解很困难，如果能把非线性方程转化为线性方程，将为系统的分析和计算提供很大的方便。
由于许多实际控制系统的输入量和输出量是围绕平衡工作状态进行小范围变化的，故可采用泰勒级数展开法，略去二次以上的高次项，进行小偏差线性化处理，所得到的线性微分方程称为系统的线性化数学模型。
也就是说，如果实际上的x 只是在某平衡工作点x 0附近小范围变化，则在x 0附近以直线代替曲线就较为合理。
设元件的输入量)(t x 和输出量)(t y 的非线性函数为：)(x f y =在工作点（平衡点）),(00y x 的邻域内，对非线性函数可表示为泰勒级数：即++++-+=--)()(0)(!10)(!21)()()(02202000x x xx d x x x x d x x x nn nd f n d f x dx df f y 略高阶无穷小（因为变量x 偏离工作点x 0的范围较小，所以增量)(0x x -的高次项可以忽略不计，故可以近似得到)()()()()(000000x x y x x x x dxdf x dx df f y -+=-+= 即 )(00x y x k y -=- 式中dxdf k x )(0=，)(00x y f = 上式表示了单变量系统在工作点处小偏差线性化的基本方程。
系统的输入、输出只是在工作点附近的微小变化，至使)(0x x -很小，其高次项可忽略。
这个假设是符合自动控制系统的。
因为对于闭环系统而言，只要有偏差，就产生控制作用，以抑制偏差，所以各变量只能在平衡点做微小运动。
例：工业中常用孔板和差压变压器测量流体的流量。
通过孔板的流量Q 与孔板前后的差压P 的平方根成正比，即P k Q =（k 为常数）设系统在流量值Q 0附近作微小变化，将流量方程线性化。
解：首先对方程两边求导Pkdp dQ 2= 则根据小偏差线性化的基本方程，则)(2)(00000p p p dp dQ Q p kp pQ -=-=-即流量方程线性化方程为p k Q p ∆=∆02§2—3 传递函数微分方程是从时间域中描述系统的动态方程的数学模型，在给定输入量和初始条件时，就可求得系统输出响应的解。
这种方法虽然比较直观准确，但用于分析设计高阶系统时，就显得繁琐。
因为高阶系统的求解比较困难，而且看不出系统的结构，参数对系统输出解的影响。
如果输出响应不合要求就不知如何去改变系统的结构参数，而且如果每次改变结构参数，就得重新编写微分方程。
线性定常系统微分方程经过拉氏变换，就可得到系统在复频域中的数学模型，称为传递函数。
传递函数不仅可以表示系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结构和参数对性能的影响，从而使分析和设计大为简化，在经典控制理论中，广泛应用的频率法和根轨迹法都是建立在传递函数这一数学模型基础之上的。
因此，传递函数是经典控制理论中最基本，也最重要的数学模型。
一、传递函数的定义定义：零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。
即 输入量的拉氏变换式输出量的拉氏变换式传递函数=)s (G在古典控制理论中，主要讲单输入单输出线性定常系统，设微分方程为：)t (r )t (r )t (r )t (c t )t (dc )t (c )t (c b tb t b a a t a t a m 1110n 1-n 1110+++=++++---- m m m m n n n n d d d d d d d d d 式中：)(t c 为输出量，)(t r 为输入量，b b b a a a m 10n 10,,,, 及均为由系统结构参数决定的常数。
在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换，得象方程：)()()()(b b b a a a a m 110n 1-n 110s R s C s s s s s m m n n +++=++++-- 则系统传递函数a a a ab b b b n1-n 110m1-m 110)()()(+++++++++==--s s s R s C s G s s s s n n m m 分子为象方程的输入端算子多项式；分母为象方程的输出端算子多项式（亦即微分方程的特征式）。
二、关于传递函数的几点说明1、传递函数是经拉氏变换导出的，拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。
2、传递函数表达式中各项系数的值完全取决于系统的结构和参数，并与微分方程中各项系数相对应，所以传递函数也是系统的动态数学模型。
3、传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，即单输入、单输出的关系。
4、传递函数是在零初始条件下建立的，因此它只是系统的零状态模型，而不能完全反映零输入响应的动态特性。
此即传递函数作为系统动态数学模型的局限性。
5、因为实际的物理系统总含有惯性元件，并受到能源功率的限制，所以，实际系统传递函数中分母多项式的阶数n 总是大于或等于分子多项式的阶数m ，即m n ≥；通常将分母多项式的阶数为n 的系统称为n 阶系统。
三、传递函数的求法1、根据系统的微分方程求传递函数（1）确定系统或元件的输入变量和输出变量； （2）根据物理定律，列写出微分方程或微分方程组；（3）在零初始条件下求各微分方程的拉氏变换式（象函数），将它们转换为s 域的代数方程组；（4）消去中间变量后，根据定义求出传递函数。
例：求下图所示RLC 网络的传递函数。
解：根据基尔霍夫电压定律，可以列出⎪⎩⎪⎨⎧=++=dt d Ci dt di L iR u u u cc i在零初始条件下将以上两式进行拉氏变换后得⎩⎨⎧=++=)2()()()1()()()()( s Cs s I s s LsI s RI s U U U c c i 消去中间变量)(s I 则得)()1()(2s RCs LC s U s U c i ++=根据传递函数的定义可得11)()()(2++==RCs LC s s s G s U U i c 2、用复阻抗的概念求电路的传递函数由电路理论可知，电阻R 的复阻抗仍为R ，电容C 的复阻抗为sC1（容抗）；电感L 的复阻抗为sL （感抗）。
阻抗的串联、并联计算方法完全可以用于复阻抗网络等效复阻抗的计算。
[思考]分压公式例：求下图所示无源电路的传递函数)()(s U s U i c 。
解：利用分压公式，可直接写出RLC 串联电路的输出电压与输入电压之间的关系。
)(11)(s sCR Ls sCs U U i c ++=)(112s RCs LC U s i ++= 则传递函数为11)()()(2++==RCs LC s s s G s U U i c例：设无源网络如图所示。
已知初始条件为零，试求网络传递函数)()(12s s U U ，并说明该网络是否等效于RC 和RL 两个网络的串联。
2解：利用基尔霍夫电压定律、电流定律及欧姆定律得)1()()()(3111 s s s U R I U +=)2()(1)(23 s cS s I U = )3()()(233 R U I Ls s s +=)4()()(232 R I U s s =)5()()()(321 s s s I I I +=消去中间变量可得)()(222121211s R R R LS CS R R LCS R s U U ++++=则网络的传递函数为2121212)(R R LS CS R R LCS R R s G ++++=如果将网络分割开来，则RC 网络的传递函数为1111)()(1113+=+=Cs sCsCs s R R U U RL 网络的传递函数sLs s R R U U +=2232)()( 再将RC 与RL 两个网络串联起来，则整个网络的传递函数将成为：R R R s R R R R R U U U U U U s L C CL Cs Ls s s s s s s 221212122133212)(11)()()()()()(+++=+•+=•= 2121212R R LS CS R R LCS R R ++++≠结果与原网络的传递函数不同，其原因是确定RC 网络传递函数时，没有考虑到RL 网络的负载效应。